Bu bölümde, öncelikle bulanık esnek kümeler ve temel özellikleri özetlenmiştir. Daha sonra bulanık esnek topolojik uzay kavramı Chang anlamında tanımlanmıştır. Taban ve süreklilik kavramları tanımlanarak bulanık esnek topolojik uzaylar için başlangıç topolojisi ve çarpım topolojisi kavramları incelenmiştir. Bulanık noktanın bir genelleştirilmesi olarak bulanık esnek nokta kavramı verilerek bulanık esnek topolojik uzayların komşuluk yapıları üzerine çalışılmıştır.
3.1. Bulanık Esnek Kümeler
Tanım 3.1.1: (Maji ve diğ., 2001) parametrelerin kümesi ve olsun. çiftine üzerinde bir bulanık esnek küme denir .
, üzerinde bir bulanık kümedir.
Örnek 3.1.2: bulanık esnek kümesi bir bayanın satın almayı düşündüğü elbiselerin özelliklerini tanımlasın. } elbiselerin kümesi ve , ’in tüm bulanık alt kümelerinin ailesi olsun.
ı olsun.
, ,
,
olarak alalım. Böylece, ’ in ailesi bulanık esnek kümesidir.
Açık olarak, üzerindeki klasik esnek kümesini bulanık esnek kümesi olarak düşünebiliriz:
için ’ nin altındaki görüntüsü kümesinin karakteristik fonksiyonu olarak tanımlanır. Yani,
41
Bir önceki bölümde “genişletilmiş esnek küme” kavramındaki düşünceye benzer olarak “genişletilmiş bulanık esnek küme” tanımı aşağıdaki şekilde verilebilir.
Tanım 3.1.3: , üzerinde bulanık esnek küme olsun. bulanık esnek kümesini
şeklinde tanımlanan bulanık esnek kümesi olarak düşünebiliriz.
bir dönüşüm olarak düşünülen bulanık esnek kümesine “genişletilmiş bulanık esnek küme” (g-be küme) denir.
üzerindeki tüm g-be kümelerin ailesini ile gösterelim.
Tanım 3.1.4: olsun. ’ ya ’ nin bulanık esnek alt kümesi denir : dir.
Alt küme ile gösterilir.
Eğer , ’ nın bulanık esnek alt kümesi ise, ’ ya ’ nin bulanık esnek süper kümesi denir ve bu ile gösterilir.
Tanım 3.1.5: olsun. eşittir denir. : ve . Tanım 3.1.6: olsun. g-be kümelerin birleşimi g-be kümesidir için dir.
Birleşim ile gösterilir.
Tanım 3.1.7: olsun. g-be kümelerin kesişimi g-be kümesidir için dir.
Kesişim ile gösterilir.
Önerme 3.1.8: olsun. veya ’dır.
42
Tanım 3.1.9: Bir g-be kümesinin tümleyeni ile gösterilir. bir dönüşüm olmak üzere şeklinde tanımlanır.
’ ye ’ nın bulanık esnek tümleyen fonksiyonu denir. olduğu açıktır. Tanım 3.1.10: olsun. g-be kümesine boş g-be küme denir dir.
Boş g-be küme ile gösterilir.
Tanım 3.1.11: olsun. g-be kümesine evrensel g-be küme denir dir.
Evrensel g-be küme ile gösterilir. ve olduğu açıktır.
Tanım 3.1.12: olsun. g-be kümesine -evrensel g-be küme denir ve .
-evrensel g-be küme ile gösterilir.
, üzerinde sabit bulanık küme, yani her ve için olsun. Tanım 3.1.13: olsun. g-be kümesine -evrensel g-be küme denir dir.
-evrensel g-be küme ile gösterilir. olduğu açıktır.
Tanım 3.1.14: olsun. g-be kümesine -evrensel g-be küme denir ve dir.
-evrensel g-be küme ile gösterilir.
Uyarı 3.1.15: g-be kümesinin tümleyeni -evrensel g-be küme değildir. Gerçekten,
43
Önerme 3.1.16: J indeks kümesi ve , olsun. Bu takdirde, aşağıdakiler sağlanır:
(1) (2) (3) ve (4) (5) (6) ve (7) (8) ve
İspat: (3), (4) ve (6)’ nin ispatlarını verelim, diğerleri benzer şekilde yapılır. (3) Birleşim tanımından ve olduğundan
44
Böylece, elde edilir. (4) Birleşim ve kesişim tanımlarından her
dir. (6) dir.
