Bazı genelleştirilmiş karşıt-sürekli fonksiyonlar

(1)

ii ÖZET

Yüksek Lisans Tezi

Baz Genelle tirilmi Kar t-Sürekli Fonksiyonlar

Nurzade ÇALI

Selçuk Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü Matematik Anabilim Dal

Dan man : Yrd.Doç.Dr. Aynur KESK N 2009, 45 Sayfa

Bu çal ma literatürde yer alan baz süreklilik çe itleri aras ndaki ili kileri ele alan bir derlemedir. Üç bölümden olu maktad r. Birinci bölümde, konunun uygulamalar yla ilgili genel bilgilere de inilmi , ikinci bölümde, çal mam z için gerekli bilgi ve kavramlar verdik. Son bölümde, baz süreklilik çe itlerinin özellikleri, birbirleri ile ili kileri ve son olarak bu sürekliliklerin ay rma aksiyomlar ile ili kileri irdelenmi tir.

Anahtar kelimeler : -aç k küme, -aç k küme, semi-aç k küme, pre-aç k küme, contra- - süreklilik, stronglyS-kapal k.

(2)

ii ABSTRACT

The Post Graduate Thesis

Some General zed Contra-Continuous Functions

Nurzade ÇALI

Selcuk University

Graduate School of Natural Applied Sciences Department of Mathematics

Supervisor: Yrd.Doç.Dr: Aynur KESK N 2009, 45 pages

The study is a compilation wich discussee the relations between some types of continuity in literatüre. This study includes three sections. In first section, the general informations about the exercises of the subject are mentioned. In the second section, we gave the information and concepts which are necessary for our study. In the last section, the characteristics of some types of continuity, their relationships between these continuities and finally their sorting actions are analysed.

Key words: -open set, -open set, semi-open set, pre-open set, contra- -continuity, strongly S-closedness.

(3)

1.G R

Matematik biliminin topoloji adlı alanı direkt veya dolaylı olarak süreklilik kavramı ile ilgili tüm sorularla ilgilenir. 1996’da Dontchev[7], contra-sürekli

fonksiyonlar denilen ve “ f :(X,τ)→(Y,ϕ) fonksiyonunun ( Y , )ϕ uzayının her açık

kümesinin ters görüntüsü (X,τ) uzayında kapalı ise contra süreklidir.” eklinde yeni

bir fonksiyon sınıfını tanımladı. Contra süreklilik ile sırasıyla kompaktlık, S-kapalılık ve strongly S-kapalılık kavramlarının birbirleriyle ilgili çok ilginç ve önemli sonuçlarını elde etti. Dontchev ve Noiri[9], contra-sürekli fonksiyonların zayıf bir

çe idi olan contra-semi-sürekli fonksiyonları tanımladılar. Ayrıca, β-süreklilikten

daha kuvvetli ancak contra-süreklilikten daha zayıf olan RC-süreklilik kavramını tanımladılar. Jafari ve Noiri[14], RC-sürekli ve contra sürekli fonksiyon sınıfları arasında yer alan contra-süper-sürekli fonksiyonlar adlı yeni bir fonksiyon sınıfını ara tırdılar. Jafari ve Noiri[18], contra sürekli fonksiyonlardan daha zayıf olan contra pre-sürekli fonksiyonları tanımlayarak incelediler. Bununla birlikte, contra-sürekli fonksiyonlardan daha zayıf ve hem contra-semi-sürekli fonksiyonlardan hem de contra-pre-sürekli fonksiyonlardan daha kuvvetli, yeni bir fonksiyon sınıfı olan

contra-

α

-sürekli fonksiyonları incelediler. Caldas ve Jafari[5], contra β-sürekli

fonksiyonları tanıttılar. Nasef[30], γ -açık kümeler yardımıyla contra-γ -süreklilik

(4)

2. TEMEL KAVRAMLAR

Bu bölümde çalı mamız için gerekli bazı kavramları ele alaca ız.(X,τ)

topolojik uzayında Cl( A) ve Int( A), X ’in A alt kümesinin sırasıyla; kapanı ını ve

içini göstermektedir. E er A=Int(Cl(A)) ise; A’ya regüler açık [17],

)) (

(Int A

Cl

A= ise; A ’ya regüler kapalı [17] küme denir.

2. 1. Tanım

Bir (X,τ ) uzayının A alt kümesi verilsin. E er,

(i) A⊂Int(Cl(A)) ise; A pre-açık küme [25],

(ii) A⊂Cl(Int(A)) ise; A semi-açık küme [23],

(iii) A⊂Int(Cl(Int(A)))ise; A α - açık küme [33],

(iv) A⊂Cl(Int(Cl(A))) ise; A β-açık küme [4],

(v) A hem semi-açık hem de semi-kapalı ise; A semi-regüler küme [6],

(vi) A⊂Cl(Int(A))∪Int(Cl(A)) ise; A b -açık küme [1] (ya da γ -açık küme[3])

olarak adlandırılır.

Bir pre-açık ( sırasıyla; semi-açık, α-açık,β-açık, b -açık) kümenin tümleyenine

pre-kapalı ( sırasıyla; semi-kapalı, α-kapalı, β-kapalı, b -kapalı ) küme denir. X ’in

tüm kapalı ( sırasıyla; pre-açık, semi-açık, α-açık, β-açık, γ -açık ) alt kümelerinin

ailesi ℑt ( sırasıyla; PO( X), SO( X), α( X),β( X), γO( X)) ile gösterilir. Benzer

ekilde; bu ailelerin herhangi bir x∈ noktası için gösterimleri a a ıdaki gibidir: X

}, ) ( { ) , (X x V t X x X t = ∈ℑ ∈ ℑ }, ) ( { ) , (X x V PO X x X PO = ∈ ∈ }, ) ( { ) , (X x V SO X x X SO = ∈ ∈ }, ) ( { ) , (X x = V∈

α

X x∈X

α

(5)

}, ) ( { ) , (X x = V∈

β

X x∈X

β

} ) ( { ) , (X x V X x X O = ∈

γ

∈

γ

. 2.2.Tanım

Bir f :(X,τ)→(Y,ϕ) fonksiyonu verilsin. E er; (X,τ) uzayının A alt kümesi bir

açık ve bir kapalı kümenin arakesiti biçiminde yazılabiliyorsa, A kümesine lokal kapalı küme denir [13].

2. 3. Tanım

Bir f :(X,τ)→(Y,ϕ) fonksiyonu verilsin. E er, ( Y , )ϕ uzayının her V açık

kümesi için f−1(V), (X,τ) uzayında hem açık hem kapalı (sırasıyla; regüler kapalı,

pre-kapalı, kapalı, semi-kapalı, α-kapalı, β-kapalı, γ -kapalı, αg-kapalı, regüler

açık, semi-regüler) ise; f fonksiyonuna perfectly sürekli[35] (sırasıyla;

RC- sürekli[9], contra-pre-sürekli[15], contra sürekli[7], contra-semi-sürekli[9],

contra-α-sürekli[17], contra-β-sürekli[5], contra-γ -sürekli[30], contra-αg-sürekli,

completly sürekli[2], SR-sürekli[9]) fonksiyon denir.

2. 4. Tanım

Bir f :(X,τ)→(Y,ϕ) fonksiyonu verilsin. E er, ( Y , )ϕ uzayındaki her regüler açık

kümenin ters görüntüsü (X,τ) uzayında hem açık hem kapalı (sırasıyla; kapalı,

semi-kapalı) ise, f fonksiyonuna regüler-set-connected [10] ( sırasıyla; (θ,s)-sürekli

(6)

2. 5. Tanım

Bir f :(X,τ)→(Y,ϕ) fonksiyonu verilsin. E er; ( Y , )ϕ uzayının her V açık

kümesinin ters görüntüsü (X,τ) uzayında lokal kapalı ise; f fonksiyonuna

LC-sürekli [13] denir.

2. 6. Tanım

) ,

(X τ uzayının her A alt kümesi için f(Int(A))⊂ f(A) ise; ya da e de er olarak

(Y , )ϕ uzayındaki her kümenin ters görüntüsü (X,τ) uzayında hem açık hem kapalı

ise f fonksiyonuna strongly süreklidir [11] denir.

2. 7. Tanım

Bir f :(X,τ)→(Y,ϕ) fonksiyonu verilsin. E er, her x∈ ve Y ’de X f(x) i içeren

her V açık kümesi için f(U)⊂V olacak ekilde bir U∈PO(X,x) (sırasıyla;

) ,

(X x

SO

U∈ , U∈β(X,x)) varsa; f fonksiyonuna pre-sürekli [25] (sırasıyla;

semi-sürekli [23], β-sürekli [4]) fonksiyon denir.

