Riemann [Georg Friedrich Bernhard Riemann] (1826-1866) Bir papazın dört çocuğundan ikincisi olarak dünyaya gelmiştir Hannover’in

(Bkz. Şekil A.2) küçük bir köyünde 17 Eylül 1826’da doğmuştur. Annesini çocukken kaybetmiştir. Fakir bir ailede büyümüştür. Buna rağmen çok mutlu bir çocukluk geçirmiştir. Aile içindeki bağları çok kuvvetlidir. Ancak ürkek ve biraz da insanlardan ayrık büyümüşlerdir. Bu ürkek tavırlar zamanla kimilerine sempatik gelmeye başlamıştır. Zekasının derecesini anlamakta kimse zorluk çekmemiştir. Babası onların yetişmesiyle yeterince ilgilenmiştir. Hatta ilk temel bilgileri ondan almışlardır. Altı yaşındayken ciddi bir şekilde aritmetik ile tanışmış, bu ondaki matematik ilgisinin ortaya çıkması için bir şans olmuştur. On yaşına geldiğinde bir özel öğretmenden yüksek derecede aritmetik ve cebir öğrenmiş, bir süre sonra da hocasını geçmiştir. Hocasından daha hızlı ve daha güzel yanıtlar bulabilir düzeye gelmiştir. On dört yaşına geldiğinde Gymnasium’un üçüncü sınıfına girmek üzere Hannover’e büyük annesinin yanına gitmiştir. Okula yerleştiğinde ailesinden ayrıldığı için çok üzülmüştür. Maddi sıkıntı ve ailesine bağlılığından şehirde pansiyonda kalmaktan vazgeçmiş, okul ile evinin arası biraz uzak da olsa bu yolu her gün yürüyerek gidip gelmeyi göze almıştır. Bu onu yorsa da mutlu etmiştir. Bir süre sonra bu durumu bilen ve üzülen İbranice öğretmeni onu evine pansiyoner olarak almıştır. Onun durumunu bildiği için göstermelik bir kira almıştır. Bu sırada hocasının bilgisinden yararlanmış ve adeta özel ders alır gibi İbranice’ yi çok iyi öğrenmiştir [8].

Lise müdürü, Riemann’daki yeteneği sezmiştir. Ona, özel kütüphanesini açıp hatta isterse matematik derslerine girmeyebileceğini söylemiştir. O da bunu çok iyi değerlendirmiş ve bu saatler de dahil, fırsat bulduğu tüm zamanlarda müdürü Schmalfuss’un kütüphanesine gitmiştir. Burada çok önemli ve güç kitaplar bulmuştur. Örneğin, Legendre’nin “Sayılar Teorisi” (Théorie des Nombres) adlı 859 sayfalık kitabını okumuştur. Kütüphanesini açan müdür merakla kendisine “Nereye kadar okudunuz?” diye sorduğunda yanıtı “Tamamını… Gerçekten takdire layık bir kitap; onu tamamen anladım.” olmuştur. Riemann bu konuda doğru söylemiştir. Yaşamı boyunca bu kitap hakkında söylediklerinin hepsi de doğru çıkmıştır. Bu

özümsemesindeki yeteneğini ortaya koyması bakımından önemlidir. Bu eser sayesinde “Sayılar Teorisi”ne yönelmiştir. İlk çalışmalarını bu alanda yapmış, tamamı sekiz sayfa olan makalesinde Legendre’nin verdiği bir formülün genel anlamda incelenmesi yer almıştır. Bu çalışma geliştirilerek Riemann Hipotezi olarak adlandırılacaktır. Bu hipotez, 1859 yılında Berlin Akademisince basılmıştır. Bu gerçekleştiğinde Riemann otuz üç yaşındaydı. Bu hipotez üzerinde birçok matematikçi çalışmıştır. Bu konuda en önemli açıklamayı ve kanıtı, şimdiye kadar en iyi şekilde yapan matematikçinin İngiliz G. H. Hardy olduğu konusunda birçok kişi aynı fikirdedir [8].