Tanım 3.1.17: (Aygünoğlu ve Aygün, 2009) ve sırasıyla ve üzerindeki tüm g-be kümelerin ailesi ve iki fonksiyon olsun. çiftine ’ den ’ ye bir bulanık esnek dönüşüm denir ve bu ile gösterilir.
Şekil 3.1
Diyagramda (Şekil 3.1) , ve güç kümeleri arasındaki dönüşümdür (Rodabaugh, 1999) ve her için ’ dır. ’ den ’ ye ve ’ den ’ ye iki bulanık esnek dönüşümünün bileşkesi ’ den ’ ye bir bulanık esnek dönüşümdür. Burada , ve çifti ’ den ’ e birim morfizmasıdır.
45
(1) olsun. ’ nın bulanık esnek fonksiyonu altındaki görüntüsü , üzerinde bir g-be kümedir:
. Diğer bir ifadeyle,
(2) olsun. ’ nin bulanık esnek fonksiyonu altındaki ters görüntüsü üzerinde bir g-be kümedir:
Diğer bir ifadeyle,
.
Eğer ve bire-bir (örten) ise bulanık esnek dönüşümü de bire-birdir (örtendir).
Eğer ve sabit ise bulanık esnek dönüşümü de sabittir.
Önerme 3.1.18: ve crisp kümeler, ve olsun. Bu takdirde, aşağıdakiler sağlanır:
(1) (2)
(3) bire-bir ise eşitlik sağlanır. (4) örten ise eşitlik sağlanır.
(5)
(6) , bire-bir ise eşitlik sağlanır. (7) (8) (9) (10) (11)
46 (12) örten ise
(13) .
İspat: (3) ve (6)’ nın ispatlarını verelim, diğerleri benzer şekilde yapılır. (3) için dir. ve için
dir.
Tanım 3.1.19: ve olsun. bulanık çarpımı olarak gösterilir ve her için
olarak tanımlanır ve her
için ’ dir.
Bu tanıma göre bulanık esnek kümesi üzerinde bir bulanık esnek kümedir.
ve projeksiyon
çiftleri sırasıyla ’ den ’ e ve ’ den ’ ye morfizmleri belirler. Burada,
ve
47 3.2. Bulanık Esnek Topolojik Uzaylar
Bulanık esnek topolojik uzayları detaylı olarak tanımlayabilmek için öncelikle bulanık topolojik uzayları hatırlayalım: Bir bulanık topoloji ikilisi ile gösterilir ve burada , klasik topolojideki gibi üç aksiyomu sağlayan bulanık kümelerin bir ailesidir.
Tanım 3.2.1: (Tanay ve Kandemir, 2011) bir küme ve , üzerinde aşağıdaki özellikleri sağlayan g-be kümelerin bir ailesi ise çiftine bulanık esnek topolojik uzay denir.
(T1)
(T2)
(T3) .
Tanım 3.2.2: bir küme ve , üzerinde aşağıdaki özellikleri sağlayan g-be kümelerin bir ailesi ise çiftine Lowen anlamında bulanık esnek topolojik uzay denir.
(1)
(2)
(3) .
’ ya üzerinde g-be kümelerin topolojisi denir. ’ nun her elemanına açıktır denir.
’ da kapalıdır dur.
ve , üzerinde bulanık esnek topolojilerdir ve sırasıyla trivial ve diskret bulanık esnek topoloji olarak adlandırılırlar.
bulanık esnek topolojisine bulanık esnek topolojisinden daha zayıftır (kaba) denir dir. Bu durumda, ’ ye ’ den daha güçlüdür (incedir) denir. Örnek 3.2.3: olmak üzere bulanık esnek topolojik uzay olsun. Aşağıdaki şekilde her bir parametreden bulanık topolojiler elde edebiliriz:
48
ç olsun. , üzerinde bulanık topolojidir. Gerçekten,
(1) olduğundan ve .
Buradan, elde edilir.
