BÖLÜM 2: MOLLA MUHAMMED EMİN EFENDİ VE “LÂHİKA” ADLI
2.2. Molla Muhammed Emin Efendi’nin Lâhika Risâlesi
Assim, como os descritores de Fourier, os descritores de Gabor-wavelets (106) tamb´em s˜ao baseados na an´alise espectral da imagem.
Basicamente, o m´etodo consiste em aplicar filtros Gabor-wavelets bidimensionais sobre a imagem e calcular as energias dos resultados obtidos.
6.3 M´etodos de An´alise de Texturas 115
definido, respectivamente, por: g(x, y) = 1 2πσxσy e−0.5(x2/σ2x+y2/σy2)+2πjW x (6.3.5) G(u, v) = e−0.5 (u−W )2 σ2u + v2 σ2v , (6.3.6)
em que W ´e uma determinada frequˆencia e σu = 1/2πσx e σv = 1/2πσy.
Embora estes filtros sejam completos, eles ainda n˜ao s˜ao capazes de fornecer uma in- forma¸c˜ao localizada das frequˆencias. Para este fim, foram desenvolvidos os filtros de Gabor- wavelets, que agregam um parˆametro de escala m e de rota¸c˜ao θ. O novo filtro, denotado gmn ´e definido por:
gmn= a−mG(x′, y′), (6.3.7)
em que x′ = a−m(x cos(θ) + y sin(θ)) e y′ = a−m(−x cos(θ) + y sin(θ)), em que θ = nπ/K,
sendo K o n´umero de rota¸c˜oes aplicadas e S o n´umero de escalas analisadas.
Para a obten¸c˜ao dos descritores, a imagem de textura f (x, y) ´e convolu´ıda com os filtros gmn, obtendo as sa´ıdas rmn:
rmn = f (x, y) ∗ gmn(x, y). (6.3.8)
Em seguida para cada combina¸c˜ao (m, n), s˜ao calculadas as energias Emn:
Emn = 1 pq X u,v kRmn(u, v)k2, (6.3.9)
em que p e q s˜ao as dimens˜oes da imagem e Rmn(u, v) ´e a transformada de Fourier de
rmn(x, y).
Os valores de energia s˜ao concatenados para forma o vetor de caractert´ısticas nesta abor- dagem.
6.3.6
Laws
Outro m´etodo baseado em filtros e que alcan¸ca bons resultados em v´arias aplica¸c˜oes ´e o m´etodo de Laws (109).
representados pelas seguintes m´ascaras: L5 = [1, 4, 6, 4, 1] E5 = [−1, −2, 0, 2, 1] S5 = [−1, 0, 2, 0, −1] W 5 = [−1, 2, 0, −2, 1] R5 = [1, −4, 6, −4, 1] (6.3.10)
Estes vetores s˜ao multiplicados entre si, formando m´ascaras 5 × 5 e convolu´ıdos com a imagem f (x, y) original. Para cada convolu¸c˜ao, calcula-se a energia total da imagem obtida e esta energia ´e usada na composi¸c˜ao do vetor de caracter´ısticas.
6.3.7
Multifractal 1
Esta primeira abordagem de multifractais para descritores de texturas (98) faz uso do espectro multifractal obtido a partir da dimens˜ao de probabilidade.
Seja ent˜ao um conjunto S composto por N pontos no espa¸co. Este conjunto de pontos ´e dividido em caixas e define-se ent˜ao a probabilidade de massa da caixa i como sendo µi =
Ni/N , em que Ni ´e o n´umero de pontos de S que ficam delimitados pela caixa i. Em seguida,
define-se uma medida ponderada Md(q, δ) por:
Md(q, δ) = lim δ→0 X i µqiδd= lim δ→0N (q, δ)δ d. (6.3.11)
A medida Md vale 0, se d > τ (q) e vai para o infinito (diverge) quando d < τ (q). Na
pr´atica, os expoentes τ (q) controlam o quanto o q-´esimo momento de µi varia em rela¸c˜ao ao
parˆametro de escala δ. Assim, assumindo-se uma aproxima¸c˜ao para um valor pequeno de δ, vale: N (q, δ) =X i µqi ≈ δ−τ (q), (6.3.12) e, consequentemente: τ (q) = − lim δ→0 log(N (q, δ)) log(δ) . (6.3.13)
Para que o valor de τ (0) corresponda `a dimens˜ao topol´ogica do conjunto, pode-se ainda aplicar a seguinte normaliza¸c˜ao: D(q) = τ (q) 1 − q = 1 q − 1limδ→0 log(N (q, δ)) log(δ) . (6.3.14)
6.3 M´etodos de An´alise de Texturas 117
Os valores de D(q) formam o chamado espectro multifractal e s˜ao usados como descritores para a textura analisada.
