Bir Tecvid Kaidesi Olarak İdğâm

Esta solu¸c˜ao pode ser dividida em trˆes etapas. Inicialmente, cada canal RGB da imagem de textura colorida ´e mapeado para uma superf´ıcie tridimensional de modo semelhante ao que ocorre na estimativa da dimens˜ao de Bouligand-Minkowski convencional de texturas em tons de cinza. Em seguida, cada uma das trˆes superf´ıcies ´e dilatada compartilhando o mesmo espa¸co tridimensional, de forma que as estruturas dilatadas interferem-se mutuamente. Por fim, os descritores s˜ao obtidos pela concatena¸c˜ao dos valores de volume de dilata¸c˜ao em cada superf´ıcie.

A Figura 5.5 a seguir ilustra o processo de dilata¸c˜ao multicanal. Aqui, cada pixel ´e repre- sentado por uma esfera vermelha (intensidade R), verde (intensidade G) e azul (intensidade B). Nota-se que `a medida que a dilata¸c˜ao vai ocorrendo, as esferas coloridas se chocam e os volumes de cada canal v˜ao sendo distorcidos pela interferˆencia m´utua.

O m´etodo proposto combina informa¸c˜oes a respeito de duas das mais importantes ca- racter´ısticas de uma imagem de textura colorida, ou seja, a complexidade da distribui¸c˜ao de intensidades com a distribui¸c˜ao de cores dentro da imagem. Os primeiros raios de dilata¸c˜ao fornecem uma informa¸c˜ao mais precisa acerca da morfologia local dos pixels, enquanto os raios maiores, al´em de expressarem a complexidade em um n´ıvel mais global, ainda revelam dados importantes do posicionamento das cores dentro da imagem, uma vez que essa distribui¸c˜ao dita o padr˜ao de interferˆencia entre os canais. Assim, esses descritores se apresentam como uma ferramenta poderosa na representa¸c˜ao de texturas coloridas em diferentes aplica¸c˜oes.

5.6

Descritores Fractais em Segmenta¸c˜ao

O objetivo ´e automatizar o processo de identifica¸c˜ao de ´areas urbanas e rurais dentro da regi˜ao mapeada na imagem. Este ´e um problema importante e de grande desafio na ´area de planejamento urbano e arquitetura, uma vez que a delimita¸c˜ao dessas regi˜oes permite uma melhor compreens˜ao do crescimento de uma cidade ou pa´ıs, possibilitando a aplica¸c˜ao de medidas espec´ıficas para conter, por exemplo, o desmatamento ou o ˆexodo desproporcional de pessoas entre ´areas, al´em de, ao longo do tempo, fornecer uma ferramenta de an´alise do movimento hist´orico de uma determinada ´area.

(a) (b) (c) (d) (e)

(a) (b) (c) (d) (e)

(a) (b) (c) (d) (e)

(a) (b) (c) (d) (e)

Figura 5.5 – Aplica¸c˜ao dos descritores coloridos propostos sobre 4 imagens de texturas: (a) Imagem original; (b) r = 1; (c) r = 2; (d) r = 4; (e) r = 6.

5.7 Descritores por Janelas 95

multifractais (5, 98), entretanto, n˜ao se conhece nenhuma abordagem mais relevante baseada em descritores fractais.

Deste modo, a segmenta¸c˜ao em si ´e feita pela divis˜ao da imagem da ´area analisada em janelas (quadrados), variando-se o comprimento dos lados empiricamente. A seguir, para cada janela s˜ao extra´ıdos descritores fractais de Bouligand-Minkowski e tais descritores s˜ao submetidos a um classificador que vai identificar se aquela janela corresponde a uma regi˜ao urbana ou rural.

5.7

Descritores por Janelas

Um problema importante na Ciˆencia dos Materiais ´e identificar um material a partir de informa¸c˜oes colhidas do mesmo, por´em processado em situa¸c˜oes distintas (alterando a data do experimento, o equipamento, etc). Na maioria das vezes, o material ´e processado sob diferentes parˆametros experimentais, compondo um conjunto de treinamento, no qual cada amostra ´e uma imagem nanom´etrica do material e cada classe corresponde a um conjunto espec´ıfico de parˆametros. Em outro momento, este mesmo material ´e processado repetindo-se os parˆametros usados no treinamento e gerando-se replicatas do primeiro conjunto, replicatas estas que v˜ao compor o conjunto de teste. O classificador deve ser capaz de identificar a classe de cada amostra no conjunto de testes a partir dos dados do treinamento.

