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3.2

Modelo auto-regressivo AR(1)

Os procedimentos usais do controle multivariado de processo s˜ao desenvolvidos sob a suposi¸c˜ao de que os vetores das vari´aveis s˜ao normalmente e identicamente distribu´ıdos com vetor de m´edia µ e uma matriz de covariˆancia Σ. De acordo com os intervalos de amostragem do processo o vetor de observa¸c˜oes Yt no tempo t pode ser representado

por:

Yt= µ + ǫt, t = 1, 2 . . .

onde ǫt ´e um vetor de erro aleat´orio com distribui¸c˜ao normal e independente com

vetor de m´edia zero e matriz de covariˆancia Σ. Para determinar se o processo est´a sob controle com rela¸c˜ao ao vetor de m´edias quando tem-se uma matriz de covariˆancia Σ conhecida usa-se, segundo Montgomery (23), o modelo semelhante ao de Shewart, LSC = X2

p,α, como gr´afico de controle com limite superior X 2 utilizando a seguinte estat´ıstica: X2 = (Yt− µ0) ′ Σ−1 (Yt− µ0)

onde µ0 ´e o valor alvo do vetor de m´edia.

No entanto em muitos processos de produ¸c˜ao a suposi¸c˜ao de independˆencia ´e vio- lada, que por sua vez afetam diretamente na determina¸c˜ao correta do limite de controle, e a consequˆencia ´e uma grande quantidade de alarmes falsos. O do processo que apre- senta autocorrela¸c˜ao provoca uma redu¸c˜ao no desempenho do gr´afico. Isto pode levar a um valor de NMAF menor que o esperado, quando o processo est´a sob controle. Para superar tal problem´atica ´e necess´ario primeiramente conhecer e modelar os pa- dr˜oes de s´eries temporais encontrados. Em muitos processos industriais os valores das caracter´ısticas de qualidade medidas, ao longo do tempo, se ajustam a um modelo co- nhecido AR(1).Com respeito aos gr´aficos de controle multivariados Kramer e Schmid (15) utilizaram modelo AR(1) para modifica¸c˜oes da EWMA multivariada na presen¸ca de autocorrela¸c˜ao. Para um processo autocorrelacionado o modelo AR(1) ´e dado por:

Yt= µ + φ(Yt−1− µ) + ǫt, t = 1, 2, . . . , Y0 = µ, ǫ ˜ N (0, σ_ǫ)

onde µ ´e o valor m´edio da vari´avel no tempo, φ(−1 < φ < 1) ´e uma constante que indica o parˆametro da autocorrela¸c˜ao, ǫt´e erro independente e normalmente distribu´ıdo

Cap´ıtulo 4

MODELO DA SIMULA ¸C ˜AO

4.1

Gerando Amostras

Diante da problem´atica encontrada em monitorar processos multivariados que es- t˜ao sob efeito da autocorrela¸c˜ao em seus dados, foi proposto neste trabalho simular um modelo bivariado que pudesse representar situa¸c˜oes do cotidiano utilizando parˆametros inerentes a esse tipo de processo, e observar o desempenho do gr´afico T2

de Hotelling bivariado nesse cen´ario. A primeira suposi¸c˜ao foi considerar que uma das duas ca- racter´ısticas de qualidade estavam sob efeito de autocorrela¸c˜ao dentro de um mesmo subgrupo racional. Outra suposi¸c˜ao considerada no modelo que estas caracter´ısticas de qualidade possu´ıam uma correla¸c˜ao entre si. Para melhor exemplificar este modelo segue a estrutura para gerar as 10.000 amostras com 3 observa¸c˜oes cada (x1, x2, x3):

x1_i = µ_x+ ǫ_x

1i N (0, 1) i = 1, 2, . . . , 10.000 (4.1)

x2_i = µ_X + φ(x1_i− µ_X) + ǫ_x

2i N (0, 1) i = 1, 2, . . . , 10.000 (4.2)

x3_i = µ_X + φ(x3_i− µ_X) + ǫ_x3i N (0, 1) i = 1, 2, . . . , 10.000 (4.3)

onde, µX ´e m´edia da caracter´ıstica de qualidade x e ǫx_1i, ǫx_2i e ǫx_3i s˜ao os erros aleat´orios

independentes e normalmente distribu´ıdos de cada elemento da amostra. A express˜ao (4.1) representa o primeiro elemento retirado em uma amostra de tamanho trˆes (n = 3) em um instante i, x1_i ´e o primeiro elemento da amostra retirado no instante i. O se-

gundo elemento retirado da amostra ´e a observa¸c˜ao x2_i que possui uma autocorrela¸c˜ao

com a x1_i determinada pelo coeficiente φ. E por ´ultimo o elemento x3_i que possui auto-

correla¸c˜ao φ com x2_i. O primeiro passo para criar essas amostras foi gerar um vetor X1

supondo normal N (0, 1) de tamanho i = 10.000, a partir do vetor X1 gera-se os 10.000

4.1 Gerando Amostras 23

elementos de X2 segundo a equa¸c˜ao 4.3, em seguida, gera-se os 10.000 elementos de X3

segundo a equa¸c˜ao 4.3. Importante mencionar que neste trabalho os valores adotados para simular autocorrela¸c˜ao ser˜ao positivos 0 ≤ φ ≤ 1. Ap´os este processo temos um vetor com 10.000 amostras tendo, cada um, 3 observa¸c˜oes (x1, x2, x3).