(2) alalım. Buradan, olur. bulanık esnek topoloji olduğundan olur.Böylece,
elde edilir.
(3) Benzer şekilde, için elde edilir.
Böylece, için , üzerinde bir bulanık topolojidir. Bu topolojiye ’ deki bir bulanık esnek topolojinin “ -parametre topolojisi” denir.
Örnek 3.2.4: Karakteristik fonksiyonlar yardımıyla esnek kümesinin bir bulanık esnek küme olarak düşünebildiği biliniyor. Benzer yaklaşımla,
olmak üzere bir esnek topolojik uzay olsun. ailesi üzerinde bir bulanık esnek topoloji olur.
Teorem 3.2.5: ailesi üzerinde g-be kümelerin bulanık esnek topolojilerinin bir ailesi olsun. Bu takdirde, üzerinde bulanık esnek topolojidir.
İspat: Açıktır.
Teorem 3.2.6: bulanık esnek topolojik uzay ve tüm kapalı bulanık esnek kümelerin ailesini göstersin. Bu takdirde, aşağıdakiler sağlanır:
(1)
(2)
(3) .
49
Tanım 3.2.7: bulanıpk esnek topolojik uzay ve olsun. ’ nın bulanık esnek kapanışı, ’ nın tüm kapalı süper kümelerinin arakesitidir ve bu ile gösterilir.
Açıktır ki , ’ yı kapsayan en küçük bulanık esnek kapalı kümedir ve kapalıdır. Teorem 3.2.8: bulanık esnek topolojik uzay ve olsun. Bu taktirde aşağıdaki özellikler sağlanır:
(1) (2) (3) (4) (5) kapalıdır (6)
İspat: (1) - (4): Kapanış tanımından açıktır.
(5) kapalı bir bulanık esnek küme olsun. (2)’ den ’ dir. , ’ yı kapsayan en küçük kapalı küme olduğundan olur. Böylece, elde ederiz. Tersine, olsun. kapalı olduğundan da kapalı olur.
(6) (4)’ den ’ dir. Böylece, dır.
Tersine, (2)’ den . ve kapalı kümeler ve en küçük kapalı küme olduğundan olur. Böylece eşitlik sağlanır.
Tanım 3.2.9: bulanık esnek topolojik uzay ve olsun. ’ nın bulanık esnek içi, ’ nın tüm açık alt kümelerinin birleşimidir ve bu ile gösterilir.
50
Teorem 3.2.10: bulanık esnek topolojik uzay ve olsun. Bu taktirde aşağıdaki özellikler sağlanır:
(1) (2) (3) (4) (5) açıktır (6) İspat: Açıktır.
Teorem 3.2.11: bulanık esnek topolojik uzay ve olsun. Bu taktirde aşağıdaki özellikler sağlanır:
(1) (2)
İspat: (1) olduğu açıktır. Önerme 3.1.16 (7)’ den elde edilir. kapalı küme olduğundan ve Teorem 3.2.8 (4)’ den elde edilir. Tersine, Teorem 3.2.8 (2)’ den ’ dir. Önerme 3.1.16 (7)’ den
olur. kapalı olduğundan açıktır. İç tanımından,
olur ve tekrar Önerme 3.1.16 (7)’ den elde
edilir.
Teorem 3.2.12: dönüşümü aşağıdaki özellikleri sağlayan bir dönüşüm olsun.
(i1)
51
(i3) (i4)
Bu taktirde, aşağıdaki şekilde bir bulanık esnek topoloji elde ederiz:
Bu bulanık esnek topolojisi ile her için sağlanır.
İspat: (T1) (i1)’ den olur. (i2)’ den , böylece ve elde edilir.
(T2) alalım. ’ nun tanımından ve dir. (i3)’ den olur. Böylece, elde edilir.
(T3) alalım. (i3)’ den sırayı koruyan dönüşüm olduğundan ve birleşim tanımından, ve olur. ’ nun tanımından ve . Böylece,
dir. Tersine, (i2)’ den
olur. Buradan, ve elde edilir.
İkinci kısmın ispatı için alalım. olduğundan olur. (i3)’ den sırayı koruyan bir dönüşümdür ve . Tersine, (i4)’ den ve buradan elde edilir. Sonuç olarak, olur.
