10. Virüsler ve daha fazlası
10.2 Virüsler ve diğer zararlı yazılımlar
Figura 69: For¸ca de intera¸c˜ao v´ortice-v´ortice Ω obtida numericamente como fun¸c˜ao da separa¸c˜ao d entre v´ortices, para v´arios valores de µ =√2κ nos regimes (a) tipo-II e (b) tipo-I. (c) Separa¸c˜ao cr´ıtica dc (quadrados, escala da direita) e extremo Ωmax (triˆangulos,
escala da esquerda), que correspondem respectivamente `a posi¸c˜ao e `a amplitude do pico de for¸ca, como fun¸c˜oes do parametro de Ginzburg-Landau. As fun¸c˜oes de fitting para dc
e Ωmax s˜ao mostradas pelas curvas s´olidas.
Os resultados num´ericos para a intera¸c˜ao V-V s˜ao mostrados na Fig. 69, para v´arios
1
5.3 Resultados num´ericos e fun¸c˜oes de fitting 166
valores de µ no regime tipo-II (a) e tipo-I (b). Note que para µ ≈ 0, os v´ortices n˜ao devem interagir e a for¸ca deve ser nula, mas para 0 < µ < 1 eles se atraem (regime tipo-I) e a for¸ca ´e negativa neste caso. Por´em, no ponto cr´ıtico µ = 1 a for¸ca deve se anular novamente. Assim, no tipo-I, dois regimes diferentes podem ser identificados: um onde o m´odulo da for¸ca aumenta a partir do zero, `a medida que µ aumenta a partir de zero, e outro onde o m´odulo da for¸ca diminui de volta a zero, `a medida que µ se aproxima de 1. Isto pode ser visto na Fig. 69(c), onde o extremo do pico de for¸ca Ωmax (triˆangulos abertos, escala
da esquerda) aumenta com µ para pequenos valores de µ, enquanto para 0.6 < µ < 1 este pico diminui com µ, aproximando-se de zero quando µ = 1. Os resultados num´ericos podem ser aproximados pela fun¸c˜ao Ωmax(µ) = 0.0961µ(µ − 1)
(1 + 0.2863µ)1.341, que
´e mostrada pela curva vermelha na Fig. 69(c). Nas Figs. 69(a,b) observamos que a for¸ca exibe um m´aximo em uma certa separa¸c˜ao cr´ıtica dc, que depende do parˆametro
de Ginzburg-Landau µ =√2κ. A separa¸c˜ao cr´ıtica dc tamb´em ´e mostrada na Fig. 69(c)
(quadrados abertos, escala da direita) como fun¸c˜ao de µ. A fun¸c˜ao que se aproxima desta curva, dada por dc = 22.203(1 + 10.504µ)−0.774 (com varia¸c˜ao estimada em ν ≈ 0.3%),
´e mostrada pela curva preta na Fig. 69(c), que sugere que a separa¸c˜ao cr´ıtica para intera¸c˜oes V-V se aproxima de zero em situa¸c˜oes extremas do tipo-II (µ → ∞). Uma situa¸c˜ao extrema do tipo-II pode ser simulada atrav´es de um filme fino supercondutor de espessura w λ, onde a profundidade de penetra¸c˜ao magn´etica efetiva ´e dada por Λ = λ2/w, e para o qual express˜oes anal´ıticas para a intera¸c˜ao V-V foram propostas por
Pearl [169], e posteriormente por Brandt [170]. Por´em, no caso de filmes supercondutores, a for¸ca de intera¸c˜ao V-V decai monotonicamente como 1/d2, enquanto no presente caso
de um supercondutor volum´etrico, o decaimento ´e exponencial. Assim, apesar de ambas as situa¸c˜oes serem consideradas como limites extremos do tipo-II, nossos resultados para supercondutores volum´etricos com µ → ∞ s˜ao quantitativamente diferentes daqueles obtidos para filmes finos supercondutores.