6.3.8
Multifractal 2
Para este m´etodo, descrito em (78), define-se inicialmente uma medida Boreliana µ em ℜ2. Um exemplo de tal medida ´e a soma dos valores dos pixels em uma ´area espec´ıfica. Seja
ent˜ao µ(x, r) tomado sobre um ponto x ∈ ℜ2 com raio r:
µ(x, r) = krd(x)(x), (6.3.15)
em que d(x) ´e a fun¸c˜ao densidade da medida e k uma constante real. A fun¸c˜ao densidade ´e fornecida ent˜ao por:
d(x) = lim
r→0
log(µ(B(x, r)))
log(r) , (6.3.16)
em que B(x, r) ´e uma bola centrada em x com raio r.
Nesta metodologia, o espectro multifractal f (α) ´e definido ent˜ao por:
{f(α), α ∈ ℜ} = {dim(Eα) : α ∈ ℜ}, (6.3.17)
em que dim ´e a dimens˜ao fractal e Eα ´e o conjunto de categoriza¸c˜ao:
Eα = {x ∈ ℜ2 : d(x) = α}. (6.3.18)
O vetor de descritores ´e obtido dos valores de f (α), variando-se α dentro de um intervalo espec´ıfico. Em (78), s˜ao usadas diferentes medidas µ(B(x, r)) para tratar da invariˆancia `a ilumina¸c˜ao que a textura deve apresentar.
6.3.9
Multifractal 3
Estes descritores de textura baseados na teoria multifractal foram propostos em (77) e o m´etodo consiste em combinar a decomposi¸c˜ao multin´ıveis e transformada wavelets com o c´alculo do espectro multifractal.
de escala, gerando assim um canal de baixa frequˆencia DJ(I) e trˆes de alta frequˆencia Wk,j(I),
k = 1, 2, 3 e j = 1, ..., J.
Nesta abordagem multifractal, com o objetivo de criar um procedimento invariante a rota¸c˜ao, a imagem ´e rotacionada por um n´umero pr´e-definido de ˆangulos θ. Para cada valor de θ, define-se o chamado wavelet leader Lj0,θ, corespondendo `a m´axima resposta da trans-
formada em uma vizinhan¸ca espacial Ω de cada ponto r0 para escalas menores ou iguais a
j0: Lj0,θ(r0) = max j≤j0 max 1≤k≤3r∈Ω(rmax0)|W k,j,θ(r)|. (6.3.19)
No m´etodo descrito em (77), o epectro M F S ´e calculado para Dj,θ, Wk,j,θ e Lj,θ. Para
este c´alculo, o procedimento ´e idˆentico ao descrito na se¸c˜ao anterior.
Finalmente, os descritores W M F S s˜ao ent˜ao obtidos pela concatena¸c˜ao das m´edias dos espectros sobre os K valores usados para θ:
W M F S = {X θ M F S(DJ,θ)/K, X θ M F S(Wk,j,θ)/K, X θ M F S(Lj,θ)/K}. (6.3.20)
6.3.10
Histograma de Cores
Este ´e um m´etodo simples, mas que obt´em resultados interessantes em (110).
O primeiro passo ´e calcular um histograma unidimensional da imagem colorida. Usual- mente, estes histogramas s˜ao definidos em n dimens˜oes por pares b, c, em que b ´e um vetor com as n coordenadas do intervalo de classe e c, o n´umero de elementos naquele intervalo. Para imagens coloridas, o vetor b possui trˆes coordenadas, uma para cada canal. Entretanto, ´e poss´ıvel tornar este histograma unidimensional fazendo-se uma varredura da esquerda para a direita, de cima para baixo, no espa¸co n-dimensional e atribuindo-se um r´otulo a cada intervalo que possua algum elemento.
Considere-se ent˜ao uma base de treinamento com N classes e K imagens por classe. Cada imagem produz um histograma Hik(0 ≤ i < N, 0 ≤ k < K), representado pelo conjunto de
intervalos B e de contagens C:
Bik = {bik0, bik1, ..., bikMik−1}, (6.3.21)
6.3 M´etodos de An´alise de Texturas 119
A seguir, para cada classe i, define-se ent˜ao o histograma Hi pela intersec¸c˜ao dos histo-
gramas da classe:
Hi =
\
k
Hik. (6.3.23)
Este histograma tamb´em ´e definido pelos conjuntos B e C:
Bi = {bi0, bi1, ..., biMi−1}, (6.3.24)
Ci = {ci0, ci1, ..., ciMi−1} (6.3.25)
Para cada par bl, bm em Bi, com l < m, define-se ent˜ao o atributo de raz˜ao rlm por:
rlm = ((bl, bm), [rlmmin, rlmmax]), (6.3.26) em que: rlmmin = min 0≤k<K c(k)l c(k)m (6.3.27) rmaxlm = max 0≤k<K c(k)l c(k)m (6.3.28) Os descritores Ri em si s˜ao formados pelo conjunto de atributos de raz˜ao:
Ri = ((bl, bm), [rminlm , rlmmax]), 0 ≤ l < m < Mi. (6.3.29)