4.1. Esnek Topolojik Uzaylar
Bu bölümde, bir esnek topoloji parametre kümesine göre açık olan ve üzerinde bir esnek küme olarak göz önüne alınacaktır.
Tanım 4.1.1: kümesi üzerinde parametresine göre bir esnek topoloji her için , kümesi üzerinde bir klasik topoloji olmak üzere
dönüşümüdür.
Esnek topoloji ile esnek topolojik uzay ise ile gösterilir. Örnekler 4.1.2: (1) ve , üzerinde bir esnek küme olsun, yani . Eğer , üzerinde bir topoloji ise bu taktirde , ’ a göre üzerinde bir esnek topolojidir.
(2) ve , üzerinde bir esnek küme olsun, . Eğer ve , üzerinde iki topoloji ise bu taktirde , ’ e göre üzerinde bir esnek topolojidir.
(3) ve , üzerinde bir esnek küme olsun, . Eğer her için , üzerinde bir topoloji ise bu taktirde , ’ ya göre üzerinde bir esnek topolojidir.
Tanım 4.1.3: bir esnek topolojik uzay ve olsun. esnek kümesine açık esnek küme denir için dir. esnek kümesine kapalı esnek küme denir için dir.
71
Tanım 4.1.4: esnek topolojisine esnek topolojisinden daha kaba denir için dir.
Tanım 4.1.5: bir esnek topolojik uzay ve olsun.
(1) esnek kümesinin kapanışı ile gösterilir ve ’ in tüm kapalı esnek süper kümelerinin arakesitidir.
dır. , esnek kümesini kapsayan en küçük kapalı esnek kümedir.
(2) esnek kümesinin içi ile gösterilir ve ’ in tüm açık esnek alt kümelerinin birleşimidir.
çı dir. , esnek kümesinin alt kümesi olan en büyük açık esnek kümedir. kapalı esnek küme, açık esnek kümedir ve
(1) kapalı esnek kümedir
(2) açık esnek kümedir sağlanır.
Teorem 4.1.6: bir esnek topolojik uzay, olsun. Bu taktirde aşağıdakiler sağlanır:
(1) ve (2) (3) ise ve sağlanır. (4) ve (5) ve (6) ve (7) ve
Tanım 4.1.7: ve iki esnek topolojik uzay olsun.
esnek dönüşümüne esnek süreklidir denir Her ve için dönüşümü süreklidir.
72
Burada ve sırasıyla ve üzerindeki topolojilerdir.
Önerme 4.1.8: , ve esnek topolojik uzaylar olsun. Eğer ve esnek dönüşümleri esnek sürekli ise bileşkesi de esnek süreklidir.
İspat. Her ve için dönüşümü esnek sürekli olduğundan süreklidir.
Her ve için dönüşümü esnek sürekli olduğundan süreklidir.
Böylece sürekli, yani esnek süreklidir. Teorem 4.1.9: Aşağıdaki ifadeler birbirine denktir:
(1) esnek süreklidir.
(2) Her için dir. (3) Her için dır.
Tanım 4.1.10: esnek topolojik uzay ve , üzerinde bir esnek küme olsun. Eğer her için alt ailesi topolojisi için bir taban oluyorsa, bu takdirde, ’ ye için esnek tabandır denir.
Tanım 4.1.11: esnek topolojik uzay ve , üzerinde bir esnek küme olsun. Eğer her için alt ailesi topolojisi için bir alt taban oluyorsa, bu taktirde, ’ ye için esnek alt tabandır denir.
Tanım 4.1.12: [Esnek Topolojik Uzayların Çarpım Yapısı]
ve esnek topolojik uzaylarının çarpımı üçlüsüdür ve dönüşümü
73 şeklinde tanımlanır.
Burada ve sırasıyla ve üzerinde klasik topolojilerdir.
ve projeksiyon çiftleri aşağıdaki morfizmleri belirler:
ve .
Tanım 4.1.13: esnek topolojik uzayların bir ailesi olsun. ailesi tarafından üretilen üzerindeki başlangıç esnek topolojisine üzerinde çarpım esnek topoloji denir.
Tanım 4.1.14: esnek topolojik uzayına esnek kompakttır (esnek yakın kompakt, esnek hemen hemen kompakt) denir için klasik topolojik uzayı kompakttır (yakın kompakt, hemen hemen kompakt).
Tanımlar karşılaştırıldığında aşağıdaki ifadeyi elde ederiz:
Esnek kompakt esnek yakın kompakt esnek hemen hemen kompakt. Bu ifadenin tersi her zaman doğru değildir.
Örnek 4.1.15: ve bir önceki bölümde verilen örnekteki esnek topolojik uzay olsun. Diğer bir ifadeyle üzerinde bir topoloji olsun. Klasik topolojik uzaylarda yukarıdaki ifade her zaman sağlanmaz.
Tanım 4.1.16: bir esnek topolojik uzay ve olsun. esnek kümesine esnek kompakttır denir için , üzerinde kompakt kümedir.
