Verilen bir doğrunun üzerindeki herhangi bir D noktasından,

her biri verilen bir AB parçasına eşlenik olan iki parça CD ve DE olmak üzere, iki parça ayrılabilir [9].

O halde, Euclid’in özdeşliğine benzer önermelerin bir zinciri genişletilebilir ve tüm doğruların sınırlı ve eşit olduğu sonucu çıkartılabilir. Bir doğru sonsuzdur ve herhangi iki nokta iki “bütünler” parçayı belirler. Eğer bunlar eşitse, her biri bir “dik” parçadır ve bu iki nokta “eşlenik” olarak isimlendirilir. Verilen bir düzleme dik olan tüm bu doğrular, düzlemde her noktaya eşlenik olan belli bir noktada çakışık olarak bulunur. Tersine, verilen bir noktaya eşlenik olan noktaların yeri bir düzlemdir. Böylece bu, noktalar ve düzlemler arasındaki “uniform kutupsallık” olarak isimlendirilen bir çeşit tanımdır [9].

Reel projektif geometrinin her aksiyomunun eliptik geometride de geçerli olduğu ileri sürülür. Bu aksiyomlar kolayca benimsenir ve bir uniform kutupsallığın özel ilgi alanı olarak kabul edilir. Bu mutlak kutupsallık önce keyfi olarak seçilir, sabit tutulur ve bir eşlenik translasyon (dönüşüm) bu kutupsallığı kendisine dönüştüren bir kolineasyon gibi tanımlanır. Kongruansın tüm aksiyomları sonra ispatlanabilen teoremler olur. Basitlikteki bu artış önemlidir. Özellikle bu aksiyomlar (bir parçanın yeri eşsiz olarak belirlenen) Euclidean geometridekilerden daha karmaşıktır. Dahası reel projektif geometrinin tüm teoremleri hem de eliptik geometridekileri kesinlikle tutar ve başka teoremlerin sonuçları için önemli bir temel oluşturur (“Eşlenik translasyonun (dönüşümün)” diğer ismi izometridir.) [9].

Eğer eliptik geometriyi sadece iki boyutta geliştirilmek istenirse reel projektif düzlemle başlanır ve bir eliptik kutupsallığın özel ilgi alanı olur. Bir tek doğrunun geometrisini dikkate alan bir içerik oluşturulsun. Mutlak kutupsallığın yerine mutlak bir involusyon (karışıklık) alınsın. Bu, başlangıçta reel projektif doğrudaki herhangi bir eliptik involusyon (karışıklık) olsun, fakat ilk kez seçildiğinde tüm görüşler

tamamen korunur. Bu tanımla, onun çiftleri bu doğruyu “dik parçalarına” ayıran konjuge (benzer) noktalardır [9].

Benzer olarak, sonsuzlukta bir düzlemde özel bir eliptik kutupsallık (veya involusyon (karışıklık)) ile “afin” geometriden Euclidean geometri türetilebilir. Aslında afin uzayın sonsuzda bir düzlemdeki noktaların ve doğruların geometrisi projektiftir. Oysa Euclidean uzayın sonsuzda bir düzlemdeki noktaların ve doğruların geometrisi eliptiktir [9].

3.1.2.2.2 Modeller

İki boyutlu eliptik geometri, Euclidean uzayda bir doğru ve düzlem yığınının oluşturduğu bir modelle gösterilir. Bir boyutlu eliptik geometri için benzer bir model, Euclidean düzlemde düz çizgi meydan getirir. Eşlenik noktalar dik doğrularla temsil edilmiş olur. Fakat bu bir boyutlu durumda istisna olarak başka basit model elde edilebilir. Aslında eliptik doğrunun geometrisi tipik bir çemberin geometrisiyle özdeştir. Noktalar çap boyunca zıt yerde olunca “konjuge (eşlenik)” olur [9].

Bu modelin elemanları bir konik üzerinde tanımlı izdüşümselliklerin olası bir sonucuyla ilgili olabilir. Çünkü bir çember bir koniktir ve bir konik üzerindeki herhangi bir involusyon (karışıklık) çiftinin birleştiği doğrular tıpkı bir çemberin çapı gibi taşınır. Bu kuadrik (ikinci dereceden bir yüzey) için benzer bir teori değildir ve sonuç olarak bir küre üzerindeki eliptik düzlemi bire-bir temsil etmez [9].

Eliptik geometrinin kendi soyut doğasını vurgulamak için aşağıdaki sözlükte olduğu gibi iki model yan yana yerleştirilebilir:

Eliptik doğru Sabit bir O noktasının civarındaki Euclidean düzlem

Bir çemberin çevresi

Nokta O dan geçen doğru Çember üzerindeki nokta

Parça (segment) Açı Yay

Bütünler parçalar Bütünler açılar Major ve minor yaylar

Dik parça Dik Açı Yarım daire

Translasyon (dönüşüm) O etrafında dönme Merkez etrafında dönme Bir noktada yansıma O dan geçen bir doğruda

yansıma

Bir çapta yansıma

Modellerin bu konunun mantıksal gelişiminin bir parçası olmadığı açıkça anlaşılabilir, fakat sadece grafikler gibi anlamlandırmaya yardım eder (Her iki model Şekil 3.23’te kullanılır). Reel projektif geometri kadar tutarlı olan eliptik geometri “3.1.2.1.1 Reel Projektif Geometri: Temelleri”nden beri hiçbir yeni varsayımdan oluşmadığı için artık herhangi bir tutarlılık sorusu yoktur [9].

