Bazı özel sayı dizilerini ve binomial katsayıları içeren denklikler

KOCAELİ ÜNİVERSİTESİ

FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ

MATEMATİK ANABİLİM DALI

DOKTORA TEZİ

BAZI ÖZEL SAYI DİZİLERİNİ VE BİNOMİAL KATSAYILARI

İÇEREN DENKLİKLER

SİBEL KOPARAL

i

ÖNSÖZ VE TEŞEKKÜR

Sayılar teorisi sayılar arasındaki ilişki, bu ilişkiler arasındaki estetik ile ilgi çekmiş matematiğin en eski alanlarından biridir ve bu alandaki çalışmalara farklı bir derinlik kazandırmıştır. Harmonik sayılar, Catalan sayıları, Fibonacci sayıları, Lucas sayıları, Pell sayıları ve Pell-Lucas sayıları, sayılar teorisinin en ilgi çekici sayılarından bazılarıdır. Bu sayılar kombinatorik, analiz ve sayılar teorisi uygulamalarında oldukça önemlidir. Bu çalışmada binom katsayıları ile bu özel sayıları içeren toplamların denklikleri bulunmuştur. Elde edilen bu sonuçlar yeni incelemelere öncülük edecektir.

Çalışmalarım boyunca beni yönlendiren ve yardımlarını esirgemeyen değerli hocam Sayın Doç. Dr. Neşe ÖMÜR' e sonsuz saygı ve teşekkürlerimi sunarım.

Ayrıca hayatım boyunca beni yalnız bırakmayan, bana maddi ve manevi olarak destek olan sevgili aileme sevgi ve minnetlerimi sunarım.

Doktora öğrenim süreci içinde TÜBİTAK Yurtiçi doktora burs programının bir bursiyeri olarak TÜBİTAK’a da vermiş olduğu destekten ötürü teşekkürlerimi sunarım.

Nisan-2018 Sibel KOPARAL

ii İÇİNDEKİLER ÖNSÖZ VE TEŞEKKÜR ... i İÇİNDEKİLER ... ii ŞEKİLLER DİZİNİ ... iii TABLOLAR DİZİNİ ... iv SİMGELER VE KISALTMALAR DİZİNİ... v ÖZET... vi ABSTRACT ... vii GİRİŞ ... 1 1. GENEL BİLGİLER ... 2

2. HARMONİK SAYILAR İLE GENELLEŞTİRİLMİŞ FİBONACCİ VE LUCAS SAYILARINI İÇEREN DENKLİKLER ... 24

3. BİNOM KATSAYILARI, HARMONİK SAYILAR VE FİBONACCİ SAYILARINI İÇEREN DENKLİKLER... 37

4. Bn,k GENELLEŞTİRİLMİŞ CATALAN SAYILARINI İÇEREN DENKLİKLER ... 79

5. SONUÇLAR VE ÖNERİLER ... 90

KAYNAKLAR ... 91

KİŞİSEL YAYINLAR VE ESERLER ... 94

iii

ŞEKİLLER DİZİNİ

iv

TABLOLAR DİZİNİ

v

SİMGELER VE KISALTMALAR DİZİNİ

I : İndis kümesi

: Doğal sayılar kümesi



: Pozitif tamsayılar kümesi : Tamsayılar kümesi : Rasyonel sayılar kümesi

p : p- sel tamsayılar kümesi

 

p x : Katsayıları p de olan polinom halkası

n

{U (A, B)} : Genelleştirilmiş Fibonacci dizisi

n

{V (A,B)} : Genelleştirilmiş Lucas dizisi

 

Fn : Fibonacci dizisi

 

Ln : Lucas dizisi

 

Pn : Pell dizisi

 

Qn : Pell-Lucas dizisi n H : Harmonik sayı n,m

H : m. mertebeli harmonik sayı

n

C : Catalan sayı

 m n

C : m. mertebeli Catalan sayısı

n,k

B : Genelleştirilmiş Catalan sayısı

 : Denk  : Denk değil a b : a böler b a | b : a bölmez b a p       : Legendre sembolü

 

p q a : Fermat oranı n! :

n

faktöriyel n k       : Binom katsayısı m n : Azalan faktöriyel     : Alttan sınır

vi

BAZI ÖZEL SAYI DİZİLERİNİ VE BİNOMİAL KATSAYILARI İÇEREN DENKLİKLER

ÖZET

Bu tezde, binom katsayıları ve bazı özel sayılarla ifade edilen toplamların denklikleri incelenmiştir. İlk olarak literatürde var olan bu özel sayıların tanımları ve bu sayıları içeren denklikler verilmiştir. Daha sonra bazı kombinatoral özdeşlikler kullanılarak genelleştirilmiş Fibonacci ve Lucas sayıları ile harmonik sayıları içeren toplamlar için bazı ilginç denklikler ele alınmıştır. Ayrıca p tek asal sayı ve x bir p - sel tamsayı olmak üzere binom katsayısı ile harmonik sayıları içeren ve harmonik ile Catalan sayılarını içeren toplamlar için de p moduna göre denklikler hesaplanmıştır. p asal sayı olmak üzere genelleştirilmiş Catalan sayılarını içeren alterne ve azalan faktöriyelli toplamların 2

p modunda denklikleri verilmiştir. Son olarak, sonuç ve öneriler verilmiştir.

Anahtar Kelimeler: Binom Katsayıları, Denklik, Fibonacci Sayıları, Harmonik

vii

ON CONGRUENCES INVOLVING SOME SPECIAL NUMBER SEQUENCES AND BINOMIAL COEFFICIENTS

ABSTRACT

In this thesis, congruences given by the sums including binomial coefficients and some special numbers are examined. Firstly, the definitions of these special numbers and the congruences containing these numbers are given which was in literature. Using combinatorial identities, some interesting congruences are investigated for the sums which include harmonic numbers and generalized Fibonacci and Lucas numbers. Further, for an odd prime p and p - adic integer x, the congruences including harmonic and Catalan numbers and the congruences including binomial coefficients and harmonic numbers are calculated. The congruences of the alternating sums and the sums with decreasing factorials including the generalization Catalan

numbers are researched in modulo 2

p . Finally, some conclusions and

recommendations are given.

Keywords: Binomial Coefficients, Congruence, Fibonacci Numbers, Harmonic

1

GİRİŞ

Bu tezde bazı özel sayıların toplamlarının p veya p2 moduna göre denklikleri elde edilerek bu denklikler ile ilgili farklı sonuçlar verildi.

Bu tez genel bilgiler, harmonik sayılar ile genelleştirilmiş Fibonacci ve Lucas sayılarını içeren denklikler, binom katsayıları, harmonik sayılar ve Fibonacci sayılarını içeren denklikler, B_p,k genelleştirilmiş Catalan sayılarını içeren denklikler ile sonuçlar ve öneriler olmak üzere beş bölümden oluşmaktadır.

Birinci bölüm, diğer bölümlere kaynak teşkil edecek bazı temel bilgileri içermektedir. Bu bölümde genelleştirilmiş Fibonacci ve Lucas dizileri ve bazı özel diziler tanıtıldı. Harmonik sayılar, Catalan sayıları gibi bazı özel sayılar ve bu özel sayılarla ilgili literatür araştırması yapılarak konu ile ilgili çalışmaların özetleri verildi.

İkinci bölümde, genelleştirilmiş Fibonacci ve Lucas sayıları ile harmonik sayıları içeren toplamların p moduna göre denklikleri verildi. Ayrıca Sun Z.W. tarafından

verilen p > 5 olacak şekilde asal sayı ve ω= 1- 5 /2

p           olmak üzere

 

_

_

p-1 k+ω k k k=0 U 1,4 H 0 mod p 2 



denkliği genelleştirilmiştir.

Üçüncü bölümde, harmonik ve Catalan sayılarının toplamlarının p veya 2

p moduna

göre denklikleri verildi. Ayrıca bu denkliklerin sonucu olarak Fibonacci, Lucas, Pell ve Pell-Lucas sayılarını içeren denklikler elde edildi.

