Tabakalı Rassal Örneklemede Sonlu Evren Ortalamasının Sağlam Kestiricileri Kestiricileri

Bu kısımda ele alınacak olan sağlam kestiriciler, trimmed ortalama, medyan, winsorize ortalama, TL-ortalama, (2.11) eşitliğinde simetrik aile için verilen MML, W24, BS82 ve Hodges-Lehmann kestiricileridir.

Süper evrenin dağılımı, (3.1)’de verilen uzun kuyruklu simetrik dağılımlar ailesinin bir üyesi olsun. Bu durumda tüm sağlam kestiricilerin MSE değeri, basit rassal örneklemede olduğu gibi genel olarak aşağıdaki gibi hesaplanabilir.

ˆRh

µ ; h’ıncı tabaka için sonlu evren ortalamasının sağlam kestiricisini göstermek üzere, tabakalı rassal örnekleme yönteminde sonlu evren ortalamasının sağlam kestiricisi,

olarak yazılabilir. Her tabaka diğerinden bağımsız olduğu için, her tabaka ayrı birer evren olarak düşünülebilir. Basit rassal örnekleme yönteminde olduğu gibi simetrik trimmed ve winsorize edilmiş ortalamalar ile diğer sağlam kestiriciler için

( )

^ˆRst

( )

N

E µ =E Y = olduğundan, ˆµ

Rst

µ sağlam kestiricisi tabakalı rassal örnekleme yönteminde sonlu evren ortalamasının yansız bir kestiricisidir. ˆ

Rst

µ sağlam kestiricilerinin MSE değeri,

72

biçiminde yazılabilir. Her tabaka diğerinden ayrık olduğu için,

(

1

) (

2

) ( )

gerekir. Her tabaka ayrı bir evren olarak düşünüldüğünde, bu değer basit rassal örnekleme yöntemi için elde edilen sonuçlardan,

(

^ˆ h

)

²

( )

^ˆ h ²

(

^ˆ h^,

)

²

olarak yazılabilir. (4.5) eşitliği tüm tabakalar için (4.4) eşitliğinde yerine yazılabilir.

Böylece ˆ

Rst

µ sağlam kestiricilerinin MSE değeri,

( )

^{2 2}2

( ) ( )

²

µ sağlam kestiricileri ile y EKK kestiricisinin karşılaştırılması için basit _st rassal örnekleme yönteminde olduğu gibi MSE kriteri kullanılacaktır. Tabakalı rassal örnekleme yönteminde tüm sağlam kestiricilerin MSE değerlerinin belirlenebilmesi için aşağıda gösterilen 4 farklı model oluşturulmuş ve bu modeller için MSE değerleri 10000 iterasyonluk Monte-Carlo simülasyonu yardımıyla belirlenmiştir. Elde edilen

73

sonuçlar Çizelge 4.1’de verilmiştir. Modeller oluşturulurken, her tabakanın farklı bir şekil parametresine sahip olması göz önünde bulundurulmuştur. Seçilen şekil parametre değerleri birbirine yakın ve uzak şekil parametreleri olacak şekilde belirlenmiştir.

Tabaka sayısı 2 ve 4 olarak alınmıştır. Örnekleme oranı n N_{h h} =0,10 ve 0,20 alınarak elde edilen sonuçlar benzerlik gösterdiğinden, çizelgelerde sadece n N_{h h} =0,10 örnekleme oranı için elde edilen sonuçlara yer verilmiştir.

Model-1: L=2 tabakanın, N N_h =0,50 olduğu durumda, birinci tabakanın p =2 ve ₁ ikinci tabakanın p =10 şekil parametresine sahip olduğu simetrik dağılımlı birer evren ₂ olması.

Model-2 L=2 tabakanın, N N_h =0,50 olduğu durumda, birinci tabakanın p =3, ikinci ₁ tabakanın p =5 şekil parametresine sahip olduğu simetrik dağılımlı birer evren olması. ₂

Model-3 L=4 tabakanın, N N_h =0, 25 olduğu durumda, birinci tabakanın p =2, ikinci ₁ tabakanın p =3, üçüncü tabakanın ₂ p =4, dördüncü tabakanın ₃ p =10 şekil ₄ parametresine sahip olduğu simetrik dağılımlı birer evren olması.