Not: Teorem 3.2.12’ de tanımlanan dönüşümüne bulanık esnek iç operatörü denir. Teorem 3.2.10 (1), (2), (3), (6) ve Teorem 3.2.12’ den, bir bulanık esnek iç operatörüden bulanık esnek topoloji elde edildiği ve tersine verilen bir bulanık esnek topolojiden bir bulanık esnek iç operatörü elde edilebildiği görülür.
Teorem 3.2.13: dönüşümü aşağıdaki özellikleri sağlayan bir dönüşüm olsun.
52 (c1)
(c2) )
(c3) (c4)
Bu taktirde, aşağıdaki şekilde bir bulanık esnek topoloji elde ederiz:
Bu bulanık esnek topolojisi ile her için sağlanır. İspat: Açıkır.
Not: Teorem 3.2.13’ de tanımlanan dönüşümüne bulanık esnek kapanış operatörü denir. Teorem 3.2.8 (1), (2), (3), (6) ve Teorem 3.2.13’ den bir bulanık esnek kapanış operatörüden bulanık esnek topoloji elde edildiği ve tersine verilen bir bulanık esnek topolojiden bir bulanık esnek kapanış operatörü elde edilebildiği görülür.
3.3. Bulanık Esnek Topolojik Uzaylarda Komşuluk Yapıları
Bu bölümde, bulanık esnek topolojik uzaylarda komşuluk yapısını kurmak için öncelikle bulanık noktanın bir genelleştirmesi olarak bulanık esnek nokta kavramı verilmiştir. Bir bulanık esnek noktanın bir bulanık esnek kümeye ait olması tanımı verilip ait olmanın bazı özellikleri incelenmiştir. Daha sonra, bulanık esnek noktanın klasik komşuluk ve Q-komşuluk yapısı incelenmiş ve bu komşuluk sistemleri kullanılarak bulanık esnek topoloji elde edilmiştir.
Tanım 3.3.1: ve dönüşümü ’ da sıfırdan farklı, ’ da sıfır olan bir dönüşüm olsun.
g-be kümesine bulanık esnek nokta denir için ’ dir. Burada için bir bulanık nokta ve için olduğundan boş bulanık kümedir.
53
olduğu açıktır.
Bulanık esnek nokta ile gösterilir. mutlak bulanık esnek nokta olarak adlandırılır. çiftine de bulanık esnek noktanın desteği denir. Bir bulanık esnek nokta, bulanık noktanın parametrelerle ifade edilen bir ailesi olarak göz önüne alınabilir.
üzerindeki tüm bulanık esnek noktaların kümesi ile gösterilecektir.
bulanık esnek noktalarına ayrıktır denir veya destekleri ayrıktır.
bulanık esnek noktası g-be kümesine aittir denir ’ dir. Diğer bir ifadeyle, her için ’ dir.
Ait olma ile gösterilir. için olduğu açıktır.
Teorem 3.3.2: olsun. , tüm bulanık esnek noktalarının birleşimine eşittir. Diğer bir ifadeyle, dır.
İspat: ise ispat açıktır. olsun. alalım. Her için
dir.
Önerme 3.3.3: ve sırasıyla ve üzerindeki tüm g-be kümelerin ailesi olsun. , ’ den ’ ye bir bulanık esnek dönüşüm olsun. Bu taktirde aşağıdakiler sağlanır:
(1) ise, ve ’ dir.
54
(3) olmak üzere ise, ’ dir.
(4) ve İspat: (1) Her ve için
Böylece, elde edilir.
(2) olsun. Buradan, her için ve için
olur.
. Böylece, dir.
(3) olduğundan ve (2)’ den elde edilir. (4) olsun. Buradan, her için olur. Bulanık esnek
nokta tanımından elde edilir ve bir bulanık esnek nokta olduğundan olmalıdır.
Tersine, ve olsun. Buradan, ve böylece
55
Önerme 3.3.4: olsun. Bu takdirde, olur. İspat: Açıktır.
Önerme 3.3.5: ve olsun. ise, her için ’ dir.
İspat: olsun. Buradan, her için ve
için olur. Böylece, her için elde edilir.