Teorem 4.1.17: , esnek topolojik uzaylar ve esnek sürekli ve örten bir esnek dönüşüm olsun. Eğer esnek kompakt (esnek yakın kompakt, esnek hemen hemen kompakt) ise, bu taktirde esnek kompakttır (esnek yakın kompakt, esnek hemen hemen kompakt).
74
İspat. esnek kompakt uzay olsun. Bu taktide her için klasik topolojik uzayı kompakttır. esnek sürekli olduğundan için süreklidir. Klasik topolojik uzaylarda kompaktlık sürekli ve örten dönüşüm altında korunduğundan topolojik uzayı kompakttır. Sonuç olarak esnek kompakttır.
Teorem 4.1.18: kompakt esnek topolojik uzay ve kapalı esnek küme olsun. Bu taktirde esnek kompakt kümedir.
Teorem 4.1.19: esnek topolojik uzayların bir ailesi
olsun. esnek kompakt uzaydır çarpım esnek topolojik uzayı esnek kompakttır.
İspat. çarpım esnek topolojisinin alt tabanı olsun. Diğer bir ifadeyle, her için ailesi için bir alt tabandır. Alexander Alt Taban Teoremi’nden ’ nin ’ deki her açık örtümünün sonlu bir alt örtümü vardır. Dolayısıyla kompakttır.
Tersine, projeksiyon
dönüşümü esnek sürekli olduğundan bir önceki teoremden esnek topolojik uzayının esnek kompakt olduğunu söyleriz.
4.2. L-Bulanık Esnek Topolojik Uzaylar
bir bulanık latis olsun. Diğer bir ifadeyle, sırayı tersine koruyan dönüşüm ile bir tam dağılımlı tam latis olsun. ve sırasıyla ’ nin en büyük ve en küçük elemanları olsun. , üzerindeki tüm L-bulanık kümelerin ailesini göstersin.
Tanım 4.2.1: (Aygünoğlu, 2011) boştan farklı bir küme olsun. dönüşümüne üzerinde bir L-bulanık esnek küme denir.
, üzerinde bir L-bulanık kümedir.
dönüşümü çifti üzerindeki bulanık esnek yapı olarak düşünülecektir.
75
üzerindeki tüm L-bulanık esnek kümelerin ailesini ile gösterelim.
olarak aldığımızda için Maji anlamında (Maji ve diğ., 2001) üzerinde bulanık esnek küme olur.
Tanım 4.2.2: ve , üzerinde iki bulanık esnek yapı olsun. Eğer her için ise ’e ’den daha zayıftır denir.
ile gösterilir.
Tanım 4.2.3: (Aygünoğlu, 2011) olsun. ’ ye ’ nin L-bulanık esnek alt kümesi denir : Her için dir.
Alt küme ile gösterilir.
Tanım 4.2.4: (Aygünoğlu, 2011) ve L-bulanık esnek kümelerine eşittir denir ve sağlanır.
Tanım 4.2.5: (Aygünoğlu, 2011) ve L-bulanık esnek kümelerinin birleşimi L-bulanık esnek kümesidir : Her için dir.
Birleşim ile gösterilir.
Tanım 4.2.6: (Aygünoğlu, 2011) ve L-bulanık esnek kümelerinin kesişimi L-bulanık esnek kümesidir : Her için dir.
Kesişim ile gösterilir.
Tanım 4.2.7: (Aygünoğlu, 2011) L-bulanık esnek kümesinin tümleyeni, ile gösterilir ve dönüşümü her için şeklinde tanımlanır. Tanım 4.2.8: (Aygünoğlu, 2011) L-bulanık esnek kümesine boş L-bulanık esnek küme denir : Her için dir. Boş L-bulanık esnek küme ile gösterilir.
Tanım 4.2.9: (Aygünoğlu, 2011) L-bulanık esnek kümesine evrensel L-bulanık esnek küme denir : Her için dir. L-bulanık evrensel esnek küme ile gösterilir.
76
Teorem 4.2.10: , kısmi sıralaması ile üzerindeki tüm bulanık esnek yapıların kümesi olsun. Bu taktirde, ailesinin supremum, infimum ve sırayı koruyan dönüşümü sırasıyla , ve
şeklinde tanımlandığında bir tam latistir. Özel olarak latisinin en küçük ve en büyük elemanları sırasıyla her için ve şeklindedir.
Tanım 4.2.11: (Aygünoğlu, 2011) , iki fonksiyon ve , olsun. çiftine ’den ’ye bir bulanık esnek dönüşüm denir.
(1) olsun. ’ nin bulanık esnek fonksiyonu altındaki görüntüsü
üzerinde bir L-bulanık esnek kümedir ve aşağıdaki şekilde tanımlanır:
.
(2) olsun. ’ nın bulanık esnek fonksiyonu altındaki ters görüntüsü , üzerinde L-bulanık esnek kümedir ve aşağıdaki şekilde tanımlanır:
olarak alırsak bu tanım (Aygünoğlu ve Aygün, 2009) anlamında olur.