Model-4 L=4 tabakanın, N N_h =0, 25 olduğu durumda, birinci tabakanın p =2,5; ₁ ikinci tabakanın p =3,5; üçüncü tabakanın ₂ p =5, dördüncü tabakanın ₃ p =8 şekil ₄ parametresine sahip olduğu simetrik dağılımlı birer evren olması.

Oluşturulan 4 farklı model için elde edilen sonuçlara bakıldığında tüm n değerlerinde sadece MML ve Hodges-Lehmann kestiricilerinin EKK kestiricilerinden daha iyi sonuç verdiği görülmektedir. Ancak MML kestiricisinin Hodges-Lehmann kestiricisine göre daha etkin olduğu, örneklem hacmi arttıkça bu farkın azaldığı görülmektedir. Örneklem hacmi n>5 için W24, BS82, trimmed ortalama, winsorize ortalama ve TL ortalamanın EKK kestiricisinden daha etkin kestiriciler olduğu görülmektedir. Tüm örneklem hacimlerinde medyan, EKK kestiricisinden daha kötü sonuç vermektedir.

74

Birbirine uzak iki şekil parametresi için elde edilen oransal etkinlik değerleri, birbirine yakın olan iki şekil parametresi için elde edilen oransal etkinlik değerlerinden daha küçüktür. Tabakalı örnekleme yönteminde, tabakaların kendi aralarında olabildiğince farklı olması istenir. Elde edilen bu sonuç, tabakaların doğru bir şekilde oluşturulması halinde, sağlam kestiricilerin EKK kestiricilerine olan oransal etkinliklerinin daha da artacağını göstermektedir.

Tabaka sayısı arttıkça tüm kestiricilerin MSE değerleri benzer şekilde azalmaktadır. Buna bağlı olarak elde edilen oransal etkinlik değerleri ise çok fazla değişmemektedir.

Tüm bu sonuçlar bir arada değerlendirildiğinde tabakalı rassal örnekleme yönteminde sonlu evren ortalamasının en etkin kestiricisinin MML kestiricisi olduğu, bunu Hodges-Lehmann kestiricisinin izlediği görülmektedir. Uygulamada karşılaşılabilecek farklı durumları yansıtması açısından oluşturulan bu modeller doğrultusunda, süper evrenin simetrik dağılıma sahip olduğu durumlar için en etkin kestiricinin MML kestiricisi olduğu belirlenmiştir.

75

Çizelge 4.1. Uzun kuyruklu simetrik dağılım için tabakalı örnekleme sonuçları (n N_{h h}=0,10)

Model 1: L=2 tabaka, p =2 ve ₁ p =10, ₂ N N_h =0,50

5 10 15 20 Kestiriciler MSE RE MSE RE MSE RE MSE RE

EKK 0,09000 100,00 0,04500 100,00 0,03000 100,00 0,02250 100,00 Medyan 0,09664 107,38 0,04478 99,51 0,03234 107,78 0,02340 104,01 Trim(0.1;0.1) 0,09000 100,00 0,03702 82,27 0,02479 82,64 0,01821 80,93 Win(0.1;0.1) 0,09000 100,00 0,03842 85,37 0,02605 86,83 0,01900 84,45 TL(0.1) 0,09000 100,00 0,03695 82,11 0,02438 81,28 0,01869 83,06 MML 0,07451 82,79 0,03598 79,95 0,02382 79,39 0,01778 79,00 W24 0,08425 93,61 0,03798 84,39 0,02497 83,23 0,01837 81,65 BS82 0,08445 93,84 0,03804 84,53 0,02501 83,38 0,01839 81,72 HL 0,07975 88,61 0,03727 82,82 0,02450 81,65 0,01817 80,78

Model 2: L=2 tabaka, p₁=3 ve p₂=5, N N_h =0,50

EKK 0,09000 100,00 0,04500 100,00 0,03000 100,00 0,02250 100,00 Medyan 0,10703 118,92 0,04967 110,37 0,03624 120,79 0,02622 116,53 Trim(0.1;0.1) 0,09000 100,00 0,04109 91,31 0,02718 90,59 0,02023 89,91 Win(0.1;0.1) 0,09000 100,00 0,04238 94,18 0,02826 94,18 0,02098 93,25 TL(0.1) 0,09000 100,00 0,04112 91,37 0,02695 89,84 0,02086 92,71 MML 0,08332 92,58 0,04064 90,31 0,02672 89,07 0,02007 89,18 W24 0,09182 102,02 0,04238 94,17 0,02773 92,42 0,02059 91,51 BS82 0,09200 102,22 0,04245 94,33 0,02777 92,56 0,02061 91,60 HL 0,08631 95,90 0,04175 92,77 0,02718 90,61 0,02039 90,64