2. 8. Tanım

Bir f :(X,τ)→(Y,ϕ) fonksiyonu verilsin. E er, her x∈X ve Y ’deki f(x) in

her V açık kom ulu u için, f(U)⊂Int(Cl(V)) olacak ekilde bir U∈PO(X,x)

(7)

2. 9. Tanım

Bir f :(X,τ)→(Y,ϕ) fonksiyonu verilsin. E er, ( Y , )ϕ uzayının her V açık

kümesi için f−1(V)⊂Int(Cl(f−1(Cl(V))) ise; f fonksiyonuna almost weakly

süreklidir [19] denir.

2. 10. Tanım

Bir f :(X,τ)→(Y,ϕ) fonksiyonu verilsin. Her x∈X ve f(x) i içeren her V ⊂ Y

kapalı kümesi için, f(U)⊂V olacak ekilde X ’de x’i içeren bir U∈RO(X,τ)

kümesi var ise; f fonksiyonuna contra süper sürekli [16] denir.

2.11. Tanım

Bir f :(X,τ)→(Y,ϕ) fonksiyonu verilsin. Her x∈X ve f(x) i içeren her F

kapalı kümesi için Int[f(U)]⊂F olacak ekilde X ’de bir U∈α(X,x) kümesi var

ise; f fonksiyonuna I.c. α-sürekli [17] denir.

2. 12. Tanım

Bir f :(X,τ)→(Y,ϕ) fonksiyonu verilsin. E er; her U∈α( X) için, f(U)∈SO(Y)

ise; f fonksiyonuna (α,s)-açık [17] denir.

2. 13. Tanım

A kümesi (X,τ ) uzayının bir alt kümesi olsun.

(1)∩{U∈

τ

A⊂U}'ya A ’nın çekirde i denir ve ker( A ) ile gösterilir [29].

(2)∩{F∈X A⊂F,F∈PC(X,

τ

)} kümesineA ’nın pre-kapanı ı denir ve pCl(A)

(8)

2. 14. Tanım

(1) Bir (X,τ) uzayının her semi açık örtüsünün kapanı larının X ’i örten

kümelerden olu an bir alt ailesi varsa ya da denk olarak (X,τ) uzayının her regüler

kapalı örtüsünün sonlu bir alt örtüsü varsa (X,τ) uzayına S-kapalıdır [43] denir.

(2) Bir (X,τ) uzayının her kapalı örtüsünün sonlu bir alt örtüsü varsa; bu uzaya

strongly S-kapalıdır [9] denir.

(3) Bir (X,τ) uzayının A alt uzayı strongly-S kapalı ise; A kümesine strongly

S-kapalı [10] denir.

(4) Bir (X,τ)uzayının her semi regüler örtüsünün sonlu bir alt örtüsü varsa (X,τ)

uzayına s-kapalıdır [6] denir.

2. 15. Tanım

(1) Bir (X,τ) uzayının her α-açık örtüsünün sonlu bir alt örtüsü varsa; (X,τ)

uzayına α-kompakt [26] denir.

(2) Bir (X,τ) uzayının A alt kümesinin X ’in α-açık kümelerinden olu an her

örtüsünün sonlu bir alt örtüsü varsa; A kümesine α-kompakt [36] denir.

2. 16. Tanım

Bir (X,τ) uzayı verilsin. E er,

(1) X ’in her pre-açık örtüsünün sonlu bir alt örtüsü varsa; X ’e strongly kompakt

uzay [27] ,

(2) X ’in her hem açık hem kapalı alt örtüsünün sonlu bir alt örtüsü varsa; X ’e

mildly kompakt uzay [41],

(3) X ’in her regüler açık örtüsünün sonlu bir alt örtüsü varsa; X ’e nearly kompakt

(9)

(4) X ’in her {Vi|i∈∇} açık örtüsü için X =∪{Cl(Vi)|i∈∇o} olacak biçimde sonlu

bir ∇o⊂∇ var ise X ’e almost kompakt uzay [40] denir.

2. 17. Tanım

Bir (X,τ) uzayı verilsin. E er,

(1) X ’in her açık kümesinin kapanı ı X ’de açık ise (X,τ)’ya extremally

disconnected (oldukça ba lantısız) uzay,

(2) X ’deki her yo un küme X ’de açık ise; ya da denk olarak her pre-açık küme

açık ise; (X,τ)’ya submaximal uzay [39],

(3) X ’in her γ -açık kümesi X ’de açık ise; γ -uzayı [38] denir.

2. 18. Tanım

Bir f :(X,τ)→(Y,ϕ)fonksiyonunun grafi i G(f) olmak üzere; e er her

)] ( ) [( ) ,

(x y ∈ X×Y −G f için (U×V)∩G(f)=∅ olacak ekilde bir U∈α(X,x)

(sırasıyla; BO(X,x)) ve V∈C(Y,y) ve V∈C(Y,y)) varsa G(f)’e contra-α-kapalı

[17] (sırasıyla; contra-b-kapalı [30] ) denir.

2. 19. Tanım

Bir β süzgeç tabanı verilsin. E er her U∈BO(X,x) (sırasıyla; U∈ℑtx ) için,

U

B⊂ olacak ekilde bir B∈β varsa; β’ya x∈X ’e b-yakınsak [30] (sırasıyla;

c-yakınsak [17] ) denir.

2.20. Tanım

Bir (X,τ) uzayının bir alt kümesi açık kümelerin kesi imi ise; bu kümeye Λ-küme

(10)

3. Bazı Zayıf Sürekli Fonksiyonlar

Bu bölümde; contra-sürekli, contra-α-sürekli, contra-pre-sürekli,

contra-semi-sürekli, contra-γ -sürekli, contra-β-sürekli fonksiyonların karakterizasyonları ele

alınacaktır. Birinci bölümde geçen di er süreklilik çe itleri ile beraber Nasef [30], tarafından verilen diyagram irdelenecektir. Nasef [30], söz konusu diyagramdaki gerektirmelerin terslerinin genellikle do ru olmadı ını örneklerle vermi tir.

Completely sürekli perfectly sürekli regüler set connected

RC-sürekli

contra-süper-sürekli

contra sürekli ( ,θ s)-sürekli

contra-

α

-sürekli weakly θ- irresolute

SR-sürekli contra- semi-sürekli contra-pre-sürekli

contra-γ -sürekli

contra-β-sürekli

(11)

3. 1. Örnek [16]

Khalimsky do rusu denilen dijital eksen

τ

_k ={{2n−1, 2n, 2n+1}:n∈Z} alt tabanı

tarafından üretilen K topolojisi ile tüm tamsayılar kümesidir. (Z,K) dijital eksen ve

) , ( ) , ( : Z K Z K f → = , , 1 , , 0 ) ( çift x tek x x f

eklinde tanımlanmı bir fonksiyon olsun. f fonksiyonunun contra-süper-sürekli

olup RC-sürekli olmadı ı kolayca görülür.

3. 2. Örnek [7]

{ =

τ

∅, {a}, X } ve σ ={∅, {b}, {c}, {b,c}, X } olsun. O halde f :(X,

τ

)→(X,

σ

)

birim fonksiyonu contra-süreklidir ancak contra-süper-sürekli de ildir.

3. 3. Örnek [30]

X ={a, b, c},

τ

={∅, {a}, X } ve σ ={ ∅, {b}, {c}, {b, c}, X } olsun. Dolayısıyla

) , ( ) , ( : X

τ

X

σ

f → birim fonksiyonu contra-

α

-sürekli olup contra-sürekli de ildir.

3. 4. Örnek [30]

} ,

{a b

X = üzerinde ayrık olmayan

τ

topolojisi ile (X,

σ

) Sierpinski uzayı verilsin.

Dolayısıyla f :(X,

τ

)→(X,

σ

) birim fonksiyonu contra-

γ

-süreklidir ancak

(12)

3. 5. Örnek [30] } , , , {a b c d X = ve

τ

={∅,{b},{c},{a, b},{a,b, c},{b, c, d}}olsun. ) , ( ) , ( : X

τ

X

τ

f → fonksiyonu contra-semi-sürekli bir fonksiyondur. Dolayısıyla f

fonksiyonu aynı zamanda contra-

α

-sürekli de de ildir. Çünkü {c,d},(X,τ)

uzayının kapalı bir kümesidir ve f−1({c,d})={c,d}

α

-açık de ildir.