Riemann, on dokuz yaşında olduğu 1846 yılında filoloji ve teoloji öğrenimi görmek üzere Göttingen Üniversitesi’ne yazılmıştır. Üniversitede izlediği dersler arasında onun en çok ilgisini çekenler matematik dersleri olmuştur. Böylece matematiğe yönelmiştir. Babasından bu konuda eğitim almak için izin almış ve o da bunu onaylamıştır. Bu karar üzerine matematik eğitiminin en güçlü verildiği Berlin’e giderek oradaki üniversiteye yazılmıştır. Bu üniversitede Jacobi, Steiner, Dirichlet ve kendisinden sadece üç yaş büyük olan Eisenstein’in öğrencisi olmuştur. Bu müthiş kadro ona çok şeyler katmış ya da bir başka değişle, o bu müthiş kadrodan en iyi şekilde yararlanmıştır. Riemann Berlin Üniversitesi’nde iki yıl kalmıştır. Sonra matematik doktorasını hazırlamak üzere 1849 yılının sonlarında Göttingen’e geri dönmüştür. Herkesin matematikle ilgilendiğini düşündüğü bir sırada fizikle, daha sonra da felsefeyle ilgilenmiştir. Bu konularla ilgisi çevresinin genişlemesine yaramış ve bu arada yeni arkadaş ve dostlar edinmiştir. Bunlar arasında Wilhelm Weber ona en yakın olanlardan biriydi [8].

1850 yılı onun için önemli bir çıkış yılı olmuştur. Henüz yirmi dört yaşında şöhret basamaklarını çıkmaya başlamıştır. Aynı yıl önemli bir iddiada bulunup “Gravitasyon Yasası’na elektrik, manyetizm veya termostatik arasındaki farkı gözetmeksizin belirgin noktaların elemanter yasalarından itibaren sürekli bir madde ile dolu bir uzayda oluşan olaylara kadar ilerleyebilecek ve iyice sınırlandırılmış tam bir matematik teorisinin kurulabileceği” sonucuna varmıştır. Buna benzer iddialar üreterek uzay geometrisine yaklaşmaya başlamıştır. Fizik çalışmalarına kendisini öylesine kaptırmıştır ki, bir ara Weber, Listing, Ulrich ve Stern ile birlikte “Fizik-

Matematik Enstitüsü”ne üye yazılmıştır. Burada Listing’le birlikte kompleks değişkenli fonksiyonlar teorisine, topolojik yöntemlerin girişinde temel fikirleri oluşturmuştur. Riemann böylece bu konuyu bir adım daha geliştirmiştir [8].

1851 yılında doktora tezini vermiştir. Tezin konusu “Kompleks değişkenli fonksiyonların bir genel teorisinin ilkeleri”dir. Üniversitede bağımsız ders verebilmek için çeşitli aşamalardan geçmesi gerekmiştir. Bu nedenle zaman zaman sıkıntılı günler geçirmiştir. Weber’ in asistanı olarak görev yapmaya başlamıştır. 1854 yılında bir deneme konferansı (ya da dersi) vermesi gerekmiştir. Bu dersin konusu “Geometrinin esasını oluşturan hipotezler hakkında” dır. 1855 yılında Gauss’un ölümü üzerine onun kürsüsüne Dirichlet geçmiştir. Riemann için yardımcı profesörlük kadrosu istenmişse de üniversite buna yanaşmamıştır. Bu durum onu hem üzmüş hem de maddi yönden sıkıntıya sokmuştur. Neyse ki 1856 yılında işler biraz düzelmiştir. Çalışmalarını bir yandan da devam ettirmiştir. Bu süre içinde çalıştığı ve eserler ürettiği konular: “Abelyan fonksiyonlar, hipergeometrik seriler, diferansiyel denklemler …” olmuştur. Bunların bir kısmını Gauss’un ünlü eserinden izlemiştir. 1857 yılında yardımcı profesörlük kadrosuna nihayet atanabilmiştir. Bu onu maddi değilse de manevi yönden, kısmen de olsa tatmin etmiştir. Dirichlet 1859 yılı Mayıs ayı içinde ölmüştür. Sağ iken Dirichlet, Riemann’a sahip çıkan insanlardan biri olmuştur. Ölümü sonrasında da Riemann onun yerine getirilmiştir. Bu önemli ve saygı gören bir mevkidir. Gauss’ta olduğu gibi rahat çalışabilmesi için ona rasathanede bir oda verilmiştir. O artık matematikteki otoritesini kabul ettirmiş ve yeteri kadar tanınmıştır. Nitekim Berlin’e yaptığı bir seyahatte Kummer, Borchardt, Kronecker ve Weierstrass tarafından karşılanmış, kendisine büyük ilgi gösterilmiştir. Bilim Akademileri onu şeref üyesi yapmak için davet üstüne davet göndermişlerdir. Londra’da Royal Society ile Fransa’da Française des Sciences’a üye olmasından şeref duydukları bildirilmiştir. 1860’da Paris’e gitmiş, orada Hermit ile tanışmıştır. Hermit onu en çok takdir edenlerden biridir. 1860 yılı, Fizik- Matematik için özel bir yıl olmuştur. Bu yıl içinde Riemann, “Isının iletkenliğine dair” adlı teziyle, bugün “İzafilik Teorisi” denilen kavramın temellerini atmıştır. Bununla ilişkili olarak “Kuadratik diferansiyel şekiller sistemi”ni kurmuştur [8].

