Kompleks mertebeden yıldızıl ve konveks fonksiyonların özellikleri

T.C.

DÜZCE ÜNİVERSİTESİ

FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ

KOMPLEKS MERTEBEDEN YILDIZIL VE KONVEKS

FONKSİYONLARIN ÖZELLİKLERİ

MELİKE ÇELEN

YÜKSEK LİSANS TEZİ

MATEMATİK ANABİLİM DALI

DANIŞMAN

PROF. DR. İSMET YILDIZ

T.C.

DÜZCE ÜNİVERSİTESİ

FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ

KOMPLEKS MERTEBEDEN YILDIZIL VE KONVEKS

FONKSİYONLARIN ÖZELLİKLERİ

Melike ÇELEN tarafından hazırlanan tez çalışması aşağıdaki jüri tarafından Düzce Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü Matematik Anabilim Dalı’nda YÜKSEK LİSANS

TEZİ olarak kabul edilmiştir. Tez Danışmanı

Prof. Dr. İsmet YILDIZ Düzce Üniversitesi

Jüri Üyeleri

Prof. Dr. İsmet YILDIZ

Düzce Üniversitesi _____________________ Prof. Dr. Ömer Faruk GÖZÜKIZIL

Sakarya Üniversitesi _____________________ Doç. Dr. Fuat USTA

Düzce Üniversitesi _____________________

BEYAN

Bu tez çalışmasının kendi çalışmam olduğunu, tezin planlanmasından yazımına kadar bütün aşamalarda etik dışı davranışımın olmadığını, bu tezdeki bütün bilgileri akademik ve etik kurallar içinde elde ettiğimi, bu tez çalışmasıyla elde edilmeyen bütün bilgi ve yorumlara kaynak gösterdiğimi ve bu kaynakları da kaynaklar listesine aldığımı, yine bu tezin çalışılması ve yazımı sırasında patent ve telif haklarını ihlal edici bir davranışımın olmadığını beyan ederim.

11 Haziran 2020

TEŞEKKÜR

Yüksek lisans tezim olan bu çalışmam Düzce Üniversitesi Fen Edebiyat Fakültesi Matematik Bölümünde yapılmıştır.

Yüksek Lisans öğrenimimde ve bu tezin hazırlanmasında bilgisinden faydalandığım, çalışmalarımda beni yönlendiren, yanında çalışmaktan onur duyduğum ayrıca çalışmam boyunca gösterdiği hoşgörü ve sabırdan dolayı değerli hocam, tez danışmanım Prof. Dr. İsmet YILDIZ’a şükranlarımı sunarım. Matematik Bölümü’nde gerekli ilgi ve yardımlarını esirgemeyen Matematik Bölümü’nün tüm değerli hocalarına sonsuz teşekkürlerimi sunarım.

Bu çalışma boyunca yardımlarını ve desteklerini esirgemeyen sevgili aileme özellikle her daim yanımda olan, yalnız bırakmayan sevgili annem Halise ÇELEN’e sonsuz teşekkürlerimi sunarım.

İÇİNDEKİLER

ŞEKİL LİSTESİ ... vııı

SİMGELER ... ıx

ÖZET ... x

ABSTRACT ... xı

1. GİRİŞ ... 1

2. KAVRAMLAR ... 2

2.1.7. Basit Bağlantılı Bölge ... 3

2.1.8. Süreklilik ... 3 2.1.9. Yakınsaklık ... 3 2.1.10. ε- Komşuluğu ... 3 2.1.11. İç Nokta ... 3 2.1.12. Diferansiyellenebilir Fonksiyon ... 3 2.1.13. Singüler Nokta ... 4 2.1.14. Kutup Noktası ... 4 2.1.15. Analitik Fonksiyon ... 4 2.1.16. Eğri ... 4 2.1.17. Taylor Teoremi ... 4 2.1.18. Macluarin Serisi ... 5 2.1.19. Yıldızıl Bölge ... 5 2.1.20. Konveks Bölge ... 6

2.2. YILDIZIL VE KONVEKS FONKSİYONLARIN ÖZELLİKLERİ…………...6

2.2.1. Yıldızıl Fonksiyon ... 6

2.2.2. Konveks Fonksiyon ... 6

2.2.3. A Sınıfı ... 7

2.2.4. Ünivalent Fonksiyon ... 7

2.2.5. S Sınıfı ... 7

2.2.6. Konvekse Yakın Fonksiyonlar ... 7

2.2.7. Schwarz Fonksiyonu ... 8

2.2.8. Meromorf Fonksiyon ... 8

2.2.9. Konform Dönüşüm ... 8

2.2.11. Bieberbach Tahmini ... 9

3. MATERYAL VE YÖNTEM

3.1. KONVEKS BÖLGELER ... 10

3.1.1. Tanım ... 10

3.1.2. Teorem ... 10

3.2. CAUCHY İNTEGRAL FORMÜLÜ ... 10

3.2.1. Teorem ... 10

3.3. KOEBE FONKSİYONU ... 11

3.3.1. Teorem ... 11

3.3.2. Koebe Bir Çeyek Teoremi ... 12

3.3.3. Tanım ... 12

3.3.4. Bieberbach Teoremi ... 13

3.4. α DERECELİ YILDIZIL VE KONVEKS FONKSİYONLAR... 13

3.4.1. Tanım ... 13 3.4.2. Teorem ... 14 3.4.3. Alexander Teoremi ... 14 3.4.4. Teorem ... 15 3.4.5. Teorem ... 15 3.4.6. Teorem ... 16

3.5. α DERECELİ KONVEKSE YAKIN FONKSİYONLAR... 16

3.5.1. Tanım ... 16

3.5.2. Teorem ... 17

3.5.3. Kaplan Teoremi ... 18

3.5.4. Teorem ... 18

3.6. CAUCHY RİEMANN EŞİTLİĞİ ... 19

3.7. RİEMANN DÖNÜŞÜM TEOREMİ ... 19

3.7.1. Teorem ... 19

3.8. ÜNİVALENT FONKSİYONLARIN SINIFI ... 21

3.8.1. Tanım ... 21

3.8.2. Tanım ... 22

3.8.3. Teorem ... 23

3.9. BİRİM DİSK DIŞINDA ÜNİVALENT OLAN FONKSİYONLARIN SINIFI 24 3.9.1. Tanım ... 24

3.9.2. Teorem ... 24

3.9.3. Teorem ... 25

3.10. GROWTH VE DİSTORTİON TEOREMLERİ ... 25

3.10.1. Distortion Teoremi ... 25

3.10.2. Growth Teoremi ... 27

3.11. MEROMORF FONKSİYONLARIN BAZI ÖZELLİKLERİ ... 29

3.11.1. Tanım ... 29

3.11.2. Tanım ... 29

3.11.3. Teorem ... 29

3.12. RİEMANN YÜZEYLERİNDE MEROMORF FONKSİYONLAR ... 31

3.12.1. Tanım ... 31

3.12.3. Tanım ... 31

3.12.4. Tanım ... 31

3.12.5. Teorem ... 31

3.13. KARMAŞIK DÜZLEMDE REEL FONKSİYONLAR ... 33

3.13.1. Rogosinski Teoremi ... 33

3.13.2. Pozitif Reel Kısımlı Fonksiyonlar ... 34

3.13.3. Teorem ... 35

3.13.4. Teorem ... 35

3.14. BASİT BİR VARYASYON YÖNTEMİ ... 35

3.14.1. Tanım ... 35

3.15. KOMPLEKS MERTEBEDEN YILDIZIL VE KONVEKS FONKSİYONLAR ... 37 3.15.1. Tanım ... 37 3.15.2. Teorem ... 37 3.15.3. Teorem ... 37 3.15.4. Tanım ... 38 3.15.5. Teorem ... 38

3.16. KARMAŞIK SAYILARDA İNTEGRAL GENİŞLEME TEOREMİ ... 38

3.16.1. Tanım ... 38

3.16.2. Prawitz Teoremi ... 39

3.17. TEK DEĞİŞKENLİ FONKSİYONLAR ... 39

3.17.1. Littlewood-Paley Teoremi ... 40

3.17.2. Robertson Konjektörü ... 41

3.18. ASİMPTOTİK BİEBERBACH KONJEKTÖRÜ ... 41

3.18.1. Tanım ... 41

3.18.2. Nehari Teoremi ... 41

3.19. SCHWARZ LEMMASI VE UYGULAMALARI ... 43

3.19.1. Noneuclindea Metriği ... 43

3.19.2. Schwarz Toplama Teoremi ... 45

3.19.3. Teorem ... 45 3.20. CARATHЀODORY LEMMASI ... 45 3.20.1. Tanım ... 45 3.20.2. Teorem ... 46 3.20.3. Teorem ... 46

4. BULGULAR VE TARTIŞMA

5. SONUÇLAR VE ÖNERİLER

6. KAYNAKLAR

ÖZGEÇMİŞ

ŞEKİL LİSTESİ

Sayfa No Şekil 2.1. Yıldızıl bölge 5 Şekil 2.2. z noktasına göre yıldızıl bölge 5 Şekil 2.3. Konveks bölge 6

SİMGELER

A Analitik olan fonksiyon

ℂ Kompleks sayılar kümesi

D Bölge

𝜀 Komşuluk

𝑓(𝑧), 𝜑(𝑧) Z’ye bağlı fonksiyon

𝑓, 𝜑 Bir fonksiyon

K Konveks fonksiyon

lim Limit

Imz Kompleks sayılarda imajiner kısım

Rez Komleks sayılarda reel kısım

S Normalize edilmiş ünivalent fonksiyonlar

𝑆∗ _{Starlike (Yıldızıl) fonksiyon}

U Birim disk

𝑧₁, 𝑧₂, 𝑧₀, 𝑧 Bir nokta

W Kompleks sayılar

ÖZET

KOMPLEKS MERTEBEDEN YILDIZIL VE KONVEKS FONKSİYONLARIN ÖZELLİKLERİ

Melike ÇELEN Düzce Üniversitesi

Fen Bilimleri Enstitüsü, Matematik Anabilim Dalı Yüksek Lisans Tezi

Danışman: Prof. Dr. İsmet YILDIZ Haziran 2020, 57 sayfa

Geometrik fonksiyonlar teorisi, analitik kavramını tüm yönüyle ele alan ve bağdaştıran karmaşık bir analizin dalıdır. Karmaşık fonksiyonlar teorisi bir analitik fonksiyon teorisinin en muhteşem yönlerinden biridir. Bu çalışmada teorinin gelişimi için önemli olan Bieberbach varsayımını kullanarak ve iki eşitsizliğin yardımıyla 𝑓(𝑧) fonksiyonun 𝛼 dereceli yıldızıl ve konveks olma durumları gösterildi. Çalışma matematiğin potansiyel teorisi hiperbolik, geometrik ve dinamik sistemler gibi diğer alanlarıyla da ele alındı.

ABSTRACT

PROPERTIES OF COMPLEX ORDER STARLIKE AND CONVEX FUNCTIONS

Melike ÇELEN Duzce University

Graduate School of Natural and Applied Sciences, Department of Mathematic Master’s Thesis

Supervisor: Prof. Dr. İsmet YILDIZ June 2020, 57 pages

The theory of geometric functions is the branch of a complex analysis that deals with and integrates the concept of analytics in its entirety. Complex functions theory is one of the most amazing aspects of analytical function theory. In this study, 𝛼 order stellar and convex states of 𝑓(𝑧) function are shown by using Bieberbach’s assumption which is important for the development of the theory and with the help of two inequalities. The potential theory of the study was also discussed with other areas such as hyperbolic, geometric and dynamic systems.

1. GİRİŞ

Matematikte tanım oluştururken bazı genel unsurlar dikkate alınmalıdır. Aynı zamanda matematiksel kavramlar olduğu gibi genel başka bir kavramın özel durumu da olabilir. Matematikte kavramlar birbirleri üzerine inşa edilirler. Örneğin fonksiyon kavramı matematikte önemli bir yere sahiptir ve kendi içerisinde birden fazla fonksiyon çeşidi barındırmaktadır. Fonksiyon çeşitlerinden yıldızıl ve konveks fonksiyonlar eski bir konu olmasına rağmen günümüzde önemli bir yere sahiptir. Tartışmalara konu olan bu fonksiyonlar tüm konuyu içerisinde barındıran geometri ve analiz arasındaki etkileşimi gösteren bazı özel durumlara sahiptir.

Bu çalışmada 𝑓(𝑧) fonksiyonun 𝛼 dereceli olan yıldızıl ve konveks fonksiyonların sınıfı gösterilmiştir.

2. KAVRAMLAR

Bölüm 1, Tezin Giriş kısmıydı. Bölüm 2 ve sonrası tezin içeriğindeki bölüm başlıklarını ve alt başlıkları içerir.

2.1.KURAMSALKAVRAMLAR

Bu kısımda çalışmamız için önemli olan bazı tanım ve teoremler verilecektir.