3. 6. Örnek [30] } , , {a b c X = ve

τ

={∅,{a},{b},{a,b},X}olsun ve Y ={1,2}

σ

={∅,{1},Y} ile

Sierpinski uzayı verilsin. f :

( ) ( )

X,

τ

→ Y,

σ

fonksiyonu, f

( )

a =1 ve f

( )

b = 2= f

( )

c

biçiminde tanımlansın. O halde f fonksiyonu contra-γ -süreklidir ancak contra

pre-sürekli de ildir.

Son olarak söz konusu olan bu sürekliliklerin ayırma aksiyomları ile ili kileri ele alındı.

3. 1. Lemma

Bir (X,τ) uzayının A,B alt kümeleri için a a ıdaki özellikler sa lanır [16]:

(1) x∈ker(A) olması için gerek ve yeter art her F∈

τ

tx için; A∩ F≠∅ olmasıdır.

(2) A alt kümesi X ’de açık ise; A⊂ker(A) ve A=ker(A)olur.

(3) A⊂ ise;B ker(A)⊂ker(B) olur .

3.1. Teorem

( )

, ( , )

: X

τ

Y

ϕ

f → fonksiyonu için a a ıdakiler denktir [17]:

(1) f fonksiyonu contra-

α

-süreklidir.

(13)

(3) Her x∈ ve her X F∈C(Y,f(X)) için f(U)⊂Folacak biçimde bir )

,

(X x

U∈

α

vardır.

(4) Her A⊂ alt kümesi için,X f(

α

Cl(A))⊂ker(f(A)) olur.

(5) Her B⊂ alt kümesi için, Y

α

Cl(f−1(B))⊂ f−1(ker(B))olur .

spat :

( )

1 ⇔

( )

2 ve(2) (3) gerektirmeleri açıktır.

(3) (2) F , Y ’nin herhangi kapalı kümesi ve x∈f−1(F) olsun. O halde,

F x

f( )∈ olur ve dolayısıyla f(U_x)⊂Folacak biçimde bir U_x∈

α

(X,x) vardır.

Sonuç olarak, f 1(F)=⊥{Uxx∈ f 1(F)}∈α(X)

−

− _{elde edilir.}

(2) (4) A kümesi X ’in herhangi bir alt kümesi olsun. Varsayalım ki

)) (

ker(f A

y∉ olsun. O halde, 3.1. Lemma gere i f(A)∩ F =∅ olacak biçimde bir

) ,

(X y

C

F∈ vardır. Buradan, A∩ f−1(F)=∅ ve αCl(A)∩ f−1(F)= ∅ elde

edilir. Dolayısıyla, f(αCl(A))∩ F =∅ ve y∉f(αCl(A) olur. Bu ise;

)) ( ker( )) ( ( Cl A f A f α ⊂ ifadesini gerektirir.

(4) (5) B kümesi Y ’nin herhangi bir alt kümesi olsun. (4) ve 3.1. Lemma gere i

) ker( )) ( ( ( Cl f 1 B B

f α − ⊂ ve αCl(f−1(B))⊂ f−1(ker(B)) elde edilir.

(5) (1) V, Y ’nin herhangi açık bir alt kümesi olsun. O halde, 3.1. Lemma gere i,

) ( )) (ker( )) ( (f 1 V f 1 V f 1 V Cl − ⊂ − = − α ve αCl(f−1(V))= f−1(V) elde edilir. Bu

ise; f−1(V)nin X ’de

α

-kapalı oldu unu gösterir.

3. 2. Teorem

Bir f :

( )

X,

τ

→(X,

σ

) fonksiyonun contra-

α

-sürekli olması için gerek ve yeter art

(

,

)

( , )

: X

τ

α X

σ

(14)

3. 3. Teorem

Bir f :

( )

X,

τ

→(X,

σ

) fonksiyonun contra-

α

-sürekli olması için gerek ve yeter

art Λ-kümelerinin ters görüntülerinin kapalı olmasıdır [17].

3. 2. Lemma

) ,

(X τ topolojik uzayı verilsin. E er,

(1) A∈PO( X) ve B∈α( X) ise; A∩B∈α( A),

(2) A∈α(B) ve B∈α( X) ise A∈α( X) olur [24].

3. 4. Teorem

( )

, ( , )

: X

τ

Y

ϕ

f → fonksiyonun contra-

α

-sürekli ve U∈PO( X) ise

) , ( ) , ( : U

τ

Y

ϕ

f _U _U → contra-

α

-süreklidir [17] . 3. 5. Teorem

( )

, ( , ) : X

τ

Y

ϕ

f → fonksiyonu ve {U_i i∈} X’in her i∈ için, I U_i∈α( X)olacak

biçimde bir örtüsü olsun. E er, f i

U : (Ui,τUi)→(Y,ϕ) her i∈ için contra-αI

-sürekli ise f fonksiyonu contra-α-süreklidir [17].

spat :

Varsayalım ki F kümesi Y uzayının kapalı bir kümesi olsun. Bu durumda ) ( ) ( ) ( ) ( 1 1 1 F f U F f F f I i U i I i i − ∈ − ∈ − ₌

Υ

_∩ ₌

Υ

elde edilir. Her i∈ için f I

i

(15)

) ( ) ( 1 ) (U F Ui f i ∈α −

elde edilir. O halde, f−1(F)∈α(X) ifadesiyle f fonksiyonunun

contra-α-sürekli oldu u 3.2. Lemma (2) gere i direkt bulunur.

3. 3. Lemma

A a ıdaki özellikler bir (X,τ) uzayının A alt kümesi için denktir [17]:

(1) A kümesi hem açık hem kapalıdır; (2) A kümesi α-kapalı ve α-açıktır;

(3) A kümesi α-kapalı ve pre- açıktır.

3. 6. Teorem

Bir f :

( )

X,

τ

→(Y,

ϕ

) fonksiyonu için a a ıdakiler denktir [17]:

(1) f fonksiyonu perfectly süreklidir;

(2) f fonksiyonu contra-

α

-sürekli ve

α

-süreklidir;

α

-sürekli ve pre-süreklidir.

spat:

spatı 3.3. Lemma dan açıkça görülür.

3. 1. Uyarı

3.6. Teorem (2) ve (3) perfectly süreklili in ayrı ımlarıdır. A a ıdaki örnek,

contra-

α

-süreklilik ile pre-süreklili in (ya da

α

-süreklili in) birbirinden ba ımsız

(16)

3. 7. Örnek [17]

IR reel sayılar kümesi üzerinde U alı ılmı topoloji olmak üzere;

) , ( ) , ( : IRU IR U

I → birim fonksiyonu verilsin. Bu durumda I , sürekli ve

dolayısıyla hem

α

-sürekli hem de pre-süreklidir. Ancak, (0,1) U∈ için,

I ((0,1)) = (0,1) ∉αC(IR,U) oldu undan f fonksiyonu contra-

α

-sürekli de ildir.

3. 8. Örnek [32]

(Z, K)dijital eksen olmak üzere; f :(Z,K)→(Z,K) fonksiyonu ∀n∈Ziçin,

1 )

(n = n+

f biçiminde tanımlansın. O halde, f fonksiyonu contra-

α

-süreklidir.

Ancak, Int(Cl( −1({1})))=

f ∅ ve 1({1}) ( , )

K Z PO

f− ∉ oldu undan; f fonksiyonu

ne pre-sürekli ne de

α

-süreklidir.

3. 7. Teorem

(Y ,ϕ) regüler uzay olmak üzere; f :

( )

X,

τ

→(Y,

ϕ

) fonksiyonu için a a ıdakiler

denktir [17]:

(1) f fonksiyonu perfectly süreklidir; (2) f fonksiyonu RC -süreklidir; (3) f fonksiyonu contra-süreklidir;

α

-süreklidir.

spat:

A a ıdaki gerektirmeler açıktır:

Perfectly süreklilik RC -süreklilik contra-süreklilik contra-

α

-süreklilik.

Dolayısıyla sadece (4) ( gerektirmesi ispatlanmalıdır. 1) x, X ’in herhangi bir

(17)

oldu undan, Cl(W)⊂V olacak biçimde ( Y ,ϕ) uzayında F ( )x ’i içeren bir W açık

kümesi vardır. f fonksiyonu contra-

α

-sürekli oldu undan ve 3.1.Teorem gere i

W U

f( )⊂ olacak biçimde ise α(X,x)vardır. O halde, f(U)⊂W ⊂V dir. Dolayısı

ile, f fonksiyonu

α

-süreklidir. f contra-

α

-sürekli ve

α

-sürekli oldu undan;

f fonksiyonu perfectly süreklidir.

