Bu bölümün amacı esnek kümelerin özel bir kategorisi olarak topolojik uzaylarla ilgili (crisp topolojik uzaylar, L-topolojik uzaylar, L-bulanıklaştırılmış topolojik uzaylar ve L-bulanık topolojik uzaylar) kategorileri yorumlamaktır.
5.1. Esnek Komşuluk Yapıları
Bu bölümde, kategorisinin bir alt kategorisi olarak topolojik uzaylar kategorisi karakterize edilecektir. Esnek yapı üzerinde kurulacak ve kümesi parametre kümesi olarak ele alınacaktır. Böylece, tüm esnek kümeler olarak düşünülecektir. Bu bölümde, yapının daha kolay anlaşılması için esnek kümeler üçlüsü olarak ele alınacaktır. Yani, bir dönüşüm olacaktır.
Tanım 5.1.1: bir esnek küme olsun, . Eğer her için ailesi aşağıdaki özellikleri sağlıyorsa dönüşümüne üzerinde bir esnek komşuluk dönüşümü ve üçlüsüne de bir esnek komşuluk yapısı denir:
(N1) ise ;
(N2) ve ise ; (N3) ise ;
(N4) ise öyle bir vardır öyle ki her için ’ dir. Objeleri esnek komşuluk yapıları, morfizmleri esnek dönüşümler olan esnek komşuluk yapılarının kategorisi ile gösterilsin. , esnek kümelerin ve esnek dönüşümün kategorisinin tam alt kategorisidir.
81
Teorem 5.1.2: bir topolojik uzay ve bu uzayda bir noktasının komşuluklarının ailesi olsun. dönüşümünü olarak tanımlarsak bir esnek komşuluk yapısıdır.
esnek komşuluk dönüşümüne topolojisi tarafından üretilen esnek dönüşüm denir. esnek komşuluk yapısına da topolojik uzayı tarafından üretilen esnek komşuluk yapısı denir.
Tersine, bir esnek komşuluk yapısı olsun. ’ in alt kümelerinin ailesini ve her için olarak tanımlayalım. Bu takdirde , üzerinde bir topolojidir ve ailesi bu uzayda bir noktasının tüm komşuluklarının ailesidir.
topolojisine esnek yapısı tarafından üretilen topoloji denir. topolojik uzayına da esnek komşuluk yapısı tarafından üretilen topolojik uzay denir. Ayrıca, üzerindeki esnek komşuluk yapısı için ve üzerindeki topolojisi için olur.
esnek komşuluk dönüşümü için sıralamasını kullanacağız. Bu nedenle, bu özel yapıda bağıntısını inceleyeceğiz.
esnek komşuluk yapısı üzerinde bağıntısı aşağıdaki şekilde gerçekleştirilir:
için öyle ki .
Bir önceki Teoreme dayanarak dönüşümünün sürekliliği esnek komşuluk yapısına göre (Şekil 5.1) aşağıdaki şekilde karakterize edilir:
ve için .
82 Şekil 5.1
Teorem 5.1.3: ve iki topolojik uzay olsun. dönüşümü süreklidir ( kategorisinde bir morfizmdir) ancak ve ancak
ilgili esnek komşuluk yapılarının bir esnek dönüşümüdür. Böylece, bu dönüşüm kategorisinde bir morfizmdir. Son iki teoremden aşağıdaki sonucu elde ederiz:
Sonuç 5.1.4: funktoru topolojik uzayını üretilmiş esnek komşuluk yapısına ve sürekli dönüşümünü esnek dönüşümüne atayan bir izomorfizmdir.
funktorunun tersini ile göstereceğiz.
Bir topolojik uzayın bir esnek komşuluk yapısı olarak tanımlandığı bir önceki sonucu ve esnek kümelerin çarpım ve alt küme tanımlarını dikkate alırsak aşağıdaki iki önermeyi elde ederiz:
Önerme 5.1.5: esnek komşuluk yapısı ve olsun. Her için olarak tanımlanan dönüşümünü ele alalım. ailesi (N1)-(N4) koşullarını sağlar ve , esnek komşuluk yapısının esnek komşuluk alt kümesi olarak adlandırılır.
83
Önerme 5.1.6: ve iki esnek komşuluk yapısı olsun. Bu esnek komşuluk yapılarının çarpımı kategorisinde bir esnek
komşuluk yapısıdır ve bu çarpıma karşılık gelen topolojik uzay , kategorisinde ve topolojik uzaylarının çarpımıdır.
Örnek 5.1.7: esnek komşuluk yapısı ve olsun. esnek
komşuluk yapısının esnek komşuluk alt kümesi, alt uzayına uyumludur. esnek komşuluk yapılarının çarpımının
topolojik karşılığı üzerindeki topoloji olan bir esnek komşuluk yapısıdır.
