10. Virüsler ve daha fazlası
10.1 Tehdit kategorileri
Em um trabalho anterior, Rusin e Zawadzki [157] usaram o Hamiltoniano de Dirac para o grafeno para mostrar que o zitterbewegung, que ´e transiente para B = 0, como discutimos anteriormente, torna-se permanente para B = 0. Al´em disso, os autores mostraram que para um pacote de onda Gaussiano, a evolu¸c˜ao temporal do valor m´edio da corrente ´e diferente nas dire¸c˜oes x e y, o que eles dizem que deve-se ao fato do Hamiltoniano de Dirac n˜ao ser sim´etrico no momento ˆpx e ˆpy. Apesar destes mesmos autores dizerem
em um artigo subsequente [60] que este efeito ´e n˜ao-f´ısico, por violar a simetria rotacional do plano x − y do grafeno, acreditamos que este resultado ainda ´e fisico: deve-se lembrar que o modelo de Dirac para o grafeno vem de uma aproxima¸c˜ao tight-binding para este sistema, a qual descreve uma rede hexagonal de ´atomos que n˜ao ´e sim´etrica no plano x−y por defini¸c˜ao, exibindo por´em uma simetria C6v. Para cada ponto K e K′, as coordenadas
x e y no Hamiltoniano de Dirac representam dire¸c˜oes diferentes na rede hexagonal real do grafeno, onde para uma amostra infinita, a coordenada x (y) na equa¸c˜ao de Dirac est´a sempre relacionada com uma das dire¸c˜oes zigzag (armchair) da amostra real. Nesta Subse¸c˜ao, usamos nosso modelo TB de grafeno para expandir os estudos anteriores de Rusin e Zawadzki [60] para situa¸c˜oes diferentes.
Estudamos agora a dinˆamica de um pacote de onda com largura d = 200 ˚A , pseudo- spinor c1 = 1 e c2 = 1 e vetor de onda inicial k0x = k0y = 0, isto ´e, exatamente em
um dos pontos de Dirac K e K′ da Eq. (4.10), na presen¸ca de um campo magn´etico
uniforme aplicado B = B ˆz, ao inv´es da barreira magn´etica considerada na Subse¸c˜ao anterior. Vamos tamb´em considerar um campo pseudo-magn´etico obtido flexionando-se toda a amostra retangular de grafeno como um arco de c´ırculo de raio R, como ilustrado na Fig. 63(a). O raio do c´ırculo ´e considerado como R = 1 µm, o que produz um campo pseudo-magn´etico de ≈ 4.9 T, como demonstrado na Subse¸c˜ao anterior. Efetivamente, consideramos o campo magn´etico externo uniforme como B = 4.9 T.
Algumas t´ecnicas experimentais tˆem sido sugeridas na literatura para a observa¸c˜ao do zitterbewegung. [59, 62] Uma interessante [157] baseia-se no fato de que o pacote de onda Ψ(r, t) exibe um momento de dipolo el´etrico D(t) = Ψ(r, t)|r|Ψ(r, t) e, conse- quentemente, o zitterbewegung leva a uma oscila¸c˜ao deste momento de dipolo, o qual pode ser visto como uma fonte de radia¸c˜ao eletromagn´etica, descrita classicamente [158] pela equa¸c˜ao ε(t) = d 2D(t) dt2 sin Φ 4πǫ0s , (4.14)
4.2 Evolu¸c˜ao temporal de pacotes de onda em grafeno 155
Figura 68: Radia¸c˜ao do dipolo magn´etico como fun¸c˜ao do tempo para pacotes de onda com pseudo-spinor inicial [1, 1]T em K (preta) e K′ (vermelha), considerando-se uma
folha de grafeno (a) na ausˆencia de tens˜ao e campos magn´eticos, (b) sob um campo magn´etico B = 4.9 T aplicado uniformemente, (c) flexionada como um arco de c´ırculo de raio R = 1µm (ver Fig. 63) e (d) com ambos o campo magn´etico uniforme B = 4.9 T e a flex˜ao R = 1µm. Curvas s´olidas (tracejadas) s˜ao os resultados para a componente εy
(εx).
onde s e Φ s˜ao a distˆancia e o ˆangulo de observa¸c˜ao, respectivamente, e ǫ0´e a permissivi-
dade do v´acuo.