3.1. Sonuç

Bir f :

( )

X,

τ

→(Y,

ϕ

) fonksiyonu contra-

α

-sürekli ve ( Y ,ϕ) uzayı regüler ise;

f fonksiyonu süreklidir [17].

3.2. Uyarı

3.1. Sonuç ile verilen önermenin tersi genelde do ru de ildir. 3.3. Örnek görüntü

uzayı regüler bile olsa; süreklili in contra-

α

-süreklili i gerektirmek zorunda

olmadı ını gösterir.

3.1.Tanım

Bir ( X,τ ) topolojik uzayının her noktasının kompakt sınırları olan kümelerden

olu an bir kom uluk tabanı varsa; ( X,τ ) uzayına rim-kompakt uzay denir [17].

3. 4. Lemma

Her rim-kompakt Hausdorff uzayı regülerdir [34].

3. 2. Sonuç

(18)

rim-kompakt hem de Hausdorff uzayı ise; f fonksiyonu süreklidir [17].

3.2.Tanım

Bir ( X,τ) uzayında her genelle tirilmi kapalı küme kapalı ise; bu uzaya T1/2 uzayı

[22] denir.

3. 5. Lemma

τ

,

( X ) uzayı için a a ıdakiler denktir [8]:

(1) ( X,τ) uzayı, T1/2 uzayıdır;

(2) ( X,τ ) uzayının her gα -kapalı alt kümesi,

α

-kapalıdır.

3. 8. Teorem

( )

, ( , )

: X

τ

Y

ϕ

f → fonksiyonu contra- gα -sürekli ve ( X,τ), T₁_/₂ uzayı ise;

f fonksiyonu contra-

α

-süreklidir [17].

3. 9. Teorem

( )

, ( , )

: X

τ

Y

ϕ

f → fonksiyonu I.c.α-sürekli ve (α, s)-açık ise; f fonksiyonu

contra-

α

-süreklidir [17].

spat:

,

x X uzayının herhangi bir noktası olsun ve V∈C(Y, f(x)) olsun. Hipotez gere i

f fonksiyonu I.c.

α

-sürekli oldu undan; Int[ f(U)]⊂V olacak biçimde bir

) ,

(X x

(19)

) ( )

(U SO Y

f ∈ olur. Buradan f(U)⊂Cl(Int(f(U)))⊂Cl(V) elde edilir. Sonuç

olarak f fonksiyonu contra-

α

-süreklidir.

3. 10. Teorem

( )

, ( , )

: X

τ

Y

ϕ

f → fonksiyonunun contra-

α

-sürekli olması için gerek ve yeter art

her x∈ ve 'X x e yakınsayan her bir Λ süzgeç tabanı için, f(Λ) süzgeç tabanının

)'

(x

f e c-yakınsak olmasıdır [17].

spat:

: x∈ ve Λ , X X de ' x e '

α

-yakınsayan herhangi bir süzgeç tabanı olsun.

f fonksiyonu, contra-α-sürekli oldu undan herhangi bir V∈ϕt(Y, f(x))

için f(U)⊂V olacak ekilde U∈α(X,x) vardır. Λ 'x e

α

-yakınsak oldu undan,

U

B⊂ olacak ekilde bir B∈Λvardır. Dolayısıyla, f(B)⊂V yani f(Λ)’nın,

)'

(x

f e c-yakınsak oldu u elde edilir.

⇐: x∈X ve V∈ϕt(Y, f(x)) olsun. E er Λ ; U∈α(X,x) olacak ekilde tüm U

kümelerinin ailesi olarak alınırsa, Λ ailesi 'x e

α

-yakınsayan bir süzgeç tabanı olur.

Bu nedenle, f(U)⊂V olacak biçimde bir U∈Λ vardır.

3. 6. Lemma

( )

, ( , )

: X

τ

Y

ϕ

f → fonksiyonunun G(f) grafi i X× de contra-αY -kapalı olması

için gerek ve yeter art herbir (x,y)∈[(X×Y)−G(f)] için, f(U)∩V =∅ olacak

(20)

3.3. Tanım

(X,τ) topolojik uzayı verilsin. X in farklı her ' x ve y elemanları için N∈N(x)

ve M∈M(y) kom ulukları için ∋ N ∩ M =∅ ise (X,τ) uzayına Urysohn uzayı

denir.

3. 11. Teorem

( )

, ( , )

: X

τ

Y

ϕ

f → fonksiyonu, contra-

α

-sürekli ve ( Y ,ϕ) uzayı, Uryshon uzayı

ise; G(f), X × de contra-αY -kapalıdır [17] .

spat:

(x,y) ∈ [(XxY) – G(f)] olsun. O halde y≠ f(x) ve f(x)∈ ,V y∈W ve V ∩W =∅

olacak biçimde V ,W açık kümeleri vardır. f fonksiyonu, contra-

α

-sürekli

oldu undan; f(U)⊂Cl(V) olacak f(U)∩W =∅ biçimde bir U∈α(X,x) vardır.

Dolayısıyla, f(U)∩Cl(W)=∅ elde edilir. Bu ise; G(f)'nin contra-α-kapalı

oldu unu gösterir.

3. 12. Teorem

( )

, ( , )

: X

τ

Y

ϕ

f → fonksiyonu,

α

-sürekli ve ( Y ,ϕ) uzayı, T1 uzayı ise; G(f)

Y X× de contra-

α

-kapalıdır [17]. spat: )] ( ) [( ) ,

(x y ∈ X×Y −G f olsun. O halde y≠ f(x) ve f(x)∈ ,V y∉W olacak

ekilde bir V ⊂ açık kümesi vardır. f fonksiyonu, Y

α

-sürekli oldu undan

V V

(21)

ve (Y −V)∈C(Y,y)elde edilir. Bu ise; G(f)'nin X× de contra-Y

α

-kapalı oldu unu gösterir.

3. 13. Teorem

( )

, ( , )

: X

τ

Y

ϕ

f → fonksiyonu contra-α-kapalı bir grafi e sahipse; ( Y ,ϕ) uzayının

strongly S-kapalı K kümesinin ters görüntüsü ( X,τ ) uzayında

α

-kapalıdır [17].

spat:

Varsayalım ki K , (Y ,ϕ) uzayının strongly S-kapalı kümesi ve x∉ f−1(K) olsun.

O halde her k∈ için K (x,k)∉G(f) olur. 3.6. Lemma kullanılarak, f(U_k)∩V_k =∅

olacak ekilde U_k∈α(X,x) ve Vk∈C(Y,k) vardır. {K ∩Vkk∈K}, K alt uzayının

kapalı bir örtüsü oldu undan; K ⊂ Υ{V_kk∈K₁} olacak ekilde bir K₁⊂K sonlu alt

kümesi vardır. U = Ι{U_kk∈K₁} olsun. O halde, U∈α(X,x) ve f(U)∩ K =∅

olur. U∩ f−1(K)=∅ ve dolayısıyla x∉αCl(f−1(K)) olur. Bu ise; f−1(K)’nın

τ

,

( X ) uzayında α-kapalı oldu unu gösterir.

3. 14. Teorem

(Y ,ϕ) uzayı strongly S-kapalı bir uzay olsun. f :

( )

X,

τ

→(Y,

ϕ

)fonksiyonunun

contra-α-kapalı bir grafi i varsa; f fonksiyonu contra-α-süreklidir [17].

spat:

(Y ,ϕ) uzayı, strongly S-kapalı ve G(f) contra-

α

-kapalı olsun. Öncelikle ( Y ,ϕ)

uzayının bir açık kümesinin strongly S-kapalı oldu u gösterilmelidir. V ', Y nin bir

(22)

(H_α ⊂V) her α∈∇ için, H_α =K_α ∩Volacak ekilde ( X,τ) uzayının bir K _α

kapalı kümesi vardır. O halde, {K_α

α

∈∇}∪(Y −V) ailesi, (Y ,ϕ) uzayının kapalı

örtüsüdür. (Y ,ϕ) uzayı, strongly S-kapalı oldu undan Y =Υ{K_α

α

∈∇_o}∪(Y−V)

olacak ekilde ∇o ⊂∇ sonlu alt kümesi vardır. Dolayısıyla V =Υ{H_α

α

∈∇_o} elde

edilir. Bu ise; V nin strongly S-kapalı oldu unu gösterir. Bu durumda herhangi bir '

V açık kümesi için, 3.13.Teorem kullanılarak f−1(V)⊂ X

kümesinin ( X,τ)

uzayında

α

-kapalı ve dolayısıyla f fonksiyonunun, contra-

α

-sürekli oldu u elde

edilir.