Ocorre que, entre o primeiro e o segundo experimento, s˜ao inseridas microvaria¸c˜oes exter- nas ao processo, que s˜ao capazes de gerar imagens totalmente distintas no aspecto morfol´ogico global nos dois conjuntos. Assim, os descritores extra´ıdos diretamente de cada amostra n˜ao se mostram uma abordagem interessante.

Deste modo, foi proposta uma abordagem que extrai os descritores fractais de janelas locais dentro das imagens. Inicialmente, cada imagem I : [M × N] → ℜ nos conjuntos de treinamento e teste ´e dividida em janelas menores Wi,j = I([i : i + l, j : j + 1]), com lado

de comprimento l. Em seguida, s˜ao calculados os descritores fractais (no caso de Bouligand- Minkowski) D_i,j(W ) para cada uma. Finalmente, s˜ao selecionados os descritores de pares de janelas (uma do treinamento, outra do teste) que apresentam as menores distˆancias Euclidianas entre si: D = {Di,j(W )|d(D (W ) i1,j1, D (W ) i2,j2) < τ }, (5.7.1)

vetores p1 = (x1, x2, x3, ..., xn) e p2 = (y1, y2, y3, ..., yn):

d(p1, p2) = p(x1 − y1)2+ (x2 − y2)2+ (x3− y3)2+ ...(xn− yn)2. (5.7.2)

Estes descritores s˜ao ent˜ao submetidos ao classificador, no caso, KNN, para obter a clas- sifica¸c˜ao do conjunto de testes. O diagrama na Figura 5.6 ilustra o processo.

TREINO TESTE

CLASSIFICADOR

JANELAS JANELAS

DESCRITORES DESCRITORES

Figura 5.6 – Diagrama ilustrando o processo de extra¸c˜ao dos descritores fractais da imagem na- nom´etrica por janelas.

5.8

Descritores Combinados

Por fim, uma abordagem que gerou excelentes resultados foi a combina¸c˜ao de descritores baseados em diferentes defini¸c˜oes de dimens˜ao fractal.

Desta forma, dado um descritor de n1 componentes, representado por um vetor n-

dimensional ~D1 = {x1, x2, ..., xn1}, e seja um segundo descritor para a mesma textura re-

presentado por ~D2 = {y1, y2, ..., yn1}. Um conjunto com m imagens de texturas pode ent˜ao

ser representado pela chamada matriz de caracter´ısticas da base de imagens, que possui, em cada linha, os descritores calculados para cada imagem. Assim, obt´em-se uma matriz M_m×n(1) ₁ para o descritor 1 e M_m×n(2) ₂ para o descritor 2.

5.8 Descritores Combinados 97

Para cada matriz, calcula-se ent˜ao a matriz de covariˆancia Σ, tal que: Σ(i, j) =

Pn

i=1(M (., i) − M(., i))(M(., j) − M(., j))

n − 1 , (5.8.1)

em que n ´e o n´umero de vari´aveis (colunas na matriz de caracter´ısticas), M (i, .) corresponde `a coluna i da matriz M e M (, i) expressa a m´edia do vetor-coluna.

Em seguida, s˜ao calculados os autovalores e autovetores correspondentes da matriz Σ. Um vetor e, diferente do vetor nulo, ´e um autovetor de Σ se:

Σe = λe, (5.8.2)

para algum valor real λ. λ ´e ent˜ao chamado de autovalor da matriz.

Os autovalores de Σ s˜ao ent˜ao ordenados decrescentemente λ1 ≥ λ2 ≥ ...λn e os auto-

vetores correspondentes e1, e2, ..., en s˜ao as colunas de uma matriz de transforma¸c˜ao linear

U .

