3.2. BAŞLICA KARARLAR
3.2.2. UK Tractors
Foram feitas diversas medidas topológicas na rede, que estão listadas na Tabela 4.1.
Tabela 4.1: Medidas de rede utilizadas
Grau de entrada e de saída (kin e kout)
Neighborhood connectivity de entrada e de saída Betwenness Centrality
Closeness Centrality Excentricidade Clustering Coeficient
Para todas as medidas de centralidade, foram gerados mapas de cor possibilitando visualizar os valores e as posições dos seus respectivos vértices e, assim como nas medidas neuronais, foram calculadas a correlação e informação mútua entre todas as medidas de centralidade e os seus respectivos valores de η.
4.3
Execução de dinâmicas
Nesta seção são apresentadas as dinâmicas e os parâmetros utilizados no trabalho.
4.3.1
Integra-e-dispara
A partir das redes descritas nas seções anteriores, foram feitas as simulações do modelo integra-e-dispara, descrito na Seção 3.5.1, que consiste em um modelo específico de simu- lação de dinâmica neuronal. O valor da variável Qmax foi fixado como Qmax = 3, pois este
valor é o número inteiro que mais se aproxima do grau médio das redes testadas.
Computacionalmente foi criada uma matriz de tamanho Tmax× N, onde N é a quan-
tidade de vértices da rede e Tmax é a quantidade de períodos discretos de tempo, sendo
que neste trabalho utilizamos Tmax = 1000. Foram considerados os resultados depois que
a dinâmica entra em estado estacionário.
Para caracterizar os resultados foram feitas três medidas: (i) a taxa de disparos, (ii) o maior intervalo entre os disparos e (iii) a entropia dos intervalos entre os disparos.
4.3.2
Desenvolvimento hebbiano
A hipótese criada por (Hebb, 1949) pode ser representada no tempo discreto pela equa- ção 3.8. Neste trabalho foi aplicada a função de variação de peso como
F [ai(t), aj(t)] = cai(t)aj(t) − fwij(t), (4.8)
onde c é a constante de aprendizagem, f é a constante de esquecimento, wij é o peso da
aresta de i para j e ai(t) é obtida por
ai(t) = t
X
t−T
Qi(t), (4.9)
sendo que T é um a época, ou seja, uma janela temporal.
A dinâmica integrar-e-dispara foi modificada, para considerar as mudanças do peso das conexão descritas pela regra hebbiana. Quando a carga do neurônio i atinge o valor Qmax,todos os vizinhos j recebem a carga wij(t). Além disso, a fim de evitar o resultado
trivial, de todos os neurônios da rede disparando após alguns passos de tempo, foi incluída uma perda de carga antes de cada iteração, dada pela equação
Qi(t) = Qi(t − 1) − l P j∈ViQj(t − 1) kin i , (4.10)
onde Vi é o conjunto dos vizinhos de entrada de i, kiin é o grau do vértice e l é uma
constante de perda de carga (0 < l < 1).
Na condição inicial, em todas as arestas wij(0) = 1. Os valores de c, f , e l foram
encontrados empiricamente como c = 0.05, f = 0.2 e l = 0.1.
4.4
Caminhos do betweenness
Neste trabalho foi observado um fenômeno particular na medida de betweenness centrality, que consiste na formação de caminhos bem definidos. Estes foram chamados de caminhos do betweenness. Foi feita a medida de betweenness centrality em redes espaciais, utilizando
um limiar para selecionar os vértices com valores maiores ou iguais a ele, considerando-os como os vértices que pertencem ao caminho (o limiar utilizado foi de 20%). As redes analisadas foram dois modelos e duas redes de ruas. Sendo o primeiro o modelo de Waxman e o segundo o grafo geométrico aleatório, as redes de ruas foram de San Joaquin County nos Estados Unidos e a cidade de Oldenburg na Alemanha (Brinkhoff, 2002).
Por meio de algumas medidas, foi possível comparar os resultados encontrados nas demais redes com as redes formadas por neurônios. Para mensurar qual a capacidade dos caminhos de cobrir a rede, foi calculada a distância entre todos os vértices (que não fazem parte do caminhos) e os caminhos, gerando um histograma para cada uma delas. Ademais, com o intuito de compreender melhor este fenômeno, foi criado um modelo de uma rede espacial sem pesos e não direcionada, que gera o mesmo efeito. Para criar esta rede, primeiramente define-se algumas variáveis, que são: dimensões (foi utilizada uma grade de tamanho 200 x 200); probabilidade de remover arestas (foi utilizado o valor 0,65); máxima distância de conexão entre dois vértices, foi utilizado o valor √2, para que os vértices se conectem apenas com os oito vizinhos mais próximos.
O modelo consiste em executar as seguintes etapas:
• Os vértices são organizados na forma de uma grade, com condição de contorno toroidal;
• Para cada par de vértices i e j, onde a distância entre eles é menor que a máxima distância de conexão, é criada uma conexão;
• Os vértices são removidos com uma determinada probabilidade de remoção.