3. 15. Teorem

( )

, ( , )

: X

τ

Y

ϕ

f → fonksiyonu contra-α-sürekli ve K ( X,τ ) uzayının

α

-kompakt

alt kümesi olsun. O halde f(K), (Y ,ϕ) uzayında strongly S-kapalıdır [17].

spat:

}

{H_α

α

∈∇ , f(K) uzayının kapalı kümelerinden olu an herhangi bir örtüsü olsun.

Her

α

∈∇ için, H_α =K_α ∩ f(K) olacak ekilde ( Y ,ϕ) uzayının bir K kapalı _α

kümesi vardır. Her bir x∈ için, K f(x)∈K_α₍_x₎olacak ekilde α(X)∈∇ vardır.

3.1.Teorem gere i f(U_x)⊂K_α₍_x₎ olacak biçimde bir U_x∈α(X,x) vardır.

{Uxx∈K}ailesi, K nın ' ( X,τ) uzayının

α

-açık alt kümelerinden olu an bir örtüsü

oldu undan K ⊂∪{Uxx∈Ko} olacak ekilde K kümesinin sonlu bir K alt kümesi o

vardır. Dolayısıyla, Υ{K_α₍_x₎

α

∈K_o} ailesinin alt kümesi olan

} ) ( { ) (K f Ux x Ko

f ⊂ Υ ∈ ailesi elde edilir. Buradan f(K)=Υ{Hα(x)x∈Ko} ve

(23)

3. 3. Sonuç

( )

, ( , )

: X

τ

Y

ϕ

f → fonksiyonu, contra-

α

-sürekli örten bir fonksiyon ve ( X,τ ),

α

-kompakt uzay ise; (Y,ϕ) uzayı strongly S-kapalıdır [17].

3. 16. Teorem

( )

, ( , )

: X

τ

Y

ϕ

f → fonksiyonu contra-

α

-sürekli, β-sürekli, örten bir fonksiyon ve

τ

,

( X ) uzayı, S-kapalı bir uzay ise; (Y,ϕ)uzayı kompakttır [17].

spat:

},

{V_α

α

∈∇ Y nin herhangi açık örtüsü olsun. O halde, ' {f−1(V_α):α∈∇} X in bir '

örtüsüdür. f fonksiyonu contra-

α

-sürekli, β-sürekli oldu undan; f−1(V_α) her

∇ ∈

α için, X ’de

α

-kapalı ve β-açıktır. Bu ise, {f−1(V_α)

α

∈∇} ailesinin S-kapalı

X uzayının regüler kapalı bir örtüsü olmasını gerektirir. O halde sonlu bir ∇0 ⊂∇

için, X =Υ{f−1(V_α)

α

∈∇_o} elde edilir. f fonksiyonu aynı zamanda örten

oldu undan; Y =Υ{Vα

α

∈∇o} olur. Bu ise ( Y ,ϕ) uzayının kompakt oldu unu

gösterir.

3. 4. Sonuç

S-kapalı uzayın contra-sürekli ve β-sürekli bir fonksiyon altındaki görüntüsü

(24)

3. 17. Teorem

( )

, ( , )

: X

τ

Y

ϕ

f → fonksiyonu; contra-

α

-sürekli, pre-sürekli, örten bir fonksiyon ve

τ

,

( X ), mildly kompakt uzay ise; (Y,ϕ) uzayı kompakttır [17].

spat:

},

{V_α

α

∈∇ Y nin herhangi bir açık örtüsü olsun. f fonksiyonu contra-α' -sürekli,

pre-sürekli oldu undan; 3.4. Teorem gere i {f−1(V_α):α∈∇},X in hem açık hem '

kapalı bir örtüsüdür ve Y nin kompakt oldu unu gösterecek biçimde sonlu bir '

∇ ⊂

∇0 alt kümesi vardır.

3. 5. Sonuç

Almost kompakt uzayın, contra-sürekli ve nearly sürekli bir fonksiyon altındaki görüntüsü kompakttır [7].

3. 4. Tanım

τ

,

( X ) topolojik uzay olsun. E er X kümesi bo tan farklı, iki kümenin birle imine

e it ise, ( X,τ) uzayına ba lantılı uzay denir.

3. 18. Teorem

τ

,

( X ) ba lantılı uzay ve (Y,ϕ) T₁-uzayı olsun. E er f :

( )

X,

τ

→(Y,

ϕ

) fonksiyonu,

(25)

spat:

) ,

(Y ϕ , T1-uzayı oldu undan, { ({ }) }

1 Y y y f ∈ = Ω − _τ ,

( X ) uzayının bir ayrık,

α

-açık parçalanı ıdır. E er Ω ≥2 ise,

α

-açık,

α

-kapalı W özalt kümesi vardır.

3.3. Lemma gere i W kümesi ( X,τ) ba lantılı uzayında hem açık hem kapalıdır. Bu

ise, bir çeli kidir. Dolayısıyla Ω =1 olup, f fonksiyonu sabittir.

3. 6. Sonuç

τ

,

( X ) ba lantılı uzay ve (Y,ϕ) T₁-uzayı olsun. E er; f :

( )

X,

τ

→(Y,

ϕ

) fonksiyonu

contra-sürekli ise; f fonksiyonu sabittir [9].

3.19. Teorem

E er f :

( )

X,

τ

→(Y,

ϕ

α

-sürekli, pre-sürekli, örten ve ( X,τ )

uzayı, ba lantılı ise; (Y,ϕ) uzayı ayrık olmayan uzaydır [17].

spat:

Varsayalım ki, 'Y nin bir V özalt kümesi var olsun. f fonksiyonu contra-α-sürekli

ve pre-sürekli oldu undan; f−1(V), X de '

α

-kapalı ve pre açıktır. Dolayısıyla

3.3. Lemma gere i; f−1(V), ( X,τ) uzayında hem açık hem kapalı ve özalt

kümedir. Bu ise ( X,τ ) uzayının ba lantılı olmasıyla çeli ir.

3. 20. Teorem

E er f :

( )

X,

τ

→(Y,

ϕ

α

-sürekli, örten ve ( X,τ) uzayı,

(26)

spat:

Varsayalım ki, ( Y ,ϕ) uzayı ba lantılı olmasın. O halde Y =V₁∪V₂ olacak biçimde

ayrık, açık, bo tan farklı V₁ ve V₂ kümeleri vardır. Dolayısıyla, V₁ ve V₂ kümeleri

'

Y de hem açık hem de kapalıdır. f fonksiyonu, contra-

α

-sürekli oldu undan;

) ( 1 1 V f− ve ( 2) 1 V

f− X de hem '

α

-kapalı hem de

α

-açıktır. Dolayısıyla 3.3. Lemma

gere i ( X,τ) uzayında hem açık hem de kapalıdır. Ayrıca; f−1(V₁) ile f−1(V₂)

bo tan farklı, ayrık kümeler olup, ( ) 1( ₂)

1 1 V f V f

X = − ∪ − e itli i sa lanır. Bu ise,

τ

,

( X ) uzayının ba lantılı olmadı ını gösterir.

3. 5. Tanım

τ

,

( X ) uzayında, her açık kümenin kapanı ı X e e it ise ' ( X,τ) uzayına

hyperba lantılı uzay denir [42] .

3.1. Önerme

Her hyperba lantılı uzay ba lantılıdır ancak tersi do ru de ildir [17].

3. 2. Uyarı

3.3. Örnek de ( X,τ) hyperba lantılı ve f :(X,τ)→(X,σ) contra-α-sürekli

örtendir, ancak (X,σ) hyperba lantılı de ildir. Bu ise hyperba lantılılık özelli inin

contra-

α

-sürekli, örten fonksiyonlar ile korunmadı ını gösterir.

( )

, ( , )

: X

τ

Y

ϕ

f → fonksiyonu verilsin. E er her x∈ veX f(x)∈V olan her V ⊂ Y

açık kümesi için, f(U)⊂Cl(V) olacak ekilde 'x i içeren bir U açık kümesi varsa;

f fonksiyonuna weakly süreklidir denir [22]. E er f :

( )

X,

τ

→(Y,

ϕ

) weakly

(27)

[22,Teorem 3]’de gösterilmi tir. Ancak, contra-α- süreklilik ile weakly süreklilik

birbirinden ba ımsızdır. Örnek 3.3 de f fonksiyonu contra-

α

- sürekli olup, weakly

sürekli de ildir. A a ıdaki örnek de ise her weakly sürekli fonksiyonun contra-

α

-

sürekli olmadı ı gösterilmi tir.

