Üç Aşamalı Küme Örneklemesi

Kısım 5.1.1.’de verilen iki aşamalı küme örneklemesine benzer olarak üç aşamalı küme örneklemesinde, nihai örnekleme üçüncü aşamanın sonunda ulaşılır.

Evren ilk aşamada kendi içlerinde heterojen, fakat kendi aralarında homojen olan L adet kümeye (BÖB) ayrılır. Bu kümelerden rassal olarak l tane küme seçilir. İkinci aşamada seçilen l tane küme tekrar kendi içlerinde heterojen, fakat kendi aralarında homojen olan K tane alt kümeye (İÖB) ayrılır. Oluşturulan K tane kümeden basit rassal örnekleme yöntemiyle daha az sayıda küme seçilir. Son aşamada seçilen k tane ikincil örnekleme birimlerinden basit rassal örneklemler alınmasıyla incelenecek olan nihai örnekleme birimlerine (üçüncül örnekleme birimlerine) ulaşılır. Bu durum Şekil 5.2’de kısaca özetlenmiştir.

113

Üç aşamalı küme örneklemesi için evren toplamının kestiricileri iki aşamalı küme örneklemesi durumuna benzer biçimde belirlenebilir.

5.1.2.1. Süper evrenin simetrik dağılıma sahip olması durumunda sonlu evren parametrelerinin EKK kestiricileri

Bu kısımda süper evrenin (3.1) eşitliğinde verilen simetrik ailenin bir elemanı olduğu varsayılarak, evren toplamının EKK kestiricisi, bu kestiricinin beklenen değeri ve varyansı üç aşamalı küme örneklemesi için verilecektir.

i’nci BