Temel Veri Zarflama Analizi Modelleri

Karşılaştırmalı etkinlik analizi için kullanılan VZA, matematiksel programlama prensipleri ile çalışan, aynı hizmeti gerçekleştiren karar birimleri arasında görece etkin olanlardan oluşan bir sınır belirleyerek, görece etkin çalışmayan karar birimlerinin performansını bu sınırdan uzaklıkları ölçüsünde ortaya koyabilen bir tekniktir.

Genel etkinlik formülü Çıktı/Girdi olduğu için bir karar biriminin etkinliğini artırmanın iki yolu vardır.

• Çıktılar sabit tutulurken, girdi miktarının azaltılması

• Girdiler sabit tutulurken, çıktı miktarının artırılması

Birinci yaklaşım literatürde Girdiye Yönelik (Input Oriented) olarak bilinmekte ikinci durum ise Çıktıya Yönelik (Output Oriented) olarak değerlendirilmektedir.

Girdiye yönelik VZA modelleri, belirli bir çıktı bileşimini en etkin şekilde üretebilmek amacıyla, kullanılacak en uygun girdi bileşiminin nasıl olması gerektiğini araştırır.

Çıktıya yönelik VZA modelleri ise, belirli bir girdi bileşimi ile en fazla ne kadar çıktı bileşimi elde edilebileceğini araştırır (Esenbel vd. , 2001).

VZA’ de Doğrusal Programlama Yaklaşımları

Ölçeğe göre değişken getiri Ölçeğe göre sabit getiri

Girdiye Yönelik

Yönlendirilmemiş

Çıktıya Yönelik Girdiye Yönelik

Yönlendirilmemiş

Çıktıya Yönelik

BCC Girdi

Toplamsal BCC Çıktı

CCR Girdi

Çarpımsal CCR

Çıktı

Geliştirilen modeller, etkin sınır tipleri açısından; ölçeğe göre sabit getirili model ve ölçeğe göre değişen getirili model olmak üzere iki sınıfta toplanabilir. Ölçeğe göre sabit getirili modelde, girdideki her artış çıktıda da aynı oranda görülmekteyken, ölçeğe göre değişken getirili modelde ise, girdideki her artış çıktıda farklı oranda görülmektedir (Karasoy, 2000).

Ölçeğe göre sabit getirili durumda etkinlik değerleri, girdi en küçüklemesine ve çıktı en büyüklemesine yönelik modellerde birbirine eşittir. Ölçeğe göre değişen getirili durumda ise etkin ve etkin olmayan karar verme birimleri aynı olmasına rağmen, girdiye ve çıktıya yönelik modellerde etkinlik değerleri farklılık gösterir. VZA’da doğrusal programlama yaklaşımları Şekil 2.1’de altında gruplanmıştır.

Şekil 2.1. VZA’da Doğrusal Programlama Yaklaşımı

Orijinal VZA matematiksel modeli Charnes vd. (1978) tarafından izleyen şekilde tanımlanmıştır (Boussofiane vd. , 1991; Haas ve Murphy, 2003).

j= 1, …, n Karar Verme Birimi (KVB) dizini, i= 1, …, m girdi dizini,

r= 1, …, s çıktı dizini,

eo= (KVB)0’nin göreli etkinliği,

xio= (KVB)0’nin i. girdisi, xij= j. KVB’nin i. girdisi, y_ro= (KVB)₀’nin r. çıktısı, y_rj= j. KVB’nin r. çıktısı, v_i= i. girdinin ağırlığı, u_r= r. çıktının ağırlığı, göstermek üzere amaç fonksiyonu;