2.1.1. Tanım (Karmaşık Fonksiyon)

𝑓: 𝑈 → 𝐶 ve 𝑈 ⊂ 𝐶 olmak üzere her bir 𝑧 ∈ 𝑈 noktası için 𝑤 = 𝑓(𝑧) karmaşık sayısına karşılık gelen kurala karmaşık fonksiyon denir.

2.1.2. Tanım (Dizi)

𝑓: 𝑈 → 𝐶, 𝑓(𝑛) = 𝑧_𝑛 biçiminde tanımlanan fonksiyona 𝑈’da bir karmaşık dizi denir.

2.1.3. Tanım (Seri)

𝑧_𝑛 ∈ C olmak üzere,

𝑧1+𝑧2+... +𝑧𝑛 +…= ∑∞𝑛=1𝑧𝑛

biçiminde ki toplama seri denir.

2.1.4. Tanım (Yakınsak Seri)

∑∞_𝑛=1𝑧_𝑛 karmaşık seri ve (𝑢_𝑛) de bu serinin kısmi toplamlar dizisi olarak tanımlansın. (𝑢_𝑛) dizisi bir 𝑢₀ değerine yakınsıyorsa ∑∞_𝑛=1𝑧_𝑛 serisi 𝑢₀ değerine yakınsıyor denir.

2.1.5. Tanım (Kuvvet Serisi)

𝑧₀ ∈ C olmak üzere, ∑ 𝑎_𝑛(𝑧 − 𝑧₀)𝑛

∞

𝑛=0

= 𝑎₀ + 𝑎₁(𝑧 − 𝑧0) + 𝑎2(𝑧 − 𝑧0)2+ ⋯ + 𝑎𝑛(𝑧 − 𝑧0)𝑛+ ⋯

2.1.6. Tanım (Bölge)

Bir karmaşık düzlemde açık ve bağlantılı kümelere bölge denir.

2.1.7. Tanım (Basit Bağlantılı Bölge)

Karmaşık düzlemde bir 𝐷 bölgesi üzerinde tüm basit kapalı eğrilerin içi yine 𝐷 bölgesinde kalıyorsa bu bölgeye basit bağlantılı bölge denir.

2.1.8. Tanım (Süreklilik)

𝑈 ⊂ 𝐶 ve 𝑓: 𝑈 → 𝐶 tanımlı bir fonksiyon ve 𝑧, 𝑧0 ∈ 𝑈 verilsin. 𝜀 > 0 keyfi bir sayı

olmak üzere |𝑧 − 𝑧₀| < 𝛿 iken |𝑓(𝑧) − 𝑓(𝑧₀)| < 𝜀 olacak biçimde bir 𝛿 > 0 sayısı varsa 𝑓(𝑧) fonksiyonu 𝑧₀’da süreklidir denir.

2.1.9. Tanım (Yakınsaklık)

Karmaşık sayılarda bir (𝑧𝑛) dizisi ve 𝑧0 ∈ 𝐶 verilsin. Her 𝜀 > 0 için 𝑛 ≥ 𝑛0 iken |𝑧𝑛−

𝑧₀| < 𝜀 olacak biçimde bir 𝑛₀ doğal sayısı bulunabiliyorsa, (𝑧_𝑛) dizisi 𝑧₀ karmaşık sayısına yakınsıyor denir. (𝑧_𝑛) dizisinin 𝑧₀ kompleks sayısına yakınsaması 𝑧_𝑛 → 𝑧₀ şeklinde gösterilir.

2.1.10. Tanım (ε-Komşuluğu)

𝑧0 ∈ 𝐶 olsun.

𝐷(𝑧₀, 𝜀) = {𝑧 ∈ 𝐶 ∶ |𝑧 − 𝑧₀| < 𝜀} kümesine 𝑧₀ noktasının ε komşuluğu denir.

2.1.11. Tanım (İç Nokta)

𝑈 ⊂ 𝐶 ve 𝑧0 ∈ 𝑈 olsun. 𝑈 kümesi 𝑧0’ın bir ε komşuluğunu içeriyorsa, başka bir

ifadeyle, 𝑧0’ın bir 𝜀 komşuluğu tamamıyla 𝑈 kümesinde ise o zaman bu 𝑧0 noktasına

𝑈’nun bir iç noktası denir.

2.1.12. Tanım (Diferansiyellenebilir Fonksiyon)

𝑈 ⊂ 𝐶 ve 𝑓: 𝑈 → 𝐶 tanımlı bir fonksiyon ve 𝑧₀, 𝑈’nun bir iç noktası olsun. lim

𝑧→𝑧0

𝑓(𝑧) − 𝑓(𝑧0)

olacak şekilde limiti varsa, 𝑓 fonksiyonuna 𝑧0 noktasında diferansiyellenebilir

fonksiyon denir. Bu limit 𝑓′(𝑧0) ya da 𝑑𝑓_𝑑𝑧(𝑧0) biçiminde gösterilir.

2.1.13. Tanım (Singüler Nokta)

𝑤 = 𝑓(𝑧) karmaşık fonksiyonun analitik olmayan bir z noktasına 𝑓 fonksiyonunun singüler noktası denir.

2.1.14. Tanım (Kutup Noktası)

𝑓 fonksiyonu, 𝑧 = 𝑧0 noktasında analitik olmasın. Eğer 𝑓 fonksiyonu

𝑙𝑖𝑚

𝑧→𝑧0(𝑧 − 𝑧0

)𝑚_{𝑓(𝑧) = 𝑈 ≠ 0}

ifadesini sağlıyorsa ve 𝑛 ∈ ℤ+ _{sayısı mevcut ise 𝑧 = 𝑧}

0 noktasına 𝑓 fonksiyonun bir

kutup noktası denir.

2.1.15. Tanım (Analitik Fonksiyon)

𝑓(𝑧)’nin 𝑧0’da 𝑓′(𝑧0) türevi mevcut ve 𝑧0’ın bir Dε(z0) = {z : |z −z0| < ε}

komşuluğundaki her noktada türevi varsa bu durumda f , 𝑧₀’da analitiktir denir [1].

2.1.16. Tanım (Eğri)

[𝑎, 𝑏] ⊂ 𝐶 olmak üzere sürekli olan bir :[𝑎, 𝑏] → 𝐶 fonksiyonuna C düzleminde bir eğri denir. (𝑎) = (𝑏) ise kapalı eğri denir. 𝑡₁ = 𝑡₂ için (𝑡₁) =(𝑡₂) ise bu eğriye

basit eğri ya da Jordon eğrisi denir. 2.1.17. Tanım (Taylor Teoremi)

𝑓(𝑧) fonksiyonu 𝑧₀ merkezli ve 𝑟 yarıçaplı bir  çemberinde ve  eğrisinin içindeki her 𝑧 noktasında analitik ise bu noktanın bir komşuluğunda

𝑓(𝑧) = ∑𝑓 𝑛_(𝑧 0) 𝑛ǃ ∞ 𝑛=0 (𝑧 − 𝑧0)𝑛

biçiminde bir seri açılımı vardır. Bu açılıma 𝑓(𝑧) fonksiyonun 𝑧₀ noktasındaki Taylor açılımı denir.

2.1.18. Tanım (Maclaurin Serisi)

Taylor serisinin özel bir hali olan, 𝑧0 = 0 yazıldığında

𝑓(𝑧) = ∑𝑓𝑛(0) 𝑛ǃ

∞

𝑛=0

𝑧𝑛

ifadesini veren serilere Maclaurin serisi denir.

2.1.19. Tanım (Yıldızıl Bölge)

𝐷 ⊂ 𝐶 ve 𝑧0 ∈ D ⊂ C olsun. Eğer her 𝑧 ∈ D ⊂ C noktası yani her bir nokta D

bölgesinde 𝑧0 ile birleştirilebiliyorsa buna 𝑧0 noktasına göre yıldızıl bölge denir.

Im

Re

Şekil 2.1. Yıldızıl bölge.

Im

X Re

Şekil 2.2. z noktasına göre yıldızıl bölge.

Eğer bir 𝑓 fonksiyonu 𝑈 = {𝑧: |𝑧| < 1} birim diskini 𝑧₀ noktasına göre yıldızıl bir bölgeye resmediyorsa, 𝑓 fonksiyonuna 𝑧0 noktasına göre yıldızıl fonksiyon denir. Özel

olarak, 𝑓 fonksiyonu 𝑈 = {𝑧: |𝑧| < 1} birim diskini yıldızıl bir bölgeye resmediyorsa, 𝑓 fonksiyonuna yıldızıl fonksiyon denir.

2.1.20. Tanım (Konveks Bölge)

𝐷 ⊂ 𝐶 olmak üzere her z₁, z₂∈ 𝐷 ⊂ 𝐶 için bu iki noktayı birleştiren bütün yollar D içerisinde kalıyorsa buna C’de bir konveks bölge denir.

Şekil 2.3. Konveks bölge.

2.2. YILDIZIL VE KONVEKS FONKSİYONLARIN ÖZELLİKLERİ

Şimdiki bölümde konunun içeriğini oluşturan tanımlar ve teoremler ele alacaktır.

2.2.1. Tanım (Yıldızıl Fonksiyon)

𝑓(𝑧), |𝑧| < 1 de yıldızıl ise

𝑅𝑒 ( 𝑧𝑓′(𝑧)

𝑓(𝑧) ) > 0

ve 𝑓(𝑧) ≠ 0 dır. Yıldızıl fonksiyonların kümesi 𝑆∗ _{ile gösterilir.}

2.2.2. Tanım (Konveks Fonksiyon)

𝑓(𝑧), |𝑧| < 1 de analitik ve konveks fonksiyon ise 𝑅𝑒 (1 +𝑧𝑓′′(𝑧)

𝑓′(𝑧) ) > 0 ve 𝑓′(𝑧) ≠ 0 dır.

2.2.3. Tanım (A Sınıfı)

𝑓 karmaşık düzlem üzerinde bir fonksiyon ve |𝑧| < 1 üzerinde analitik olsun. Eğer 𝑓(𝑧) = 𝑧 + ∑ 𝑎𝑛𝑧𝑛

𝑛≥2

şeklinde ifade edilen f fonksiyonu 𝑓(0) = 0, 𝑓 ′(0) = 1 koşullarını sağlıyorsa bu fonksiyonların kümesine A sınıfı denir.

2.2.4. Tanım (Ünivalent Fonksiyon)

D karmaşık düzlem üzerinde bir bölge ve

𝑤 = 𝑓(𝑧) = 𝑧 + ∑ 𝑎_𝑛𝑧𝑛 𝑛≥2

fonksiyonu analitik ve birebir ise bu 𝑓 fonksiyonuna ünivalent fonksiyon denir.

2.2.5. Tanım (S Sınıfı)

𝑓 karmaşık düzlem üzerinde bir fonksiyon ve |z|< 1 üzerinde analitik olsun. Eğer 𝑓(𝑧) = 𝑧 + ∑ 𝑎𝑛𝑧𝑛

𝑛≥2

şeklinde ifade edilen 𝑓 fonksiyonu ünivalent ve 𝑓(0) = 0, 𝑓 ′(0) = 1 şartlarını sağlıyorsa bu fonksiyonların kümesine S sınıfı denir.

2.2.6. Tanım (Konvekse Yakın Fonksiyonlar)

𝑔 konveks bir fonksiyon ve 𝑓’de 𝑈 = {𝑧: |𝑧| < 0} birim diskinde analitik olsun. Eğer, 𝑅𝑒 (𝑓 ′(𝑧)

𝑔 ′(𝑧)) > 0

ise 𝑓(𝑧) konvekse yakın fonksiyon denir. Ayrıca her konvekse yakın fonksiyon ünivalenttir.

2.2.7. Teorem (Schwarz Fonksiyonu)

𝑈 = {𝑧: |𝑧| < 0} birim diskinde analitik ve

𝑤(𝑧) = ∑ 𝑎_𝑛𝑧𝑛 ∞

ile tanımlanan 𝑤(𝑧) fonksiyonu 𝑤(0) = 0 ve |𝑤(𝑧)| < 1 şartlarını sağlıyorsa bu fonksiyona Schwarz fonksiyonu denir ve Ω ile gösterilir.

2.2.8. Tanım (Subordinasyon Prensibi)

𝑈 = {𝑧: |𝑧| < 0} birim diskinde 𝑓 ve 𝑔 analitik ancak ünivelant olmayan iki fonksiyon olsun. 𝑈 = {𝑧: |𝑧| < 0} birim diskinde

𝑓(𝑧) = 𝑔(𝑤(𝑧))

olacak şekilde 𝑤 ∈ 𝛺 fonksiyonu bulunuyorsa 𝑓 fonksiyonu 𝑔 fonksiyonuna subordinedir denir. 𝑓 ≺ 𝑔 ile gösterilir.