O passo seguinte foi gerar os valores da segunda caracter´ıstica de qualidade denomi- nada aqui por Y . ´E sabido que est´a caracter´ıstica ter´a uma correla¸c˜ao com X. Abaixo express˜ao matem´atica que mostra como foram gerados os dados das 10.000 amostras de Y com observa¸c˜oes 3 observa¸c˜oes cada (y1,y2,y3):

y1_i = ρx1_i+ ǫ_y

1i N (0, 1) i = 1, 2, . . . 10.000

y2_i = ρx2_i+ ǫ_y

2i N (0, 1) i = 1, 2, . . . 10.000

y3_i = ρx2_i+ ǫ_y3i N (0, 1) i = 1, 2, . . . 10.000

onde ρ representa o coeficiente de correla¸c˜ao entre a caracter´ıstica Y e X. ǫy_1i, ǫy_2i e

ǫy_3i ´e o erro aleat´orio independente e normalmente distribu´ıdo dos trˆes elementos da

amostra. O primeiro elemento de cada amostra de Y possui uma correla¸c˜ao com o primeiro elemento de uma amostra de X e assim por diante at´e o terceiro e ´ultimo elemento de cada amostra, fazendo com que as observa¸c˜oes da vari´avel y sejam geradas com correla¸c˜ao com a caracter´ıstica de qualidade x. Como est˜ao sendo tratadas carac- ter´ısticas de qualidade de um determinado produto ´e normal que aspectos de qualidade deste possam ter rela¸c˜ao com outro aspecto do produto, ou seja, haja correla¸c˜ao. O vetor de amostra de Y ter´a tamb´em o mesmo tamanho de X com o valor de m = 10.000 amostras.

O processo de cria¸c˜ao anterior pode ser expandido para que seja simulado dados com amostras de diferentes tamanhos. Neste trabalho optou-se tamb´em por criar dados de um processo multivariado autocorrelacionado com amostras de tamanho 3, 4 e 5. Segue abaixo o modelo anal´ıtico de cria¸c˜ao dos dados autocorrelacionados para duas vari´aveis de qualidade com tamanhos de amostra 4 e 5.

4.1 Gerando Amostras 24

Para n = 4 da vari´avel X temos: x1_i = µ_x+ ǫ_x 1i N (0, 1) i = 1, 2, . . . , 10.000 (4.4) x2_i = µ_X + φ(x1_i − µ_X) + ǫ_x 2i N (0, 1) i = 1, 2, . . . , 10.000 x3_i = µ_X + φ(x2_i − µ_X) + ǫ_x3i N (0, 1) i = 1, 2, . . . , 10.000 x4_i = µ_X + φ(x3_i − µ_X) + ǫ_x 4i N (0, 1) i = 1, 2, . . . , 10.000

Para n = 4 da vari´avel Y temos: y1_i = ρx1_i+ ǫ_y 1i N (0, 1) i = 1, 2, . . . , 10.000 y2_i = ρx2_i+ ǫ_y2i N (0, 1) i = 1, 2, . . . , 10.000 y3_i = ρx3_i+ ǫ_y 3i N (0, 1) i = 1, 2, . . . , 10.000 y4_i = ρx4_i+ ǫ_y 4i N (0, 1) i = 1, 2, . . . , 10.000

Para n = 5 da vari´avel X temos:

x1_i = µ_x+ ǫ_x1i N (0, 1) i = 1, 2, . . . , 10.000 x2_i = µ_X + φ(x1_i − µ_X) + ǫ_x 2i N (0, 1) i = 1, 2, . . . , 10.000 x3_i = µ_X + φ(x2_i − µ_X) + ǫ_x 3i N (0, 1) i = 1, 2, . . . , 10.000 x4_i = µ_X + φ(x3_i − µ_X) + ǫ_x4i N (0, 1) i = 1, 2, . . . , 10.000 x5_i = µ_X + φ(x4_i − µ_X) + ǫ_x 5i N (0, 1) i = 1, 2, . . . , 10.000

Para n = 5 da vari´avel Y temos: y1_i = ρx1_i+ ǫ_y 1i N (0, 1) i = 1, 2, . . . , 10.000 y2_i = ρx2_i+ ǫ_y 2i N (0, 1) i = 1, 2, . . . , 10.000 y3_i = ρx3_i+ ǫ_y3i N (0, 1) i = 1, 2, . . . , 10.000 y4_i = ρx4_i+ ǫ_y 4i N (0, 1) i = 1, 2, . . . , 10.000 y5_i = ρx5_i+ ǫ_y 4i N (0, 1) i = 1, 2, . . . , 10.000

Estes modelos acima s˜ao respons´aveis por gerar dados autocorrelacionados para duas var´aveis que representam as duas caracter´ısticas de qualidade desta pesquisa. Estes modelos anal´ıticos para a cria¸c˜ao dos dados autocorrelacionados s˜ao criados em fun¸c˜ao dos valores de φ e ρ. Para a cria¸c˜ao de dados da caracter´ıstica de qualidade X ´e