İki bulanık esnek dönüşümün bileşkesi tanımı esnek dönüşümlerin bileşkesi tanımıyla benzerdir.
Tanım 4.2.12: kümesi üzerinde parametresine göre bir L-esnek topoloji
dönüşümüdür öyle ki her için , kümesi üzerinde bir L-topolojidir.
Burada, her için Chang-Goguen anlamında L-topolojidir. (Chang, 1968), (Goguen, 1967).
77
Tanım 4.2.13: kümesi üzerinde parametresine göre bir L-bulanıklaştırılmış esnek topoloji, her için , kümesi üzerinde bir L- bulanıklaştırılmış topoloji olmak üzere dönüşümüdür.
Burada, her için Ying anlamında L- bulanıklaştırılmış topolojidir (Ying, 1991).
Tanım 4.2.14: kümesi üzerinde parametresine göre bir L-bulanık esnek topoloji, her için , kümesi üzerinde bir L-bulanık topoloji olmak üzere dönüşümüdür.
Burada, her için Shostak anlamında L-bulanık topolojidir (Shostak, 1985).
L-bulanık esnek topoloji ile L-bulanık esnek topolojik uzay ise ile gösterilir.
Örnek 4.2.15: (1) esnek topolojik uzay olsun.
Eğer her için olarak tanımladığımızda L- bulanık esnek topolojik uzay olarak göz önüne alınabilir.
(2) L-esnek topolojik uzay olsun.
Eğer her için olarak tanımladığımızda L-
bulanık esnek topolojik uzay olarak göz önüne alınabilir.
Tanım 4.2.16: ve iki L-bulanık esnek topolojik uzay olsun. esnek dönüşümüne bulanık esnek süreklidir denir Her ve için dönüşümü bulanık süreklidir.
Burada, ve her ve için bulanık süreklidir ancak ve ancak her için
78
Önerme 4.2.17: ve L-bulanık esnek topolojik uzaylar olsun. Eğer ve esnek dönüşümleri bulanık esnek sürekli ise
bileşkesi de bulanık esnek süreklidir.
İspat. Her ve için dönüşümü bulanık esnek sürekli olduğundan bulanık süreklidir.
Her ve için dönüşümü bulanık esnek sürekli olduğundan bulanık süreklidir.
Böylece bulanık sürekli, yani bulanık esnek süreklidir. Tanım 4.2.18: L-bulanık esnek topolojik uzayına bulanık esnek kompakttır (bulanık esnek yakın kompakt, bulanık esnek hemen hemen kompakt) denir için L-bulanık topolojik uzayı bulanık kompakttır (bulanık yakın kompakt, bulanık hemen hemen kompakt).
Burada, her için Aygün (Aygün ve diğ., 1997 ) anlamında bulanık kompakttır ve Ramadan (Ramadan ve Abbas, 2001) anlamında bulanık yakın (bulanık hemen hemen) kompakttır.
L-bulanık esnek topolojik uzay ve olsun. ’ye bulanık esnek kompakt küme denir Her için bulanık kompakt kümedir.
Teorem 4.2.19: , L-bulanık esnek topolojik uzaylar ve bulanık esnek sürekli ve örten bir esnek dönüşüm olsun. Eğer bulanık esnek kompakt (bulanık esnek yakın kompakt, bulanık esnek hemen hemen kompakt) ise, bu taktirde bulanık esnek kompakttır (bulanık esnek yakın kompakt, bulanık esnek hemen hemen kompakt).
İspat. bulanık esnek kompakt uzay olsun. Bu taktide her için L-bulanık topolojik uzayı bulanık kompakttır. bulanık esnek sürekli olduğundan için bulanık süreklidir. Bulanık topolojik uzaylarda kompaktlık sürekli ve örten dönüşüm altında korunduğundan
79
L-bulanık topolojik uzayı kompakttır. Sonuç olarak bulanık esnek kompakttır.
Teorem 4.2.20: L-bulanık esnek topolojik uzay ve olsun. Eğer ve bulanık esnek kompakt (bulanık esnek yakın kompakt, bulanık esnek hemen hemen kompakt) kümeler ise bulanık esnek kompakttır (bulanık esnek yakın kompakt, bulanık esnek hemen hemen kompakt).
İspat. bulanık esnek kompakt kümeler olsun. Yani, ve her için bulanık kompakt kümelerdir. L-bulanık esnek kümelerin birleşim tanımından, her için olmak üzere ’ dir. ve bulanık kompakt kümeler olduğundan (Ramadan ve Abbas, 2001)’ den
bulanık kompakttır. Böylece, bulanık esnek kompakt kümedir. Teorem 4.2.21: L-bulanık esnek topolojik uzay olsun. Eğer sonlu ise bulanık esnek kompakt uzaydır.
İspat. L-bulanık esnek topolojik uzay olsun. Diğer bir ifadeyle, ve her için L-bulanık topolojik uzaydır. sonlu olduğundan bulanık kompakt uzaydır. Sonuç olarak, bulanık esnek kompakt uzaydır.
80