∑

fonksiyonu (1.1), ağırlıklandırılmış toplam çıktıların, ağırlıklandırılmış toplam girdilerine oranının en büyüklenmesidir. Aynı ölçütün diğer karar birimleri açısından da 1’den küçük ya da 1’e eşit olması kısıtı (1.2) ile tanımlanmıştır. (1.3) kısıtında ise etkinlik ölçümünü gerçekleştiren analizci tarafından göz önüne alınan ağırlık değerlerinin (u_r, v_i) pozitif değer alması sağlanır. Model, her j karar birimi için çözülür ve her birim için bir etkinlik değeri elde edilir. Etkin karar birimi ağırlıkları, diğer karar birimleri de bu ağırlıkları kullandığında etkinlikleri 1 değerinin üzerine çıkmayacak şekilde seçilmelidir. Eğer e_o= 1 olarak hesaplanırsa, KVB diğer KVB’lerine göre en kuvvetli, yani en etkin; eğer eo < 1 olarak hesaplanırsa, KVB’nin diğerlerine göre daha az etkin olduğu söylenebilir. KVB etkin değilse belirlenmiş ağırlıklar ile etkin olan karar birimleri varsa bunlar incelenen birim için referans kümesini oluştururlar.

Bu modelin amaç fonksiyonu verimlilik kavramını yansıtmakta fakat doğrusal bir model olmadığı için çözüm sırasında bir takım güçlükler çıkarmaktadır. Charnes ve Cooper (1962)’ ın önerdiği dönüşüm yardımıyla oransal model doğrusal modele dönüştürülebilmektedir (Yolalan, 1993). Bu dönüşüm sonrasında elde edilen doğrusal model çıktı en büyüklemesi veya girdi en küçüklemesi için kullanılabilmektedir.

Bunlardan ilki bir karar birimi için çıktı etkinliğini ikincisi ise girdi etkinliğini hesaplar.

Tüm doğrusal programlarda olduğu gibi, her iki formülün de asıl ve ikil modeli vardır

(Yavuz, 2001). Uygulamada kullanılan Veri Zarflama Analizinin CCR ve BCC modelleri izleyen bölümde açıklanmaktadır.

2. 7. 1 CCR Modeli

CCR modeli, Charnes, Cooper ve Rhodes (1978) tarafından etkinlik fikri esas alınarak geliştirilen ilk ve temel VZA modelidir. CCR, birimin teknik etkinliğini ve ölçek etkinliğini tek bir değerde toplayarak toplam etkinliği hesaplar. Diğer bir deyişle ölçeğe göre sabit getiri varsayımı altında etkinliği toplam etkinlik olarak ölçmektedir.

Geliştirilmiş çeşitli modeller ortaya çıkmasına rağmen, CCR modeli günümüzde hala en çok kullanılan ve yaygın olarak tanınan bir modeldir (Kocakalay, 2003).

CCR modelinin girdiye yönelik olarak oluşturulan matematiksel gösterimi izleyen şekilde özetlenebilir (Norman ve Stoker, 1991; Seiford ve Zhu, 1999). Asıl modellerin yanında ikil modellerin ele alınmasındaki ana sebepler, asıl modele göre ikil problemin çözümünün daha az hesaplama gerektirmesi aynı zamanda ikil problemin çözümünde önemli ekonomik yorumları elde etme avantajıdır. VZA’ da ikil modeller, özellikle etkin olmayan birimlerin etkinliklerini arttırmak amacıyla, hedef girdi ve çıktı değerlerinin belirlenmesinde yarar sağlamaktadır.

VZA modeli önceki bölümde de anlatıldığı gibi oransal olarak tanımlanmıştır.

Ancak doğrusal programlama çözüm yöntemlerinin uygulanabilmesi için model,

∑

=

− = ^m

i ij ix v q

1

1 olarak tanımlandığında µ_r =qu_r ve w =_i qv_i dönüşümlerinden yararlanılarak doğrusallaştırılabilir. Çözümde, modelin asıl modelinden ya da ikil modelden yararlanılabilir. Asıl model s+m adet karar değişkeni ve her bir karar birimi için bir adet kısıt içermekte ve dolayısıyla ikil model s+m adet kısıt ve her bir karar birimi için bir adet karar değişkeni içermektedir. Genellikle kurulan modellerde s+m<n olduğundan, çözüm aşamasında daha az zaman alacağından dolayı ikil model tercih edilebilir. λ_j karar biriminin yoğunluk değerini göstermektedir. Problemin ikil modelinden hareketle çözümü işlem zamanı açısından çabukluk sağlamasının yanı sıra, elde edilen λ_j’lerin oluşturduğu çözüm kümesi kullanılarak incelenen jo karar biriminin

göreli etkinliği tespit edilebilir.

