Tanımlayıcı Geometr

3.1.2.3.1 Hiperbolik Geometri İçin Klein’ın Projektif Modeli

Euclidean olmayan geometri yaklaşımında iki temel tarz vardır. Bunlardan biri Gauss, Lobatschewsky, Bolyai ve Riemann tarafından, Euclidean geometri ile başlatılan ve postulatları değiştirilen geometridir. Diğeri ise Cayley ve Klein tarafından projektif geometri ile başlatılan ve bir kutupsallık ile diğerinden ayrılan geometridir [9].

Klein’ın işleminde, mutlak geometride eğer iki doğru eşlenikse, bu geometri bu kutupsallığın tipine göre eliptik veya hiperbolik olur. Eliptik durum etraflıca ele

alındığında; geçersiz kutupsallığın uygunsuz olduğu kolayca görülür. Bu bir yana, bir konik veya kuadriğin (ikinci veya daha yüksek dereceden bir yüzey) “mutlak” olarak tanımlanma çeşidine bir kutupsallıkla izin verilir. Eğer kendi kendine dik olan doğruların olasılığının kuralı dışındaki 4.Postulat kabul edilirse, mutlağın bir kuadrik kuralı olmadığı bulunur ve düzlemdeki bir koniğin veya uzaydaki bir oval kuadriğin iç noktalarının dikkate alınmasına yol gösterir [9].

Bir eşlenik dönüşüm mutlağı koruyan bir kolineasyon gibi tanımlandığında, eğer bir AB doğrusu K ve L de mutlak oluyorsa, AB uzunluğu, Klein tarafından gösterildiği gibi,

_eαAB ₌

{

_{AB KL},

}

_(3.28) ile verilerek gösterilir. α burada uzunluk birimine bağlı olan bir reel sabittir. α pozitif olarak alındığında bu formülün AB yi, AK BL veya AL BK ye göre pozitif veya negatif yaptığı bulunur. Her iki durumda AB uzunluğu şöyle olur:

log

{

AB KL,

}

α . (3.29) Özellikle AK = ∞ ise, “sonsuzluktaki noktalar” için mutlak üzerindeki noktalar olarak bahsedilir [9].

Lobatschewsky’nin “imgesel geometrisi”nin tüm özellikleri bu geometride bir konik veya bir kuadriğin içinde kolayca görülür. Örneğin; A merkezli düz bir çizginin ve q doğrusunun Şekil 3.28 ve Şekil 3.24’teki gibi aynı düzlemde olduğu göz önünde tutulur. p ve p′ paralelleri, sonsuzdaki noktaların üzerinde olduğu q daki A noktasında birleşir ve çizgiyi iki parçaya ayırır. “İkinci” parça, mutlak dışında q da karşılaşan doğrulardan meydana gelir. Şöyle ki, hiperbolik geometri açısından doğruların hiçbiri q da karşılaşmaz [9].

Mutlağın dışında ve üzerinde olan “ideal” noktalar çok önemlidir. Örneğin, bir dış noktanın kutbu, kendisinden geçen herhangi iki doğrunun ortak dikmesidir. Fakat hiperbolik geometride düzenli noktaların tümü mutlağın iç noktası olduğuna göre, Euclidean geometri biraz değiştiği için klasik çeşitlerde hiperbolik geometriye yaklaştığında tanımlanabilen bu diğer noktalar hiçbir şekilde açık değildir. Klein, hiperbolik uzayın bu uzantısını üretmek için bir yöntem göstermiştir. Bu detaylar da Pasch tarafından düzenlenmiştir. Afin veya Euclidean uzaya sonsuzluktaki noktalarının eklenmesi özel bir durum gibi görünür [9].

Metrik kavramların konu dışında olması yeterince doğaldır. Verilen bir noktadan çizilen verilen bir doğruya paralel olan doğruların sayısını söylemek için başka hiçbir bilgiye ihtiyaç duyulmaz. Bu şekilde Euclidean ve hiperbolik geometrinin her ikisini birden kapsayan daha genel bir geometri ile ilgilenilebilir [9].