Foi observado empiricamente que os caminhos se formam independente da presença de direção nas arestas da rede, assim o modelo considera a rede como não direcionada. Ademais, foram feitas algumas medidas para cada uma das comunidades da rede, são elas: grau médio da borda geográfica, grau médio da borda topológica, grau médio dos vértices que não fazem parte das bordas, betweenness centrality médio da borda geográfica e betweenness centrality médio da borda topológica.
comunidade, onde cada um dos vértices possui algum vizinho que está em uma comu- nidade diferente da dele. Desta forma, na borda topológica foram considerados como vizinhos os vértices conectados a pelo menos um vértice de outra comunidade, por meio de uma aresta, já na borda geográfica foram considerados como vizinhos os vértices ad- jacentes geograficamente (neste trabalho foi considerada a vizinhança dos oito vizinhos mais próximos).
Por meio da rede gerada a partir do modelo, foi criada uma nova rede, formada por comunidades. Neste caso, cada vértice da nova rede representa uma comunidade e o peso das ligações é criado a partir do somatório do stress centrality dos vértices que conectam as comunidades. Assim, apenas os vértices que representam comunidades adjacentes estão conectados.
Por meio desta rede foi possível comparar as características topológicas e geográficas, utilizando algumas medidas espacias: área, perímetro e diâmetro (que é a maior distância entre todos os pares de pontos). Além disso, foram feitas medidas topológicas: grau e strength (que é definido para cada vértice, como o somatório dos pesos de todas as arestas conectadas a ele).
Capítulo 5
Resultados e discussão
Neste capítulo são apresentadas as medidas e simulações feitas em todas as etapas do pipeline de expressão gênica dos neurônios (apresentado na Figura 4.1) em dois casos dis- tintos para exemplificar o funcionamento do framework. A morfologia neuronal, gerando o padrão de conexões, que é caracterizado pelas medidas de centralidade e, também, as simulações de dinâmicas integra-e-dispara e desenvolvimento hebbiano. Com os resulta- dos obtidos em cada uma das etapas, são mostradas as medidas de informação mútua e correlação de Pearson, para quantificar o nível de influência da expressão gênica sobre as demais etapas. Além disso, uma particularidade encontrada na medida de betweenness centrality é descrita e comparada com outros tipos de redes espaciais.
5.1
Criação das redes utilizando padrões de expressão
gênica
Foram geradas redes a partir dos 2 padrões de expressão gênica que variam os valores de η (parâmetro que controla a expressão gênica no modelo de geração de forma neuronal) seguindo os padrões plano e circular, por meio do método descrito na Seção 4.2. A Fi- gura 5.1 mostra a rede gerada pelo padrão de expressão gênica plano (RP) enquanto a Figura 5.2 mostra a rede gerada pelo padrão de expressão gênica circular (RC). Compa- rando essas imagens com a Figura 4.4, é possível notar que nas regiões onde os valores de
Figura 5.1: Rede gerada por neurônios artificias, utilizando a expressão gênica no padrão plano.
η são mais baixos a rede é mais densa.
Uma possível explicação para este fenômeno é que as ligações mais longas, situadas nas regiões com valores de η mais baixos, são devido a forma mais alongada dos neurônios, pois como as funções de expressão gênica influenciam o ângulo de abertura entre os ramos, os neurônios que possuem valores mais baixos de η tendem a se ligar com outros que estão na mesma direção. Assim, mesmo normalizados e possuindo dimensões semelhantes, os neurônios com valores de η mais baixos se conectam os vizinhos mais distantes, pois as suas árvores dendríticas tendem a possuir a mesma direção.
Uma medida utilizada para descrever este padrão de ligações foi o comprimento (dis- tância euclidiana) médio das arestas, que nas regiões com um nível menor de expressão gênica é maior do que nas regiões com expressão maior, como pode ser observado na Figura 5.3(a), para a rede RP e na Figura 5.3(b), para a rede RC.
Figura 5.2: Rede gerada por neurônios artificias, utilizando a expressão gênica no padrão circular. 0 20 40Coluna60 80 100 1.2 1.4 1.6 1.8 2.0 2.2 2.42.6 2.8
Comprimento médio de ligação
(a) Rede plana.
0 20 40Coluna60 80 100 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 2.0 2.1
Comprimento médio de ligação
(b) Rede circular.
Figura 5.3: Comprimento médio das arestas (distância euclidiana entre os neurônios que se conectam) por coluna da rede, os neurônios têm uma posição fixa em na grade (nos eixos x e y), assim, as colunas são os conjuntos de neurônios que possuem a mesma posição no eixo x.
5.2
Informação mútua e correlação entre expressão gê-
nica e características neuronais
Como mostrado na seção anterior, há indícios de que a rede gerada é influenciada pela forma neuronal. Assim, é necessário entender quais características neuronais são modifi- cadas pela expressão gênica.