Dördüncü bölümde, p asal sayı olmak üzere Bp,k genelleştirilmiş Catalan sayılarını

içeren alterne ve azalan faktöriyelli toplamların yeni denklikler elde edildi.

Beşinci bölümde ise elde edilen sonuçlar ve daha sonraki çalışmalar için öneriler verildi.

2

1. GENEL BİLGİLER

Leonardo of Pisa (Fibonacci)’ nin 1202 yılında Liber Abaci ismiyle basılan kitabında basit bir tavşan problemi olarak ele alınan Fibonacci sayı dizisinin bugüne kadar birçok ilginç özellikleri ortaya çıkarılmış ve her geçen gün yeni özellikleri ve diğer birçok matematiksel yapılarla olan ilgisi de çıkarılmaya devam edilmektedir. Ayrıca Horadam tarafından bu dizinin genelleştirilmesi aşağıdaki şekilde verilmiştir [1]. Tanım 1.1: n  ve A, B için



U_n



A,B





genelleştirilmiş Fibonacci dizisi ve







V A,Bn



genelleştirilmiş Lucas dizisi, başlangıç koşulları U0



A,B =0



,





1

U A,B =1 ve V A,B =20





, V A,B =A1





olmak üzere, sırasıyla













n+1 n n-1

U A,B =AU A,B - BU A,B

ve













n+1 n n-1

V A,B =AV A,B - BV A,B tekrarlama bağıntılarıyla tanımlanır.

Genelleştirilmiş Fibonacci ve Lucas dizilerinin karakteristik denklemi x -Ax+B=02

şeklinde olup _{Δ=A -4B olmak üzere bu denklemin kökleri} 2





A+ Δ a A,B = 2 ve





A- Δ b A,B = 2

dir.



U_n



A,B





ve



V A,B_n







dizilerinin Binet formülleri bu kökler yardımıyla, sırasıyla









_





_{ }





_





n n n a A,B - b A,B U A,B = a A,B -b A,B ve

3













n









n n

V A,B = a A,B + b A,B

şeklinde verilir.







Un A,B



ve



V A,Bn







dizilerinin tekrarlama bağıntısında A=1 , B= -1 alınırsa,

sırasıyla

 

F_n Fibonacci dizisi ve

 

L_n Lucas dizisi elde edilir. Hatta Fibonacci ve Lucas dizilerinin karakteristik denkleminin kökleri

 

1+ 5 α= a 1,-1 = 2 ve

 

1- 5 β= b 1,-1 = 2

şeklinde olup bu dizilerin Binet formülleri sırasıyla

n n n α -β F = α-β ve n n n L =α +β

olarak elde edilir [2].







Un A,B



ve



V A,Bn







dizilerinin tekrarlama bağıntısında A=2, B=-1 alınırsa,

sırasıyla

 

Pn Pell dizisi ve

 

Qn Lucas dizisi elde edilir. Ayrıca Pell ve

Pell-Lucas dizilerinin karakteristik denkleminin kökleri

 

δ=a 2,-1 =1+ 2 ve γ=b 2,-1 =1- 2

 

olup Binet formülleri sırasıyla

n n n δ - γ P = δ-γ ve n n n Q =δ +γ

olarak elde edilir [3].

Tanım 1.2: a,b _ve a 0 olmak üzere b=k.a olacak şekilde bir k tamsayısı varsa “a böler b dir” denir ve a b şeklinde gösterilir. Eğer bu eşitliği sağlayacak bir

k yoksa “a bölmez b dir” denir ve a | b şeklinde gösterilir [4].

Tanım 1.3: n \ 1

 

ve a,b olmak üzere, eğer n | a-b ise

 

a ile b mod _{n ye} göre denktir denir ve bu

4





ab mod n

şeklinde gösterilir. Aksi halde, n | a-b

 

ise a ile b mod n ye göre denk değildir denir ve





ab mod n

şeklinde gösterilir [4].

Tanım 1.4: a ve p, p | a olacak şekilde tek bir asal sayı olsun. O zaman





2

x a mod p

denkliğinin bir çözümü varsa a’ ya p denkliğine göre ikinci dereceden kalan denir.

Eğer bu denkliğin hiçbir çözümü yoksa bu durumda a ya p denkliğine göre ikinci

dereceden kalan değil denir. Bu tanım Legendre sembolü ile





0 a 0 mod p ,

a

1 a, p denkliğine göre ikinci dereceden kalan ise,

p

-1 a, p denkliğine göre ikinci dereceden kalan değil ise

    _{ }       olarak tanımlanır [4].

Tanım 1.5: p _{bir asal sayı olsun. n herhangi bir tamsayısı, 0 i k}  için





i a  0,1,..., p-1 olmak üzere 2 k 0 1 2 k n = a + a p+ a p + ... + a p

şeklinde p tabanında yazılır [5].

Örnek: 453 sayısı 7 tabanında

2 3

453 5 1.72.7 1.7

olarak yazılır.

p -sel sayılar ilk olarak Hensel K. tarafından 19. yüzyıl sonlarında bulunmuştur. Üzerinden yüzyıl geçmesine rağmen, bu sayılar hala gizemini korumaktadır. p -sel sayılar, sayılar teorisi, cebirsel geometri, cebirsel topoloji, analiz gibi alanların

5

yanında fizik ve diğer bilim dallarında da kullanılmaktadır. Son yıllarda p -sel sayılar, birçok bilim adamının ilgisini çekmiştir ve bu sayılar üzerine yazılmış birçok kitap ve makale bulunmaktadır [6,7]. Şimdi, p-sel tamsayılar hakkında biraz bilgi verelim.

Şekil 1.1. 436 sayısının 3-sel gösterimi 436 sayısı 3 tabanında 0 1 2 3 4 5 436 1.3 1.3 0.3 1.3 2.3 1.3 olarak yazılır. 0 4361.3 1 mod 3 0 1 2 4361.3 1.3 4 mod 3

6 0 1 2 3 436 1.3 1.3 0.3 4 mod 3 0 1 2 3 4 436 1.3 1.3 0.3 1.3 31 mod 3 0 1 2 3 4 5 436 1.3 1.3 0.3 1.3 2.3 193 mod 3 6 436436 mod 3 7 436436 mod 3

şeklinde duraklardan oluşmaktadır.

iI için 0a_i p-1 _{olmak üzere sonsuz sayı dizisi,}

0 a mod p , 2 0 1 a +a p mod p ,

...

2 k-1 k 0 1 2 k-1

a +a p+a p +...+a p mod p ,

...

duraklarından oluşur. Atılan her k k

a p adımı bizi bir önceki duraktan bir sonraki durağa götürür ve bu böyle devam eder. Buradaki ak katsayısı k-inci adımda

önümüze çıkan p tane yoldan hangisinin seçileceğini söyler. Bu sonsuz yol,



2 k-1 k



0 1 2 k-1 _k

a +a p+a p +...+a p mod p

dizisi olarak gösterileceği gibi, sadece simgesel bir anlamı olan

2 k

0 1 2 k

a +a p+a p +...+a p +...

şeklinde seri olarak da gösterilebilinir. O zaman, bu serinin kısmi toplamları

2 k-1 k

0 1 2 k-1

a +a p+a p +...+a p mod p

7 Eğer xk doğal sayısını

2 k

k 0 1 2 k

x =a +a p+a p +...+a p

olarak tanımlanırsa, o zaman her k için,



k+1



k k+1

x x mod p

denklikleri geçerli olur ve bu sonsuz yol kısaca

 

xk k

dizisi olarak da gösterilir.

Tanım 1.6: p bir asal sayı olmak üzere, bir p-sel tamsayı,



k+1



k k+1

x x mod p

(1.1) denkliklerinin geçerli olduğu



k+1



k _k

x mod p

dizisidir.