∑

ise ölçeğe göre azalan getiri,

∑

= n

j i 1

λ <1 ise ölçeğe göre artan getiri söz konusudur.

Girdiye yönelik CCR asıl ve ikil modeli izleyen şekilde tanımlanabilir.

Girdiye yönelik CCR modeli

Asıl Model İkil Model

Amaç fonksiyonu Amaç fonksiyonu

∑

= mevcuttur. Böylece etkinlik değeri 1 değerini aşamaz (Yavuz, 2001).

İkil modelde karar birimi ancak ve ancak etkinlik oranı θ değeri 1’e ve tüm aylak değişkenler sıfıra eşit ise göreli olarak etkin olarak tanımlanır. İkil modelde girdi veya çıktı üzerindeki ağırlıklar yerine karar birimleri üzerindeki ağırlıkları (λ_j) hesaplanmaktadır. Ayrıca ikil modelde ağırlıklar sıfıra eşit ya da büyük olmalıdır.

Çıktıya yönelik CCR modeli

Asıl Model İkil Model

Amaç fonksiyonu Amaç fonksiyonu

∑

= ilgilenilen KVB’nin girdilerinin ağırlıklı ortalaması 1’e eşitlenmiştir, böylece girdilerin ağırlıklı ortalaması en fazla 1 olabilir. Etkin olmayan, yani etkinlik sınırının altında

Ölçeğe göre sabit getiri durumunda etkinlik karşılaştırması, ortaya performansın daha düşük olduğu bir durum çıkarmaktadır. Çünkü karar biriminin 1 etkinlik değerine ulaşabilmesi için hem teknik etkinliğe, hem de ölçek etkinliğine sahip olması gerekmektedir. Ölçeğe göre değişen getiri durumunda ise, ölçek etkinliği olmayan bir birim eğer teknik etkinliğe sahipse “en iyi gözlem” olarak etkin sınırın üzerinde yer

alabilir. Sonuç olarak, aynı karar birimi için teknik etkinlik ölçüsünün, ölçeğe göre sabit getiri durumda, ölçeğe göre değişken duruma kıyasla daha düşük olduğu söylenebilir (Yavuz, 2001).

Girdiye ve çıktıya yönelik BCC modelleri izleyen şekilde tanımlanmıştır (Norman ve Stoker, 1991, Seiford ve Zhu, 1999).

Girdiye yönelik BCC modeli

Asıl Model İkil Model

Amaç fonksiyonu Amaç fonksiyonu

o

Dikkat edildiğinde modeller girdi yönlü CCR modellerine oldukça benzemektedirler. Modeldeki fark, λ_j’ların toplamının 1’e eşit olmasıdır. Asıl modele ise yeni bir değişken (c_o) eklenmiştir. Bu değişikliklerle etkinlik sınırının yapısı değişmiştir. CCR modelinde orijinden geçen etkinlik doğrusu BCC modelinde orijinden geçmek zorunda değildir. Bu yapısıyla BCC modeli CCR modelinden ayrılmaktadır. Bu da aynı karar birimi için teknik etkinlik ölçüsünün, ölçeğe göre sabit getiri durumunda, ölçeğe göre değişken getiri durumuna kıyasla daha düşük olduğu anlamına gelir. Modellerin diğer değişkenler açısından yorumunda ise bir farklılık olmamaktadır.

Çıktıya yönelik BCC modeli

Asıl Model İkil Model

Amaç fonksiyonu Amaç fonksiyonu

∑

=

λ

j’ların toplamı 1’e eşittir. Amaç ölçeğe göre sabit olmayan getiriyi sağlamaktır.

Belgede Türkiye’ deki Havaalanı Etkinliklerinin Veri Zarflama Analizi ile Değerlendirilmesi Barış Burak ULUTAŞ YÜKSEK LİSANS TEZİ Endüstri Mühendisliği Anabilim Dalı Mart 2006 (sayfa 25-32)