2.2.9. Tanım (Schwarz Lemması)

U birim disk içerisindeki f analitik ve 𝑓(0) = 0, |𝑓(𝑧)| < 1 verilmiş olsun. O halde

|𝑓 ′(0)| ≤ 1 ve 𝑓(𝑧) ≤ |𝑧| olur. 𝑓′ de öngörülemeyen kesin eşitsizlikler disk de dönme yaparsa

𝑓(𝑧) = 𝑒𝑖𝜃_𝑧

ifadesi elde edilir.

2.2.10. Tanım (Meromorf Fonksiyon)

𝐷 karmaşık düzlem üzerinde bir bölge olsun. Bu bölge üzerinde kutup noktalarından başka singüler noktası olmayan fonksiyonlara meromorf fonksiyon denir.

2.2.11. Tanım (Konform Dönüşüm)

𝐷 ⊂ 𝐶 bölgesinde 𝑓: 𝐷 → 𝐶 fonksiyonu sürekli olsun. Aralarında 𝛽 açısı olan ve 𝑧₀ ∈ 𝐷 noktasından geçen ve düzgün ₁,₂ eğrilerinin görüntü eğrileri 𝑓(₁) ve 𝑓(₂) de 𝑓(z₀) = 𝑤₀ noktasında aynı büyüklük ve aynı yönde 𝛽 açısı yapıyorsa 𝑓 fonksiyonuna 𝑧0 ∈ 𝐷 noktasında bir konform dönüşümdür denir.

2.2.12. Tanım (Laurent Serisi)

Herhangi bir 𝑓 karmaşık fonksiyonu z=𝑧₀ noktasında analitik değilse bu noktaya 𝑓 fonksiyonun tekil noktası denir. Örneğin _{𝑧 = 5𝑖 ve 𝑧 = −5𝑖 sayıları 𝑧 (𝑧⁄ 2+ 25)} fonksiyonun tekil noktalarıdır. Çünkü 𝑓 bu noktalarda süreksiz bir fonksiyondur.

2.2.13. Tanım (Bieberbach Tahmini)

Eğer

𝑓(𝑧) = 𝑧 + ∑ 𝑎𝑛𝑧𝑛 ∞

𝑛=2

ile tanımlanan 𝑓(𝑧) fonksiyonu S sınıfına ait ise her 𝑛 ≥ 2 için |𝑎𝑛| ≤ 𝑛 eşitsizlikleri

3. MATERYAL VE YÖNTEM

3.1. KONVEKS BÖLGELER 3.1.1. Tanım

Bir küme, iki nokta arasında bir doğru parçası içeriyorsa konvekstir. Konveks bir bölgede birim disk üzerinde birebir olan analitik bir f fonksiyonu tanımlayalım. Basit olması için, bu tür fonksiyonlara konveks ünivalent denir [2].

3.1.2. Teorem

𝐷 bölgesinde 𝑓 fonksiyonu analitik bir fonksiyon olmak şartıyla eğer konveks ise ünivelanttır. Her 𝑧 ∈ 𝐷 olmak üzere

𝑅𝑒𝑧𝑓′′(𝑧) 𝑓′(𝑧) ≥ −1. O halde, |𝑧𝑓′′(𝑧) 𝑓′(𝑧) − 2|𝑧|2 1 − |𝑧|2| ≤ 2|𝑧| 1 − |𝑧|2

eşitsizlikleri elde edilir.

3.2. CAUCHY İNTEGRAL FORMÜLÜ 3.2.1. Teorem 𝑛 = 1 için 𝑓𝑛_{(𝑧) =} 𝑛ǃ 2𝜋𝑖∫ 𝑓(ϛ) (ϛ − 𝑧)𝑛+1 г 𝑑ϛ

|𝑧| < 𝑅 için 𝑓(𝑧) = ∑ 𝑎∞0 𝑛𝑧𝑛 ise o halde 0 < г < 𝑅 ve n=0,1,2,… için

𝑎𝑛 = 1 2𝜋𝑖 ∫ 𝑓(ϛ) ϛ𝑛+1𝑑ϛ 𝑐г = 1 2𝜋∫ 𝑓(𝑟𝑒𝑖𝜃_)𝑒−𝑖𝑛𝜃 𝑟𝑛 2𝜋 0 𝑑𝜃

Daha genel olarak, 𝑎 < |𝑧| < 𝑏 bölgesinde düzenli olduğunu ve Laurent genişlemesinin 𝑓(𝑧) = ∑ 𝑎_𝑛𝑧𝑛

∞

𝑛=−∞

olduğunu varsayalım. Sonra (a,b) de ki her 𝑟 için ve her bir 𝑛 tamsayısı için 𝑎𝑛

yukarıdaki denklemi verir [3].

3.3. KOEBE FONKSİYONU S sınıfında bulunan ve 𝑘(𝑧) = 𝑧 1 − 𝑧2 = 𝑧 + 2𝑧2+ 3𝑧3+ ⋯ = ∑ 𝑛𝑧𝑛 ∞ 𝑛=1

biçiminde ifade edilen fonksiyona Koebe fonksiyonu denir. Bu fonksiyon birim çemberi 𝐶 − (−∞, −1₄) bölgesine dönüştürür. 3.3.1. Teorem Eğer 𝑓(𝑧) = 𝑧 + ∑ 𝑎𝑘𝑧𝑘 ∞ 𝑘=2

fonksiyonu 𝑆∗sınıfında ise her 𝑛 için |𝑎_𝑛| ≤ 𝑛 dir. Bu eşitsizlik nettir ve Koebe fonksiyonunun bir rotasyonu için eşitlik vardır.

İspat

𝑓(𝑧) ∈ 𝑆∗ _{olsun. Re[}𝑧𝑓′(𝑧)

𝑓(𝑧)] ≥ 0 olduğundan 𝑧𝑓′(𝑧)

𝑓(𝑧) reel kısmı pozitif olan fonksiyonlar

𝑃 sınıfına aittir. Bu sınıfa ait fonksiyon tanımı 𝑧𝑓′(𝑧) 𝑓(𝑧) = 1 + ∑ 𝑏𝑘𝑧𝑘 = 𝑔(𝑧) (3.1) ∞ 𝑘=1 biçimindedir. Burada 𝑔(𝑧) ∈ 𝑃 ise |𝑏𝑘| ≤ 2, 𝑘 = 1,2, … için

𝑓(𝑧) = 𝑧 + ∑ 𝑎𝑘𝑧𝑘 ∞ 𝑘=2 , 𝑓′(𝑧) = 1 + ∑ 𝑘𝑎𝑘𝑧𝑘−1 ∞ 𝑘=2 , 𝑧𝑓′(𝑧) = 𝑧 + ∑ 𝑘𝑎𝑘𝑧𝑘 ∞ 𝑘=2

Eşitlikleri Denlem (3.1) de yerine yazılırsa

𝑧𝑓′_{(𝑧) = 𝑧 + ∑ 𝑘𝑎} 𝑘𝑧𝑘 ∞ 𝑘=2 = (𝑧 + ∑ 𝑎𝑘𝑧𝑘 ∞ 𝑘=2 ) (1 + ∑ 𝑏𝑘𝑧𝑘 ∞ 𝑘=1 ) ⟹ 𝑧 + 2𝑎2𝑧2 + 3𝑎3𝑧3+ ⋯ = (𝑧 + 𝑎2𝑧2+ 𝑎3𝑧3+ ⋯ )(1 + 𝑏1𝑧 + 𝑏2𝑧2+ ⋯ ) ⟹ 𝑧 + 2𝑎2𝑧2+ 3𝑎3𝑧3+ ⋯ = 𝑧 + (𝑎2+𝑏1)𝑧𝑛+ (𝑎3+𝑎2𝑏1+ 𝑏2)𝑧3 ⟹ 𝑛𝑎𝑛 = 𝑎𝑛+ ∑ 𝑎𝑛−𝑘 𝑛−2 𝑘=1 𝑏𝑘+ 𝑏𝑛−1

elde edilir. 𝑘 = 2 için 2𝑎₂ = 𝑎₂+ 𝑏₁ ⟹ 𝑎₂= 𝑏₁ ⟹ |𝑎₂| ≤ 2, |𝑏1| ≤ 2 olur. |𝑎𝑘| ≤ 𝑘

olsun. |(𝑛 − 1)𝑎𝑛| = |∑ 𝑎𝑛−𝑘𝑏𝑘+ 𝑏𝑛−1 𝑛−2 𝑘=1 | ≤ ∑|𝑎𝑛−𝑘||𝑏𝑘| + |𝑏𝑛−1| ≤ 2 ∑ |𝑎𝑛−𝑘 𝑛−2 𝑘=1 𝑛−2 𝑘=1 | + 2 = 2 (1 + ∑ |𝑎_𝑛−𝑘| 𝑛−𝑘 𝑘=1 ) = 2(1 + |𝑎_𝑛−1|+|𝑎_𝑛−2| + ⋯ + |𝑎₂|) ≤ 2 ∑ 𝑘 = 2(𝑛 − 1)𝑛 2 𝑛−1 𝑘=1 = 𝑛(𝑛 − 1) ⟹ |(𝑛 − 1)𝑎𝑛| ≤ (𝑛 − 1)𝑛

elde edilir. 𝑛 ≥ 2 için |𝑎_𝑛| ≤ 𝑛 olur [4].

3.3.2. Teorem(Koebe Bir Çeyrek Teoremi)

S sınıfından olan her bir fonksiyonun aralığı {𝑤: |𝑤| <1₄} diskinde yer alır.

3.3.3. Tanım

S ile yakından ilişkili olan bir bölge sınıfı,

∑= {𝑔: 𝐷 → 𝐶: 𝑔, 𝐷 ü𝑧𝑒𝑟𝑖𝑛𝑑𝑒 ü𝑛𝑖𝑣𝑎𝑙𝑒𝑛𝑡, lim

𝑧→∞𝑔(𝑧) = ∞, 𝑔

′_{(∞) = 1 }}

3.3.4. Teorem(Bieberbach Teoremi)

𝑓 ∈ 𝑆 ve |𝑎2| ≤ 2 ise Koebe fonksiyonu dönüşümü olan 𝑓yalnızca şu şekilde eşit olur.

İspat 𝑓(𝑧) = 𝑧 + 𝑎₂𝑧2_{+ 𝑎} 3𝑧3+ ⋯ verilmiş olsun. ℎ(𝑧) = √𝑓(𝑧2_{) = 𝑧 +}𝑎2 2 𝑧3+ ⋯

elde etmek için karekök dönüşümü yapılsın. Bölgeye ℎ inversiyonu yapılırsa 𝑔(𝑧) = 1 ℎ(1 𝑧)⁄ = 1 𝑓(1 𝑧_⁄ 2₎1 2⁄ = 1 1 𝑧⁄ + 𝑎2 2𝑧3+ ⋯ = 𝑧 ( 1 1 + 𝑎2 2𝑧2+ ⋯ ) = 𝑧 −𝑎2 2 1 𝑧+ ⋯

bulunur. Burada 𝑔 bölgesi ∑’ya aittir. Böylece sonuç |𝑎2| ≤ 2 dir. Eğer |𝑎2| = 2 ise

𝑔,

𝑓(1 𝑧2_{) =} 𝑧2

𝑧4 _{− 2𝑒}𝑖𝜃_𝑧2_{+ 𝑒}2𝑖𝜃

⁄ ile aynı olan

𝑔(𝑧) = 𝑧 − 𝑒𝑖𝜃_{⁄ 𝑧}

formuna indirgenir. D’de ki 𝑤 = 1 𝑧_{⁄ koordinatı kullanılarak} 2

𝑓(𝑤) = 𝑤

(1 − 𝑒𝑖𝜃_𝑤)2 = 𝑒−𝑖𝜃

𝑒𝑖𝜃_𝑤

(1 − 𝑒𝑖𝜃_𝑤)2 = 𝑒−𝑖𝜃𝑘(𝑒𝑖𝜃𝑤),

sonucu çıkarıldı. Burada 𝑘 Koebe fonksiyonudur.

3.4. 𝜶 DERECELİ YILDIZIL VE KONVEKS FONKSİYONLAR 3.4.1 Tanım

𝑓: 𝐷 ⊂ 𝐶 analitik bir fonksiyon ve 0 ≤ 𝛼 < 1, 𝑓(0) = 0 ve 𝑓′(0) ≠ 0 olsun. 𝑅𝑒 [𝑧𝑓′(𝑧)

ise 𝑓 fonksiyonuna 𝛼 dereceli yıldızıl fonksiyon denir ve 𝑆∗_{(𝛼) ile gösterilir. Eğer}

𝑅𝑒 [1 +𝑧𝑓′′(𝑧)

𝑓′(𝑧) ] > 𝛼, 𝑧 ∈ 𝐷

ise 𝑓 fonksiyonuna 𝛼 dereceli konveks fonksiyon denir ve 𝐾(𝛼) ile gösterilir.