Esnek komşuluk yapılarının görüntü ve ters görüntü tanımları aşağıdaki gibi tanımlanır:
bir esnek dönüşüm olsun. (Bu dönüşüm kategorisinde bir morfizmdir).
(1) esnek komşuluk yapısının esnek dönüşümü altındaki
görüntüsü üzerinde bir esnek komşuluk yapısıdır ve aşağıdaki şekilde tanımlanır: .
Burada, ’ dir.
(2) esnek komşuluk yapısının esnek dönüşümü altındaki ters
görüntüsü üzerinde bir esnek komşuluk yapısıdır ve aşağıdaki şekilde tanımlanır: .
Burada , dönüşümü ile üretilen ters görüntü operatörüdür. Her
için olduğu açıktır. Tanım 5.1.8: [Esnek Komşuluk Yapılarının Çarpımı]
ve esnek komşuluk yapılarının çarpımı
84
şeklinde tanımlanır. ve projeksiyon çiftleri aşağıdaki morfizmleri belirler:
ve .
kategorisinde ve
morfizmleri için ,
üzerinde tüm esnek yapılarının ailesi olsun. olarak alırsak bu taktirde kategorisinde ve esnek komşuluk kümelerinin çarpımıdır.
ve kategorileri arasında izomorfizmi olduğundan aşağıdaki genel tanımı verebiliriz:
Tanım 5.1.9: bir topolojik özellik olsun. esnek komşuluk yapısı özelliğine sahiptir denir topolojik uzayı özelliğine sahiptir.
Bununla birlikte bazı durumlarda, terminolojisinde esnek komşuluk yapıların topolojik özelliklerinin “güzel” karakterizasyonlarını kategorisindeki karşılıklarını kullanmadan da elde etmek mümkündür. Buna ilk örnek olarak aşağıdaki teoremde esnek komşuluk yapılarında ayırma aksiyomlarını karakterize ediyoruz:
Teorem 5.1.10: esnek komşuluk yapısı olsun. Bu takdirde, (1) -esnek komşuluk yapısıdır Her için ’ dir.
(2) -esnek komşuluk yapısıdır Her için ’ dir.
85
ve vardır öyle ki ’ dir.
Teorem 5.1.11: bir -esnek komşuluk yapısı (i=0,1,2), ve , ’ in esnek komşuluk alt kümesi olsun. Bu taktirde, alt kümesi de -esnek komşuluk yapısıdır (i=0,1,2).
Teorem 5.1.12: ve iki esnek komşuluk yapısı olsun. Boş kümeden farklı çarpım esnek komşuluk yapısı -esnek komşuluk yapısıdır (i=0,1,2) ancak ve ancak ve esnek komşuluk yapıları -esnek komşuluk yapısıdır (i=0,1,2).
Esnek komşuluk yapıları açısından kompaktlık kavramını karakterize etmek için bir esnek komşuluk yapısında bir seçim fonksiyonu kavramını vermek uygun olacaktır. Diğer bir ifadeyle her için olmak üzere
fonksiyonu ele alınacaktır.
alt kümesi için ile gösterilir. Açıktır ki her seçim fonksiyonu için ’ dir.
Esnek komşuluk yapılarında kompaktlık aşağıdaki şekilde karakterize edilir:
Teorem 5.1.13: esnek komşuluk yapısı kompakttır Her seçim fonksiyonu için olacak şekilde sonlu kümesi vardır.
Teorem 5.1.14: ve esnek komşuluk yapıları ve kompakt olsun. Eğer örten ve bir esnek dönüşüm ise kompakttır.
İspat: , esnek komşuluk yapısında bir seçim fonksiyonu olsun. fonksiyonunu olarak tanımlayarak aşağıdaki diyagramı (Şekil 5.2) elde ederiz:
86 Şekil 5.2
bir esnek dönüşüm ve her için olduğundan sonucunu elde ederiz. Böylece , ’ de bir seçim fonksiyonudur.
kompakt olduğundan olacak şekilde sonlu alt kümesi vardır. alalım. dönüşümü örten olduğundan
elde edilir. Böylece, kompakttır.
Teorem 5.1.15: esnek komşuluk yapısı ve , ’ in esnek komşuluk alt kümesi olsun. kompakttır ancak ve ancak her için olmak üzere her seçim fonksiyonu için olacak şekilde sonlu kümesi vardır.
Teorem 5.1.16: kompakt esnek komşuluk yapısı ve kapalı olsun. Bu takdirde, esnek komşuluk alt kümesi kompakttır.
(Burada kapalı olması, esnek komşuluk yapısı tarafından elde edilen topolojisine göre kapalı olmasıdır.)