A importˆancia de se resolver as Eqs. (5.13a) e (5.38c) numericamente para dois v´ortices separados est´a na possibilidade de se obter a for¸ca de intera¸c˜ao entre v´ortices at´e mesmo no limite de pequenas separa¸c˜oes, que n˜ao pode ser descrito pelas fun¸c˜oes assint´oticas encontradas na literatura [101] e pela Eq. (5.10). Por´em, uma vez que resovler estas equa¸c˜oes ´e geralmente uma tarefa dif´ıcil, n´os tentamos propor aqui uma express˜ao anal´ıtica que possui todas as caracter´ısticas da for¸ca obtida numericamente como fun¸c˜ao da separa¸c˜ao entre v´ortices. Esta express˜ao pode ser ´util, por exemplo, para a modelagem num´erica de estruturas de v´ortices atrav´es de simula¸c˜oes de dinˆamica molecular (MD), onde os v´ortices s˜ao considerados como part´ıculas puntuais. At´e o momento, nestas
5.3 Resultados num´ericos e fun¸c˜oes de fitting 167
Figura 70: Compara¸c˜ao entre as for¸cas de intera¸c˜ao V-V como fun¸c˜ao da separa¸c˜ao d obtidas pelo m´etodo num´erico (s´ımbolos) e pelas express˜oes assint´oticas (curvas) das Eqs. (5.15, 5.16), para µ = 1.7 (a) e µ = 0.6 (b). As for¸cas s˜ao mostradas em escala log10
e os valores dos parˆametros de ajuste p, q, γ e δ s˜ao dados em cada painel.
simula¸c˜oes de MD usa-se tipicamente as express˜oes assint´oticas para a intera¸c˜ao V-V, que s˜ao v´alidas apenas no regime de grandes separa¸c˜oes. [171, 172] Para obter uma fun¸c˜ao de fitting apropriada, iremos primeiro analisar separadamente os comportamentos para grandes e pequenas separa¸c˜oes entre v´ortices: para grandes separa¸c˜oes, usando-se a forma assint´otica das fun¸c˜oes de Bessel modificadas, a Eq. (5.10) pode ser reescrita como
Ω(d → ∞) = γd−12 δe−d−√µe−µd, (5.15)
onde γ e δ s˜ao parˆametros de ajuste. Para pequenas separa¸c˜oes, nossos resultados mostram que uma potˆencia de d descreve a for¸ca satisfatoriamente, ou seja
Ω(d → 0) = pdq, (5.16)
com p e q como parˆametros de ajuste. Dois exemplos destes fittings s˜ao mostrados mostra- dos na Fig. 70, para µ = 0.6 (em baixo) e µ = 1.7 (em cima). Note que o parˆametro q
5.3 Resultados num´ericos e fun¸c˜oes de fitting 168
depende fracamente de µ, exibindo valores entre ≈ 2.7 e ≈ 2.8 para todos os valores de µ considerados no caso V-V.
Figura 71: (a) Compara¸c˜ao entre as for¸cas de intera¸c˜ao V-V como fun¸c˜ao da separa¸c˜ao d obtidas pelo m´etodo num´erico (s´ımbolos) e pela fun¸c˜ao de fitting (curvas) dada pela Eq. (5.17). As curvas s´olidas (tracejadas) e os triˆangulos (quadrados) s˜ao os resultados para µ = 0.6 (1.7). (b-c) Os resultados para cada valor de µ s˜ao mostrados separadamente em escala logar´ıtmica, para enfatizar os pequenos desvios entre a fun¸c˜ao de fitting e os dados num´ericos.
Seguindo o comportamento estabelecido para a intera¸c˜ao nos casos limites, n´os propo- mos uma ´unica fun¸c˜ao que tem os comportamentos acima como limites:
Ωf it(d) = η1 dη3 1 + η2dη3+ 1 2 η4e−d−√µe−µd , (5.17)
onde ηi (i = 1 - 4) s˜ao quatro parˆametros de ajuste.
Fig. 71 mostra o fitting obtido com a Eq. (5.17) para os mesmos valores de µ apresentados na Fig. 70. O fitting n˜ao ´e ideal para d < λ, onde a for¸ca se torna muito pequena. Mesmo assim, encontramos um erro no ajuste menor que 1%. Note que o potencial de intera¸c˜ao V-V, que ´e a integral da for¸ca, ser´a ainda mais preciso.
