Apresentaremos algumas ilustra¸c˜oes pr´atica do m´etodo a fim de exemplificar a eficiˆencia do mesmo.
i) Consideremos a fun¸c˜ao f : R→ R, definida por f(x) = e−x, na qual de acordo com
o m´etodo temos que encontrar a solu¸c˜ao da equa¸c˜ao: f′
(xk) +2λk(xk− xk−1) =0, ou seja, −e−xk +2λk(xk− xk−1) =0.
Solu¸c˜ao.
Afirma¸c˜ao 1: xk > xk−1.
Demonstra¸c˜ao. Suponha que xk 6xk−1, logo xk− xk−1 60. E, como λk >0, temos que:
2λk(xk−xk−1) 60. Al´em disso, −e−xk <0,∀ xk ∈ R. Logo, −e−xk+2λk(xk−xk−1) <0.
Absurdo!
Portanto, xk > xk−1.
Afirma¸c˜ao 2: (xk)k∈N ´e uma sequˆencia ilimitada.
Demonstra¸c˜ao. Suponha que (xk) ´e limitada, logo (xk) ´e convergente, visto que (xk) ´e
uma sequˆencia mon´otona e limitada. Assim, lim
k→∞xk =k→∞lim xk−1= x
∗
Da´ı, lim
k→∞[−e
−xk +2λ
k(xk− xk−1)] = −e−x ∗
=0. Absurdo! Logo, (xk) ´e ilimitada.
Portanto, xk → +∞ e com isso, lim
k→∞f(xk) =k→∞lim e
−xk =0 = inf
x∈Rf(x).
ii) Agora, consideremos a fun¸c˜ao f : R→ R, definida por f(x) = x · ex, analogamente
ao caso anterior teremos de encontrar a solu¸c˜ao da equa¸c˜ao: f′
(xk) +2λk(xk− xk−1) =0, ou seja, (xk+1)· exk +2λk(xk− xk−1) =0.
Solu¸c˜ao.
Afirma¸c˜ao 1: Se xk−1 = −1 implicar em xk = −1. Pare!
Demonstra¸c˜ao. Dado xk−1= −1, temos:
(xk+1)· exk +2λk(xk+1) = 0⇒ (xk+1)· (exk +2λk) =0,
ou seja, (xk+1) = 0 ou (exk+2λk) =0. Como (exk+2λk) >0, segue que:
(xk+1) = 0⇒ xk = −1.
Afirma¸c˜ao 2: Se xk−1 > −1, ent˜ao xk 6xk−1.
Demonstra¸c˜ao. Suponha que xk > xk−1, logo xk− xk−1 >0, da´ı:
(xk+1)· exk+2λk(xk− xk−1) >0. Absurdo!
Portanto, xk 6xk−1.
Afirma¸c˜ao 3: Se xk−1 < −1, ent˜ao xk >xk−1.
Demonstra¸c˜ao. Suponha que xk < xk−1 ⇒ xk− xk−1 <0, logo:
(xk+1)· exk+2λk(xk− xk−1) <0. Absurdo!
Portanto, xk >xk−1.
Da´ı, das Afirma¸c˜oes (2) e (3), a sequˆencia (xk) ´e limitada e mon´otona, portanto,
convergente. Seja lim
k→∞xk = x
∗
, com isso lim
k→∞2λk(xk− xk−1) =0, logo: lim k→∞[(xk+1)· e xk+2λ k(xk− xk−1)] = (x ∗ +1)· ex∗ =0⇒ x∗ = −1. Assim, (xk)tende para o ponto cr´ıtico da fun¸c˜ao f, que a saber ´e −1.
Cap´ıtulo 2. M´etodo de Ponto Proximal 37 Por outro lado, temos que: f(xk) + λk(xk− xk−1)
2 6f(x) + λk(x − xk−1) 2 , para todo x∈ R, isto ´e, xk· exk+ λk(xk− xk−1) 2 6x· ex+ λk(x − xk−1) 2 .