Denklik (1.1)’den dolayı, her k için,

k+1 k+1 k k+1

x =x +a p

eşitliğini sağlayan bir a_k+1 vardır. Burada x =a +a p+a p +...+a p_{k 0 1 2} 2 _k k olduğundan

k+1 k

0x < p dir ve böylece 0a_k+1<p olarak alınabilir. O halde x₀’ a a₀ denilirse,

i

0a < p eşitsizliklerini sağlayan a_i tamsayıları için

0 0 x =a , 1 0 1 0 1 x = x +a p = a +a p , 2 2 2 1 2 0 1 2 x =x +a p a +a p+a p , 3 2 3 3 2 3 0 1 2 3 x =x +a p a +a p+a p a p ,

...

k 2 k k k-1 k 0 1 2 k x = x +a p = a +a p+a p +...+a p ,

...

8

dır. Dolayısıyla, p-sel tamsayı 0a < p_i olmak üzere

2 3 k

0 1 2 3 k

a = a + a p + a p + a p +...+a p 

gibi sonsuz bir toplam olarak da tanımlanır. Bu sonsuz toplam,



2 k k+1



0 1 2 k _k

a +a p+a p +...+a p mod p

p-sel tamsayısı anlamına gelir. p-sel tamsayılarının oluşturduğu küme _p ile gösterilir. p de alınan keyfi





k+1 k _k a= a mod p ve



_k k+1



k

b= b mod p elemanları için

p p p :    ve : _p _p  _p



k+1



k k _k ab = a + b mod p ve



k+1



k k _k a b = a b mod p

işlemleri ile p, , değişmeli ve birimli bir halkadır [8].

Tanım 1.7: Her iI için H_i değişmeli ve birim elemanlı bir halka olsun. Her i,i'I

öyle ki ii' _için

i'

i i' i

f : H H

halka homomorfizmaları aşağıdaki koşulları sağlıyorsa



_{i i}i' _i'



i i,i' I

H ; f : H H





sistemine izdüşümsel sistem denir.



i

i

i H i i

f id : H H birim dönüşüm,

 i,i',i''I : i i' i'' için

i'' i' i' i f f i'' i i'' i' i f : H H H dır [9]. Örnek 1.1: 2 3 n-1 n 2 n-1 n 0 0 1 0 1 2 0 1 n-1 0 1 n / p / p / p / p / p a a +a p a +a p+a p a +a p+ +a p a +a p+ +a p           dır [9].

9 Tanım 1.8:

 

 

i-1 i i i ij j 0 1 i-1 i x π x = x x p+...+x p , i j p        



 (1.2)

kümesine izdüşümsel limit denir ve i

lim / p ile gösterilir [5].

p ile

i

lim / p arasında birebir ve örten dönüşüm olduğundan

i p lim / p

dir [5].

Şimdi, p- sel tamsayılarla ilgili birkaç örnek verelim.

Uyarı:   _p,  _p a a, b , p| b b          dir [5,10].

Örnek 1.2: -1 bir p- sel tamsayıdır. Gerçekten,

     

2

 

3 -1= p-1 + p-1 p+ p-1 p + p-1 p + dir. Örnek 1.3: - 3 ₃ 2 dir. Gerçekten 3 de 2 1 =1+x+x + 1-x toplamından



2



3 3 1 - =3 =3 1+3+3 + 2 1-3  dır [5].

10 Uyarı: a için a =1 p       ise a p ve a = -1 p       ise a p dır [11].

Örnek 1.4: 5 11 dir. Gerçekten

5 1 11        olduğundan k =1, 2,3,… için





2 k x 5 mod 11 ,

denkliklerini düşünebiliriz. k =1 için





2

x 5 mod 11

denkliğinin çözümünün x = x₁  4 mod 11





olduğu açıktır. Mod 2

11 denkliği için herhangi bir x₂ çözümü, mod 11 denkliğinde de bir çözüm olmak zorundadır. O zaman

2 1

x = x +11y = 4 11y

şeklinde yazabiliriz. Burada x = 41 alınırsa 2

x = 4+11y

elde edilir. Böylece





2









2 2

2

0x -5 4+11y -511 1+8y mod 11

denkliği bulunur. Buradan





1+8y0 mod 11

denkliği elde edilerek





y4 mod11

11

2

x = 4+4.11

bulunur. Benzer şekilde Mod 3

11 denkliği için herhangi bir x₃ çözümü, mod 2 11

denkliğinde de bir çözümüdür. O zaman

2 2 3 2 x = x +11 z = 44.11 11 z için





2









2 2 2 3 3 0x -5 48+11 z -5 11 19+ 96z mod 11

denkliği elde edilir. Buradan





19+ 96z0 mod 11 denkliğinin çözümü





z10 mod11 olup, 2 3 x =4+4.11+10.11

bulunur. Bu şekilde devam edilirse ₁₁ halkasında 2

x = 5 denkleminin çözümü

dır. Ayrıca bu sonsuz toplam 2 3

44.11 10.11 mod p 3. durağı ile de ifade edilir [12].

Örnek 1.5: 7 5 dir. Gerçekten

7 1 5         olup





2 x 7 mod 5

olacak şekilde bir

x

tamsayısı bulunamaz [12].

Şimdi, aşağıdaki gibi p- sel ve p- sel olmayan tamsayılara örnekler verelim [12]:

3 40 1 3 9 27 0      , 2 3 4 3 7 1 2.3 3 2.3 3 ... 8         , 2 44.11 10.11 

12 2 3 4 5 1 2 3.5 5 3.5 5 ... , 3       7 1 7 2 3 4 7 2 3 1.7 2.7 6.7   7 ... , 2 5 7 3 2 1 3 2.3 2.3 3 ...         ve 5 3 .  

Tanım 1.9: n  olmak üzere

n i=1

i 1.2.3 n



çarpımına n faktöriyel denir ve n! ile gösterilir. Ayrıca 0!1 olarak alınır [13].

Tanım 1.10: Her n  ve k için 0 k n olmak üzere n elemanlı bir

kümenin, k elemanlı altkümelerinin sayısını veren ifadeye binom katsayısı denir ve

 

n n! = k k! n-k !      

ile gösterilir. Eğer n < k ise n =0 k

   

  olarak tanımlanır [4].

Binom katsayıları ile ilgili bilinen birkaç önemli özelliği hatırlatalım [4]:

n n-1 n-1 = + , k k k-1                   (1.3) n n = , k n-k             n n n-1 = , k k k-1             (1.4)

13 n n-k n = , k+1 k+1 k             n n n-1 = . k n-k k            

Ayrıca p tek asal sayı, k ve

m

birer doğal sayı olmak üzere binom katsayılarını içeren bazı denklikler aşağıdaki gibidir [14,15,16,17,18]:





p+k k mod p m m    _         , 1k, m p 1, (1.5)

 

k

    

k



2k -1/2 p-1 /2 = -4 -4 mod p k k k                    , 0  k



p 1 / 2,



(1.6)

 

p-1 /2+k

_{ }

k 2k

_

₂

_

-16 mod p k 2k              , 0  k



p 1 / 2.



(1.7)

Teorem 1.1: (Binom Teoremi) n  ve a, b olsun. Bu takdirde,

 

n n _{n-k k} k=0 n a+b = a b k      



dır [4].

Tanım 1.11: 0mn _{olacak şekildeki} n, m  _için

 

m-1 k=0

n-k



çarpımına azalan

faktöriyel denir ve m

n ile gösterilir. Burada m n

n = m! m

   

  olduğu açıktır.

Gould H.W. tarafından, 0 a n olacak şekilde a, n için

 

n m m m k=a n+1 a k = n - a-1 m+1 m+1



(1.8) eşitliği verilmiştir [19].

Tanım 1.12: p bir asal sayı ve p | a olacak şekilde a olsun.

 

p-1 p

a -1

q a =

p oranına Fermat oranı denir [20].

14

Teorem 1.2: (Küçük Fermat Teoremi) p bir asal sayı ve ebob a , p





1 olmak üzere





p-1

a 1 mod p

dir [4].

Teorem 1.3: (Euler Kriteri) p tek asal sayı olsun.

 

a, p 1 olacak şeklde her a

için  p-1 2

_

_

a a mod p p  _     dir [4].

İlk kez 1737 yılında Euler tarafından düşünülen harmonik sayılar; kombinatorik, analiz ve sayılar teorisi uygulamalarında oldukça önemlidir.