Model 3: L=4 tabaka, p₁=2, p₂=3, p₃=4, p₄=10, N N_h =0,25

EKK 0,04500 100,00 0,02250 100,00 0,01500 100,00 0,01125 100,00 Medyan 0,05000 111,12 0,02325 103,34 0,01693 112,86 0,01220 108,48 Trim(0.1;0.1) 0,04500 100,00 0,01935 85,99 0,01292 86,12 0,00952 84,58 Win(0.1;0.1) 0,04500 100,00 0,02007 89,21 0,01354 90,25 0,00994 88,38 TL(0.1) 0,04500 100,00 0,01929 85,75 0,01272 84,80 0,00974 86,58 MML 0,03914 86,98 0,01898 84,37 0,01255 83,69 0,00937 83,31 W24 0,04350 96,67 0,01989 88,41 0,01310 87,33 0,00965 85,76 BS82 0,04360 96,88 0,01992 88,55 0,01312 87,46 0,00965 85,82 HL 0,04113 91,41 0,01953 86,79 0,01283 85,56 0,00954 84,76

Model 4: L=4 tabaka, p₁=2,5; p₂=3,5; p₃=5, p₄=8, N N_h =0,25

EKK 0,04500 100,00 0,02250 100,00 0,01500 100,00 0,01125 100,00 Medyan 0,05398 119,96 0,02520 112,02 0,01835 122,36 0,01320 117,36 Trim(0.1;0.1) 0,04500 100,00 0,02048 91,01 0,01356 90,40 0,01009 89,71 Win (0.1;0.1) 0,04500 100,00 0,02107 93,63 0,01407 93,80 0,01042 92,63 TL(0.1) 0,04500 100,00 0,02057 91,43 0,01351 90,07 0,01045 92,85 MML 0,04163 92,52 0,02016 89,62 0,01332 88,83 0,00995 88,46 W24 0,04635 102,99 0,02111 93,84 0,01385 92,32 0,01025 91,12 BS82 0,04646 103,24 0,02115 93,99 0,01387 92,49 0,01026 91,23 HL 0,04345 96,56 0,02080 92,45 0,01362 90,81 0,01015 90,27

76

4.2. Genelleştirilmiş Lojistik Dağılım

Bu kısımda süper evrenin (3.17) eşitliğinde verilen genelleştirilmiş lojistik dağılıma sahip olması durumunda tabakalı rassal örnekleme için sonlu evren modunun EKK ve sağlam kestiricileri üzerinde durulacaktır. Bölüm 3’te süper evrenin genelleştirilmiş lojistik dağılıma sahip olması halinde σ ’nın bilindiği ve bilinmediği durum başlıkları altında incelenen kestiriciler, burada sadece σ ’nın bilindiği durum için ele alınacaktır. Tabakalı örneklemede her tabaka diğerinden bağımsız olduğundan ve her tabakadan basit rassal örnekleme yoluyla örneklem seçildiğinden, σ_h’ın bilinmediği durumda herhangi bir tabaka için σ_h’ın kestirimi, kısım 3.3.4’deki gibi yapılabilir.

Daha sonra bu kestirim yardımıyla σ_h’ın bilindiği durumdaki gibi işlemlere devam edilir. Bu nedenle çalışmanın bu kısmında sadece σ_h’ın bilindiği durum gözönünde bulundurularak, sonlu evren modunun EKK ve sağlam kestiricileri MSE kriteri bakımından karşılaştırılacaktır.

Belgede Sağlam Kestiricilerin Etkinliklerinin Farklı Örnekleme Yöntemleri için Karşılaştırılması ve Uygulaması Arzu Altın DOKTORA TEZİ İstatistik Anabilim Dalı Ekim 2007 (sayfa 88-93)