No modelo de geração dos neurônios foram criadas funções empíricas, sendo que cada uma delas pode afetar uma ou mais características morfológicas. A medida M1 (média do ângulo de bifurcação local) é diretamente afetada pela função de expressão gênica que gera ¯θ2. A medida M2 (média do ângulo de bifurcação remoto) é afetada pela expressão
gênica, que gera ¯θ2, ¯ϕ2 e pr2. A medidas M3 (fragmentação) é influenciada apenas por pr2.
Já as medidas L1, L2 e L3, são influenciadas por todas as funções de expressão gênica. A relação entre o nível de expressão gênica (η) e as medidas morfológicas da rede podem ser vistas nas Figuras 5.4 e 5.5, representando as redes RP e RC, respectivamente. A relação entre a expressão gênica e a morfologia é similar para ambos os padrões de expressão gênica, que é uma consequência da ausência de qualquer interação entre os neurônios vizinhos no modelo de geração da forma.
Visto que não existem interações no momento de geração dos neurônios, um dado nível de expressão gênica irá gerar uma morfologia semelhante, independentemente do padrão global da rede. Entretanto, as medidas RC contém mais flutuações do que para RP, isso ocorre porque a quantidade de amostras para cada um dos níveis de expressão gênica é diferente em RC e igual em RP. Há menos pontos no centro e nas bordas da grade para o padrão de RC, enquanto que para o padrão RP cada uma das colunas da grade possui o mesmo número de pontos para os valores distintos de η.
Foram calculados os valores de informação mútua entre as medidas de morfologia, para identificar quais as medidas que refletem melhor a influência da expressão gênica (como pode ser visto na Figura 5.6). Os resultados das comparações entre η e as medidas neuronais são parecidos nas duas redes (RP e RC). Ao analisar os gráficos juntamente com os valores de informação mútua (Figura 5.6)), para medidas M1, M2 e M3, representadas
(a) (b)
(c) (d)
(e) (f )
Figura 5.4: Relação entre medidas morfológicas e o nível de expressão do gênica do respectivo neurônio, considerando a rede RP. A curva representada na cor preta representa a média das medidas morfológica para cada valor de η (expressão gênica).
pelos itens (a), (b) e (c) das Figuras 5.4 e 5.5, é evidente que existe uma influência de η sobre estas medidas, mas os valores de informação mútua mostram uma influência moderada. As medidas de L1, L2 e L3, estão relacionadas com o tamanho dos neurônios, entretanto este fator não pode ser previsto unicamente a partir do valor de η, pois neste caso os valores de informação mútua são muito baixos. Ademais, pode-se perceber que na média estas medidas são influenciada pela expressão gênica, como pode ser observado
(a) (b)
(c) (d)
(e) (f )
Figura 5.5: Relação entre medidas morfológicas e o nível de expressão do gênica do respectivo neurônio, considerando a rede RC. A curva representada na cor preta representa a média das medidas morfológica para cada valor de η (expressão gênica).
nas curvas destacadas das Figuras 5.4 e 5.5, nos itens (d), (e) e (f).
Para mostrar a correlação linear entre a expressão gênica e as medidas neuronais, a correlação de Pearson foi calculada (como pode ser visto na Figura 5.7). Assim como na informação mútua, é possível observar que os resultados são similares para os as duas redes (RP e RC). Além disso, as medidas M1 e M2 são muito próximas de 1, ou seja, são quase totalmente correlacionadas linearmente. Para as demais medidas os valores não são
0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
Informação mútua
M1
M2
M3
L1
L2
L3
(a)0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
Informação mútua
M1
M2
M3
L1
L2
L3
(b)Figura 5.6: Informação mútua entre o valor de η e as medidas morfológicas, o item (a) representa a rede RP e o item (b) representa a rede RC.
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 Correlação de Pearson M1 M2 M3 L1 L2 L3 (a) 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 Correlação de Pearson M1 M2 M3 L1 L2 L3 (b)
Figura 5.7: Correlação de Pearson (em módulo) entre o valor de η e as medidas morfológicas, o item (a) representa a rede RP e o item (b) representa a rede RC
tão significativos quanto o anterior, pois são moderadamente correlacionados, exceto em L1.
Considerando a informação mútua e a correlação de Pearson, a medida morfológica que refletiu melhor a expressão gênica foi M1, pois esta medida é influenciada diretamente por η no processo de geração do neurônio. Este é um exemplo do tipo de relacionamento que pode ser encontrado por meio deste trabalho. Além disso, a medida M2 é indiretamente influenciada pelos valores de expressão gênica. As demais medidas (M3, L1, L2 e L3)
também são influenciados pela expressão gênica, no entanto é difícil prever a morfologia de um neurônio para um dado valor de expressão gênica, como foi evidenciado nos gráficos, devido ao desvio mostrado nas curvas.