Tanım 1.13: n  olmak üzere harmonik sayılar

0 H = 0, n n k=1 1 H = k



şeklinde tanımlanır. Harmonik sayıların ilk birkaç tanesi

3 11 25 137 1, , , , ,... 2 6 12 60 şeklindedir. Harmonik sayılar n n-1 1 H = H + n

tekrarlama bağıntısını sağlar. Ayrıca n. harmonik sayısının integral gösterimi,

n 1 n ₀ 1-x H = dx 1-x



şeklindedir.

15 n n,m m k=1 1 H = k



, m2

rasyonel sayısına m. mertebeden harmonik sayı denir [21].

Harmonik sayıları içeren bazı toplamlar aşağıdaki gibidir [21,22,23,24,25]:

 

 

n n k k n n 2 k=1 -1 -1 1 -1 H = H + H 2 2  



, (1.9)

 

 





 

n n k n k n n 2 n k=1 -1 -1 n 1 1 -1 kH = -1 + H - H -H + 2 4 4   4      



(1.10)





n 2 k n n,2 k=1 H 1 = H +H k 2



. (1.11)









n-1 m k m n n m n,2 m,2 k=1 H k =n H H -H -H +H n-k



, (1.12)





n-1 m m n-k n+1 m+1 k=1 n+1 k H =n H -H m+1



, (1.13) n m m k n+1 k=1 n+1 1 k H =n H -m+1 m+1      



, (1.14)









n-1 2 j j n-k-1 n j n,2 j,2 k=j 2 k H =n H -H -H +H , n-k



(1.15)

   









n-1 j-1 j-1 k-1 n-1 n-1 j-1 n-1,2 j-1,2 k=j H k-1 = n-1 H H -H -H +H . n-k



(1.16)

Adını Belçikalı matematikçi Catalan E.C.’ den alan Catalan sayıları, matematikte bazı problemin çözümünde karşımıza çıkan özel sayılardan biridir. Şimdi, Catalan sayılarının tanımını verelim.

Tanım 1.15: n0 için

 





n 2n 2n ! 1 C = = n n+1 n+1 !n!      

16 n 2n 2n C = -n n+1             şeklinde de gösterilir.

Ayrıca Catalan sayıları, C =10 olmak üzere n

n+1 k n-k k=0

C =



C C

lineer olmayan tekrarlama bağıntısı ile de ifade edilir [26].

Tanım 1.16: m, n olmak üzere

 m n mn+n mn+n mn+n 1 C = = -m n n n-1 mn+1                  

sayılarına m mertebeli n . Catalan sayıları denir. Burada  1 n n C =C , Catalan sayıları ve C = _n2 1 3n n 2n+1    

 , 2. mertebeden Catalan sayılarıdır [27].

Tanım 1.17: kn olacak şekildeki k, n  için

n,k 2n k B = , 0 k n n-k n   _{ }    

sayılarına genelleştirilmiş Catalan sayıları denir. Bu sayılar Catalan üçgeninin elemanlarıdır [26].

n,k

B sayıları m1 iken B = 0 =B_{n,0 n,n+m} başlangıç koşulları ile

n,k n-1,k-1 n-1,k n-1,k+1

B = B +2B +B , k2 tekrarlama bağıntısını sağlamaktadır [26].

n,k

17 Tablo 1.1. B_{n ,k} sayıları n k 1 2 3 4 5 1 1 0 0 0 0 2 2 1 0 0 0 3 5 4 1 0 0 4 14 14 6 1 0 5 42 48 27 8 1

Harmonik sayılar, denkliklere ilk olarak 1862 yılında Wolstenholme tarafından uygulanmıştır [28]. Sonraki yıllarda Lehmer de harmonik sayılar üzerinde farklı denklikler elde etmiştir [29]. Daha sonraki yıllarda Sun Z.W. ve birçok yazar bu denklikleri kullanarak farklı denklikler üzerine çalışmıştır. Şimdi literatürde yapılan çalışmaların bazılarından kısaca bahsedelim.

Teorem 1.4: p > 3 asal sayısı için



2



p-1 H 0 mod p (1.17) dir [28]. Teorem 1.5: p > 3 için    

 

 





p-1 /2 2 2 p p p-1 /2 k=1 1 p H = -2 q 2 - q 2 mod p k 2       



(1.18) dir [29].

Şimdi, p tek asal sayı olmak üzere harmonik sayıları içeren bazı denklikler aşağıdaki gibidir [29]:





p-k k-1 H H mod p ,1  k p 1, (1.19)





p+k k 1 H H + mod p p  , 1  k p 1, (1.20)

18





p+k,2 k,2 2 1 H H + mod p p  , 1  k p 1, (1.21)

 

k



2



k 0<j k p-1 p -1 = 1- 1-pH mod p k  j    _      



  , 0  k p 1. (1.22)

Şimdi p > 3 bir asal sayı ve x bir değişken olmak üzere

 

x - x-1 -1p

 

p q x = p ve

 

k p-1 n n k=1 x G x = k



olsun. Teorem 1.6: p3 için

  

  



2



2 1 G 1 0 mod p , G 1 0 mod p ,

  



2 G -1 0 mod p , (1.23)

 

1

 



q x - G x mod p , (1.24)

 

 

p





2 2 2 1 G x G 1-x +x G 1- mod p x    _{ }   ve

 





2 _p

 

 

_p

 



2 2 q x -2x G x -2 1-x G 1-x mod p (1.25) dir [30]. Teorem 1.7: n1 için

 

k

 

k

   

n n n-1 n-1 2 2 k=1 k=1 n-1 -x 1 1-x -1 1-x - -x -1 = + k-1 k n k n      





(1.26) dir [30].

Lemma 1.1: n olmak üzere G_n

 

x  _p

 

x ve p tek asal sayısı için

 

 

p p p-1

 

k p-1 k k-1



2



2 2 k=1 k=2 s=1 1+ x-1 -x 1-x -1 1 x 1 G x - +p mod p p p k k s    _ _ 





 

ve p3 _için

19

   

n _p

 

 



₂



n+1 n n

npG x  -1 x G 1/x -G x mod p

dir [31].

Sun Z.W., binom katsayıları ve Fibonacci sayılarını içeren bazı denklikler vermiştir. Sun ve Tauraso tarafından p asal sayı, a , p | m olacak şekilde m ve

a d=0,...,p için a p -1 _k k=0 2k m k+d      



ve a p -1 _k-1 k=0 2k km k+d      



toplamlarının p moduna

göre denklikleri verildi [32]. Ayrıca Sun ve Tauraso tarafından p asal sayı ve a 

olmak üzere a d=0,...,p için a p -1 k=0 2k k+d      



toplamının p2 moduna göre ve θ=0,1 için

a p -1 k=0 2k k+θ      



toplamının p3 moduna göre denklikleri elde edildi [33]. Böylece Sun

ve Tauraso, p moduna göre yapmış oldukları denklikleri, p2 moduna ve p3 moduna göre denkliklere taşımışlardır.

Teorem 1.8: p tek asal sayısı için





 

 

 

_{ }





p-3 /2 p+1 /2 ₂ p k k=0 2k 1 -1 q 2 mod p k 2k+1 4  _    



ve p > 3 asal sayısı için





 





p-3 /2 2 k k=0 2k 1 0 mod p k 2k+1 16       



dir [34].

Sun, genelleştirilmiş Fibonacci ve Lucas sayıları ile harmonik sayıları içeren bazı denklikleri, aşağıdaki gibi vermiştir:

Teorem 1.9: p > 3 asal sayı ve p | A olacak şekilde A,B için





_

_

p-1 k k k k=1 V A,B H 0 mod p kA 



ve







 



p-1 p-1 k k k k k k=1 k=1 U A,B 2 U A,B H mod p kA  p kA





dir [35].

20

Teorem 1.10: p, p > 5 olacak şekilde bir asal sayı olsun. p1, 2, 4, 8 mod15





için

 

_

_

p-1 k k k k=0 U 1,4 H 0 mod p 2 



(1.27) ve p7, 11, 13, 14 mod 15





için

 

_

_

p-1 k+1 k k k=0 U 1,4 H 0 mod p 2 



(1.28) dır [35].