Örnek 3.3.6: olması veya olmasını gerektirmez. Örneğin, ve olsun. kümelerini ve bulanık esnek noktasını aşağıdaki şekilde ele alalım:
, ,
, ,
Buradan, ve olur, fakat ve ’ dir. Teorem 3.3.7: ve olsun. Eğer ise,
olacak şekilde ve ’ dir. İspat: olsun. Buradan, her için
ve için ’ dir.
Buradan, bazı için ve bazı için olur. ve olarak seçelim.
56
Her için olduğundan olur.
Her için olduğundan olur. Sonuç olarak, ve ’ dir.
Tanım 3.3.8: ve bulanık esnek topolojik uzay olsun. Eğer olacak şekilde bir varsa, bu g-be kümesine bulanık esnek noktasının komşuluğu denir.
açık g-be küme ise, ’ nın açık komşuluğu denir.
bulanık esnek noktasının bulanık esnek topolojisine göre bütün komşuluklarından oluşan ailesi , veya topolojiyi belirtmenin gerek olmadığı durumlarda ile gösterilir ve buna ’ nın komşuluk sistemi denir.
Bir bulanık esnek topolojik uzayda, bir bulanık esnek noktayı içeren her açık g-be küme o bulanık esnek noktanın bir komşuluğudur. Diğer yandan her komşuluk bir açık g-be küme içerdiğinden, bir bulanık esnek noktanın bütün komşulukları yerine sadece açık komşuluklarını ele almak yeterlidir.
Tanım 3.3.9: ve bir dönüşüm olsun. , her için şartını sağlıyorsa ’ a ile uyumludur denir.
Teorem 3.3.10: birbulanık esnek topolojik uzay ve ise, komşuluk ailesi aşağıdaki özelliklere sahiptir:
(N1) dir ve ise, dir. (N2) ise, dir. (N3) ve ise, dır.
(N4) ile uyumlu her için ise, dır. (N5) ve ise, dır.
57
(N6) ise, öyle bir vardır ki, her için ve dır.
Tersine olarak, her bulanık esnek noktası için bir ailesi (N1)- (N6) koşullarını sağlasın. Bu durumda üzerinde öyle bir
bulanık esnek topolojisi vardır ki, her için bu ailesi, o bulanık esnek topoloji için bulanık esnek noktasındaki komşuluk ailesini oluşturur.
İspat: (N1)-(N3) özellikleri komşuluk tanımından kolaylıkla elde edilir.
(N4) ile uyumlu her için olsun. Komşuluk tanımından,
olacak şekilde bir vardır. olarak alalım.
Buradan, ve sağlanır. Teorem 3.3.7’ den ve tüm uyumlu için olduğundan,
elde edilir. Böylece, olur, diğer
bir ifadeyle dır.
(N5) ve olsun. Komşuluk tanımından, olacak şekilde bir ve olacak şekilde bir vardır.
olduğundan her için ve için
olur.
olduğundan her için ve için olur.
Buradan, her ve için elde ederiz.
58 olur. Sonuç olarak, dir.
(N6) alalım. Komşuluk tanımından, olacak şekilde bir vardır. olduğundan her bulanık esnek noktası için olur. Aynı zamanda, olduğundan dır. Böylece, olduğundan olacak şekilde ve her bulanık esnek noktası için olur.
Teoremin ikinci kısmını göstermek için, her bulanık esnek noktası için (N1)-(N6) koşullarını sağlayan bir ailesinin verildiğini kabul edelim. Buna göre, ailesinin istenen özelliği sağlayan bulanık esnek topoloji olduğunu gösterilebilir:
(T1) olduğu açıktır. (N1)’ den elde edilir.
(T2) ve alalım. Önerme 3.3.5’ den ve ’ nun tanımından olur. (N2)’ ye göre olduğundan bulunur.
(T3) Her için olmak üzere ve olsun. ve her için olarak alalım. bir dönüşüm
ve olmak üzere olsun. ile uyumlu bir seçelim. bulanık
esnek noktası ve için olacak şekilde vardır. Buradan, olduğunu söyleriz. ve
olarak alalım. Böylece, ve buradan her için olacak şekilde en az bir vardır. Genelliği bozmadan, alalım.
olmak üzere
olur. (N5)’ e göre
59
elde edilir. (N4)’ den olur.
Her için olacak şekilde vardır ve için olur. Buradan, her için ve tekrar (N4)’ den
olur. Sonuç olarak üzerinde bir bulanık esnek topolojidir ve ailesi bulanık esnek noktasındaki komşuluk ailesini oluşturur.
Tanım 3.3.11: bulanık esnek topolojik uzay ve olsun. Eğer
olacak şekilde bir açık g-be kümesi varsa, bulanık esnek noktasına ’ nin bir iç noktası denir.
’ nin tüm iç noktalarının birleşimine ’ nin içi denir ve ile gösterilir. Teorem 3.3.12: bulanık esnek topolojik uzay ve olsun. açıktır ve ’ de içerilen en büyük açık g-be kümedir. açıktır dir. İspat: Açıktır.
Tanım 3.3.13: bulanık esnek noktasına ile q-çakışımsıdır denir Her için ’ dir.
Diğer bir ifadeyle, için dir.
bulanık esnek noktasının ile q-çakışımsı olması ile gösterilir.
olmak üzere ’ ya ile q-çakışımsıdır denir Her için ’ dir.
Diğer bir ifadeyle, için dir. ’ nın ile q-çakışımsı olması ile gösterilir.
Önerme 3.3.14: (1) , ile q-çakışımsı değildir. (2) , ile q-çakışımsı değildir.
60
Önerme 3.3.15: ve olsun. ise, her için ’ dir.
İspat: olsun. Buradan, her için ve
için olur. olduğundan, her ve için
elde edilir. Böylece, dir ve her için olur.
Uyarı: olması veya olmasını gerektirmez. Örneğin, Örnek 3.3.6’ yı ele alalım. Bu örnekte ve dir, fakat ,
ve ile q-çakışımsı değildir.
Teorem 3.3.16: ve olsun. Eğer ise, olacak şekilde ve ’ dir.
İspat: Teorem 3.3.7’ nin ispatına benzer olarak yapılır.
Tanım 3.3.17: ve bulanık esnek topolojik uzay olsun. Eğer olacak şekilde bir varsa, bu g-be kümesine bulanık esnek noktasının bir Q-komşuluğu denir.
bulanık esnek noktasının bulanık esnek topolojisine göre tüm Q- komşuluklarından oluşan ailesi ile gösterilir ve buna ’ nın Q-komşuluk sistemi denir.
Örnek 3.3.18: Bir bulanık esnek noktanın Q-komşuluğu, noktanın kendisini içermeyebilir. Örneğin, olsun.
ve olarak tanımlayalım. Bu taktirde, bir
bulanık esnek topolojik uzaydır.
61
elde edilir. Fakat, olduğundan dir.
Teorem 3.3.19: birbulanık esnek topolojik uzay ve ise, Q-komşuluk ailesi aşağıdaki özelliklere sahiptir:
(Q1) dir ve ise, dir. (Q2) ise, dir. (Q3) ve ise, dır.
(Q4) ve ise, dır.
(Q5) ise, öyle bir vardır ki, her için ve dır.
Tersine olarak, her bulanık esnek noktası için bir ailesi (Q1)- (Q5) koşullarını sağlasın. Bu durumda üzerinde öyle bir
bulanık esnek topolojisi vardır ki, her için bu ailesi, o bulanık esnek topoloji için bulanık esnek noktasındaki Q-komşuluk ailesini oluşturur.
İspat: (Q1)-(Q3) özellikleri kolaylıkla elde edilir.
(Q4) ve alalım. Q-komşuluk tanımından, olacak şekilde bir ve olacak şekilde bir vardır.
olduğundan her için ve için olur.
olduğundan her için ve için
olur.
62
elde ederiz. Böylece, , ve dir. Sonuç olarak, elde ederiz.
(Q5) alalım. Q-komşuluk tanımından, olacak şekilde bir vardır. olarak alabiliriz. Gerçekten, ve olduğundan olur ve her için elde ederiz.
Teoremin ikinci kısmını göstermek için, her bulanık esnek noktası için (Q1)-(Q5) koşullarını sağlayan bir ailesinin verildiğini kabul edelim. Buna göre, ailesinin istenen özelliği sağlayan bulanık esnek topoloji olduğunu gösterilebilir:
(T1) olduğu açıktır. (Q1)’ den elde edilir.