5.3 Resultados num´ericos e fun¸c˜oes de fitting 169
Figura 72: Parˆametros de ajuste (s´ımbolos) da Eq. (5.17) como fun¸c˜ao de µ =√2κ para o caso V-V. As curvas s˜ao fun¸c˜oes de fitting dadas pelas Eqs. (5.18) para ηi(µ) (i = 1−4),
em trˆes intervalos diferentes: 0 < µ < 0.5, 0.5 < µ < 1 e 1 < µ. A inser¸c˜ao mostra uma amplia¸c˜ao dos resultados para η4 para os maiores valores de µ.
Os valores dos quatro parˆametros de ajuste s˜ao dados na Tabela I, para µ variando entre 0.2 e 2.5. Note que a varia¸c˜ao estimada ν cresce com µ, ent˜ao Eq. (5.17) n˜ao produz resultados precisos em casos tipo-II extremos. De qualquer forma, no caso tipo-II extremo a separa¸c˜ao cr´ıtica dc se aproxima de zero, como mencionado anteriormente, e
consequentemente, a parte de curto alcance da intera¸c˜ao V-V n˜ao deve ser importante nesta situa¸c˜ao. Assim, a express˜ao assint´otica Ω(d) = f0K1(d) frequentemente usada na
literatura, [173, 174] que pode ser obtida a partir da Eq. (5.10) fazendo-se µ → ∞, deve levar a uma descri¸c˜ao satisfat´oria da for¸ca de intera¸c˜ao V-V em situa¸c˜oes tipo-II extremas. Tentamos ent˜ao obter uma express˜ao anal´ıtica para os parˆametros de ajuste como fun¸c˜ao de µ. A dependˆencia deles em µ ´e mostrada na Fig. 72. Trˆes intervalos diferentes de µ, delimitados pelas linhas pontilhadas verticais na Fig. 72, podem ser distinguidos. A explica¸c˜ao f´ısica para a existˆencia de trˆes comportamentos diferentes dos parˆametros
5.3 Resultados num´ericos e fun¸c˜oes de fitting 170
Tabela 1: Parˆametros de ajuste ηi e o erro estimado ν para a Eq. (5.17) no caso V-V,
para diversos valores de µ.
µ η1 η2 η3 η4 ν(×10−8) 0.2 6.564×10−7 5.13×10−7 6.135 -83.611 1.42 0.3 1.522×10−5 7.268×10−6 5.213 -17.667 3.96 0.4 5.698×10−5 2.041×10−5 4.950 -8.014 5.06 0.5 1.284×10−4 3.911×10−5 4.796 -5.090 1.95 0.6 4.474×10−4 1.222×10−4 4.440 -1.538 0.448 0.7 1.62×10−3 3.968×10−4 4.046 0.237 0.239 0.8 4.12×10−3 9.326×10−4 3.760 0.766 0.215 0.9 8.46×10−3 1.79×10−3 3.544 0.943 0.116 1.1 1.546×10−2 3.88×10−3 3.489 1.049 0.139 1.2 2.068×10−2 5.37×10−3 3.443 1.095 0.98 1.3 2.67×10−2 7.31×10−3 3.410 1.140 3.16 1.4 3.369×10−2 9.78×10−3 3.382 1.183 7.24 1.5 4.175×10−2 1.286×10−2 3.358 1.225 13.8 1.6 5.094×10−2 1.664×10−2 3.338 1.265 23.6 1.7 6.136×10−2 2.121×10−2 3.320 1.304 36.8 1.8 7.308×10−2 2.667×10−2 3.306 1.342 53.9 1.9 8.618×10−2 3.311×10−2 3.294 1.378 75.3 2.0 0.1008 4.066×10−2 3.283 1.414 101.1 2.1 0.1169 4.94×10−2 3.275 1.449 131.6 2.2 0.1347 5.945×10−2 3.268 1.483 166.7 2.3 0.1542 7.093×10−2 3.262 1.517 206.6 2.4 0.1756 8.396×10−2 3.258 1.549 251.1 2.5 0.199 9.866×10−2 3.254 1.581 286.2
5.3 Resultados num´ericos e fun¸c˜oes de fitting 171
Tabela 2: Parˆametros de ajuste nas Eqs. (5.18 a-d) para o caso V-V, para trˆes intervalos diferentes de µ. Parameter µ < 0.5 0.5 < µ < 1 µ > 1 A1 5.977 -0.5420 -0.9404 B1 -1.092 -9.041 -74.584 C1 -1.191 -0.6323 -4.221×10−2 A2 13.845 7.935 ×10−2 -0.9843 B2 -0.6218 -5.359 -379.321 C2 -1.373 -0.9084 -1.057×10−2 A3 4.79 2.756 3.234 B3 12.542 7.587 1.849 C3 -11.183 -2.523 -1.804 A4 -3.677 1.215 0 B4 -8.663×10−2 -0.1229 1 C4 -4.244 -6.022 0.5