Teorem 1.11: p > 3 asal sayısı için





p-1 k k k=1 H L 0 mod p k 



ve





p-1 p-1 k k k k=1 k=1 H F 2 F mod p k  p k





(1.29) dir [35].

Teorem 1.12: p > 5 asal sayısı için





p-1 k 2 k=1 L 0 mod p k 



(1.30) dir [36].

Teorem 1.13: p2, 5 asal sayısı için





 

 

 

_

_

p-3 /2 p p+1 /2 ₂ 2k+1 k k=0 p F -2k F 5 -1 mod p k 2k+1 16 p       _{ }     



, ve





 

 

 

_

_

p-3 /2 p+1 /2 p 2 2k+1 k k=0 L -1 2k L -1 mod p k 2k+1 16 p       



dır [37].

Son yıllarda, Catalan sayı dizisinin terimlerinin de çeşitli toplamları ve denklikleri ele alınmıştır.

21









a a a p -1 2 p n+k k=0 n 1 p -1 C 1-3 n+1 mod p C 3    _{ }  



dir [33].

Teorem 1.15: p tek asal sayı ve p | m olacak şekilde m _için

 

_

 



p-1 /2 k k k=0 m m-4 1 m m-4 C - mod p m 2 2 p    _{ }  



(1.31) dir [38].

Mattarei ve Tauraso, binom katsayılarını ve harmonik sayıları içeren bazı denklikler

elde etmişlerdir [39,40]. x p için





1 λ= 1+ 1-4x 2 ve





1 μ= 1- 1-4x 2 olmak

üzere aşağıdaki teoremlerde bu denkliklerin bazıları verilmiştir: Teorem 1.16: p > 3 asal sayısı için

 

 









k p-1 2 2 2 k=1 2k x 2 G λ +G μ mod p k k   _    



(1.32) dir [39].

Teorem 1.17: p > 3 asal sayısı için

 





 





 









k p-1 p k 2 2 k=1 2k x H 2 λ-μ G λ/ λ-μ -G μ/ μ-λ mod p k k   _    



(1.33) dir [40].

Gutiérrez, Hernández, Guo, Zeng, Miano ve Romero

2 n _m k=1 2n k n-k      



binomial

toplamlar üzerine çalışmalar yapmıştır [41-43]. Ayrıca Catalan üçgeninin terimleri olan B_n,k sayıları üzerinde bazı toplamlar elde etmişler ve

2 n _m k=1 2n k n-k      



ile

gösterilen binomial toplamları üzerinde çalışmışlardır [41-43]. Guo ve Zeng, Newton interpolasyon yöntemini kullanarak Miana ve Romero tarafından elde edilen Catalan üçgenleri üzerine son tanımlamaları genelleştirmişlerdir. Gutiérrez v.d., Catalan ve

n,k

22 Teorem 1.18: m, n  için









 

m n,k n,n+k-m n k=1 2 n-1 n+2k-m B B = n+1 C , m n m-1       



ve

 

n 2 n,k n n-1 k=1 n+1 k B = C C 2      



dır [42]. Teorem 1.19: 1 m n için





 





m 3 _{2 2} n,k n,n+k-m k=1 2n 2 n-1 B B n+2k-m = n +4n-2nm+m n m-1           



dir [43].

Ömür ve Koparal, p asal sayı olmak üzere Bp,k genelleştirilmiş Catalan sayılarını ve

harmonik sayıları içeren denklikleri ilk kez vermişlerdir. Aşağıdaki teorem ve lemmalarda bu denkliklerin bazılarına değinilmiştir.

Lemma 1.2: p bir asal sayı olsun. 0< n-d < p için

 

n-d-1











₂



p,n-d n-d n-d-1

B 2 -1 1-p H +H mod p (1.34)

dır [44].

Lemma 1.3: p bir asal sayı olsun. 1 d p olmak üzere

 

d



₂



d 2 2p 2p d-1 p 2p 4 -1 1+ + -p-2pH mod p p-d+1 p-1 p d-1 d   _      _ _    (1.35) dır [44].

Teorem 1.20: p bir asal sayı olsun. 1 d p-1 için

 









p-1 d ₂ p,k p,k-d d k=1 2 B B 4 -1 -2d+p 8d H -1 + -3 mod p d     _{  }    



ve 1 d p için

23

 

















p-1 d _{2 2 2} p,k p,k-d d k=1 kB B 2 -1 -2d +p 1+8d H -1 -4d mod p



(1.36) dir [44].

24

2. HARMONİK SAYILAR İLE GENELLEŞTİRİLMİŞ FİBONACCİ VE LUCAS SAYILARINI İÇEREN DENKLİKLER

Bu bölümde binom katsayıları, harmonik sayılar ile genelleştirilmiş Fibonacci ve Lucas sayılarıyla ilgili denkliklerden bahsedilecektir.

Teorem 2.1: A, B _ve p, p | A olacak şekilde bir asal sayı olsun. O zaman





_

_

p - 1 k - 1 k k k=1 U A,B H 0 mod p A 



(2.1) ve







_{ }

_

p - 1 p - 1 k - 1 k - 1 k k k k=1 k=1 V A,B 2 V A,B H mod p A p A





(2.2) dır.

İspat: İlk olarak Denklik (2.1) in ispatını verelim. Eşitlik (1.8) ve Denklik (1.22) den faydalanılarak



 

















 









_{  }



 









_{  }

  



 









j - 1 j p - 1 j j=1 p - 1 j j - 1 j j=1 p - 1 p - 1 j j - 1 j j=1 k=j j p - 1 k j - 1 j k=1 j=1 U A,B A a A,B -b A,B 1- pH

a A,B -b A,B U A,B p - 1 - 1

j A

a A,B -b A,B U A,B k - 1

= - 1

j - 1 A

- 1 a A,B -b A,B U A,B k - 1 = j - 1 A k =    _{ }              











 

j+1





 









_

_

p - 1 k - 1 j 2 j+1 k=1 j=0

- 1 a A,B -b A,B U A,B - 1 mod p j A      



25

elde edilir.



U_n



A,B





dizisinin Binet formülü ve Binom teoremi kullanılarak



 







































p - 1 j - 1 j j j=1 j j p - 1 k - 1 k=1 j=0 k - 1 k - 1 p - 1 k=1 k - 1 U A,B a A,B -b A,B 1- pH A k - 1 a A,B b A,B 1 - - -j A A A a A,B b A,B 1 = - 1- - 1- A A A b A,B a A,B 1 = - - A A A _{   }   _{ }  _{    }    _    _ _{   }  _{   }  _{   }            







k - 1 p - 1 k=1  _   _   _   

























 















p - 1 k - 1 k - 1 k - 1 k=1 p - 1 k - 1 2 k k=1 1 1 = a A,B - b A,B A A U A,B

= a A,B -b A,B mod p

A





bulunur. Buradan gerekli düzenlemeler yapılırsa ispat tamamlanır.

Şimdi de Denklem (2.2) nin ispatını verelim. Eşitlik (1.8) ve Denklik (1.22) den faydalanılarak





_

_



_{  }

p - 1 p - 1 j j - 1 j - 1 j j j j=1 j=1 V A,B V A,B p - 1 1- pH - 1 j A A    _{ }  







_{  }

 

j





p - 1 p - 1 p - 1 k j j - 1 j - 1 j j j=1 k=j k=1 j=1 V A,B k - 1 k - 1 - 1 V A,B = - 1 = j - 1 j - 1 A A            







 

j+1





_

_

p - 1 k - 1 j 2 j+1 k=1 j=0 - 1 V A,B k - 1 = mod p j A      



26





_

_





j





j p-1 p-1 k -1 j-1 j j j=1 k=1 j=0

V A,B 1 k - 1 a A,B b A,B

1- pH - - + -j A A A A _{   }   _{ }  _{    }    _    _









k-1





k -1





k -1





k -1 p -1 p-1 k=1 k=1

a A,B b A,B b A,B a A,B

1 1 = - 1- - 1- = - + A A A A A A _{   }  _{   }  _{   }  _{   }  _{   }  _{   }     

































p-1 p -1 k -1 k -1 _{k -1 2} k -1 k k=1 k=1 V A,B 1 1

= - a A,B + b A,B = - mod p ,

A



A



A

denkliğinden, istenilen sonuç elde edilir. Sonuç 2.1: p bir tek asal sayı olsun. O zaman





p -1 k -1 k k k=1 P H 0 mod p 2 



,





p-1 p-1 k -1 k k -1 k k k=1 k=1 Q H 2 Q mod p 2 p 2





ve p3 _{tek asal sayısı için}





p-1 k -1 k -1 k k k=1 P Q H 0 mod p 6 



,





p-1 p -1 2k -2 k 2k -2 k k k=1 k=1 Q H ₂ Q mod p 6 p 6





dır. Burada P_n ve Q_n, sırasıyla n. Pell ve n. Pell-Lucas sayılarıdır.