3.4.2. Teorem

𝑓(𝑧) kapalı bir disk 𝐸̅̅̅̅: |𝑧| ≤ 𝑅’de düzenli ve ünivalent olsun. Öyleyse 𝑓, 𝐸_𝑅 ̅̅̅̅ ‘yi _𝑅 konveks bir bölgeye dönüştürür yalnızca

𝑅𝑒 [1 +𝑧𝑓′′(𝑧)

𝑓′(𝑧) ] ≥ 0, (3.2) için z, 𝐶𝑟: |𝑧| = 𝑅.

𝑓(0) = 0 olsun. O halde 𝑓, 𝐸̅̅̅̅’ yi 𝑤𝑅 0’ a göre yıldızıl bir bölgeye dönüştürür yalnızca

𝑅𝑒 [𝑧𝑓′(𝑧)

𝑓(𝑧) ] ≥ 0, (3.3) için z, 𝐶_𝑟: |𝑧| = 𝑅.

3.4.3. Teorem(Alexander Teoremi)

Konveks ve ilk Alexander tarafından bulunan yıldızıl fonksiyonlar arasında temel bir bağıntı vardır. Herhangi bir 𝑓(𝑧) için

𝐹(𝑧) = 𝑧𝑓′(𝑧) yazılır. O halde 𝑧𝐹′(𝑧) 𝐹(𝑧) = 𝑧 𝑓′_{(𝑧) + 𝑧𝑓′′(𝑧)} 𝑧𝑓′(𝑧) ve burada 𝐹(𝑧) ≠ 0 olduğundan dolayı

𝑧𝐹′(𝑧)

𝐹(𝑧) = 1 +

𝑧𝑓′′(𝑧)

𝑓′(𝑧) (3.4) 𝑓, orjin noktasında sıfırıncı bir sıraya sahipse, Denklem (3.4)’ün her iki tarafı orjine göre düzenli olur. Şimdi Denklem (3.4) konveks ve starlike fonksiyonlar için Denklem (3.2) ve (3.3) eşitsizlikleri karşılaştırılmıştır. Böylelikle

𝑅𝑒 [𝑧𝐹′(𝑧) 𝐹(𝑧) ] = 𝑅𝑒 [1 + 𝑧𝑓′′(𝑧) 𝑓′(𝑧) ] elde edilir. 3.4.4. Teorem 𝑓 ∈ 𝐾 ise 𝑓 ∈ 𝑆∗₍1

2). Sonuç açık ve net olup büyütülemez [5].

3.4.5. Teorem 𝑓: 𝐷 ⊂ 𝐶 ve 𝑧 ∈ 𝐷 olmak üzere 𝑓(𝑧) = 𝑧 + ∑ 𝑎𝑘𝑧𝑘. ∞ 𝑘=2 Burada 0 ≤ 𝛼 < 1. Eğer 𝑓(𝑧) = ∑(𝑘 − 𝛼)|𝑎𝑘| ≤ 1 − 𝛼 (3.5) ∞ 𝑘=2 ise 𝑓 ∈ 𝑆∗_{(𝛼) olur.} İspat Denklem (3.5) den ∑|𝑎𝑛| ≤ ∑ 𝑘 − 𝛼 1 − 𝛼|𝑎𝑘| ≤ 1 ∞ 𝑘=2 ∞ 𝑘=2

yazılabilir. Aynı zamanda

|𝑧𝑓′_{(𝑧) − 𝑓(𝑧)| − (1 − 𝛼)|𝑓(𝑧)| = |∑(𝑘 − 1)𝑎} 𝑘𝑧𝑘 ∞ 𝑘=2 | − (1 − 𝛼) |𝑧 + ∑ 𝑎_𝑘𝑧𝑘 ∞ 𝑘=2 | ≤ ∑(𝑘 − 1)|𝑎_𝑘||𝑧|𝑘_{− (1 − 𝛼) (|𝑧| − ∑|𝑎} 𝑘||𝑧|𝑘 ∞ 𝑘=2 ) ∞ 𝑘=2 ≤ |𝑧| (∑(𝑘 − 𝛼)|𝑎𝑘| − (1 − 𝛼) ∞ 𝑘=2 ) ≤ 0 bulunur. Burada,

|1 −𝑧𝑓′(𝑧)

𝑓(𝑧) | ≤ 1 − 𝛼 ya da

𝑅𝑒 [𝑧𝑓′(𝑧) 𝑓(𝑧) ] ≥ 𝛼

elde edilir. Benzer olarak bu teoremin ispatını 𝛼 dereceli konveks fonksiyonlar içinde yapmak mümkündür.

3.4.6. Teorem

𝑓(𝑧) = 𝑧 + 𝑎₂𝑧2 _{+ ⋯ yıldızıl bir fonksiyon ise o halde}

|𝑎_𝑘| ≤ 𝑘 (𝑘 = 1,2, … ). 𝑓(𝑧) yıldızıl veya bir konveks fonksiyon ise o halde

|𝑎𝑘| ≤ 1 (𝑘 = 1,2, … )

olur. Eşitsizlik yalnızca sırasıyla

𝑓(𝑧) = 𝑧 (1 − 𝑒𝑖𝛽_𝑧)2, 𝑓(𝑧) = 𝑧 1 − 𝑒2𝑖𝛽_𝑧2, 𝑓(𝑧) = 𝑧 1 − 𝑒𝑖𝛽_𝑧 𝛽 ∈ 𝑅 için geçerlidir [6].

Yıldızıl ve konveks ait makaleleri daha ayrıntılı bir literatürden listeleriz: [7], [8], [9], [10].

3.5. 𝜶 DERECELİ KONVEKSE YAKIN FONKSİYONLAR 3.5.1. Tanım

𝑓: 𝐷 ⊂ 𝐶 analitik bir fonksiyon ve 0 ≤ 𝛼 < 1, 𝑔′(𝑧) ≠ 0 olsun. 𝑅𝑒 (𝑓′(𝑧)

𝑔′(𝑧)) > 0, 𝑧 ∈ 𝐷 (3.6) ise 𝑓 fonksiyonuna konvekse yakın fonksiyon denir ve 𝐾 ile gösterilir. Denklem (3.6)’nın konveksliğe yakın tanımı,

𝑓(𝑧) = 𝑧 + ∑ 𝑎𝑘𝑧𝑘 ∞

𝑘=2

ile tanımlanan fonksiyonunun 𝐷 bölgesinde konveks ve 𝑔(𝑧) = 𝑧 + ∑ 𝑏_𝑘𝑧𝑘

∞

𝑘=2

ile tanımlanan fonksiyonun analitik ve yıldızıl olması durumunda, 𝑅𝑒𝑧𝑓′(𝑧)

𝑔(𝑧) > 𝛼 olduğu görülür ve K(𝛼) ile gösterilir. Burada 0 ≤ 𝛼 < 1.

3.5.2. Teorem

𝑓(𝑧) = 𝑧 + ∑∞ 𝑎_𝑛𝑧𝑛

𝑛=2 ve 𝑔(𝑧) = ∑∞𝑛=2𝑏𝑛𝑧𝑛 fonksiyonları 𝐷 bölgesi üzerinde analitik

olsun. O halde 𝑧𝑔′(𝑧) 𝑔(𝑧) ≺ 1 − 𝛼𝑧 1 + 𝛽𝑧 ve 1 + 𝑅𝑒𝑧𝑓′′(𝑧) 𝑓′(𝑧) ≧ 1 + 𝛼 1 − 𝛽− 1 2𝑐 𝐷’de olsun, burada 0 < 𝛼 < 1, 0 < 𝛽 < 1, 0 < 𝑐 < 1,

1 + 𝛼 1 − 𝛽− 1 2𝑐 < 1 ve keyfi 𝑟(0 < 𝑟 < 1) için, min |𝑧|=𝑟(𝑅𝑒 𝑧𝑓′(𝑧) 𝑔(𝑧) ) = (𝑅𝑒 𝑧0𝑓′(𝑧0) 𝑔(𝑧0) ) ≠ 𝑧0𝑓′(𝑧0) 𝑔(𝑧0) , |𝑧0| = 𝑟 O zaman, 𝑅𝑒𝑧𝑓′(𝑧) 𝑔(𝑧) > 𝑐

olduğunu göstermektedir [11].

3.5.3. Teorem(Kaplan Teoremi)

𝐷 bölgesinde 𝑓′(𝑧) ≠ 0 verilsin. 𝑓(𝑧) ∈ 𝐾 olmak üzere yalnızca ∫ 𝑅𝑒 {1 +𝑧𝑓′′(𝑧) 𝑓′(𝑧) } 𝑑𝜃 > −𝜋, 𝑧 = 𝑟𝑒𝑖𝜃. 𝜃2 𝜃1 Örnek 𝑓(𝑧) = 𝑧𝑛

fonksiyonu tanımlansın. Her iki eşitliğin türevleri alınırsa, 𝑓′_{(𝑧) = 𝑛𝑧}𝑛−1

𝑓′′_{(𝑧) = 𝑛(𝑛 − 1)𝑧}𝑛−2

bulunur. Şimdi gerekli işlemler yerine yazılırsa 𝑅𝑒 {1 +𝑧𝑛(𝑛 − 1)𝑧

𝑛−2

𝑛𝑧𝑛−1 } > 0,

sonra gerekli sadeleştirme işlemleri yapılırsa, 𝑅𝑒{𝑛} > 0

bulunur. Fonksiyonun yukarıdaki şartları sağlaması konvekse yakın olabilmesi için yeterli değildir. O halde, fonksiyonun ünivalent olup olmadığı incelenir:

𝑓(𝑧1) − 𝑓(𝑧2) = 𝑧1𝑛− 𝑧2𝑛

= (𝑧1− 𝑧2)(𝑧1𝑛−1+ ⋯ + 𝑧2𝑛−1)

𝑛 çift ise 𝑧₁ = 𝑧, 𝑧₂(−𝑧) olup görüntüsü farklı ise 𝑓(𝑧₁) ≠ 𝑓(𝑧₂) olur.

3.5.4. Teorem

Her konvekse yakın fonksiyon ünivalenttir.

İspat

𝑓 ∈ 𝐾 ise öyle bir 𝑔 ∈ 𝐶 için

𝑅𝑒 {𝑓′(𝑧) 𝑔′(𝑧)} > 0

ℎ(𝑤) = 𝑓(𝑔−1_{(𝑤)), 𝑤 ∈ 𝐷}

fonksiyonu olsun. O halde,

ℎ′_{(𝑤) =} 𝑓′(𝑔−1(𝑤))

𝑔′(𝑔−1_(𝑤)) =

𝑓′(𝑧) 𝑔′(𝑧) olduğundan ℎ(𝑤) ünivalenttir.

3.6. CAUCHY RİEMANN EŞİTLİĞİ

𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑢(𝑥, 𝑦) + 𝑖𝑣(𝑥, 𝑦) fonksiyonu alalım. Burada f fonksiyonu z=x+iy noktasında türevli ise u ve v fonksiyonlarının türevleri vardır. Bu türevler de Cauchy-Rieamann denklemlerini sağlar. Yani:

𝜕𝑢 𝜕𝑥 = 𝜕𝑣 𝜕𝑦 ve 𝜕𝑢 𝜕𝑦 = − 𝜕𝑣 𝜕𝑥. 3.7. RİEMANN DÖNÜŞÜM TEOREMİ 3.7.1. Teorem

𝐷, karmaşık düzlemin bir alt kümesi olan basit bağlantılı bir alan olsun. ϛ, D’de verilen bir nokta olsun. Özel bir f fonksiyonu seçersek birim disk üzerinde konform D dönüşümü yaparsak 𝑓(ϛ) = 0 ve 𝑓′(ϛ) > 0 özellikleri elde edilir.