Profesör olduktan sonra biraz rahat etmiş, biraz da kendine güveni gelmiştir. Otuz altı yaşında iken kız kardeşinin arkadaşı Elise Koch ile evlenmiştir. Ancak bu evlilikten birkaç ay sonra, 1862 yılı Temmuz ayında plörize denilen hastalığa tutulmuş, üstelik yanlış tedavi gördüğünden, iyileşeceğine daha da kötü olmuştur. Onun İtalya’nın yumuşak ikliminde iyi olabileceği düşüncesiyle, dostlarının gayret ve desteği ile İtalya’ya gitmiş ve kışı orada geçirmiştir. İlkbahar ayları geldiğinde ülkesine dönmüştür. Hastalığı geçeceğine ağırlaşmıştır. Tekrar İtalya’ya dönmüştür ve kızı İda Pisa’da doğmuştur. Kış çok şiddetli geçtiğinden, bir de sarılık olmuştur. İtalya’da kendisine bir üniversite iş teklifinde bulunmuş, ancak o sağlığını ileri sürerek bunu nezaketle reddetmiştir. Göttingen Üniversitesi ona sahip çıkmış ve maddi yönden destek olmuştur. O kışı Pisa’da geçirmiş, özlemi üstün geldiğinden bir ara tekrar ülkesine, Almanya’ya dönmüştür [8].

Ömrünün son zamanlarını İtalya’da Majeur Gölü kenarındaki Selesca’da geçirmiştir. 1866 yılında henüz kırk yaşında olduğu sırada, son bulunduğu Selesca’da yaşama veda etmiştir. Arkadaşları onu, öldüğü İtalya’da toprağa vermişlerdir [8]. Riemann’ın geometri alanındaki en önemli çalışması ise kendi adıyla anılan Riemann Geometrisi’dir. Bu geometri Euclidean olmayan

geometrilerden biridir. [3, 8, s.289,294.]

Başlıca geometri kurucularının hayatlarından ve geometriye sağladıkları katkılardan kısaca bahsedildikten sonra, gelecek bölümde geometri çeşitleri hakkında genel bir bakış açısı sunulmaya çalışılacaktır. Bu amaçla Euclidean geometri ve Euclidean olmayan geometriler ele alınacaktır.

2.2 Sınırlılıklar

Geometri çeşitleri; aksiyomları, genel tanımları, modelleri ve metrikleri bakımından incelenirken, trigonometrik kavramlara ve hacimlere yer verilmemiş, afin geometrinin bir alt geometrisi olan Minkowskian geometri ile sonlu geometriler inceleme dışında bırakılmıştır.

3. BULGULAR

Geometrideki aksiyomatik sistemin kurucusu olan Eucleides ile başlayan geometri serüveni, 5. Postulatı’na farklı yaklaşımlar getiren diğer bilim adamları ile çeşitlilik kazanmıştır. Eucleides geometrisinden “Paralellik Postulatı” ile ayrılan bu çeşit geometriler ortak olarak “Euclidean Olmayan Geometriler” adıyla bir başlık altında toplanabilir.

Bu bölümde, bu iki ana başlık altında yer alan geometri çeşitleri aksiyomatik ve yer yer de karşılaştırmalı olarak incelenecektir.