3. 8. Örnek (X,τ) topolojik uzay } , , , {a b c d X = ve τ ={X,{b},{c},{b,c},{a,b},{a,b,c},{b,c,d},∅} eklinde olmak üzere f :(X,τ)→(X,τ) fonksiyonu, f(a)=c, f(b)=d, f(c)=b, f(d)=a

biçiminde tanımlansın. Bu durumda f fonksiyonu, weakly süreklidir ancak

contra-α-sürekli de ildir[31]. Çünkü {a}⊂ X kapalıdır ve f−1({a})={d}(X,τ)da

α

-açık de ildir.

3. 21. Teorem

( )

, ( , )

: X

τ

Y

σ

f → fonksiyonu için a a ıdakiler denktir [30] :

(1) f fonksiyonu contra-γ -süreklidir;

(2) Y’nin her F kapalı alt kümesi için, f−1(F)∈B(X) dir;

(3) Her x∈ ve her X F∈C(Y, f(X)) için, f(U)⊆Folacak biçimde bir

) ,

(X x

BO

U∈ vardır;

(4) Her A⊂ alt kümesi için ,X f(γCl(A))⊂ker(f(A)) olur;

(5) Her B⊂ alt kümesi için, Y γCl(f−1(B))⊂ f−1(ker(B)) olur.

spat:

(28)

(3) (2): F, Y nin herhangi bir kapalı kümesi ve ' x∈ f−1(F) olsun. O halde F

x

f( )∈ dir ve f(U_x)⊂F olacak ekilde U_x∈γO(X,x) vardır. Dolayısıyla, X de '

γ -açık olan f−1(F)= Υ{U_x:x∈ f−1(F)} kümesini elde ederiz.

(2) (4):A,X'in herhangi bir alt kümesi olsun. Varsayalım ki y∉ker(f(A)) olsun.

O halde 3.1. Lemma gere i f(A)∩ F=∅ olacak ekilde F∈C(X,τ) vardır.

Buradan, A∩ f−1(F)=∅ ve γCl(A)∩ f−1(F)=∅ elde edilir. Dolayısıyla,

= ∩ F A Cl

f(γ ( )) ∅ ve y∉f(γCl(A)) olur. Bu ise f(γCl(A))⊂ker(f(A)) ifadesini

gerektirir. ) 5 ( ) 4

( : ,B Y nin herhangi bir alt kümesi olsun. 3.1. Lemma ve 3.21. Teorem '

gere i, f(γCl(f−1(B)))⊂ker(f(f−1(B)))⊂ker(B) ve γCl(f−1(B))⊂ f−1(ker(B))

elde edilir. : ) 1 ( ) 5

( V,Y'nin herhangi açık bir alt kümesi olsun. O halde, 3.1. Lemma gere i

) ( )) (ker( )) ( (f 1 V f 1 V f 1 V Cl − ⊂ − = −

γ elde edilir. Bu ise f−1(V)'nin X de ' γ-kapalı

oldu unu gösterir.

3.6.Tanım

( )

, ( , )

: X

τ

Y

ϕ

f → fonksiyonu verilsin. 'Y nin her açık alt kümesi X de ' γ -açık ise

f fonksiyonuna γ -süreklidir denir [3].

3. 3. Uyarı

A a ıdaki iki örnek γ -süreklilik ile contra-γ-süreklilik kavramlarının birbirinden

ba ımsız oldu unu gösterir [30].

(29)

} ,

{a b

X = ve τ ={X,{a},∅} ile ( X,τ ) topolojik uzayı ile Sierpinski uzayı

verilsin. f :(X,τ)→(X,τ) fonksiyonu, f(a)=b, f(b)=a eklinde tanımlansın.

f fonksiyonu contra-γ-sürekli ancak γ -sürekli de ildir. Çünkü

{a}∈

τ

için f−1({a})={b}∉γO(X,τ).

3.10. Örnek [30]

IR reel sayılar kümesi üzerinde U alı ılmı topoloji olmak üzere;

) , ( ) , ( : IRU IRU

I → birim fonksiyonu sürekli ve dolayısıyla γ -süreklidir. Ancak,

(0,1)’ in ters görüntüsü γ - kapalı de ildir ve f fonksiyonu contra-γ -sürekli

de ildir.

3. 22. Teorem

( )

, ( , )

: X

τ

Y

ϕ

f → fonksiyonu contra-γ -sürekli ve (Y,ϕ) uzayı regüler olsun. Bu

takdirde f fonksiyonu, γ -süreklidir [30].

spat:

'

, X

x in herhangi bir noktası ve V , f(x)'i içeren (Y,ϕ) uzayında herhangi bir açık

küme olsun. (Y,ϕ) uzayı, regüler oldu undan; Cl(G)⊂Volacak ekilde (Y,ϕ)

uzayında f(x)'i içeren bir G açık kümesi vardır. f fonksiyonu contra-γ -sürekli

oldu undan, 3.21. Teorem gere i f(U)⊂Cl(G)olacak biçimde bir U∈γ(X,x)

vardır. O halde, f(U)⊂Cl(G)⊂V elde edilir. Bu ise f fonksiyonun γ -sürekli

oldu unu gösterir.

3. 7. Sonuç

( )

, ( , )

: X

τ

Y

ϕ

(30)

f fonksiyonu süreklidir [30].

3. 4. Uyarı

3.7. Sonuç ile verilen önermenin tersi genelde do ru de ildir. A a ıdaki örnek;

de er uzayı regüler olsa bile; süreklili in contra-γ-süreklili i gerektirmedi ini

gösterir.

3.11. Örnek [30]

IR reel sayılar kümesi ile üzerinde tanımlanan alı ılmı topolojiden olu an topolojik

uzay (IR,U) olmak üzere; I:(IR,U)→(IR,U) birim fonksiyonu sürekli

dolayısıyla γ-süreklidir. Ancak, (0,1)’in ters görüntüsü γ -kapalı de ildir ve sonuç

olarak fonksiyon contra-γ -sürekli de ildir.

Herhangi bir (X,τ) uzayı için Andrijevic[1], τb’nin γO(X,τ) yu içeren en küçük

topoloji oldu unu göstermi tir. O halde, herhangi bir

( )

X,

τ

uzayı için,

( )

X b o τ τ γ τ ⊂ , ⊂ ba ıntıları sa lanır [1]. 3. 23. Teorem

( )

, ( , ) : X

τ

Y

σ

f → fonksiyonun contra-γ -sürekli olması için gerek ve yeter art

) , ( ) , ( : X τ Y σ

f _b → fonksiyonunun contra-sürekli olmasıdır [30].

3. 24. Teorem

( )

, ( , )

: X

τ

Y

ϕ

f → fonksiyonu, contra-γ -sürekli ve ( X,τ) γ -uzayı ise;

(31)

3.7. Tanım

Bir (X,τ) uzayı verilsin.X ’in her γ -açık kümesi X de kapalı ise ' (X,τ) uzayına

lokal γ -indiscrete (ayrık olmayan) uzay denir [30].

3. 25. Teorem

τ

,

( X ) lokal γ -indiscrete uzay olmak üzere; e er f :

( )

X,

τ

→(Y,

ϕ

)fonksiyonu

contra-γ -sürekli ise f fonksiyonu süreklidir [30].

3.8. Tanım

Bir (X,τ) uzayı verilsin. X ’in her yo un alt kümesi X ’de açık ise, ya da denk

olarak her pre-açık küme açık ise; (X,τ) uzayına submaximal uzay denir [39].

3.26. Teorem

α

τ

,

(X ) submaximal ise f :(X,τα)→(Y,ϕ) fonksiyonu contra-γ -sürekli olması

için gerek ve yeter art f fonksiyonunun contra-semi-sürekli olmasıdır [30].

3. 27. Teorem

( )

, ( , )

: X

τ

Y

ϕ

f → fonksiyonu için ( X,τ) extremally disconnected (oldukça

ba lantısız) ve submaximal ise a a ıdaki kavramlar e de erdir [30]:

Contra-süreklilik, contra-semi-süreklilik, contra-pre-süreklilik, contra-

α

-süreklilik,

(32)

spat:

) ,

(X τ extremally disconnected ve submaximal ise;

) , ( ) , ( ) , ( ) , ( τ τ β τ γ τ τ τ α X O X O X PO X SO = = = =

= olup ispatı açıktır.