3.1.2.3.2 Dışbükey Bir Bölgede Geometri

Reel projektif geometri, “Tamamlanmamış düz bir kenarla ne yapılabilir?” gibi tanımlandığında, doğruların çiftlerinin istenen kesişim noktasının kullanılan kağıt yaprağının dışında olmasını içermesi karmaşık bir yapıya uygun olduğundan, pratik güçlük ihmal edilir. Dışbükey bir bölge etkeni sınırlandığında reel projektif geometrinin oluşması sorusuyla bilinen bu sıkıntı göz önünde tutulabilir (Örneğin, herhangi bir doğrunun tümünü içermeyen, fakat içinde herhangi iki noktasıyla tanımlanan iki parçadan birinin tümünü içeren bir bölge etkeni gibi). İhmal edilen aksiyomlar sadece Konum Aksiyomu 5 ve 7’dir. (İki doğru veya iki düzlem, seçilen

bölgenin içinde karşılaşmıyorsa, hiçbiri karşılaşmıyor, denir.) “Tanımlayıcı” geometrinin meydana gelmesi, Dualite İlkesi’nin kaybını iki noktayla tanımlı bir tekparçanın ispatıyla telafi ettiğine göre, pratiksel ilgi kadar teoriktir. Dolayısıyla aitlik ve konum bağıntıları tanımlanmak yerine, her iki “üç nokta” dizisinin tek bağıntısı veya “arada olma” terimiyle ifade edilebilir. Aslında üç noktanın doğrusal olması, pratiksel araştırmada olduğu gibi, onlardan birinin diğer ikisi arasında bulunup bulunmadığına bakılarak test edilebilir [9].

Genellikle oldukça farklı kavramlar için tercih edilen (yani düzlemdeki izdüşümlerle katı bir figürün sembolize edilmesi tekniği) “tanımlayıcı geometri” ismi, Russell ve Whitehead tarafından “seri dizi geometrisi” için uygun bir kısaltma olarak benimsenmiştir [9].

Tanımlayıcı geometrinin aksiyomlarının bir kümesi “3.1.2.3.3 Veblen’in Dizi Aksiyomları”nda verilmiştir. O halde, dışbükey bir bölgenin geometrisi bir model görevi görür. Fakat olası dışbükey bölgelerin çeşitliliğinin tanımlayıcı geometri olarak gösterilmesi kesin değildir. Başka bir deyişle, kesinlikle bir geometri değildir, fakat geometrilerin bir ailesidir. En çok kullanılan iki bölge (iki boyutlu durumda) bir koniğin iç bölgesi ve projektif düzlemin dışındaki bir doğruyla tamamıdır. Bunlar sırasıyla hiperbolik geometri ve afin geometride verilir. Fakat bunlar diğer olasılıklardır. Örneğin, bir üçgensel bölge ve paralel üç doğrusal kutupsallık kullanılabilir. Bununla birlikte o zaman metrik özellikler, dikliğin daha fazla bir simetrik bağıntı olmasından dolayı oldukça tuhaf olur [9].

Kongruans ve paralelliği atlayan lise geometrisinde kullanılan tanımlayıcı geometri, projektif geometriden daha tanıdıktır. Bundan dolayı öncekinin, sonraki için aynı şekilde tersine bir model sağlaması ilginçtir. Aslında bu iki farklı yolla olur. Tanımlayıcı uzaydaki bir nokta sayesinde doğrular ve düzlemlerin, reel projektif geometrideki noktalar ve doğrular için bir model oluşturduğu görülür. Daha genel olarak, n-boyutlu tanımlayıcı uzaydaki bir nokta sayesinde doğrular ve düzlemler (n-1) boyutlu projektif uzayda noktalar ve doğrular için bir model oluşturur. İkinci olarak, aşağıdaki Pasch tarafından detaylandırıldığı gibi, Klein’ın

sayıda boyutlu reel projektif uzaydaki noktalar ve doğrular için bir model oluşturduğu görülür. Aslında bir tanımlayıcı uzayın verilmiş olması, kendisi tanımlayıcı uzayın bir parçası olan bir projektif uzayın, yani dışbükey bir bölgenin çizilebilmesi demektir [9].

3.1.2.3.3 Veblen’in Dizi Aksiyomları

Veblen’in işleminde, bir “nokta” tanımlanmamış bir eleman ve “arada olma” tanımlanmamış bir bağıntıdır. Forder’a göre, “A ve C arasında B bulunur.” veya “A, B, C üç noktası BC dizisindedir.” şeklindeki bu bağıntıyı ifade etmek için [ABC] sembolünü kullanır [9].

3.1.2.3.4 Tanımlayıcı Geometri İçin Aksiyomlar Aksiyom 3.23: En az iki nokta vardır

Belgede Geometrilerin ve geometri öğretiminin gelişimi, çeşitleri ve karşılaştırılması (sayfa 86-90)