İspat: , esnek komşuluk alt kümesinde bir seçim fonksiyonu ve her için olsun. Böylece, için
olur.
kapalı olduğundan her için olur. fonksiyonunu olmak üzere
87
olarak tanımlayalım.
Buradan ve ’ in esnek komşuluk yapısında bir seçim fonksiyonu olduğunu söyleriz. kompakt olduğundan olacak şekilde sonlu alt kümesi vardır. için olur ve böylece kompakt olur.
5.2. L-Bulanıklaştırılmış Esnek Komşuluk Yapıları
Bu bölümde ve bundan sonraki iki bölümde bulanık latisi göz önüne alınacaktır. Diğer bir ifadeyle, sırayı tersine koruyan dönüşüm ile bir tam dağılımlı tam latis ile çalışılacaktır. ve sırasıyla ’ nin en büyük ve en küçük elemanları olsun. , üzerindeki tüm L-bulanık kümelerin ailesi olsun.
L-bulanık esnek yapı üzerinde kurulacak ve kümesi parametre kümesi olarak ele alınacaktır.
Tanım 5.2.1: bir L-bulanık esnek küme olsun. Diğer bir ifadeyle,
üzerinde L-bulanık esnek yapı olsun. Eğer her için
fonksiyonlar ailesi aşağıdaki özellikleri sağlıyorsa dönüşümüne bir L-bulanıklaştırılmış esnek komşuluk dönüşümü ve üçlüsüne de bir L-bulanıklaştırılmış esnek komşuluk yapısı denir:
(N1) ise ; (N2) ise ; (N3) ;
(N4) , .
ile objeleri L-bulanıklaştırılmış esnek komşuluk yapıları, morfizmleri esnek dönüşümler olan kategoriyi göstereceğiz.
88
Aşağıdaki teoremde L-bulanıklaştırılmış topolojik uzaylar ( (Ying 1991),(Höhle, 1980)) L-bulanıklaştırılmış esnek komşuluk yapıları aracılığıyla karakterize edilecektir:
Teorem 5.2.2: L- bulanıklaştırılmış topolojik uzay olsun. Her ve için dönüşümünü olarak tanımlarsak bir L- bulanıklaştırılmış esnek komşuluk yapısıdır. L- bulanıklaştırılmış esnek komşuluk yapısına L-bulanıklaştırılmış topolojisi tarafından üretilen esnek dönüşüm ve üçlüsüne de L- bulanıklaştırılmış topolojik uzayı tarafından üretilen L-bulanıklaştırılmış esnek komşuluk yapısı denir.
Tersine, bir L- bulanıklaştırılmış esnek komşuluk yapısı olsun. Her için dönüşümünü olarak tanımlarsak , üzerinde bir L-bulanıklaştırılmış topoloji olur. topolojisine L- bulanıklaştırılmış esnek dönüşümü tarafından üretilen L-bulanıklaştırılmış topoloji denir.
Ayrıca, üzerindeki L-bulanıklaştırılmış esnek komşuluk yapısı için ve üzerindeki L-bulanıklaştırılmış topolojisi için olur.
Önerme 5.2.3: ve iki L-bulanıklaştırılmış esnek komşuluk yapısı olsun. bir bulanık esnek dönüşümdür Her ve için dir.
Teorem 5.2.4: funktoru L- bulanıklaştırılmış topolojik uzayını üretilmiş L-bulanıklaştırılmış esnek komşuluk yapısına ve sürekli dönüşümünü bulanık esnek dönüşümüne atayan bir izomorfizmdir.
89 5.3. L-Esnek Komşuluk Yapıları
’ deki tüm sıfırdan farklı indirgenemez elemanların kümesini göstersin. Diğer bir ifadeyle, asal eleman ve ’ dir.
kümesi üzerinde L-bulanık nokta, desteği ve değeri olan
dönüşümüdür öyle ki
.
Tüm bulanık noktaların kümesi ile gösterilir. Açıktır ki ’
dir. Tanım 5.3.1: (Liu ve Luo, 1998) ve olsun.
olmak üzere ise ’ ya ile q-çakışımsıdır denir ve bu ile gösterilir. Her için ’ dir. olan için ailesi ile gösterilir. L-topolojik uzay ve bu topolojik uzayda bir L-bulanık nokta olsun. bulanık noktasının q-komşuluğudur denir .