3. 28. Teorem

( )

, ( , )

: X

τ

Y

σ

f → fonksiyonu contra-γ -sürekli olması için gerek ve yeter art her

X

x∈ ve 'x e γ -yakınsayan her β süzgeç tabanı için, f(β) süzgeç tabanının

)

(x

f ’e c-yakınsamasıdır [30].

spat:

: x∈ ve X β, X de ' x noktasına γ -yakınsayan bir süzgeç tabanı olsun.

f fonksiyonu contra-γ-sürekli oldu undan, herhangi bir V∈C(Y, f(x))için,

V U

f( )⊂ olacak ekilde bir U∈γO(X,x) vardır. β, x e ' γ -yakınsadı ından,

U

B⊂ olacak ekilde bir B∈β vardır. Dolayısıyla; f(B)⊂V ve f(β), f(x)'e

c-yakınsaktır.

⇐:x∈ ve X V∈C(Y, f(x)) olsun. β'yi, U∈γO(X,x) olacak ekilde tüm

U kümelerinin ailesi olarak alırsak, β 'x e γ -yakınsayan bir süzgeç tabanı olur.

Dolayısıyla, f(U)⊂V olacak biçimde bir U∈β vardır.

3.7. Lemma ) , ( , X τ X

A∈ _o uzayının alt kümeleri olsun. E er A∈γO(X,τ) ve Xo∈ταise;

)

( _o

o O X

X

(33)

3. 29.Teorem

( )

, ( , )

: X

τ

Y

ϕ

f → fonksiyonu contra-γ -sürekli ve U∈τα olmak üzere;

) , ( ) , ( : U

τ

Y

ϕ

f U U → kısıtlanı fonksiyonu da contra-γ -süreklidir [30].

spat:

3.7. Lemma gere i ispat direkt elde edilir.

3. 30.Teorem

E er f :

( )

X,

τ

→(Y,

ϕ

) fonksiyonu contra-γ -sürekli ve (Y,ϕ), Uryshon uzayı ise;

' ), (f X Y G × de contra-γ -kapalıdır [30]. spat: )] ( ) [( ) ,

(x y ∈ X×Y −G f olsun. O halde y≠ f(x)dir ve Cl(H₁)∩Cl(H₂)=∅ ve

2

1,

)

(x H y H

f ∈ ∈ olacak ekilde bir H1,H2 açık kümeleri vardır. Hipotez

gere i f(V)⊂Cl(H₁) olacak ekilde bir V∈γ(X,x) kümesi vardır. Sonuç olarak,

=

∩ ( )

)

(V Cl H₂

f ∅ elde edilir. Bu ise; G(f)'nin contra-γ -kapalı oldu unu gösterir.

3. 8. Lemma

Bir f :

( )

X,

τ

→(Y,

ϕ

) fonksiyonunun G(f) grafi inin X× de contra-Y γ -kapalı

olması için gerek ve yeter art her bir (x,y)∈ [X × –Y G(f)]için, f(U)∩V =∅

(34)

3. 31. Teorem

( )

, ( , )

: X

τ

Y

ϕ

f → fonksiyonu γ -sürekli ve (Y,ϕ) uzayı, T₁ ise; G(f), X× de Y

contra-γ -kapalıdır [30]. spat: ) ( ) ( ) ,

(x y ∈ X×Y −G f olsun. O halde, f(x)∈V ve y∉ olacak ekilde bir V V ⊂ Y

açık kümesi vardır ve f(x)≠ y olur. f fonksiyonu, γ -sürekli oldu undan;

V U

f( )⊂ olacak biçimde U∈γ(X,x) vardır. Bu nedenle, f(U)∩(Y −V)=∅ ve

(Y−V)∈ϕt(Y,f(x))

elde edilir. Bu ise, G(f)'nin X × de contra-Y' γ-kapalı

oldu unu gösterir.

3. 32. Teorem

( )

, ( , )

: X

τ

Y

ϕ

f → fonksiyonu, contra-γ -sürekli ve g:(Y,ϕ)→(Z,σ)fonksiyonu,

sürekli ise; gοf :(X,τ)→(Z,σ) bile ke fonksiyonu contra-γ -süreklidir [30].

3.9. Tanım

Bir f :

( )

X,

τ

→(Y,

ϕ

) fonksiyonu verilsin. E er,

(1) (Y,ϕ) uzayındaki her γ -açık kümenin ters görüntüsü (X,τ) uzayında γ-açık

ise; f fonksiyonuna γ -irresolute (çözümsüz) denir [3].

(2) (X,τ) uzayındaki her γ-açık kümenin görüntüsü (Y,ϕ) uzayında γ-açık ise; f

(35)

3. 33. Teorem

( )

, ( , )

: X

τ

Y

ϕ

f → fonksiyonu örten, γ -irresolute, pre-γ -açık bir fonksiyon ve

) , ( ) , ( : Y ϕ Z σ

g → herhangi bir fonksiyon olsun. Bu durumda;

) , ( ) , ( : X τ Z σ f

gο → bile ke fonksiyonunun contra-γ -sürekli olması için gerek ve

yeter art, g fonksiyonunun contra-γ -sürekli olmasıdır [30].

spat:

Yeter art a ikar oldu undan gerek artın ispatı yapılır. gοf :(X,τ)→(Z,σ)

bile ke fonksiyonu contra-γ -sürekli ve F ⊂ kapalı bir küme olsun. O halde, Z

) , ( ) ( )

(gοf −1 F ∈γ X τ , X in ' γ -açık bir alt kümesidir.

Yani, 1( 1( ))

F g

f− − γ -açıktır. f fonksiyonu pre-γ -açık oldu undan,

) , ( ))) ( ( (f 1 g 1 F γ X ϕ

f − − ∈ . Dolayısıyla, g−1(F)⊂Y , γ -açıktır. Sonuç olarak

g fonksiyonu contra-γ -süreklidir.

3. 9. Lemma

( )

, ( , )

: X

τ

Y

ϕ

f → fonksiyonunun G(f) grafi inin X × de contra-pre-kapalı Y

olması için gerek ve yeter art herbir (x,y)∈[(X×Y)−G(f)] için, f(U)∩V =∅

olacak ekilde U∈PO(X,x) ve V∈ϕt(Y, f(x)) var olmasıdır [30].

3. 34. Teorem

( )

, ( , )

: X

τ

Y

ϕ

f → fonksiyonu, contra-pre-sürekli ve (Y,ϕ) uzayı Uryshon ise;

),

(f

(36)

spat: )] ( ) [( ) , (x y ∈ X×Y −G f olsun. O halde y≠ f(x) ve Cl(W)∩Cl(V)=∅, f(x)∈V , W

y∈ olacak ekilde V ,W ∈ kümeleri vardır. f fonksiyonu contra-pre-sürekli ϕ

oldu undan; f(U)⊂Cl(V) olacak ekilde bir U∈PO(X,x) vardır. Dolayısıyla,

=

∩ ( )

)

(U Cl W

f ∅ elde edilir. Bu ise; G(f)'nin contra-pre-kapalı oldu unu gösterir.

3. 35. Teorem

) ,

(X τ submaximal olmak üzere; e er f :

( )

X,

τ

→(Y,

ϕ

) fonksiyonunun

contra-pre-kapalı bir grafi i varsa, (Y,ϕ) uzayının strongly S-kapalı K alt

kümesinin ters görüntüsü f−1(K), (X,τ) uzayında kapalıdır [18].

spat:

K , (Y,ϕ) uzayının strongly S-kapalı bir alt kümesi ve 1( )

K f

x∉ − olsun. O halde

her k∈ için, K (x,k)∉G(f) olur. 3.8. Lemma gere i, f(U_k)∩V_k =∅ olacak

biçimde U_k∈PO(X,x) ve V_k∈C(Y,k) vardır. {K∩V_kk∈K} ailesi, K alt

uzayının kapalı bir örtüsü oldu undan; K ⊂ Υ{V_kk∈K₁} olacak biçimde sonlu bir

K

K1⊂ vardır. U = Ι{Ukk∈K1} alınırsa; (X,τ) uzayı; submaximal oldu undan;

τ

∈

U olur. O halde, f(U)∩ K =∅ ve U∩ f−1(K)=∅ olur. Bu ise, f−1(K)⊂ X

kümesinin (X,τ) uzayında kapalı oldu unu gösterir.