İspat

Hipotezdeki D bütün düzlemin temelini oluşturmaz çünkü Liouville teoreminde her sınır bütün fonksiyonlarda sabit kalır. Bu tez kolaylıkla bulunur. Gerçekten de eğer

g’nin verilen diğer özel dönüşümü kendi üzerindeki birim diske olan konform

dönüşümü kendi üzerindeki birim diske olan konform dönüşümü ℎ = 𝑔𝑜𝑓−1

fonksiyonu ve bu nedenle doğrusal kesir dönüşümlerinin Bölüm 3.6 sonunda olduğu görülür. Fakat ℎ = 0 ve ℎ′_{(0) > 0, yani h birimdir(özdeştir). Burada 𝑓 = 𝑔 ve dönüşüm}

özgündür. İspata bakarsak D içerisinde 𝔉 ailesi sınıfının 𝑓 fonksiyonu analitik ve ünivelanttır ve ve tüm .Bu 𝔉 nin boş olmadığını görmek için 𝑧 ∈ 𝐷 için 𝑓(ϛ) = 0 ve

𝑓′_{(ϛ) > 0 ve |𝑓(𝑧)| < 1 olur. Bu sınıf D’ye ait konform dönüşümlerini birim diske}

dönüştürür. Monteli teoremine örnek alırsak, 𝔉 normal sını olur. Bu 𝔉 sınıfının boş olmadığını görmek için, 𝛼 ∉ 𝐷 sonlu olan bir nokta seçersek ve 𝑔(𝑧) = (𝑧 − 𝛼)1 2⁄

fonksiyonunu önemseriz. D basit bağlantılı olduğunda, g tek değerli kısım olur. Bu g fonksiyonu D içerisinde 𝑧₁, 𝑧₂ noktaları için ünivelant ve analitik olup 𝑔(𝑧₁) ≠ −𝑔(𝑧2)

olur. Çünkü g’nin bazı diskler içerisindeki bütün değerlerini farz edelim |𝑤 − 𝑔(ϛ)| ≤ 𝜀, bütün diski dikkate almazsak |𝑤 + 𝑔(ϛ)| ≤ 𝜀. Birim disk üzerinde 𝜓(𝑔(ϛ)) = 0 ve 𝜓′_{(𝑔(ϛ)) > 0 üzerinde |𝑤 + 𝑔(ϛ)| > 𝜀 bölgesinde lineer kesir dönüşümü olan 𝜓}

alalım. O halde 𝜓𝑜𝑔 ∈ 𝔉. Şimdi 𝑠𝑢𝑝𝑓∈𝔉𝑓′(ϛ) = 𝑀 ≤ ∞ olsun ve seçilen 𝑓𝑛 ∈ 𝔉 ardışık

fonksiyonu için 𝑓′

𝑛(ϛ) → 𝑀 olur. 𝔉 normal sınıf olduğundan dolayı, bazı alt diziler

sıkışık analitik f fonksiyonu üzerindeki eşit yakınsak ünivalent ya da sabit olur. Limit fonksiyonu 𝑓′(ϛ) = 0 olur ve 𝑓′(ϛ) = 𝑀 > 0 dır. Bu durumda 𝑀 < ∞ ve f sabit değildir. Yani 𝑓 ∈ 𝔉 olur.

Extremal uç fonksiyon 𝑓’nin D üzerinde birim diskin konform dönüşümüne gerek duyulur. Eğer yoksa, 𝑓 bazı 𝑤 ∈ 𝐷 noktalarını görmez ve bazı kümeleri

𝐹(𝑧) = {𝑓(𝑧) − 𝑤 1 − 𝑤𝑓(𝑧)̅̅̅̅̅̅̅̅}

1 2⁄

analitik ve D içerisinde tek değerlidir. D içerisinde 𝑓 ünivalenttir ve |𝐹(𝑧)| < 1 olur. Fonksiyon

𝐺(𝑧) = 𝑒−𝑖𝜃 𝐹(𝑧)−𝐹(ϛ) 1−𝐹(𝜁)̅̅̅̅̅̅𝐹(𝑧),

𝑒𝑖𝜃 _{= 𝐹}′_{(ϛ) 𝐹⁄} ′_{(ϛ), bundan dolayı F’ye aittir. Açık hesaplar verir ki}

𝐺′_{(ϛ) =} |𝐹′(ϛ)|

1 − |𝐹′_(ϛ)|2 =

1 + |𝑤| 2 + √|𝑤|𝑓

′_(ϛ),

ve 𝐺′(ϛ) > 𝑓′(ϛ). 𝑓 deki özel uç noktalar gösterir ki birim disk içerisinde bulunan 𝑓 herhangi bir noktayı ihmal etmez. Eğer D Jordan alanı ise Riemann dönüşümünde sınırın genişletilmiş sürekliliği ve birim çemberde genişletilmiş sınırlı fonksiyon dönüşümlerinin sınırlı bükeyliği birebir yapılır [12].

3.8. ÜNİVALENT FONKSİYON SINIFI 3.8.1. Tanım 𝑓: 𝐷 → 𝐶 bir fonksiyon 𝑤 = 𝑓(𝑧) = 𝑧 + ∑ 𝑎_𝑛𝑧𝑛 ∞ 𝑛≥2

fonksiyonu analitik ve her 𝑧1, 𝑧2 ∈ 𝐷 için 𝑓(𝑧1) = 𝑓(𝑧2) olması yalnızca 𝑧1 = 𝑧2

olmasını gerektiriyorsa ya da 𝑧₁ ≠ 𝑧₂ olduğunda 𝑓(𝑧₁) ≠ 𝑓(𝑧₂) sağlanıyorsa 𝑓(𝑧) fonksiyonuna 𝐷 bölgesinde ünivalent fonksiyon denir. Ünivalent fonksiyonların sınıfı 𝑆 ile gösterilir. Örnek 𝑓(𝑧) = 𝑧 1 − 𝑧 𝑓(𝑧) = 𝑧 1 − 𝑧 = 𝑧 + ∑ 𝑧𝑛 ∞ 𝑛≥2 = 𝑧 + 𝑧2_{+ 𝑧}3_{+ ⋯} 𝑓(0) = 0 𝑓′_{(𝑧) = 1 + 2𝑧 + 3𝑧}2_{+ ⋯} 𝑓′_{(0) = 1}

𝑓(0) = 0 ve 𝑓′_{(0) = 1 şartları sağlanıp ve 𝑓 univalent ve analitik bir fonksiyon}

olduğundan fonksiyonun hem A sınıfına hemde S sınıfına ait olduğu görülür. Eğer 𝑧1 ≠ 𝑧2 için 𝑓(𝑧1) − 𝑓(𝑧2) ≠ 0 ise ünivalent olur.

𝑧1 ≠ 𝑧2 için, 𝑓(𝑧1) − 𝑓(𝑧2) = 𝑧1+ ∑ 𝑧1𝑛− 𝑧2 ∞ 𝑛≥2 − ∑ 𝑧₂𝑛 ∞ 𝑛≥2 = 𝑧₁− 𝑧₂+ ∑ 𝑧₁𝑛 ∞ 𝑛≥2 − ∑ 𝑧₂𝑛 ∞ 𝑛≥2 = 𝑧1 − 𝑧2+ 𝑧12− 𝑧22 + 𝑧13− 𝑧23+ 𝑧14− 𝑧24+ ⋯ = 𝑧1− 𝑧2+ (𝑧1− 𝑧2)(𝑧1+ 𝑧2) + (𝑧1− 𝑧2)(𝑧12+ 𝑧1𝑧2 + 𝑧22) + ⋯

= (𝑧1− 𝑧2)[1 + (𝑧1+ 𝑧2) + (𝑧12+ 𝑧1𝑧2+ 𝑧22) + ⋯ ] ≠ 0

𝑧1 ≠ 𝑧2 için,

1 + (𝑧₁+ 𝑧₂) + (𝑧12+ 𝑧1𝑧2+ 𝑧22) + ⋯ ≠ 0

olur. Buradanda 𝑓(𝑧) fonksiyonun ünivalent bir fonksiyon olduğu görülür.

3.8.2. Tanım

𝑓(𝑧) ∈ 𝐴 fonksiyonun 0 ≤ 𝛼 < 1 için |𝑧2𝑓′(𝑧)

𝑓2_(𝑧) − 1| < 1 − 𝛼 (3.7)

oluyor ise 𝐵(𝛼) sınıfına aittir. Denklem (3.7), 𝑅𝑒 (𝑧2𝑓′(𝑧) 𝑓2_(𝑧) ) > 𝛼 (3.8) ifade etmektedir. Lemma 3.1 𝑓(𝑧) ∈ 𝐴 bir fonksiyon ve |𝑧 2_{𝑓′(𝑧)} 𝑓2_(𝑧) − 1| < 1 (3.9)

ise 𝑓 fonksiyonu 𝑈 = {𝑧: |𝑧| < 1} birim diskinde ünivalenttir [13].

Lemma 3.2

𝑤(𝑧), 𝑈 birim diskinde analitik ve 𝑤(0) = 0 olur. |𝑤(𝑧)| birim diski üzerindeki maksimum değerini 𝑧₀ ∈ 𝑈 noktasında alır ve

𝑧₀𝑤′_(𝑧

0) = 𝑘𝑤(𝑧0).

3.8.3. Teorem

Eğer 𝑓(𝑧) ∈ 𝐴 olmak üzere 0 ≤ 𝛼 < 1 için |(𝑧𝑓(𝑧))′′ 𝑓′(𝑧) − 2𝑧𝑓′(𝑧) 𝑓(𝑧) | < 1 − 𝛼 2 − 𝛼, 𝑧 ∈ 𝑈 (3.10) olur. O zaman 𝑓(𝑧) ∈ 𝐵(𝛼). İspat 𝑤(𝑧) fonksiyonu 𝑧 2_{𝑓′(𝑧)} 𝑓2_(𝑧) = 1 + (1 − 𝛼)𝑤(𝑧) (3.11)

şeklinde tanımlansın. O zaman 𝑤(𝑧) fonksiyonu 𝑈 birim dsikinde analitik ve 𝑤(0) = 0. Logaritmik diferansiyel ile Denklem (3.11) den

(𝑧𝑓(𝑧))′′ 𝑓′(𝑧) − 2𝑧𝑓′_(𝑧) 𝑓(𝑧) = (1 − 𝛼)𝑧𝑤′_(𝑧) 1 + (1 − 𝛼)𝑤(𝑧) (3.12) elde edilir. Kabul edelim ki Lemma 2.2 den

max |𝑧|<|𝑧0||𝑤(𝑧)| = |𝑤(𝑧0)| = 1. 𝑤(𝑧0) = 𝑒𝑖𝜃 olsun, (3.12) den |(𝑧0𝑓(𝑧0))′′ 𝑓′(𝑧0) − 2𝑧₀𝑓′_(𝑧 0) 𝑓(𝑧0) | = | (1 − 𝛼)𝑧𝑤′_(𝑧 0) 1 + (1 − 𝛼)𝑤(𝑧0)| ≥ 1 − 𝛼 2 − 𝛼, (3.10) varsayımızla çelişir. Bu nedenle tüm 𝑧 ∈ 𝑈 için |𝑤(𝑧)| < 1 alır.

|𝑧

2_{𝑓′(𝑧)}

𝑓2_(𝑧) − 1| = (1 − 𝛼)|𝑤(𝑧)| < 1 − 𝛼, 𝑧 ∈ 𝑈

3.9. BİRİM DİSKİN DIŞINDA ANALİTİK VE ÜNİVALENT OLAN FONKSİYONLARIN SINIFI

3.9.1. Tanım

𝐸∗ _{= {ϛ: 1 < |ϛ| < ∞} bölgesinde analitik ve ünivalent olan}

𝑓(ϛ) = 1 𝑔(1 ϛ⁄ )= ∑ 𝑏𝑘 ϛ𝑘 ∞ 𝑘=0

ile gösterilen fonksiyonların sınıfı ∑ ile gösterilir. Eğer sıfır değerini almayan 𝑓 ∈ ∑ fonksiyonlarının sınıfı ∑0 ifade edilir.

3.9.2. Teorem 𝑔(𝑧) = 𝑧 + ∑ 𝑎_𝑘𝑧𝑘 ∞ 𝑘=2 ∈ 𝑆 ise 𝑓(ϛ) = 1 𝑔(1 ϛ⁄ )= ϛ − 𝑎2+ (𝑎22− 𝑎3)ϛ−1+ ⋯ (3.13) fonksiyonu ∑0 sınıfına aittir. Aksi taktirde 𝑓(ϛ), Denklem (3.13) ile verilmiş ise,

𝑔(𝑧) = 1

𝑓(1 𝑧⁄ )= 𝑧 − 𝑏0𝑧2+ (𝑏02− 𝑏1)𝑧3 + (2𝑏0𝑏1− 𝑏2− 𝑏03)𝑧4+ ⋯

fonksiyonu da S sınıfına aittir.

İspat

|ϛ| > 1 olduğundan 1 ϛ⁄ ∈ 𝐸 olup 𝑔 fonksiyonu 1 ϛ⁄ da analitiktir. 𝑓(ϛ) = 1 𝑔(1 ϛ⁄ ) = 1 1 ϛ +𝑎ϛ22+ ⋯ = ϛ − 𝑎₂+ (𝑎₂2_{− 𝑎} 3)ϛ−1+ ⋯

elde edilir. Yani 𝑓(ϛ) ∈ ∑ dır.

bir kutba sahiptir. 1 ϛ⁄ ∈ 𝐸 ve 𝑔, 𝐸 de analitik olduğundan bu mümükün değildir. O halde 𝑓(ϛ) ≠ 0 dolayısıyla 𝑓(ϛ) ∈ ∑0 dır.

Burada 𝑔(𝑧) fonksiyonun S sınıfına ait olduğu gösterilecektir. 𝑧 ∈ 𝐸 için ϛ = 𝑧−1 _{∈ 𝐸}∗

dır. 𝑓(ϛ) = 1 𝑔(𝑧)⁄ ve 𝑔(𝑧) = 1 𝑓(ϛ)⁄ olur. 𝑓(ϛ), 𝐸∗ _{da analitik, ünivalent ve 𝑓 (}1 2) ≠

0 olduğundan 𝑔(𝑧), 𝐸’ de hem analitik hem de ünivalenttir. Ayrıca bölme işlemi sonunda

𝑔(𝑧) = 1

𝑓(ϛ)= 𝑧 − 𝑏0𝑧2+ (𝑏02− 𝑏1)𝑧3+ (2𝑏0𝑏1− 𝑏2− 𝑏03)𝑧4+ ⋯ bulunur. Yani 𝑔(𝑧) ∈ 𝑆 dir.