Agora, Aplicando o limite, com k → ∞, na desigualdade acima e considerando lim
k→∞λk =0, temos:
−e−1
6x· ex,∀ x ∈ R. Portanto, x∗
= −1 ´e o ponto ´otimo da fun¸c˜ao.
Uma boa aplica¸c˜ao do M´etodo na educa¸c˜ao b´asica ´e a resolu¸c˜ao do problema abaixo. Aplica¸c˜ao: Qual a solu¸c˜ao da equa¸c˜ao ex= x2
?
N˜ao ´e dif´ıcil ver que a equa¸c˜ao acima possui uma ´unica solu¸c˜ao, bastando para isso construirmos o gr´afico da fun¸c˜ao g(x) = exque ´e uma curva que tem como ass´ıntota o eixo
xe toca o eixo y no ponto (0, 1) e h(x) = x2
que ´e uma par´abola com v´ertice na origem e concavidade voltada para cima. A utiliza¸c˜ao de gr´aficos para ilustrar o problema, torna a ´algebra mais significativa, no entanto essa t´ecnica s´o ´e bem sucedida com o aux´ılio do c´alculo. Observe a figura:
Figura 2.1: h(x) = x2
e g(x) = ex.
Nosso objetivo ´e encontrar uma “boa”aproxima¸c˜ao para o ponto A da figura, fazendo uso do nosso M´etodo.
Para encontrarmos essa solu¸c˜ao, tomemos a fun¸c˜ao auxiliar f : R → R, definida por f(x) = ex −1
3x 3
, note que f(x) ´e uma fun¸c˜ao convexa, logo quase convexa. Al´em disso, f satisfaz as hip´oteses (H1) e (H2), assim utilizando nosso algoritmo encontraremos a
De fato, sejam x0 = −2 e λk = 1
2k, devemos encontrar x1 tal que:
f′ (x1) +2λ1(x1− x0) =0, ou seja, ex1 − x1 2 + x1+2 = 0.
Para resolver o problema acima, utilizaremos recursos computacionais (consideremos apenas 4 casas decimais) at´e encontrarmos a condi¸c˜ao desejada. Geralmente, utilizamos um crit´erio de parada espec´ıfico, no nosso caso, consideremos que |xk − xk−1| < 10−4.
Assim, como estamos levando em conta apenas 4 casas decimais, nossa condi¸c˜ao de parada ser´a equivalente a xk = xk−1.
Desta forma, temos: x1 = −1.1065, x2 = −0.7853, x3 = −0.7495, x4 = −0.7281,
x5 = −0.7162, ..., x10 = −0.7039, x11 = −0.7035, x12 = −0.7035 e assim sucessivamente.
Note que, x11 = x12 = −0.7035 ser´a a raiz para nosso problema, pois satisfaz o nosso
crit´erio de parada. Verificando, temos que: 0.49485 ≈ e−0.7035
= (−0.7035)2
≈ 0.49491. Portanto, xk = −0.7035 ´e o ponto procurado.
Cap´ıtulo 3
Considera¸c˜oes Finais
Esse trabalho foi dedicado ao estudo do M´etodo de Ponto Proximal para Otimiza¸c˜ao Quase Convexa, para tanto foi apresentado o Algoritmo (2.2) e comprovado sua eficiˆencia para resolu¸c˜ao do problema. O m´etodo consiste em resolver a equa¸c˜ao: f′
(xk) +2λk(xk−
xk−1) = 0, que ´e quase sempre dada de forma impl´ıcita e onde ´e necess´ario o uso de
recursos computacionais para ser resolvida, por exemplo o m´etodo de Newton. (Ver p. 105 de Izmailov [17]).
Al´em disso, mostramos que a sequˆencia (xk)k∈Ngerada pelo Algoritmo (2.2), converge
para um ponto cr´ıtico, e sob a condi¸c˜ao lim
k→∞λk = 0, obtemos a convergˆencia desta
sequˆencia para solu¸c˜ao do problema (2.1). Por fim, foram apresentados alguns problemas de matem´atica na qual fizemos uso do m´etodo para resolu¸c˜ao do mesmos.
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