A Fig. 68 mostra os efeitos dos campos magn´eticos externo e induzido por tens˜ao sobre a radia¸c˜ao do campo el´etrico produzida pelo zitterbewegung, escrita em unidades de εc = sin Φ
4πǫ0s. Somente oscila¸c˜oes fracas s˜ao esperadas na dire¸c˜ao armchair (x), j´a que
o pseudo-spin [1, 1]T aponta para a dire¸c˜ao x no modelo de Dirac que, como mencionamos
anteriormente, representa a dire¸c˜ao zigzag (y) da rede hexagonal do grafeno. De fato, na Fig. 68(a-d), a componente x do campo el´etrico (tracejada) est´a sempre proxima de zero. Na Fig. 68(a), apresentamos os resultados na ausˆencia de tens˜ao e campos magn´eticos, para compara¸c˜ao. Neste caso, as oscila¸c˜oes no campo el´etrico s˜ao amortecidas para tempos maiores, o que se deve ao car´ater transiente do zitterbewegung. Al´em disso, os resultados
4.2 Evolu¸c˜ao temporal de pacotes de onda em grafeno 156
para εy (s´olida) nos pontos K (preta) e K′ (vermelha) tˆem sinais opostos, j´a que para
estes pontos os eixos dos cones Dirac est˜ao rotacionados por ˆangulos que diferem de π/2. Na Fig. 68(b), O campo magn´etico uniformemente aplicado B = 4.9 T em uma amostra n˜ao-tensionada leva a oscila¸c˜oes persistentes em εy, o que est´a relacionado ao espectro
discreto de n´ıveis de Landau criado por este campo. Cada n´ıvel de Landau populado pela distribui¸c˜ao Gaussiana contribui com uma frequˆencia diferente. [60, 159, ?] A Fig. 68(c) mostra que um comportamento persistente parecido ´e obtido tamb´em flexionando-se a folha de grafeno como um arco de c´ırculo de raio R = 1µm, o que produz um campo pseudo-magn´etico com a mesma ordem de magnitude. Note, por´em que a amplitude das oscila¸c˜oes neste caso ´e quatro vezes menor que aquelas encontradas na Fig. 68(b) para a amostra n˜ao tensionada sob um campo magn´etico externo. De fato, n˜ao podemos esperar que estes dois casos produzam o mesmo zitterbewegung, porque, apesar de ambas as amostras exibirem aproximadamente a mesma intensidade de campo magn´etico, a amostra tensionada tem n˜ao s´o o campo pseudo-magn´etico, mas tamb´em uma distribui¸c˜ao diferente de s´ıtios atˆomicos. Assim, no caso tensionado, existe uma mudan¸ca adicional na dire¸c˜ao da polariza¸c˜ao do pseudo-spin `a medida que o pacote de onda se propaga, devido `a pr´opria distor¸c˜ao da rede. Como demonstramos anteriormente, o zitterbewegung depende fortemente da polariza¸c˜ao do pseudo-spin e, por isso, uma intera¸c˜ao diferente entre os s´ıtios tensionados e a polariza¸c˜ao inicial do pseudo-spin produz um zitterbewegung diferente para o caso tensionado, quando o comparamos com o de uma amostra n˜ao- tensionada sob um campo magn´etico externo. Na Fig. 68(d), combinamos os efeitos da tens˜ao R = 1 µm e campo externo B = 4.9 T para produzir um sistema onde o campo magn´etico efetivo ´e praticamente zero no ponto K, mas ´e n˜ao-nulo no ponto K′,
de forma que somente o pacote no ponto K′ exibe oscila¸c˜oes persistentes, enquanto as
oscila¸c˜oes para o pacote em K s˜ao suprimidas com o passar do tempo. Para o ponto K, o campo externo compensa somente o efeito do campo pseudo-magn´etico, ou seja, o zitterbewegung persistente, mas ele n˜ao remove o efeito da distor¸c˜ao da rede. Como consequˆencia, comparando-se os resultados para K (preta) nas Figs. 68(a) e (d), observa- se que as oscila¸c˜oes s˜ao transientes em ambos os casos, j´a que n˜ao h´a campo magn´etico efetivo, mas eles ainda exibem um perfil diferente de oscila¸c˜oes em tempos t pequenos, devido `a distor¸c˜ao da rede no segundo caso, que n˜ao existe no primeiro.
157
5
Intera¸c˜ao entre v´ortices em
supercondutores
Neste Cap´ıtulo, iremos revisar o comportamento assint´otico do campo magn´etico e do parˆametro de ordem de um v´ortice est´atico na teoria de Ginzburg-Landau e expandir a express˜ao anal´ıtica sugerida por Kramer [93] para o estudo da intera¸c˜ao entre um v´ortice e um outro v´ortice, um antiv´ortice ou um v´ortice gigante, no limite de grandes separa¸c˜oes entre eles. Desenvolveremos ent˜ao um conjunto de equa¸c˜oes diferenciais n˜ao-lineares que descrevem essas intera¸c˜oes e que s˜ao v´alidas para separa¸c˜oes arbitr´arias entre v´ortices e, consequentemente, v´alidas tamb´em para pequenas separa¸c˜oes, onde as deforma¸c˜oes dos n´ucleos dos v´ortices interagentes s˜ao importantes. Resolvemos numericamente este conjunto de equa¸c˜oes sem nenhuma aproxima¸c˜ao, para valores arbitr´arios de κ, e obte- mos resultados para as intera¸c˜oes v´ortice-v´ortice (V-V), v´ortice-v´ortice gigante (V-GV) e v´ortice-antiv´ortice (V-AV), os quais s˜ao comparados `as express˜oes anal´ıticas obtidas neste Cap´ıtulo. Para cada um destes casos, propomos uma fun¸c˜ao de fitting para a intera¸c˜ao, o que facilitar´a a utiliza¸c˜ao destes potenciais de intera¸c˜ao em futuros trabalhos de dinˆamica molecular. Depois disso, mostraremos ent˜ao como expandir o m´etodo num´erico proposto para o estudo de intera¸c˜oes V-V em supercondutores de duas bandas, e discutiremos sobre a possibilidade de se observar um comportamento h´ıbrido tipo-I/tipo-II nestes sis- temas, tamb´em conhecido como supercondutividade tipo-1.5, onde os v´ortices se atraem (repelem) a longas (curtas) distˆancias.