3.9.3. Teorem

𝑆 sınıfında her bir fonksiyonunun değer kümesi {𝑤: |𝑤| ≤ 1 4⁄ } diskini kapsar. Bu eşitsizlik net olup eşitlik yalnızca 𝑓(𝑧) nin Koebe fonksiyonu olması halinde geçerlidir.

İspat

Eğer bir 𝑓 ∈ 𝑆 fonksiyonu 𝑤 ∈ 𝐶 değerini almıyorsa 𝑔(𝑧) = 𝑤𝑓(𝑧)

𝑤 − 𝑓(𝑧)= 𝑧 + (𝑎2+ 1

𝑤) 𝑧2+ ⋯ ifadesi 𝑆 sınıfına aittir. 𝑓 ∈ 𝑆 ve |(𝑎₂+ 1

𝑤)| ≤ 2 olacağından 1

|𝑤|≤ 2 + |𝑎2| olur. Bu

nedenle buradan |𝑤| ≥ 1 4⁄ bulunur. Bu nedenle 𝑓 fonksiyonun almadığı her değer |𝑤| < 1 4⁄ çemberinin dışında kalmak zorundadır. Bu ise 𝑓(𝑧) nin Koebe fonksiyonun bir rotasyonu olması durumunda geçerlidir.

3.10. GROWTH VE DİSTORTİON TEOREMLERİ 3.10.1. Teorem(Distortion Teoremi) Her 𝑓 ∈ 𝑆 için 1 − 𝑟 (1 + 𝑟)3 ≤ |𝑓′(𝑧)| ≤ 1 + 𝑟 (1 − 𝑟)3, 𝑟 = |𝑧| < 1

Aynı zamanda, her 𝑧 ∈ 𝐷 için 𝑧 ≠ 0. Burada ki 𝑓 Koebe fonksiyonun uygun bir rotasyonu ise oluşur.

İspat

𝜓 = 𝑓 (𝑧 + 𝑎 1 + 𝑎𝑧̅̅̅) fonksiyonu 𝐷 bölgesinde ünivalenttir. Ayrıca,

𝑔(𝑧) = 𝜓(𝑧) − 𝑓(𝑎) 𝑓′(𝑎)(1 − |𝑎|2₎

fonksiyonu da ünivalent ve 𝑔(0) = 0 ve 𝑔′(0) = 1 koşullarını da yerine getirir. O halde 𝑔 ∈ 𝑆 olur. 𝑎₂ sayısı 𝑔(𝑧) Taylor açılımında ikinci katsayı ise,

𝑎₂ = 𝑔′′(𝑎) 2ǃ = 1 2[ 𝑓′′(𝑎)(1 − |𝑎|2₎ 𝑓′(𝑎) − 2𝑎̅] olur. Bieberbach teoremine göre |𝑎₂| ≤ 2 olduğundan

[𝑓′′(𝑎)(1 − |𝑎|

2₎

𝑓′(𝑎) − 2𝑎̅] ≤ 4 olur. Burada 𝑎 yerine 𝑧 yazılırsa ve eşitsizlik _1−|𝑧|𝑧|_2| ile çarpılırsa

|𝑧𝑓′′(𝑧) 𝑓′(𝑧) − 2|𝑧|2 1 − |𝑧2_|| ≤ 4|𝑧| 1 − |𝑧2_|

bulunur. |𝑅𝑒𝑧| ≤ |𝑧| ve |𝑧| = 𝑟 < 1 olduğu düşünülürse, |𝑅𝑒𝑧𝑓′′(𝑧) 𝑓′(𝑧) − 2𝑟2 1 − 𝑟2| ≤ | 𝑧𝑓′′(𝑧) 𝑓′(𝑧) − 2𝑟2 1 − 𝑟2| ≤ 4𝑟 1 − 𝑟2 olur, öyle ki 2𝑟2− 4𝑟 1 − 𝑟2 ≤ 𝑅𝑒 𝑧𝑓′′_(𝑧) 𝑓′_(𝑧) ≤ 2𝑟2_{+ 4𝑟} 1 − 𝑟2 (3.14)

𝑓′(𝑧) = 𝑒−𝑖𝜃_(𝑢 𝑟+ 𝑖𝑣𝑟) 𝑓′′(𝑧) = 𝑒−2𝑖𝜃_(𝑢 𝑟𝑟+ 𝑖𝑣𝑟𝑟) ve 𝑧𝑓′′(𝑧) 𝑓′(𝑧) = 𝑟(𝑢_𝑟𝑟+ 𝑖𝑣_𝑟𝑟) 𝑢𝑟+ 𝑖𝑣𝑟 = 𝑟(𝑢_𝑟𝑟+ 𝑖𝑣_𝑟𝑟)(𝑢_𝑟− 𝑖𝑣_𝑟) 𝑢𝑟2+ 𝑣𝑟2

bulunur. O halde buradan,

𝑅𝑒𝑧𝑓′′(𝑧) 𝑓′(𝑧) = 𝑟(𝑢𝑟𝑢𝑟𝑟+ 𝑣𝑟𝑣𝑟𝑟) 𝑢𝑟2+ 𝑣𝑟2 = 𝑟 𝜕 𝜕𝑟ln(𝑢𝑟2+ 𝑣𝑟2)1 2⁄ = 𝑟 𝜕 𝜕𝑟ln |𝑓′(𝑧)|

elde edilir. Son eşitlik Denlem (3.14)’de yerine yazılırsa ve 𝑟 ≠ 0 ile bölünürse, 2𝑟 − 4 1 − 𝑟2 ≤ 𝜕 𝜕𝑟ln |𝑓′(𝑧)| ≤ 2𝑟 + 4 1 − 𝑟2

Eşitsizliği elde edilir. Şimdi elde ettiğimiz denklemin 0 ile 𝑟 arasında integrali alınırsa, ln(1 − 𝑟) − 3 ln(1 + 𝑟) ≤ ln |𝑓′(𝑧)| ≤ ln(1 + 𝑟) − 3 ln(1 − 𝑟) eşitsizliği ya da 1 − 𝑟 (1 + 𝑟)3 ≤ |𝑓′(𝑧)| ≤ 1 + 𝑟 (1 − 𝑟)3 elde edilir. 3.10.2. Teorem(Growth Teoremi) Her 𝑓 ∈ 𝑆 için 𝑟 (1 + 𝑟)2 ≤ |𝑓(𝑧)| ≤ 𝑟 (1 − 𝑟)2, |𝑧| = 𝑟

rotasyonu ise oluşur.

İspat

0 ≤ 𝑡 ≤ 𝑟 olacak biçimde teoremin eşitsizliğini kullanarak ϛ = 𝑡𝑒𝑖𝜃 _{eğrisi boyunca}

ϛ = 0’dan ϛ = 𝑧 = 𝑟𝑒𝑖𝜃 _{kadar integral alınırsa,}

|𝑓(𝑧)| = |∫ 𝑓′_(ϛ)𝑑ϛ 𝑧 0 | ≤ ∫ |𝑓′_{(ϛ)|𝑑𝑡} 𝑟 0 ≤ ∫ 1 + 𝑡 (1 − 𝑡)3𝑑𝑡 𝑟 0 = 𝑟 (1 − 𝑟)2 bulunur. 𝑟 (1 + 𝑟)2 ≤ |𝑓(𝑧)|

olduğunu göstermek için 0 ≤ 𝑟 < 1 olduğunda, 𝑟 (1 + 𝑟)2 <

1 4

olacağı varsayılsın. Sadece |𝑓(𝑧)| ≥1₄ olduğunda eşitlik doğru olur. O zaman |𝑓(𝑧)| <

1

4 olduğu düşünüldüğünde Koebe-Bieberbach teoreminden dolayı 𝑤 = 𝑓(𝑧) noktasını

orjine birleştiren γ ₁ doğru parçası 𝑓(𝐷) bölgesini içerir. γ = 𝑓−1(γ ₁) ise, yani γ, 𝑓 fonksiyonu altında ki görüntüsü γ 1 olan 0 noktasının z noktası ile birleştirdiği eğri,

|𝑤| = (γ 1) ∫ |𝑑𝑤| = 𝐿(γ 1) |𝑤| 0 ve Distortion teoreminden |𝑓(𝑧)| = (γ ) ∫ |𝑓′_{(𝑧)||𝑑𝑧| ≥ ∫} 1 − 𝑟 (1 + 𝑟)3𝑑𝑟 𝑟 0 = 𝑟 (1 + 𝑟)2 |𝑧| 0

olur, burada |𝑑𝑧| = (𝑑𝑟2_{+ 𝑟}2_𝑑𝜃2₎1 2⁄ _{≥ 𝑑𝑟’dir. Bu denklem ile} 𝑟

(1−𝑟)2’den

𝑟

(1 + 𝑟)2 ≤ |𝑓(𝑧)| ≤

𝑟 (1 − 𝑟)2

bulunur. Buradaki denklemin eşitlik hali Koebe fonksiyonu ile bulunur.

3.11. MEROMORF FONKSİYONLARIN BAZI ÖZELLİKLERİ 3.11.1. Tanım

𝐷 karmaşık düzlem üzerinde bir bölge olsun. Bu bölge üzerinde kutup noktalarından başka singüler noktası olmayan fonksiyonlara meromorf fonksiyon denir.

3.11.2. Tanım

Varsayalım ki 𝑓 fonksiyonu 𝑧0 kutbu ile

𝑓(𝑧) = 𝑎−𝑚

(𝑧 − 𝑧0)𝑚+ ⋯ + 𝑎0+ 𝑎1(𝑧 − 𝑧0) + ⋯

kuvvet serisine sahip olsun.

𝑃_𝑟(𝑓, 𝑧₀) = 𝑎−𝑚 (𝑧 − 𝑧0)𝑚+ ⋯ 𝑎−1 (𝑧 − 𝑧0) = 𝑃 ( 1 𝑧 − 𝑧₀) ifadesi 𝑓 de 𝑧’nin ana kısmı olarak adlandırılır.

3.11.3. Teorem

{𝑧𝑛} karmaşık sayılarda bir dizi olsun ve |𝑧𝑛| → ∞. {𝑃𝑛} bir polinom olsun. Daha sonra,

sadece kutup noktaları ana kısım olan 𝑃_𝑛(1 (𝑧 − 𝑧⁄ _𝑛)) ile {𝑧_𝑛} de bir 𝑓 meromorfik fonksiyonu vardır.

Bu türün en genel fonksiyonu 𝑄_𝑛 bir polinom olduğu ve 𝜑 nin tamamı olduğu 𝑓(𝑧) = ∑ [𝑃_𝑛( 1

𝑧 − 𝑧_𝑛) − 𝑄𝑛(𝑧)] + 𝜑(𝑧),

𝑛

formunda yazılabilir. Seri, kutupları içermeyen herhangi bir kompakt sette net ve eşit bir şekilde birleşir [15].

İspat

Tüm 𝑛 için 𝑧𝑛 ≠ 0 olduğu varsayılsın.

𝑃_𝑛( 1 𝑧 − 𝑧_𝑛)

ifadesini başlangıç noktasında 𝑧 𝑧⁄ kuvvet serisine göre genişletilir. Bu kuvvet serileri, _𝑛 tek terim 1 (𝑧 − 𝑧𝑛)𝑘 = (−1)𝑘 𝑧_𝑛𝑘_{(1 −} 𝑧 𝑧_𝑛) 𝑘 = 1 𝑧_𝑛𝑘∑ 𝑏𝑗( 𝑧 𝑧𝑛) 𝑗

ifadesinden kaynaklanan ve binom katsayısına bağlı 𝑏_𝑗 katsayısı ile oluşan kuvvet serilerini doğrusal bir kombinasyonudur (k’ya bağlı). Özellikle 1 (1 − 𝑇)_⁄ 𝑘 _ifadesinin

yakınsama yarıçapı 1 olduğundan,

|𝑏_𝑗| ≪ (1+∊)𝑗_{, 𝑗 → ∞}

varsayımına sahibiz. 𝑑_𝑛 pozitif bir tamsayı olsun. Bu tahminlerden yola çıkarak, 𝑃_𝑛(1 (𝑧 − 𝑧⁄ _𝑛)) nın 0 daki kuvvet serisi genişlemesinde 𝑄_𝑛(𝑇) nun ≦ 𝑑_𝑛− 1 dereceli polinomu olsun. O zaman

|𝑃𝑛( 1 𝑧 − 𝑧𝑛) − 𝑄𝑛(𝑧)| ≦ 𝐵𝑛 ∑ (1+∊) 𝑗_|𝑧 𝑧𝑛| 𝑗 ∞ 𝑗=𝑑𝑛

olacak şekilde sabit bir 𝐵𝑛 (sadece n’ye bağlı) vardır. Bu nedenle 𝑑𝑛’yi seçebiliriz öyle

ki eğer |𝑧 𝑧⁄ | ≦ 1 2_𝑛 ⁄ , |𝑃𝑛( 1 𝑧 − 𝑧𝑛) − 𝑄𝑛(𝑧)| ≦ 1 2𝑛. Daha sonra ∑ [𝑃𝑛( 1 𝑧 − 𝑧𝑛) − 𝑄𝑛(𝑧)]

serisi, 𝑧𝑛 içermeyen herhangi bir kompakt sette 𝑧 için net bir şekilde birleşir. Aslında R

∑ [𝑃_𝑛( 1 𝑧 − 𝑧_𝑛) − 𝑄𝑛(𝑧)] + ∑ [𝑃𝑛( 1 𝑧 − 𝑧_𝑛) − 𝑄𝑛(𝑧)] ∞ 𝑁+1 𝑁 𝑛=1

serisini bölebiliriz. İlk bölüm sonlu bir toplamdır. |𝑧| ≦ 𝑅 2⁄ ise ikinci toplam ∑ 1 2_⁄ 𝑛

ile domine edilir. Sonlu toplamda istenen kutuplar bulunur ve sağdaki sonsuz toplamda 𝑅 2⁄ yarıçapındaki diskte kutup yoktur. Bu her 𝑅 için geçerlidir.