ηi como fun¸c˜ao de µ ´e a seguinte: para o tipo-I (µ < 1), como explicado anteriormente,
deve haver um regime onde o tamanho do pico de for¸ca atrativa aumenta com µ e outro regime onde ele diminui com µ. Isto define os intervalos 1 (µ < 0.5) e 2 (0.5 < µ < 1), respectivamente. O intervalo 3 ´e ent˜ao o regime tipo-II, para µ > 1, onde a for¸ca de intera¸c˜ao ´e repulsiva. As fun¸c˜oes ηi(µ) na Fig. 72 foram aproximam-se de
η1(µ) = eB1(µC1+A1), (5.18a)
η2(µ) = eB2(µC2+A2), (5.18b)
η3(µ) = A3+ B3eC3µ (5.18c)
e
η4(µ) = A4+ B4µC4, (5.18d)
com parˆametros Ai, Bie Cidiferentes para cada regi˜ao, listados na Tabela II. Estas fun¸c˜oes
de fitting para ηi(µ) s˜ao mostradas como curvas na Fig. 72. Note que o parˆametro η4deve
satisfazer a condi¸c˜ao η4 ≤ √µ (≥ √µ) no caso tipo-I (tipo-II), se n˜ao a diferen¸ca entre
os termos exponenciais na Eq. (5.17) apresentaria uma mudan¸ca de sinal para pequenas separa¸c˜oes, levando a uma falsa regi˜ao repulsiva (atrativa) neste caso. No caso tipo-II, esta condi¸c˜ao leva a η4(µ) ≈√µ como o melhor falor para este parˆametro de ajuste.
´
E importante salientar que os resultados obtidos para η2 n˜ao apresentam os mesmos
valores que q na Eq. (5.16) para a lei de potˆencia em pequenas separa¸c˜oes, que, como mencionado anteriormente, est˜ao entre ≈ 2.7 e ≈ 2.8. Isto ´e razo´avel, porque os termos exponenciais na Eq. (5.17) ainda influenciam no limite de pequenas distˆancias d nesta
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express˜ao, assim, o parˆametro η2 deve assumir um valor diferente de q para compensar
estes termos. Os valores obtidos para η4, que ´e o parˆametro que controla o comportamento
da Eq. (5.10) para longas distˆancias d, tamb´em n˜ao s˜ao os mesmos obtidos quando usamos o comportamento assint´otico de cada v´ortice para encontrar os parˆametros γ1(i) e γ2(i) na Eq. (5.10). Na verdade, para µ > 1, encontramos η4 ≈√µ, que equivale a γ1(i) = γ
(i) 2 . `A
medida que µ aumenta, a diferen¸ca entre γ1(i)e γ2(i)´e intensificada [99], o que leva a um erro ν maior para maiores valores de µ, como mostrado na Tabela I. Mesmo assim, esta escolha de η4 convenientemente leva a uma fun¸c˜ao que decai exponencialmente para grandes
separa¸c˜oes d, como esperado para intera¸c˜oes V-V em supercondutores volum´etricos, e que n˜ao apresenta nenhuma troca de sinal em pequenas separa¸c˜oes. Obviamente, a fun¸c˜ao de fitting Eq. (5.17) pode ser aprimorada para podermos obter um ajuste melhor para a parte que corresponde a grandes separa¸c˜oes e para reproduzir perfeitamente a lei de potˆencia para pequenas separa¸c˜oes, mas isso requer mais parˆametros de ajuste e express˜oes bem mais complicadas. A Eq. (5.17) ´e simples e ainda produz resultados razo´aveis para 0 ≤ µ ≤ 2.5, como verificado pelos pequenos erros ν < 10−6 encontrados na Tabela I e
pela compara¸c˜ao com os resultados num´ericos na Fig. 71.