((Pu ve Liu, 1980), (Liu ve Luo, 1998)). Bu bölümde, esnek yapı üzerinde kurulacak ve kümesi parametre kümesi olarak ele alınacaktır. Tanım 5.3.2: bir esnek küme olsun. Diğer bir ifadeyle, , üzerinde esnek yapı olsun. Eğer
ailesi aşağıdaki özellikleri sağlıyorsa dönüşümüne
üzerinde bir L-esnek komşuluk dönüşümü ve üçlüsüne de bir L- esnek komşuluk yapısı denir: (N1) ise ;
90 (N3) ise ;
(N4) için öyle bir vardır öyle ki için ve ’ dır. ile objeleri L-esnek komşuluk yapıları, morfizmleri esnek dönüşümler olan ve kategorisinin (tam) alt kategorisi olan kategoriyi göstereceğiz. Aşağıdaki teoremde L-topolojik uzaylar ((Chang, 1968), (Goguen, 1967)) L-esnek komşuluk yapıları aracılığıyla karakterize edilecektir.
Teorem 5.3.3: L-topolojik uzay, ve bu uzayda bulanık noktasının tüm q-komşuluklarının bir ailesi olsun. dönüşümünü olarak tanımlayalım. Bu takdirde,
bir L-esnek komşuluk yapısıdır. L-esnek komşuluk dönüşümüne L-topolojisi tarafından üretilen esnek dönüşüm denir.
Tersine, bir L-esnek komşuluk yapısı olsun. için üzerindeki ailesini olmak üzere olarak tanımlarsak , üzerinde bir L-topoloji olur ve , L-topolojisi için q- komşuluk sistemidir. L-topolojik uzayına L-esnek komşuluk yapısı tarafından üretilen L- topolojik uzay denir.
Ayrıca, ve olur.
Önerme 5.3.4: ve iki L-esnek komşuluk yapısı olsun. bir bulanık esnek dönüşümdür ve için dir.
Burada, dır.
Yukarıdaki önermeden aşağıdaki özelliği elde ederiz:
Teorem 5.3.5: bir bulanık esnek dönüşümdür Uygun L-topolojik uzaylar arasındaki dönüşümü süreklidir.
91
Teorem 5.3.6: latisi sabit olsun. L-topolojik uzayını L- esnek komşuluk yapısına ve sürekli dönüşümünü esnek dönüşümüne atayan ve L-topolojik uzayların kategorisi ile L-esnek komşuluk yapılarının kategorisi arasında bir izomorfizm kuran funktorunu elde ederiz.
funktorunun tersini ile göstereceğiz. 5.4. L-Bulanık Esnek Komşuluk Yapıları
Bu bölümde, L-bulanık esnek yapı üzerinde kurulacak ve kümesi parametre kümesi olarak ele alınacaktır.
Tanım 5.4.1: bir L-bulanık esnek küme olsun. Diğer bir ifadeyle,
, üzerinde L-bulanık esnek yapı olsun. Eğer için ailesi aşağıdaki özellikleri sağlıyorsa dönüşümüne bir L-bulanık esnek komşuluk dönüşümü ve üçlüsüne de bir L-bulanık esnek komşuluk yapısı denir:
(N1) ise ;
(N2) ise ; (N3) ;
(N4) , .
L-bulanık esnek komşuluk yapılarının kategorisi ile gösterilecektir. Aşağıdaki teoremde L-bulanık topolojik uzaylar ((Shostak, 1985), (Shostak, 1989), (Kubiak, 1985)) L-bulanık esnek komşuluk yapıları aracılığıyla karakterize edilecektir:
92
Teorem 5.4.2: L-bulanık topolojik uzay olsun. Her ve için dönüşümünü
olarak tanımlayalım. Bu takdirde, bir L-bulanık esnek komşuluk yapısıdır. L-bulanık esnek komşuluk dönüşümüne L-bulanık topolojisi tarafındanüretilen esnek dönüşüm denir.
Tersine, bir L-bulanık esnek komşuluk yapısı olsun. dönüşümünü olarak tanımlarsak , üzerinde bir L-bulanık topoloji olur. L-bulanık topolojik uzayına L-bulanık esnek komşuluk yapısı tarafından üretilen L-bulanık topolojik uzay denir.
Ayrıca, ve olur.
Önerme 5.4.3: ve iki L-bulanık esnek komşuluk yapısı olsun. bir bulanık esnek dönüşümdür Her ve için
dur.
Teorem 5.4.4: bir dönüşüm olsun.
bir bulanık esnek dönüşümdür Uygun L-bulanık topolojik uzaylar arasındaki dönüşümü süreklidir.
Teorem 5.4.5: latisi sabit olsun. L-bulanık esnek komşuluk yapısını L-bulanık topolojik uzayına ve esnek dönüşümünü sürekli dönüşümüne atayan ve L-bulanık topolojik uzayların kategorisi ile L-bulanık esnek komşuluk yapılarının kategorisi arasında bir izomorfizm kuran funktorunu elde ederiz.
93