3.12. RİEMANN YÜZEYLERİNDE MEROMORF FONKSİYONLAR 3.12.1 Tanım

Riemann yüzeyinde her noktanın karmaşık düzlemin açık bir kümesine izomorf olan açık bir komşuluğu vardır. Dolayısıyla meromorf fonksiyon her Riemann yüzeyi içinde tanımlanabilir. Eliptik eğriler üzerinde bulunan meromorf fonksiyonlar ayrıca eliptik olarak da tanımlanabilir.

3.12.2. Tanım(Eliptik Eğri)

𝐸, cinsi 1 olan, singüler olmayan bir eğri ve 𝑄 ∈ 𝐸 olmak şartıyla (𝐸, 𝑄) ikilisine bir eliptik eğri denir. Genellikle bir eliptik eğri 𝐸 ile gösterilir. Bir 𝐸 eliptik eğrisi, 𝐾 cismi üzerinde tanımlandıysa bu 𝐸 𝐾⁄ biçiminde ifade edilir.

3.12.3. Tanım

𝑓(𝑧) fonksiyonu 2𝑤1, 2𝑤2 noktalara sahip olsun. (2𝑤1, 2𝑤2) ikilisi adlandırılırsa 𝑓(𝑧)

nin periyodu 𝑚2𝑤1+ 𝑛2𝑤2 şeklindedir. Burada 𝑚 ve 𝑎 tamsayıdır.

3.12.4. Tanım Weirstrass’ın Ϸ(𝑧) fonsiyonu Ϸ(𝑧) = 1 𝑧2+ ∑ [ 1 (𝑧 − 𝐿_𝑚𝑛)2− 1 𝐿2_𝑚𝑛] (𝑚,𝑛)≠(0,0)

ile tanımlanır. Weirstrass’ın fonksiyonu Ϸ(𝑧) ya da (Ϸ, 𝑤1, 𝑤2) dır. Açıkça yakınsak

Ϸ(𝑧) fonksiyonu meromorfik ve 𝐿𝑚𝑛 ikinci dereceden olup 𝐿𝑚𝑛 de ana bölüm _(𝑧−𝐿1

𝑚𝑛 )2

3.12.5. Teorem

Ϸ(z) fonksiyonu, 2𝑤1+ 2𝑤2 periyotları olan iki katı periyodik bir fonksiyondur.

İspat Ϸ(𝑧) = 1 𝑧2+ ∑ [ 1 (1 − 𝐿𝑚𝑛)2− 1 𝐿2_𝑚𝑛] 𝑚,𝑛 = 1 𝑧2 + 1 (𝑧 − 2𝑤₁)2− 1 (2𝑤₁)2+ ∑ [ 1 (𝑧 − 𝐿_𝑚𝑛)2− 1 𝐿2_𝑚𝑛] 𝑚,𝑛

şeklinde tanımlansın. Burada ∑, tüm 𝑚, 𝑛 için 𝑚 = 0, 𝑛 = 0 ve 𝑚 = 1, 𝑛 = 0 hariç Ϸ(𝑧 + 𝑧𝑤₁) = 1 𝑧2+ 1 (𝑧 + 𝑤₁)2− 1 (2𝑤₁)2 + ∑ [ 1 (𝑧 + 2𝑤1− 𝐿𝑚𝑛)2− 1 𝐿2𝑚𝑛] 𝑚,𝑛 = 1 𝑧2+ ∑ [ 1 (𝑧 − 𝐿𝑚𝑛)2− 1 𝐿2_𝑚𝑛] = Ϸ(𝑧) 𝑚,𝑛

olur. Benzer olarak,

Ϸ(𝑧) = 1 𝑧2+ ∑ [ 1 (𝑧 − 𝐿_𝑚𝑛)2− 1 𝐿2_𝑚𝑛] 𝑚,𝑛 = 1 𝑧2 + 1 (𝑧 + 𝑤1)2− 1 (2𝑤1)2+ ∑ [ 1 (𝑧 − 𝐿𝑚𝑛)2− 1 𝐿2𝑚𝑛] 𝑚,𝑛 .

Burada ∑, tüm 𝑚, 𝑛 için 𝑚 = 0, 𝑛 = 0 ve 𝑚 = 0, 𝑛 = 1 hariç Ϸ(𝑧 + 𝑧𝑤2) = 1 𝑧2+ 1 (𝑧 + 𝑤₂)2− 1 (2𝑤₂)2 + ∑ [ 1 (𝑧 + 2𝑤2− 𝐿𝑚𝑛)2 − 1 𝐿2𝑚𝑛] 𝑚,𝑛 = 1 𝑧2+ ∑ [ 1 (𝑧 − 𝐿𝑚𝑛)2− 1 𝐿2_𝑚𝑛] = Ϸ(𝑧) 𝑚,𝑛 olur.

3.13. KARMAŞIK DÜZLEMDE REEL FONKSİYONLAR

Burada Bierberbach’ın 𝑆 sınıfındaki fonksiyonlar için tahmini gerçek sayılarla göstermek. 𝑆𝑅, 𝑎𝑛katsayısı reel olan ünivalent fonksiyonların

𝑓(𝑧) = 𝑧 + 𝑎2𝑧2+ 𝑎3𝑧3+ ⋯, |𝑧| < 1

sınıfı olarak gösterilsin. 𝑓 ∈ 𝑆_𝑅 ise, 𝑓(𝑧) reel eksende ve diskte başka hiçbir yerde reel değildir. 𝑇, tüm reel fonksiyonların 𝑓 sınıfını belirtir; öyle ki, 𝑓(0) = 0 ve 𝑓′_{(0) = 1.}

𝑓 ∈ 𝑇 ise, 𝐼𝑚{𝑧} > 0 iken 𝐼𝑚{𝑓(𝑧)} > 0 ve 𝐼𝑚{𝑧} < 0 iken 𝐼𝑚{𝑓(𝑧)} < 0 için normalizasyon 𝑓 orjin yakınındaki bu özelliği verir. Bu nedenle 𝑆𝑅 ⊂ 𝑇 olur. T sınıfının

önemi, 𝑆𝑅’den farklı olarak, konveks ve yıldızıl gibi fonksiyonların tanımlarına benzer

şekilde tamamen analitik bir şekilde tanımlanabilmesidir.

3.13.1. Teorem (Rogosinski Teoremi)

𝑓 ∈ 𝑇 ise 𝜑(𝑧) =1 − 𝑧2 𝑧 𝑓(𝑧) ∈ 𝑃𝑅. Tersine 𝜑 ∈ 𝑃𝑅 ise, 𝑓(𝑧) = 𝑧 1 − 𝑧2𝜑(𝑧) ∈ 𝑇. İspat

ℎ(𝑧) = (1 − 𝑧2_{) 𝑧⁄ Koebe fonksiyonunun karekök dönüşümünün karşılığını oluşturur;}

bu, D’yi imajiner eksende ∓ 𝑖 2⁄ ile ∞ arasındaki iki radyal yayın tamamlayıcısı üzerine dönüştürür. Dolayısıyla ℎ(𝑧) birim disk üzerinde imajinerdir ve

ℎ(𝑒𝑖𝜃_{) = −2𝑖 sin 𝜃,}

yani 𝐼𝑚{ℎ(𝑒𝑖𝜃_{)} üst yarım daire üzerinde negatif ve alt yarım daire üzerinde pozitiftir.}

𝑓 ∈ 𝑇 olmak üzere,

𝜑_𝜌(𝑧) = ℎ(𝑧)𝑓(𝜌𝑧), 0 < 𝜌 < 1 tanımlansın. O halde 𝜑𝜌, 𝑓 ∈ 𝑇’den 𝐷̅ ve

𝑅𝑒{𝜑_𝜌(𝑒𝑖𝜃_{)} = 2 sin 𝜃 𝐼𝑚{𝑓(𝜌𝑒}𝑖𝜃_{)} ≥ 0}

maksimum prensibi takip eder. 𝜌=1 alınırsa 𝜑 ∈ 𝑃 olur. O halde 𝜑 ∈ 𝑃𝑅. 0 < 𝜌 < 1

için, 𝑓_𝜌(𝑧) = 𝜑(𝜌𝑧) ℎ(𝑧)⁄ fonksiyonu 𝐷̅’de analitiktir basit kutuplar için ∓1. 𝜑’nin reel katsayılara sahip olduğu hipotezi, 𝑓_𝜌(𝑧)’nin reel eksende reel olduğu anlamına gelir. 𝑓′

𝜌(0) = 1’den 𝑓𝜌’nun orjinin bazı bölgelerinde ünivalent olmadığı, 𝐼𝑚{𝑓𝜌(𝑧)}’nin üst

yarı düzlemde pozitif, alt yarı düzlemde negatif olduğu görülür. Şimdi çift taraflı 𝑔𝜌(𝑧) = 1 𝑓⁄ 𝜌(𝑧) = ℎ(𝑧)𝜓(𝜌𝑧)

düşünelim, burada 𝜓 = 1 𝜑 ∈ 𝑃⁄ _𝑅. 𝑔_𝜌’nun analitik olduğunu varsayalım o zaman 𝐷̅’nin orjinde basit bir kutup olduğu gösterilir. Birim dairede,

𝐼𝑚{𝑔𝜌(𝑒𝑖𝜃)} = −2 sin 𝜃 𝑅𝑒{𝜓(𝜌𝑒𝑖𝜃)}

ve buna benzer 𝐼𝑚{𝑔_𝜌(𝑒𝑖𝜃)} üst yarım daire üzerinde negatif ve alt yarım daire üzerinde pozitiftir. 0 < 𝜀 < 1 için, 𝐷𝜀+ ve 𝐷𝜀− daire üzerinde 𝜀 < |𝑧| < 1’nin sırasıyla üst ve alt

yarı düzlemde kalan kısımlarını göstersin. 𝑔𝜌(𝑧), 𝐷𝜀+’nın kapatılmasında analitik

olduğunu ve bunun bütün 𝐼𝑚{𝑔_𝜌(𝑧)} ≤ 0 sınırında 𝜕𝐷_𝜀+ _{olduğunu, her 𝜀 için yeterince}

küçük olduğu bulundu. Böylece maksimum prensip gereği 𝐷𝜀+’de 𝐼𝑚{𝑔𝜌(𝑧)} olur.

Benzer olarak 𝐷_𝜀−_{‘de 𝐼𝑚{𝑔}

𝜌(𝑧)} > 0 olur. Keyfi 𝜀 > 0 için, 𝐼𝑚{𝑓𝜌(𝑧)}’nin üst yarım

diskte pozitif, alt yarım diskte negatif olduğu anlamına gelir. 𝜌’nun 1’e eğilimli olması, 𝑓 içinde aynı özelliğe sahip olduğu sonucuna varılır. Bu ispatı oluşturan 𝑓 ∈ 𝑇’yi gösterir. Rogonsinski teoremine dayanarak, univalent olmayan reel (gerçek) fonksiyonların açık örneklerini vermek kolaydır. Örneğin, 𝜑(𝑧) = 1 − 𝑧4_{. O halde,}

𝑓(𝑧) = 𝑧 + 𝑧3 ₌ 𝑧

1 − 𝑧2𝜑(𝑧) ∈ 𝑇.