İspat: Denklik (2.1) ve Denklik (2.2) de sırasıyla A = 2 ve B = -1 alınırsa





_

_

p-1 k -1 k k k=1 U 2,-1 H 0 mod p 2 



ve







_{ }

_

p-1 p-1 k -1 k -1 k k k k=1 k=1 V 2, -1 2 V 2,-1 H mod p 2 p 2





olduğu görülür. Burada Uk -1



2,-1 =P



k -1 ve Vk -1



2,-1 = Q



k -1 olduğundan





p -1 k -1 k k k=1 P H 0 mod p 2 



ve





p-1 p-1 k -1 k k -1 k k k=1 k=1 Q H 2 Q mod p 2  p 2





denklikleri elde edilir.

27





 





p-1 k -1 k k k=1 U -6,1 H 0 mod p -6 



ve





 





 





p-1 p-1 k -1 k -1 k k k k=1 k=1 V -6,1 ₂ V -6,1 H mod p p -6  -6





elde edilir. Burada

   

k k -1 k -1 k -1 -1 U -6,1 = P Q 2 ve



  

  k -1 k -1 2 k -1 V -6,1 = -1 Q olduğundan





p-1 k -1 k -1 k k k=1 P Q H 0 mod p 6 



ve





p-1 p-1 2k -2 k 2k -2 k k k=1 k=1 Q H 2 Q mod p 6 p 6





denklikleri bulunur ve böylece ispat tamamlanır.

Lemma 2.1: A, B ve p, B =1

p

   

  olacak şekilde bir tek asal sayı olsun. b

için 2





b B mod p olmak üzere

 p -1 / 2









Δ 0, =1 ise p U A,B mod p 1 A-2b Δ , = -1 ise b p p                           ve  p+1 / 2









A-2b Δ , =1 ise p p U A,B mod p Δ 0, = -1 ise p                     _{ }  dır [45].

Lemma 2.2: b olmak üzere 2

D =1- 4b olsun.

i.) p , p | D olacak şekilde bir tek asal sayı olsun. O zaman

 

2





p D U 1,b mod p p        (2.3)

28 ve

ii.) p asal sayısı için,

 

2





p

V 1,b 1 mod p (2.4)

dir.

İspat: İlk olarak Denklik (2.3) ün ispatını verelim. 2 2

x - x+b = 0 karakteristik denkleminin kökleri 2 D =1- 4b olmak üzere

 

2 1+ D τ=a 1,b = 2 ve

 

2 1- D σ b 1,b = 2  dir.



 

2



n

U 1,b dizisinin Binet formülü ve



_{τ - σ}p p







_{τ - σ}

 

p _{mod p}



denkliği yardımıyla

 

2





2

 

2







p p







p+1 p+1 / 2

_

_

p p

DU 1,b = τ - σ U 1,b = τ - σ τ - σ  τ - σ =D mod p

olduğundan p | D olmak üzere p tek asal sayısı için

 

2  p -1 / 2

_

_

p D U 1,b D mod p p    _{  }  

denkliği bulunur. Böylece istenilen sonuç elde edilir. Şimdi de Denklik (2.4) ün ispatını verelim.



 

2



n

V 1,b dizisinin Binet formülünün

 

2 p p

p

V 1,b =τ + σ

olduğunu biliyoruz. Binom teoreminden

 

_{2 p p} p _{k p - k}





p





p k=0 p V 1,b = τ + σ τ σ = τ + σ = 1 mod p k    _{ }  



olur ve istenilen denklik elde edilmiş olur.

Lemma 2.3: n ve b için

   

2 2

 

2

n n n+1

U 1,b +V 1,b =2U 1,b (2.5)

29

İspat:



 

2



n

U 1,b ve



V 1,b_n

 

2



dizilerinin Binet formülleri yardımıyla ispat kolayca elde edilir.

Lemma 2.4: b \ 0

 

olmak üzere 2

D =1- 4b ve p , p | bD olacak şekilde bir tek asal sayı olsun. O zaman

 

2





D p-p U _{ } 1,b 0 mod p      (2.6) dır.

İspat: Denklik (2.6) nın sağlandığını gösterebilmek için D =1

p       iken

 

2





p-1 U 1,b 0 mod p (2.7) ve D 1 p  _{ }     iken

 

2





p+1 U 1,b 0 mod p (2.8) olduğunu göstermeliyiz. D =1 p       için



 



2 n

U 1,b dizisinin tekrarlama bağıntısı ve Eşitlik (2.5) kullanılarak

 

 

 

2 2 2 2 p -1 p p +1 b U 1,b = U 1,b - U 1,b

 



   



   

2 2 p p 2 2 2 p p p U 1,b - V 1,b 1 = U 1,b - U 1,b +V 1,b = 2 2 (2.9)

eşitliği elde edilir. Denklik (2.3) ve Denklik (2.4), Eşitlik (2.9) da yerine yazılırsa

 

p

   

2 p 2





2 2 p -1 U 1,b - V 1,b _{1 D} b U 1,b = -1 = 0 mod p 2 2 p           

denkliği elde edilir. Böylece p | b için Denklik (2.7) nin sağlandığı görülür.

D = -1 p

   

  için, Denklik (2.3), Denklik (2.4) ve Eşitlik (2.5) den

 

2

   

2 2





p+1 p p

30

olur. Böylece Denklik (2.8) elde edilir. Denklik (2.7) ve Denklik (2.8) birleştirilerek ispat tamamlanır.

Lemma 2.5: b \ 0

 

olmak üzere 2

D =1 - 4b ve p, p | bD olacak şekilde tek asal sayı olsun. O zaman

 

D





p D p p -2 2 p -V 1,b 2b mod p              (2.10) dir.

İspat: Denklik (2.10) un sağlandığını gösterebilmek için D =1

p       iken

 

2 p - 1



2



p - 1 V 1,b 2b mod p ve D 1 p         iken

 

2 p+1



2



p+1 V 1,b 2b mod p olduğunu göstermeliyiz. D 1 p  _  

  için, Eşitlik (2.5) den

 

2

 

2

 

2

p-1 p p-1

V 1, b = 2U 1,b - U 1, b

elde edilir. Denklik(2.3) ve Denklik (2.6) yardımıyla ve Küçük Fermat teoreminden

 

2 p-1





p-1

V 1, b  2 2b mod p

elde edilir. Buradan

 



2 p-1





 

2 p-1



p-1 p-1 V 1,b - 2b V 1,b +2b



_{p-1 p-1}



2

 

p-1



_{p-1 p-1}



2 ₂

  

_{2 2}



p-1 = τ + σ -4 τσ = τ - σ = DU 1,b 0 mod p denkliğinden

 

2 p-1



2



p-1 V 1,b 2b mod p denkliği bulunur.