Şekil 3.23: Euclidean ve eliptik modellerin kullanımı

3.1.2.2.3 Yansımalar ve Translasyonlar (Dönüşümler)

değildir. Ω bir mutlak involusyon (karışıklık) olduğunda (varsayıldığı gibi), bu hiperbolik involusyon (karışıklık) bir “yansıma” ve bu eliptik projektiflik bir “translasyon (dönüşüm)” olarak isimlendirilir. Benzer teorem söylendiğinde bu, A ve B herhangi iki nokta için her alınan A dan B ye; AΦB bir tek yansıması, AΨB bir

tek translasyon (dönüşüm)ü vardır. A ve B eşlenik olduğunda özel olarak AΨB = Ω

olur [9].

İki izdüşümselliğin sonucu Ω ile her biri permute edildiğinde, Ω ile kendisi permute edilir. (Ayrıntılı olarak; Ωθθ´ = θΩθ´ = θθ´Ω dır.) Bundan dolayı, iki yansıma sonucu veya iki translasyon (dönüşüm) sonucu bir translasyondur (dönüşümdür). Fakat bir yansımanın sonucu bir translasyon (dönüşüm) sonucu bir yansımadır. Bir doğru üzerinde herhangi üç nokta A, B, C olmak üzere sembol olarak [9].

AΦB BΦC = AΨC = AΨB BΨC (3.1) AΦB BΨC = AΦC = AΨB BΦC (3.2)

şeklinde gösterilir [9].

Bundan dolayı, AΨB-1 = BΨA apaçık gerçeği ile uyum içinde [9].

AΨA = 1 (3.3)

ifadesini içerdiği için gösterimi genişletmek doğaldır. Fakat AΦA, A ve AΩ nokta

çiftinin involusyonudur. Bu A da (veya AΩ da) “yansıma” olarak adlandırılır. AΦB

olması için A ve B değiştirilir. BΦA olması için de aynı şekilde A ve B değiştirilir

[9].

Eğer Φ herhangi bir yasıma ve Ψ herhangi bir translasyon (dönüşüm) ise, ΦΨ bir yansıma olduğunda Ψ = Φ ΦΨ olur. Bundan dolayı [9].

Her translasyon (dönüşüm) biri keyfi olarak seçilen iki yansımanın bir sonucudur [9].

Yine ΦΨ için bir yansıma olduğuna göre [9].

Ψ ΦΨ = Φ (3.4)

ifadesi periyot ikidendir [9].

Böylece eğer AΨ = B ve BΦ = C ise, o halde AΦ = AΨ ΦΨ = BΦΨ = CΨ dir. Bu son D noktası, Şekil 3.23’teki gibi aşağıdaki (eşlenik parçalar için benimsenen tanımı doğrulayan) teoremi ortaya çıkarır [9].

AΨB = CΨD ve BΦC = AΦD (3.5)

bağıntıları eşittir [9].İkinci bağıntı B ve C arasında simetrik olduğuna göre, başka eşit bağıntı AΨC = BΨD dir [9].

“Yansıma” ve “translasyon (dönüşüm)” kelimelerinin kullanımı Euclidean geometrideki üstteki teoremleri içine alan ispatlarla açıklanır. Fakat bu ispat metodu hiçbir mutlak involusyon (karışıklık) ve hiçbir eşlenik noktayı içine almayan Euclidean doğrusu için epey farklıdır. Euclidean geometride, herhangi iki translasyon (dönüşüm) permute edilebilir, fakat iki yansıma hiçbir zaman (tek boyutta) permute edilemez. Eliptik geometride benzer sonuçlar şöyledir: [9].

Ψ ve Ψ´ iki translasyon (dönüşüm) ve A herhangi bir nokta olsun [9].

B = AΨ, C = AΨ´, D = CΨ (3.6)

tanımlansın. Sonra AΨB = CΨD ( = Ψ) bağıntısı BΨD = AΨC ( = Ψ´) bağıntısına eşit

olduğunda BΨ´ = D olur. Böylece

Herhangi iki translasyon (dönüşüm) permute edilebilir [9].

Diğer yandan, eğer AΦB ve BΦC yansımaları permute edilebilirse,

AΨC = AΦB BΦC = BΦC AΦB = CΦB BΦA = CΨA (3.8)

dır [9]. (3.5)’le (B için C ve D için A ile) bu, CΦC = AΦA ile gösterilir. Böylece eğer

A ve C farklı ise, eşlenik olurlar ve AΦC = Ω olur. Buradan,