Voltando `as matrizes de caracter´ısticas originais M(1) _{e M}(2)_{, elas s˜ao ent˜ao concatenadas}

horizontalmente formando a matriz M(C) _{, de modo que cada linha de M}(C) _{seja dada por}

x1, x2, xn1, y1, y2, ..., yn2. Em seguida, a matriz combinada ´e multiplicada pela transposta de

U . Assim, a matriz de descritores combinados ´e dada por:

D(C) = UTM(C). (5.8.3)

Na pr´atica, n˜ao s˜ao usados todos os descritores, mas apenas um pequeno conjunto deles mais relevante para cada aplica¸c˜ao espec´ıfica. Neste projeto, foram usados os 20 primeiros atributos de cada combina¸c˜ao, embora estrat´egias mais avan¸cadas possam ser usadas em casos mais complexos (104).

Pode-se usar ainda uma forma alternativa de se combinarem os descritores, na qual inici- almente a matriz de caracter´ısticas M ´e transformada da seguinte maneira:

˜

M = MinterMintra−1 , (5.8.4)

em que Mintra e Minter s˜ao, respectivamente, as matrizes inter e intraclasses. A matriz

intraclasse ´e dada por:

Sintra = K X i=1 X i∈Ci (X(i, .) − Ci)(X(i, .) − Ci)T, (5.8.5)

i-´esima linha (amostra) de M e Ci ´e um vetor-linha que representa a m´edia entre as linhas

(descritores) correspondentes a cada amostra na classe Ci. J´a a matriz interclasses ´e definida

por: Sinter = K X i=1 Ni(Ci− M)(Ci− M)T, (5.8.6)

em que Ni ´e o n´umero de amostras da i-´esima classe e novamente as m´edias representam

vetores-linha m´edios. Em situa¸c˜oes reais, estas matrizes podem ser estimadas a partir de um conjunto de texturas de treinamento.

Na pr´atica, as transforma¸c˜oes descritas s˜ao variantes da transformada de Karhunen-Lo`eve (115), que ser´a base tamb´em para a defini¸c˜ao da an´alise de componentes principais e canˆonica nas se¸c˜oes 6.2.3 e 6.2.4. Essas opera¸c˜oes desempenham o papel de decorrelacionar os dados originais, permitindo que os componentes sejam gerados em ordem decrescente de relevˆancia. A alta correla¸c˜ao entre dados surge naturalmente quando se junta um n´umero grande de descritores como no caso e o uso dos primeiros componentes ap´os a transforma¸c˜ao garante que apenas a informa¸c˜ao mais relevante seja expressa no resultado final.

Os descritores combinados possibilitam que abordagens t˜ao distintas quanto as baseadas na dimens˜ao de Lacunaridade e de Fourier forne¸cam informa¸c˜ao relevante para compor um novo descritor que junte caracter´ısticas discriminat´orias de ambos os m´etodos individuais. A partir de uma an´alise mais detalhada do tipo de informa¸c˜ao real¸cado por cada dimens˜ao, observa-se que elas expressam perspectivas diferentes da mesma textura, neste caso de exemplo, uma vis˜ao da morfologia espacial e da energia espectral da imagem. Assim, ´e esperado que a concatena¸c˜ao, seguida da transforma¸c˜ao linear aplicada, forne¸ca uma informa¸c˜ao mais ampla e descritiva de cada textura. Tal fato ´e constatado nos excelentes resultados obtidos na classifica¸c˜ao das texturas analisadas. A Figura 5.7 ilustra um caso em que os descritores combinados apresentam maior potencial do que os individuais. Neste exemplo, os descritores combinados s˜ao de Lacunaridade e Fourier. Nota-se que a curva dos 5 primeiros atributos para a combina¸c˜ao apresentou uma discrimina¸c˜ao visual para todos os atributos, fato que n˜ao ocorreu de forma t˜ao evidente para os descritores individuais.

5.9

Dimens˜ao Fractal

Este trabalho tamb´em desenvolveu um novo m´etodo para a estimava num´erica da di- mens˜ao fractal de contornos fechados.