3. 8. Sonuç

E er (X,τ) uzayı, submaximal ve (Y,ϕ) uzayı; strongly S-kapalı, weakly Hausdorff

(37)

(1) f fonksiyonu, contra-pre-süreklidir;

(2) G(f) fonksiyonu, contra-pre-kapalıdır;

(3) (Y,ϕ)uzayının her strongly S-kapalı kümesinin ters görüntüsü (X,τ) uzayında

kapalıdır; (4) f :

( )

X,

τ

→(Y,

ϕ

) fonksiyonu, contra-süreklidir. spat: ) 2 ( ) 1

( [14, Teorem 3.7.]’de her S-kapalı weakly, Hausdorff uzayının extremally

disconnected oldu u gösterilmi tir. Strongly S-kapalı uzay, S-kapalı oldu undan; )

,

(Y ϕ uzayı extremally disconnected ve bundan dolayı (Y,ϕ) uzayının her regüler

kapalı kümesi hem açık hem kapalıdır. Bu ise (Y,ϕ) uzayının Uryshon oldu unu

gösterir. Dolayısıyla 3.34 Teorem gere i,G(f) contra-pre kapalıdır.

: ) 3 ( ) 2

( 3.35 Teorem ile verilen ifadenin bir sonucudur.

) 4 ( ) 3

( : Öncelikle, (Y,ϕ) uzayının bir açık kümesinin strongly S-kapalı oldu u

gösterilmelidir. V , (Y,ϕ) uzayının açık bir alt kümesi ve {H_α

α

∈∇} V alt

uzayının H kapalı kümelerinden olu an bir örtüsü olsun. Her bir _α α∈∇ için,

V K

H_α = _α∩ olacak biçimde bir K_α ⊂X kapalı kümesi vardır. O halde,

[{K_α

α

∈∇}∪(Y −V)}] ailesi, (Y,ϕ) uzayının kapalı bir örtüsüdür. (Y,ϕ) uzayı,

strongly S-kapalı oldu undan, Y =Υ{K_α

α

∈∇_o}∪(Y −V) olacak biçimde sonlu bir

∇ ⊂

∇o alt kümesi vardır. Dolayısıyla, V =(Υ{Kα

α

∈∇o})∩V =Υ{Hα

α

∈∇o}

elde edilir. Bu ise; V nin strongly S-kapalı oldu unu gösterir. O halde her V açık '

kümesi için (3) gere i 1( )

V

f− ,(X,τ) uzayında kapalıdır ve dolayısıyla

(38)

3.36. Teorem

( )

, ( , )

: X

τ

Y

ϕ

f → fonksiyonu, contra-pre-sürekli ve K, (X,τ) uzayında göre

strongly kompakt bir küme ise; f(K), (Y,ϕ) uzayında strongly S-kapalıdır [18].

spat:

}

{H_α

α

∈∇ , f(K) alt uzayının kapalı kümelerinden olu an bir örtüsü olsun. Her bir

∇ ∈

α için, H_α =K_α ∩ f(K)olacak ekilde (Y,ϕ) uzayının bir K kapalı alt _α

kümesi vardır. Her bir x∈ için, K f(x)∈Kα(x)olacak ekilde α(x)∈∇ ve

) ( )

(U_x K _x

f ⊂ _α olacak ekilde bir U_x∈PO(X,x) vardır. {U_xx∈K} ailesi, K nın '

pre-açık bir örtüsü oldu undan; K ⊂ Υ{U_xx∈K} olacak ekilde sonlu bir

K

Ko ⊂ alt kümesi vardır. Buradan, Υ{Kα(x)

α

∈Ko}'ın bir alt kümesi olan

} ) ( { ) (K f U_x x K_o

f ⊂ Υ ∈ elde edilir. Dolayısıyla, f(K)=Υ{H_α₍_x₎ x∈K_o}ve

buradan f(K)'nın strongly S-kapalı oldu u elde edilir.

3. 9. Sonuç

( )

, ( , )

: X

τ

Y

ϕ

f → fonksiyonu; contra-pre-sürekli, örten ve (X,τ) uzayı, strongly

kompakt ise; (Y,ϕ) uzayı, strongly S-kapalıdır [18].

3. 37. Teorem

( )

, ( , )

: X

τ

Y

ϕ

f → fonksiyonunun RC -sürekli olması için gerek ve yeter art

(39)

spat

: Her RC -sürekli fonksiyon contra-süreklidir ve böylece contra pre-süreklidir.

Her regüler kapalı küme semi-açık oldu undan; her RC -sürekli fonksiyon semi

süreklidir.

⇐: 'Y nin her V açık kümesi için, f−1(V) X de pre-kapalı ve semi-açıktır. O halde '

))) ( ( ( ) ( ))) ( ( (Int f 1V f 1 V Cl Int f 1 V Cl − ⊂ − ⊂ −

elde edilir. Dolayısıyla; Cl(Int(f−1(V)))= f−1(V) ve f fonksiyonunun RC -sürekli

oldu u elde edilir.

3. 38.Teorem

( )

, ( , )

: X

τ

Y

ϕ

f → fonksiyonu; RC-sürekli, örten ve (X,τ) uzayı, S-kapalı ise;

) ,

(Y ϕ uzayı, kompakttır [18].

spat:

}

{V_α

α

∈∇ , (Y,ϕ) uzayının açık bir örtüsü olsun. O halde {f 1(V ∈∇o}

−

_α

α , (X,τ)

uzayının regüler kapalı bir örtüsüdür ve ∇ nın bazı ' ∇ sonlu alt kümeleri için o

} )

(

{f 1 V _o

X =Υ − _α

α

∈∇ elde edilir. f fonksiyonu örten oldu undan;

}

{V o

Y =Υ _α

α

∈∇ ve dolayısıyla (Y,ϕ) uzayı kompakt olur.

3. 39. Teorem

( )

, ( , )

: X

τ

Y

ϕ

f → fonksiyonunun perfectly sürekli olması için gerek ve yeter art

(40)

spat:

: A ikardır.

⇐: f fonksiyonu contra-pre-sürekli ve

α

-sürekli olsun. V kümesi, (Y,ϕ) uzayının

açık bir alt kümesi olsun. O halde f−1(V), (X,τ) uzayında pre-kapalı ve

α

-açıktır.

Dolayısıyla, ))) ( ( ( ))) ( ( ( ( ) ( ))) ( ( ( )))) ( ( ( ( 1 1 1 1 1 V f Int Cl V f Int Cl Int V f V f Int Cl V f Int Cl Int − ⊂ − ⊂ − ⊂ − ⊂ −

elde edilir. Bu ise, 1( )'

V

f− nin (X,τ) uzayında hem açık hem kapalı oldu unu

gösterir. Sonuç olarak f fonksiyonu, perfectly süreklidir.

3.4.Uyarı

Contra-pre-süreklilik ve

α

-süreklilik kavramları birbirinden ba ımsızdır [18].

3.10. Sonuç

( )

, ( , )

: X

τ

Y

ϕ

f → fonksiyonu için a a ıdakiler denktir [7]:

(1) f fonksiyonu, perfectly süreklidir;

(2) f fonksiyonu, sürekli ve contra süreklidir;

(3) f fonksiyonu,

α

-sürekli ve contra süreklidir.

3.40.Teorem

( )

, ( , )

: X

τ

Y

ϕ

f → fonksiyonu; perfectly, sürekli, örten ve (X,τ) uzayı, mildly

kompakt ise; (Y,ϕ) uzayı, kompakttır [18].

spat

( )

, ( , )

: X

τ

Y

ϕ

(41)

kompakt olsun. {V_α

α

∈∇} ailesi, (Y,ϕ) uzayının açık bir örtüsü olsun. O halde }

{V_α

α

∈∇ , X in hem açık hem kapalı bir örtüsüdür. ' (X,τ) uzayı, mildly kompakt

oldu undan; X =Υ{f−1(V_α)

α

∈∇_o} olacak biçimde ∇ nın sonlu bir ' ∇ alt kümesi _o

vardır. f fonksiyonu, örten oldu undan; Y =Υ{V_α

α

∈∇_o} ve (Y,ϕ) uzayı kompakt

olur.

3. 11. Sonuç

Bir almost kompakt uzayın contra sürekli ve pre-sürekli fonksiyon altındaki görüntüsü kompakttır [7].

3. 10 .Tanım

Bir (X,τ) uzayında X bo tan farklı iki pre-açık kümenin birle imi biçiminde ifade

edilemiyorsa (X,τ) uzayına pre-ba lantılı uzay denir [37].

3. 41. Teorem

) ,

(X τ uzayı, pre-ba lantılı ve (Y,ϕ) uzayı T1 olsun. E er f :

( )

X,

τ

→(Y,

ϕ

)

fonksiyonu contra-pre-sürekli ise; f fonksiyonu sabittir [17].

spat: ) , (Y ϕ T1 uzayı olsun. { ( ) } 1 Y y y f ∈ = −

υ

, X in ayrık pre-açık bir parçalanı ı '

olsun. E er

υ

≥2 ise, X bo tan farklı iki pre-açık kümenin birle imidir.