31 D = -1 p       için, Eşitlik (2.5) ve



 



2 n

U 1,b dizisinin tekrarlama bağıntısı kullanılırsa

 

2

 

2

 

2 2

 

2

 

2

p+1 p+2 p+1 p p+1

V 1,b = 2U 1,b - U 1,b = -2b U 1,b +U 1,b

dir. Denklik (2.3), Denklik (2.6) ve küçük Fermat teoreminden

 

2 2

 

2

 

2 2 p+1





p+1 p p+1

V 1,b -2b U 1,b +U 1,b 2b 2b mod p

denkliği bulunur. Buradan

 



2 p+1





 

2 p+1



p+1 p+1 V 1,b - 2b V 1,b +2b



_{p+1 p+1}



2

 

_p+1



_{p+1 p+1}



2 ₂

  

_{2 2}



p+1 = τ +σ - 4 τσ = τ - σ =DU 1,b 0 mod p denkliği düşünülerek

 

2 p+1



2



p+1 V 1,b 2b mod p

denkliği elde edilir. Böylece ispat tamamlanır.

Teorem 2.2: b \ 0

 

olmak üzere D =1- 4b2 ve p, p | bD olacak şekilde tek asal sayı olsun. O zaman

 

D -1

 



p 2 p - 1 2 2 p D p -p D 1 U 1,b - b b U 1,b mod p p 2                    (2.11) dir.

İspat: Denklik (2.11) in sağlandığını gösterebilmek için D =1

p       iken

 

2 p-1

 

2





p-1 p U 1,b +2b 2U 1,b mod p (2.12) ve D = -1 p       iken

 

2 p-1

 

2 2



p 2 p+1 1 U 1,b +b U 1,b mod p 2b  (2.13) olduğunu göstermeliyiz.

32 D =1 p    

  ve p | b için Eşitlik (2.5), Denklik (2.7) ve Denklik (2.10) dan

 

2

 

2

 

2

 

2 p-1



2



p p-1 p-1 p-1

2U 1,b =U 1,b +V 1,b U 1,b +2b mod p olur. Böylece Denklik (2.12) elde edilir.

D = -1 p       için,



 



2 n

U 1,b dizisinin tekrarlama bağıntısı ve Eşitlik (2.5)

kullanılarak

 



 

 



2 2 2 2 p p+1 p+2 2b U 1,b =2 U 1,b -U 1,b

 

2



 

2

 

2



 

2

 

2 p+1 p+1 p+1 p+1 p+1 =2U 1,b - U 1,b +V 1,b =U 1,b -V 1,b

olur. Burada Denklik (2.8) ve Denklik (2.10) kullanılarak

 

 

 

 





2 2 2 2 2 p+1 2

p p+1 p+1 p+1

2b U 1,b =U 1,b -V 1,b U 1,b -2b mod p

elde edilir ki Denklik (2.13) dir. Bu iki denklik birleştirilerek ispat tamamlanır. Lemma 2.6: b \ 0

 

olmak üzere D =1- 4b2 ve p, p | bD olacak şekilde tek asal

sayı olsun. ε= 1- D /2 p           olmak üzere





 





D p-p D p- 2 p p-1 ₂ ε U 1-2b U mod p 2 -b                 dir.

İspat: Lemma 2.1’de A=1 ve 2

B=b yazılırsa

 

2





D p- 2 p U_{  } 1,b 0 mod p     _{ }    ve

 





D -1 /2 p 2 D p+ 2 p 1-2b U 1,b b mod p p       _{ }           _{ }          (2.14)

denklikleri elde edilir. D

=1 p

   

  için Denklik (2.14) den sırasıyla

 p-1 /2

 

2





33 ve  p+1 /2

 

2





1- 2b U 1,b mod p p        (2.16)

denklikleri bulunur. Eşitlik (2.5), Denklik (2.15) ve Denklik (2.16) dan

 p-1 /2

 

2  p+1 /2

 

2  p-1 /2

 

2





1-2b V 1,b =2U 1,b -U 1,b 2 mod p p        (2.17)

elde edilir. Böylece Denklik (2.15) ve Denklik (2.17) yardımıyla

 

2  

 

2  

 

2 p-1 p-1 /2 p-1 /2 U 1,b =U 1,b V 1,b  

 





   

 



p-1 /2 2 2 2 p-1 /2 p-1 /2 1-2b 2 U 1,b 2 1-2b U 1,b mod p p    _{ }    (2.18)

denkliği elde edilir. D

= -1 p

   

  için Denklik (2.14) den sırasıyla

p+1 /2

 

2





U 1,b 0 mod p (2.19) ve  p-1 /2

 

2





1 1-2b U 1,b mod p b p        (2.20)

denklikleri bulunur.



U 1, bn

 

2



dizisinin tekrarlama bağıntısı, Denklik (2.19) ve

Deklik (2.20) kullanılırsa  p+1 /2

 

2  p+3 /2

 

2  p+1 /2

 

2 V 1,b =2U 1,b -U 1,b  p+1 /2

 

2 2  p-1 /2

 

2 2





1 1-2b 1-2b =U 1,b -2b U 1,b -2b =-2b mod p b p p      _{   }     (2.21)

dir. Böylece Denklik (2.19) ve Denklik (2.21) yardımıyla

 

2  

 

2  

 

2 p+1 p+1 /2 p+1 /2 U 1,b =U 1,b V 1,b  

 





   

 



p-1 /2 2 2 2 p+1 /2 p+1 /2 1-2b -2b U 1,b -2b 1-2b U 1,b mod p p    _{ }    (2.22)

34

bulunur. Böylece Denklik (2.18) ve Denklik (2.22) den ispat tamamlanır.

Teorem 2.3: b \ 0

 

olmak üzere p, p | bD olacak şekilde bir tek asal sayı olsun. D ε= 1- /2 p           için

 

2

_

_

p-1 k+ε k k k=0 U 1,b H 0 mod p b 



(2.23) dır.

İspat: Denklik (2.23) ün ispatı için ilk olarak

 

 

 



p-1 p-1 p-1-k p-1-k 2 2 2 k+ε k+ε k=0 k=0 p-1 b U 1,b -b U 1,b mod p k    _{ }  





(2.24) denkliğini ispatlayalım.

İlk olarak Denklik (2.24) ün sol tarafını inceleyelim. Denklik (2.24) ün sol tarafına

 



2



k+ε

U 1,b dizisinin Binet formülü yazılırsa

 

k+ε k+ε p-1 p-1 p-1-k 2 p-1-k k+ε k=0 k=0 τ -σ b U 1,b = b τ-σ





elde edilir. Ayrıca

p p p-1 k p-1-k k=0 x -y x y = x-y



toplamı kullanılarak

 

p p p p p-1 p-1-k 2 ε ε k+ε k=0 1 τ -b σ -b b U 1,b = τ - σ τ-σ τ-b σ-b      



    



ε



p p



ε

 



p p





1 1 = τ σ-b τ -b -σ τ-b σ -b τ-σ τ-b σ-b           (2.25) dır. Hatta

  

_{τ-b σ-b =τσ-b τ+σ +b =b 2b-1}





2





ve

35

 





 





 



 

 



ε p p ε p p p+ε 2 2 2 p+ε p+ε-1 τ σ-b τ -b -σ τ-b σ -b = τ-σ b -bU 1,b +b U 1,b olduğundan

 

p+ε-1

 

2

 

2 p-1 p+ε p+ε-1 p-1-k 2 k+ε k=0 b -U 1,b +bU 1,b b U 1,b = 2b-1



elde edilir.