5.9 Dimens˜ao Fractal 99 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 −2 −1 0 1 2 3 4 5 6 7 k D(k) Imagem 1 Imagem 2 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 −1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 k D(k) Imagem 1 Imagem 2 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 −4 −2 0 2 4 6 8 10 k D(k) Imagem 1 Imagem 2

Imagem 1

Lacunaridade

Fourier

Combinado

Imagem 2

Figura 5.7– Diagrama exemplificando o poder de discrimina¸c˜ao dos descritores fractais individuais (Fourier e Lacunaridade) e combinados.

Inicialmente, o contorno ´e parametrizado, gerando duas fun¸c˜oes (uma para cada coorde- nada no espa¸co bidimensional). Parte-se, ent˜ao, de um ponto inicial pr´e-definido e faz-se um percurso seguindo determinada dire¸c˜ao e, em cada passo t, anota-se a coordenada (x(t), y(t)) do ponto (80). Este processo ´e amplamente empregado em an´alise de formas e tem o papel de reduzir as redundˆancias inerentes `a representa¸c˜ao por imagem bin´aria.

No m´etodo proposto, as coordenadas parametrizadas s˜ao mapeadas ent˜ao para uma fun¸c˜ao c(t) no plano complexo:

c(t) = x(t) + iy(t), (5.9.1)

em que i ´e a constante imagin´aria. Em seguida, calcula-se a s´erie de Fourier da fun¸c˜ao de contorno c(t), gerando a fun¸c˜ao complexa C(u):

C(u) = T(c(t)) = Z +∞

−∞

C(t)e−2πitu_{dt, (5.9.2)}

em que u ´e a vari´avel de frequˆencia. De forma semelhante ao que ocorre no caso da dimens˜ao por Fourier de texturas, a dimens˜ao pode ser extra´ıda a partir do espectro de potˆencia P da transformada:

P = kC(u)k2, (5.9.3)

sendo k.k a norma em ℜ1.

Novamente, como ocorrido no caso de texturas, observa-se empiricamente que existe uma rela¸c˜ao exponencial entre a frequˆencia e o espectro e que o parˆametro desta rela¸c˜ao est´a linearmente relacionado `a dimens˜ao fractal D, isto ´e:

P ∝ uD. (5.9.4)

Equivalentemente, pode-se escrever:

D ∝ loguP. (5.9.5)

Esta express˜ao pode ser reescrita, usando-se propriedades b´asicas dos logaritmos por: D = k1

log(P )

log(u) + k2, (5.9.6)

sendo k1 e k2 apenas constantes de ajuste. O resultado deste quociente ´e tanto mais preciso

quanto menor o intervalo tomado no c´alculo num´erico: D = k1lim

h→0

log(P + h) − log(P )

log(u + h) − log(u) + k2. (5.9.7)

5.9 Dimens˜ao Fractal 101

rela¸c˜ao a log(u), que, por sua vez, na estimativa num´erica, pode ser obtida pelo coeficiente angular da curva log(P (u))×log(u) ajustada por uma reta, usando-se m´etodos como m´ınimos quadrados.

Empiricamente chega-se aos seguintes valores para as constantes: k1 = −

3 4; k2 =

1

4. (5.9.8)

Para garantir estabilidade na estimativa da dimens˜ao de fractais matem´aticos, os primeiros 10% dos pontos na curva log − log s˜ao descartados, uma vez que a informa¸c˜ao mais relevante nestes casos est´a armazenada nos detalhes da forma e os primeiros descritores apresentam um valor inst´avel para o coeficiente angular.

O m´etodo proposto ´e aplicado sobre fractais matem´aticos cuja dimens˜ao anal´ıtica ´e co- nhecida, tais como, conjunto de Mandelbrot e de Julia, Vicsek, Terdragon, etc. A Figura 5.8 mostra os conjuntos fractais usados. Os resultados s˜ao comparados com os valores da di- mens˜ao de Hausdorff-Besicovitch e de outras abordagens de dimens˜ao num´erica na literatura. S˜ao verificados tamb´em os resultados para os casos em que o fractal sofre transforma¸c˜oes geom´etricas b´asicas e ´e afetado por ru´ıdo.

De um modo geral, o novo m´etodo mostrou-se preciso, robusto a transforma¸c˜oes geom´etricas e substancialmente mais r´apido computacionalmente do que seus pares na literatura, conforme demonstrado nos experimentos a seguir.

Dragon