Osmanlı’da Kıraat Eğitim ve Öğretim Mekânları

Este cap´ıtulo trata de todos os m´etodos desenvolvidos durante este projeto de doutorado. Nele, s˜ao abordadas as novas estrat´egias usadas para a obten¸c˜ao de descritores fractais por transformada espa¸co-escala, tempo-frequˆencia, tempo-escala, ainda por an´alise de dados fun- cionais, al´em dos descritores fractais multin´ıveis. ´E descrito ainda um novo m´etodo para a estimativa da dimens˜ao fractal, al´em de um m´etodo de segmenta¸c˜ao baseado em descritores fractais e de uma metodologia baseada em janelas para a an´alise de imagens de dimens˜oes grandes como as obtidas em nanotecnologia.

5.1

Descritores Fractais

Como descrito no cap´ıtulo anterior, os descritores fractais fazem uso de toda a curva log − log de fractalidade da imagem analisada. Assim, em geral, para qualquer m´etodo de estimativa, a dimens˜ao fractal D ´e dada por:

D ∝ log(M)

log(ǫ) , (5.1.1)

em que M ´e algum tipo de medida de complexidade, seja no espa¸co ou no espectro de frequˆencias, e ǫ ´e o parˆametro de escala. O descritor u ´e dado ent˜ao por:

u : log(ǫ) → log(M). (5.1.2)

Deste modo, os atributos fornecidos pelos descritores fractais para a descri¸c˜ao de uma textura fornecem uma vis˜ao ampla a respeito daquele objeto, uma vez que expressam in- forma¸c˜oes de complexidade a respeito dos detalhes da imagem para valores pequenos de ǫ at´e caracter´ısticas globais expressas nos valores maiores do parˆametro de escala. Este conjunto de dados provˆe uma descri¸c˜ao robusta e precisa de imagens de cen´arios mais complexos em

que outras abordagens cl´assicas de an´alise de texturas falham, tornando poss´ıvel o desenvolvi- mento de metodologias que automatizem o processo de classifica¸c˜ao, descri¸c˜ao e segmenta¸c˜ao de objetos em problemas nos quais uma an´alise visual seria dispendiosa ou mesmo invi´avel.

Na Figura 5.1, s˜ao exemplificadas duas texturas que apresentam os mesmos valores para a dimens˜ao fractal e s˜ao dif´ıceis de serem distinguidas mesmo pelo olho humano e que, entre- tanto, possuem curvas de descritores fractais claramente diferenciadas. J´a a Figura 5.2 mostra texturas pertencentes a materiais (classes) distintos. Nota-se que as curvas dos descritores separam com clareza as duas classes.

0 10 20 30 40 50 60 0.97 0.975 0.98 0.985 0.99 0.995 1 k D(k) T1 T2 T1 T2

Figura 5.1 – Descritores fractais. `A esquerda, duas imagens de texturas que apresentam dimens˜oes fractais idˆenticas e s˜ao de dif´ıcil distin¸c˜ao mesmo a um ser humano. `A direita, os descritores fractais das respectivas imagens separando claramente as amostras.

Os descritores fractais, tais como definidos no cap´ıtulo anterior, foram propostos, tanto para formas (20), quanto para texturas (83), usando-se apenas a dimens˜ao de Bouligand- Minkowski. Em (82), os autores abordam o poss´ıvel uso de outras dimens˜oes mais cl´assicas, como Box-counting e Massa-raio, por´em de forma superficial e sem apresentar resultados relevantes.

Este projeto estuda os descritores fractais em profundidade na an´alise de texturas. Neste sentido, os descritores s˜ao estendidos para mais de uma dezena de m´etodos de estimativa de dimens˜ao fractal. A Figura 5.3 ilustra a curva de descritores obtida para cada m´etodo de dimens˜ao fractal discutido anteriormente. Este trabalho tamb´em prop˜oe uma nova forma de se extra´ırem os descritores, n˜ao mais a partir da imagem globalmente, mas dividindo-se esta imagem de modo recursivo e extraindo-se medidas estat´ısticas da rela¸c˜ao entre os descritores

5.1 Descritores Fractais 85

T

extura 2

T

extura 1

Figura 5.2– Discrimina¸c˜ao dos descritores fractais. (a) Texturas de dois materiais diferentes. (b) Descritores de cada textura representados em um mesmo gr´afico e ilustrando a se- para¸c˜ao entre as classes.

nos diferentes n´ıveis de recurs˜ao. Ainda outra forma explorada de descritores fractais ´e por meio da aplica¸c˜ao de diferentes transformadas sobre a curva log − log com o objetivo de real¸car diferentes aspectos desta curva. S˜ao usadas a transformada espa¸co-escala, tempo-frequˆencia, tempo-escala, al´em da an´alise de dados funcionais. Novos descritores fractais tamb´em s˜ao propostos para a an´alise de texturas coloridas. Uma primeira abordagem neste sentido baseia-se no uso de filtros EEE, uma transformada de natureza f´ısica proposta em (85). Outro m´etodo ´e uma extens˜ao do processo de dilata¸c˜ao morfol´ogica, por´em com as superf´ıcies que representam canais de cores crescendo concomitantemente. Por fim, desenvolve-se uma metodologia que combina descritores baseados em diferentes m´etodos de dimens˜ao fractal. As se¸c˜oes seguintes descrevem com maiores detalhes cada nova proposta.

5.2

Descritores Multin´ıveis

Nesta proposta, aqui chamada de Wavelike, a imagem de textura original ´e decomposta recursivamente em 4 partes. Em cada n´ıvel de decomposi¸c˜ao s˜ao obtidos os descritores de Bouligand-Minkowski para cada parte. A partir disso, s˜ao calculados os descritores m´edios e desvio-padr˜ao para cada n´ıvel. Os descritores finais s˜ao obtidos pelo c´alculo da entropia dos descritores m´edios e de desvio.

Parte-se ent˜ao de uma imagem I : [N × N] → ℜ. Esta ´e decomposta em lmax n´ıveis

{l|1 ≤ l ≤ lmax}, tal que lmax = ceil(log2(N )). Ent˜ao, em cada n´ıvel, a imagem ´e particionada

em regi˜oes Rljk:

Rljk = {x, y|(j − 1) ∗ 2l ≤ x ≤ (j) ∗ 2l, (k − 1) ∗ 2l ≤ x ≤ (k) ∗ 2l}. (5.2.1)

Para cada regi˜ao R, s˜ao obtidos os descritores de Bouligand-Minkowski Dljk. Para um n´ıvel

l, s˜ao obtidos os descritores m´edios DM

l e de desvio Dlσ: D_lM = P jkDljk 2l , (5.2.2) D_lσ =X(Dljk − DlM)2. (5.2.3)

A partir disso, a entropia de Shannon (59) ´e calculada sobre cada ´ındice i dos descritores de Bouligand-Minkowski m´edios em todos os n´ıveis, compondo o vetor ~ϕ(i):

~

ϕ(i) = [DM

5.2 Descritores Multin´ıveis 87