Ancak 𝑓 ∉ 𝑆, 𝑧 = ∓ 𝑖 √3 ⁄ için 𝑓′_{(𝑧) = 1 + 3𝑧}2_{’den beri [16].}

3.13.2. Pozitif Reel Kısımlı Fonksiyonlar

𝐷 = {𝑧: |𝑧| < 1} tanımlanmış analitik ve

𝑃(𝑧) = 1 + 𝑝₁𝑧 + 𝑝₂𝑧2_{+ ⋯}

şeklinde bir seri açlımına sahip,

şartlarını sağlayan 𝑃(𝑧) fonksiyonlarından oluşan kümeye pozitif reel kısma sahip fonksiyonlar denir. Carathedory sınıfı olarak da isimlendirilir.

3.13.3. Teorem

𝑤 = 𝑓(𝑧) =1 + 𝑧

1 − 𝑧(𝑀ö𝑏𝑖𝑢𝑠)

fonksiyonu 𝐷 birim diskini 𝑅𝑒 𝑤 > 0 sağ yarım düzlemi üzerine resmeder. Bu 𝑓(𝑧) fonksiyonu 𝑃 sınıfında merkezi rol oynar.

3.13.4. Teorem 𝑓 ∈ 𝑃 ise 𝑧 = 𝑟𝑒𝑖𝜃 _için 1 − 𝑟 1 + 𝑟≤ |𝑓(𝑧)| ≤ 1 + 𝑟 1 − 𝑟 (3.15) olur. Eşitlik 𝛼 ∈ 𝑅 olmak üzere 𝑃(𝑒𝑖𝜃_{𝑧) fonksiyonu için doğrudur.}

İspat

𝑓 ∈ 𝑃 ve 𝑧 ∈ 𝐷 için 𝑓(𝑧) ≺ 𝑔(𝑧) ve

𝑓(𝑧) =1 + 𝑤(𝑧) 1 − 𝑤(𝑧)

olacak biçimde Schwarz önermesinin koşullarını sağlayan bir 𝑤 fonksiyonu vardır. |𝑓(𝑧)| = | 1 + 𝑤𝑧 1 − 𝑤(𝑧)| ≤ 1 + |𝑤(𝑧)| 1 − |𝑤(𝑧)|≤ 1 + |𝑧| 1 − |𝑧|= 1 + 𝑟 1 − 𝑟

bulunur. _𝑓1∈ 𝑃 olduğundan 1−𝑟_1+𝑟≤ |𝑓(𝑧)| elde edilir. Böylelikle Denklem (3.15) eşitsizliği elde edilir.

3.14. BASİT BİR VARYASYON YÖNTEMİ 3.14.1. Tanım

𝑓(𝑧) = 𝑧 + 𝑎_𝑧𝑧2_{+ ⋯ 𝑛.katsayısı maksimum reel kısma sahip 𝑆’de bir fonksiyon}

𝐹(𝑧) =𝑓 ( 𝑧 + ϛ

1 + ϛ𝑧̅ ) − 𝑓(ϛ)

(1 − |ϛ|2_)𝑓′(ϛ) = 𝑧 + 𝐴2(ϛ)𝑧2+ ⋯

fonksiyonu ele alınsın, burada ϛ ∈ 𝐷. Eğer ϛ orjine yakınsa F, 𝑓’nin sapması olarak düşünülebilir.

𝐹 ∈ 𝑆 ve 𝑓 ekstremal olduğu için,

𝑅𝑒{𝐴𝑛(ϛ)} ≤ 𝑅𝑒{𝑎𝑛} |ϛ| < 1, (3.16)

olduğu açıktır. Bu eşitsizliğin etkin kullanımı, 𝐴_𝑛(ϛ)’nin ϛ→ 0 olarak asimptotik bir analizine dayanır. İlk olarak

1 + ϛ

1 + ϛ̅𝑧= 𝑧 + (ϛ − ϛ̅𝑧2) + 𝑂(|ϛ|2) olduğu bulunmuştur. O halde binom teoremi 𝑚 = 1,2, …, için

(𝑧 + ϛ 1 + ϛ̅𝑧) 𝑚 = 𝑧𝑚_{+ 𝑚(ϛ − ϛ̅𝑧}2_)𝑧𝑚−1_{+ 𝑂(|ϛ|}2₎ verir ve 𝑓 (1 + ϛ 1 + ϛ̅𝑧) = ∑ 𝑎𝑚[𝑧𝑚+ 𝑚(ϛ − ϛ̅ ∞ 𝑚=1 𝑧2_)𝑧𝑚−1_{] + 𝑂(|ϛ|}2₎

şeklinde devam eder, burada 𝑎1 = 1. Öte yandan,

(1 − |ϛ|2_)𝑓′_{(ϛ) = 1 + 2𝑎}

2ϛ + 𝑂(|ϛ|2).

Bu son iki genişleme asimptotik formül,

𝐴𝑛(ϛ) = 𝑎𝑛+ ϛ[(𝑛 + 1)𝑎𝑛+1− 2𝑎2𝑎𝑛] − ϛ̅(𝑛 − 1)𝑎𝑛−1+ 𝑂(|ϛ|2)

olduğunu gösterir. Bu ifade Denklem (3.16)’daki eşitsizlikte yerine yazılırsa, 𝑅𝑒{ϛ[(𝑛 + 1)𝑎_𝑛+1− 2𝑎₂𝑎_𝑛− (𝑛 − 1)𝑎̅̅̅̅̅̅] + 𝑂(|ϛ|_𝑛−1 2_{)} ≤ 0}

bulunur. Şimdi |ϛ| ile bölünsün ve

(𝑛 + 1)𝑎𝑛+1− 2𝑎2𝑎𝑛− (𝑛 − 1)𝑎̅̅̅̅̅̅ = 0 𝑛−1

elde etmek için ϛ’nin orjin boyunca sıfıra yaklaşmasını sağlayalım. Bu Marty ilişkisi olarak da bilinir. n.katsayısı maksimum reel kısma sahip olan S’deki her bir fonksiyonun katsayıları ile karşılanmalıdır. Koebe fonksiyonun Marty ilişkisini sağladığına bakılırsa:

bulunur.

3.15. KOMPLEKS MERTEBEDEN YILDIZIL VE KONVEKS FONKSİYONLAR

3.15.1. Tanım

𝑏 ∈ 𝐶 ve 𝑏 ≠ 0 olsun. Birim diskte 𝑅𝑒 {1 +1

𝑏( 𝑧𝑓′(𝑧)

𝑓(𝑧) − 1)} ≥ 0

koşullarını sağlayan 𝑓(𝑧) analitik fonksiyonuna (1 − 𝑏) mertebeden yıldızıl fonksiyon denir ve 𝑆∗_{(1 − 𝑏) ile ifade edilir. 𝑏 = 1 için 𝑆}∗_{(0) = 𝑆}∗ _{ve 0 ≤ 𝛼 < 1 olmak üzere}

𝑏 = 1 − 𝛼 için 𝑆∗_{(𝛼) sınıfı bulunur [17].}

3.15.2. Teorem

𝑓 ∈ 𝑆∗_{(1 − 𝑏) için gerek ve yeter şart}

𝑧𝑓′(𝑧)

𝑓(𝑧) = 𝑧[𝑝(𝑧) − 1] + 1 olacak biçimde 𝑝 ∈ 𝑃 olmasıdır.

3.15.3. Teorem

𝑓 ∈ 𝑆∗_{(1 − 𝑏) için gerek ve yeter şart}

𝑓(𝑧) = 𝑧 𝑒𝑥𝑝 {∫ −2𝑏 log(1 − 𝑧𝑒2𝜋 −𝑖𝑡_{)𝑑𝜃(𝑡)} 0 } olacak şekilde ∫ 𝑑𝜃(𝑡)2𝜋 0 = 1, ∫ (1 + 𝑧𝑒−𝑖𝑡) (1 − 𝑧𝑒−𝑖𝑡₎ 2𝜋 0 𝑑𝜃(𝑡) = 𝑝(𝑧) ∈ 𝑃 olacak şekilde bir 𝜃(𝑡) fonksiyonun olmasıdır.

3.15.4. Tanım

𝑏 ∈ 𝐶 ve 𝑏 ≠ 0 olsun. Birim diskte 𝑅𝑒 {1 +1

𝑏(

𝑧𝑓′′(𝑧)

𝑓′(𝑧) )} ≥ 0

koşullarını sağlayan 𝑓(𝑧) analitik fonksiyonuna 𝑏 mertebede konveks fonksiyon denir ve 𝐶(𝑏) ile ifade edilir [18].

3.15.5. Teorem

𝑓(𝑧) ∈ 𝐶(𝑏) olması için gerek ve yeter şart 𝑧𝑓′(𝑧) ∈ 𝑆∗_{(1 − 𝑏).}

3.16. KARMAŞIK SAYILARDA İNTEGRAL GENİŞLEME TEOREMİ

3.16.1. Tanım

𝑓 ∈ 𝑆 fonksiyonun integral gösterimi

𝑀𝑃(𝑟, 𝑓) = { 1 2𝜋∫ |𝑓(𝑟𝑒𝑖𝜃)|𝑃 2𝜋 0 𝑑𝜃} 1 𝑃⁄ 0 < 𝑝 < ∞, için maksimum modülü,

𝑀∞(𝑟, 𝑓) = max_|𝑧|=𝑟|𝑓(𝑧)|

ile tanımlanır.

𝑓, ünivalent olsun olmasın, 𝐷’de analitik bir fonksiyon olsun. 0 < 𝑝 ≤ ∞ için 𝑀_𝑃(𝑟, 𝑓)’nin her biri r’nin azalan fonksiyonudur. 𝑀_𝑃(𝑟, 𝑓)’nin 𝑟 → 1 olarak bağlı kalmasıyla, 𝑓 fonksiyonun Hardy uzayına 𝐻𝑃 _{ait olduğu söylenir. 𝑝 < 𝑞 için}

𝑀𝑃(𝑟, 𝑓) ≤ 𝑀𝑞(𝑟, 𝑓)

olduğundan, 𝐻𝑝 _{uzayları 𝑝 arttıkça büzüşür: 𝑝 < 𝑞 için 𝐻}𝑃 _{⊂ 𝐻}𝑞_{. Bu durumda 𝑓 her}

yönde

𝑓(𝑒𝑖𝜃_{) = lim} 𝑟→1𝑓(𝑟𝑒

𝑖𝜃₎

pozitif ölçü kümesinden ayrılamaz. Herhangi bir 𝑝 < 𝑞 için 𝑓 ∈ 𝐻𝑃_{fonksiyonun 𝐻}𝑞_’ye

ihtiyacı olmamasına rağmen,

𝑀𝑞(𝑟, 𝑓) = 𝑂((1 − 𝑟)1 𝑞⁄ −1 𝑝⁄ ), 0 < 𝑝 < 𝑞 ≤ ∞.

𝑓 ∈ 𝐻𝑝 _{ise her bir 𝜆 ≥ 𝑝 için,}

∫(1 − 𝑟)𝜆(1 𝑝⁄ −1 𝑞⁄ )−1_𝑀

𝑞𝜆(𝑟, 𝑓)𝑑𝑟 < ∞, 0 < 𝑝 < 𝑞 ≤ ∞. 1

0

Her bir 𝑓 ∈ 𝐻𝑃 _için

∫ 𝑀∞𝑃(𝑟, 𝑓)𝑑𝑟 < ∞ 1

0

özelliğine sahiptir.

3.16.2. Teorem (Prawitz Teoremi)

𝑓 ∈ 𝑆 ise o halde 0 < 𝑝 < ∞ için, 𝑀_𝑝𝑝(𝑟, 𝑓) ≤ 𝑝 ∫1

𝑡

1

0

𝑀_∞𝑝(𝑡, 𝑓)𝑑𝑡, 0 < 𝑟 < 1.

3.17. TEK DEĞİŞKENLİ FONKSİYONLAR

Her bir 𝑓 için, karekök dönüşümü

ℎ(𝑧) = √𝑓(𝑧2_{) = 𝑧 + 𝑐}

3𝑧3+ 𝑐5𝑧5+ ⋯

tek değişkenli bir fonksiyondur. Tersine, ℎ ∈ 𝑆’deki her bir fonksiyonun bazı 𝑓 ∈ 𝑆’nin karekök dönüşümü olduğu da görülür. S’deki tüm tek fonksiyonların sınıfı 𝑆(2) _ile

gösterilir. Her 𝑚 ≥ 2 tamsayısı için, 𝑓 ∈ 𝑆 fonksiyonları ℎ(𝑧) = {𝑓(𝑧𝑚_)}1 𝑚⁄ _{= 𝑧 + 𝑐}

𝑚+1𝑧𝑚+1+ 𝑐2𝑚+1𝑧2𝑚+1+ ⋯

bütün m.inci dönüşümlerinin sınıfı 𝑆(𝑚) _{ile gösterilir. Bu tam olarak m-katlı simetriye}

sahip tüm fonksiyonların ℎ ∈ 𝑆 dizisidir. Koebe fonksiyonun karekök dönüşümü, 𝑧

1 − 𝑧2 = 𝑧 + 𝑧3+ 𝑧5 + ⋯