Şimdi de Denklik (2.24) ün sağ tarafını inceleyelim. Denklik (2.24) ün sağ tarafına

 



2



k ε

U _ 1, b dizisinin Binet formülü yazılırsa

 

 

 

k+ε k+ε p-1 p-1 p-1-k ₂ p-1-k k+ε k=0 k=0 p-1 p-1 τ -σ -b U 1, b = -b k k τ-σ            





elde edilir. Binom teoremi yardımıyla

 





ε

 

p-1 ε

 

p-1 p-1 p-1-k ₂ k+ε k=0 p-1 τ τ-b - σ σ-b -b U 1, b = k τ-σ      



olarak yazılabilir. Burada

  

2



τ-b = 1-2b τ ve

  

2



σ-b = 1-2b σ

eşitlikleri yerine yazılırsa

 













 









  p-1 /2 p-1 /2 ε ε p-1 p-1-k 2 k+ε k=0 τ 1-2b τ - σ 1-2b σ p-1 -b U 1, b = k τ-σ      







 p-1 /2  p-1 /2+ε  p-1 /2+ε

_

_

 p-1 /2

_{ }

₂ D p- 2 p τ -σ = 1-2b = 1-2b U 1,b τ-σ        _{ }  

eşitliği elde edilir. Lemma 2.6’dan

 









 

_{ }

 

 





2 D p-1 p-p-1-k 2 p-1 /2 2 p 2 k+ε D ε p- 2 k=0 _p U 1,b p-1 -b U 1, b = 1-2b U 1,b mod p k _{2 -b}              _{ }         



36

 

 

 

 





2 D p+ε-1 2 2 p-p+ε p+ε-1 p 2 ε U 1,b b -U 1,b +bU 1,b mod p 2b-1 2 -b        (2.26)

olduğunu göstermemiz yeterli olacaktır. D

=1 p

   

  için ε = 0 olur ve buradan Denklik (2.11) den,

 

 

p-1 2 2 p p-1 b -U 1,b +bU 1,b 2b-1

 

₂

 

₂





_

p-1

 

_

2 p-1

 

2 ₂



p-1 p-1 2b-1 U 1,b U 1,b 1 1 bU 1,b - U 1,b mod p 2b-1 2 2 2b-1 2    _{ }   

olup Denklik (2.26) nın sağlandığı görülür. D

= -1 p

   

  için ε = 1 olur ve buradan Denklik (2.11) den,

 

 

p 2 2 p+1 p b -U 1,b +bU 1,b 2b-1

 

₂

 

₂





_

p+1

 

_

2 p+1

_{ }

 

2



₂



p+1 p+1 2b-1 U 1,b U 1,b 1 1 U 1,b -U 1,b = - = mod p 2b-1 2b 2b 2b-1 2 -b    _{ }  

olup Denklik (2.26) nın sağlandığı görülür.

O halde p tek asal sayısı için Denklik (2.24) yardımıyla p | bD olmak üzere

 

 





p-1 k p-1-k 2 k+ε k=0 p-1 1 b 1- -1 U 1,b 0 mod p k p             



(2.27)

yazabiliriz. Küçük Fermat teoreminden

 

 

2





p-1 k k+ε k k=0 U 1,b p-1 1 1- -1 0 mod p k p b             



dir. Ayrıca Denklik (1.22) den

 

k





k p-1 1 1 -1 H mod p k p              

37

3. BİNOM KATSAYILARI, HARMONİK SAYILAR VE FİBONACCİ SAYILARINI İÇEREN DENKLİKLER

Bu kısımda, binom katsayıları, harmonik ve Fibonacci sayıları ile ilgili yapılan bazı denklikler verildi.

İlk olarak teoremlerin ispatlarında kullanılacak bazı eşitlikleri ve denklikleri verelim. Lemma 3.1: n > 1 ve xIRolsun. O zaman

 

   

 

 

k n n _n k n -1 n - 1 k -1 n -1 k=1 k=1 n-1 -x 1-x - -1 x -1 1-x -1 H = H - k-1 k n k n-k      





dır.

İspat: Binom teoreminden ve Eşitlik (1.4) den

 

 

 

 

 

 

k n -1 k=1 j j n -1 k n -1 k n -1 n -1 j k=1 j=1 k=1 j=1 j=1 k=j 1-x -1 k n-k k k-1 -x -x k-1 1 1 1 = -x = = j j-1 j-1 k n-k n-k j j n-k                  







 





(3.1)

elde edilir. [25] de verilen





n-1 n - 1 j - 1 k=j k -1 1 n -1 = H - H j -1 n - k j -1            



eşitliği, Eşitlik (3.1) de yerine yazılırsa

 

 

 





 





k j j n -1 n -1 n -1 n -1 j-1 n -1 j-1 k=1 j=1 j=1 n-1 n 1-x -1 -x -x = H - H = H - H j-1 j k n-k j n            







 

 

j

   

n n

 

n -1 n -1 n -1 j j n -1 j-1 n -1 j-1 j=1 j=1 j=1 H n n -x 1-x - -x -1 1 n = -x - H = H - -x H j j j n n n n                  







olup istenilen sonuç elde edilir.

38

 







   



k+1 _k+1 n -1 n -1 k n-k-1 k 2 k=0 k=0 n-1 -x n-1 x H = -1 - 1-x k k+1 k _k+1            





dır.

İspat: Lemma 3.1 yardımıyla

 

   

 

 

   

 

 

 

 

k n n k k n -1 n -1 n -1 k -1 n -1 k=1 k=1 k=1 n n _{n -1} k n _{n -1} -k n n -1 n -1 k=1 k=1 n-1 -x 1-x - -x -1 1 1-x -1 1 1-x -1 H = H - -k-1 k n n k n n-k 1-x - -x -1 1 1-x -1 1-x 1-x -1 1- 1-x = H - - + H n n k n k n      











 

n _{n -1}

 

k

 

n _{n -1}

 

-k n -1 k=1 k=1 -x 1 1-x -1 1-x 1-x -1 = - H - -n n



k n



k (3.2)

eşitliği elde edilir. [36] de verilen

 

k n

 

n k n -1 n -1 2 k=1 k=1 n-1 x-1 x - x-1 -1 x -1 = n -k-1 k k n      





eşitliği, Eşitlik (3.2) de yerine yazılırsa

 

 

     

 

 

     





 

_{     }

 

k n k n n n -1 n -1 k -1 n -1 2 2 k=1 k=1 n k n -1 n -n n -n k 2 2 k=1 n _n k n _{n -1 k} n n -1 2 2 k ₂ k=1 k=1 n-1 -x -x n-1 -x 1-x - -x -1 H - H - + k-1 k n k-1 k n n-1 x 1-x - 1-x + 1-x -x 1-x -1 k-1 _{1-x k} n n-1 n-1 -x -x -x x = - H - - - 1-x k-1 k-1 n k n _{1-x k}                               









 

_{   }

 

n -1 2 n k _k n n n n -1 2 k ₂ k=1 k=1 x -n n-1 n-1 -x -x x = - H - - 1-x k-1 k-1 n k _{1-x k}            







 

 





 

  



n _{n -1} k+1 _{n -1 k+1} n n -1 2 k+1 2 k=0 k=0 n-1 n-1 -x -x x = - H - - 1-x k k n _{k+1 1-x k+1}            





39

Lemma 3.3: ptek asal sayı olsun. Herhangi bir x _p için



 

p



p

_

_

k (p-1) / 2 k=1 x +1 - x - 1 x 2 - mod p k  p p



dır [46].

Lemma 3.4: ptek asal sayı olsun. Herhangi bir x _p için



    









k (p-3) / 2 _{p p p} k=1 x 1 x +1 + x -1 - 2 x - 1 mod p 2k+1 2p x



dır.

İspat: Toplam özelliklerinden

 p-3 / 2 k p - 1

 

k  p-1 / 2 k k=1 k=1 k=1 x x 1 1 x = - - 1 2k+1 x k 2 k          







eşitliğini düşünelim. Lemma 3.3 ve Denklik (1.24) yardımıyla

 p-3 / 2 k

  

p



p



 

p



p k=1 1- x + x - 1 x +1 - x - 1 x 1 1 - + - 1 2k+1 x p p 2p      _{ }    





 

  



p p p







1 = x +1 + x - 1 - 2 x - 1 mod p 2p x

elde edilir. Böylece Lemma 3.4’ün ispatı tamamlanır. Lemma 3.5: n > 1 ve x olsun. O zaman

 

k

 

k

   

n n

 

k n -1 n -1 n -1 k -1 n 2 2 k=1 k=1 k=1 n 1-x -1 1-x -1 1-x - -x -1 -x H = H + - k k k n k      







dır.

İspat: Binom teoreminden ve Eşitlik (1.4) den

 

k n -1 k -1 k=1 1-x -1 H k



 

 

j

 

j n -1 k n -1 k n -1 n -1 j k -1 k -1 k -1 k=1 j=1 k=1 j=1 j=1 k=j H k k-1 -x -x k-1 = -x = H = H j j-1 j-1 k j j                  





 