(T2) ve alalım. Önerme 3.3.15’ den ve dir. olduğundan, her için ve her için olur. (Q2)’ ye göre olduğundan bulunur.
(T3) Her için olmak üzere ve olarak alalım. olduğundan, her için ve için
dir. Diğer bir ifadeyle dir.
Buradan, için olacak şekilde en az bir var olduğunu söyleriz.
ve olarak alalım. Her ve için olur. Böylece,
olacak şekilde en az bir
vardır. Genelliği bozmadan, alalım.
olmak üzere ve olduğundan olur.
63
(Q4)’ den ve Teorem 3.3.16’ dan olur. Böylece, olduğundan elde edilir. Bu taktirde, her için olacak şekilde vardır ve için ve dir. Buradan,
olur.
Sonuç olarak üzerinde bir bulanık esnek topolojidir ve ailesi bulanık esnek noktasındaki Q-komşuluk ailesini oluşturur.
3.4. Bulanık Esnek Topolojik Uzaylarda Sürekli Fonksiyonlar ve Çarpım Topolojisi
Bu bölümde, bulanık esnek dönüşümün sürekliliğini tanıtıp bulanık esnek süreklilik için bazı denklikler verilmiştir. Daha sonra, bulanık esnek çarpım topolojisi kavramı verilerek projeksiyon dönüşümlerin bazı özellikleri incelenmiştir.
Tanım 3.4.1: ve iki bulanık esnek topolojik uzay olsun.
(1) bulanık esnek fonksiyonuna süreklidir denir :
için dir.
(2) bulanıkesnek fonksiyonuna açıktır denir : için dir.
Eğer ve sürekli ise bileşke fonksiyonu da süreklidir.
Gerçekten, her için
64
Örnek 3.4.2: Sabit bulanık esnek dönüşümlerin sürekli olması gerekmez. Örneğin, ve parametre kümesi için
esnek dönüşümü her için ve her için şeklinde tanımlansın.
olmak üzere olarak verilsin. ve benzer şekilde, . ve benzer şekilde, . ve benzer şekilde, olur.
Bu taktirde, olur. Böylece, sabit dönüşümü
sürekli değildir.
Teorem 3.4.3: ve Lowen anlamında iki bulanık esnek topolojik uzay olsun. Bu takdirde , sabit bulanık esnek dönüşümü süreklidir.
İspat: ve her için
.
65
Buradan olmak üzere ise ve
ise olur.
Teorem 3.4.4: ve iki bulanık esnek topolojik uzay ve
bulanık esnek dönüşüm olsun. Bu taktirde aşağıdakiler denktir: (1) süreklidir. (2) dür. (3) için dır. (4) için dır. (5) dir. İspat: (1) (2): Önerme 3.1.18 (9)’ dan kolaylıkla görülür. (2) (3): alalım.
ve buradan olur. Önerme 3.1.18 (4)’ den,
elde edilir.
(3) (4): alalım. (3)’ de ’ nın yerine yazarsak,
elde edilir Önerme 3.1.18 (3)’
den, olur.
(4) (5): alalım. ’ dir.
Teorem 3.2.11’ den ve Önerme 3.1.18 (9)’ dan
66
(5) (1): alalım. Bu taktirde, ’ dir. Hipotezden,
dir. Böylece,
olur. Buradan, açıktır. Sonuç
olarak, süreklidir.
Teorem 3.4.5: ve iki bulanık esnek topolojik uzay ve
bulanık esnek dönüşüm olsun. Bu taktirde aşağıdakiler denktir:
(1) süreklidir.
(2) için bulanık esnek noktasının her komşuluğunun altındaki ters görüntüsü ’ nın bir komşuluğudur.
(3) ve ’ nın her komşuluğu için olacak şekilde ’ nın bir komşuluğu vardır.
İspat: (1) (2) alalım. Komşuluk tanımından, olacak şekilde vardır. bulanık esnek dönüşümü sürekli olduğundan ve
olur.
(2) (3) olsun. Hipotezden, dır.
olarak alalım.
Buradan, = elde edilir.
(3) (1) olsun. olduğunu göstermeliyiz.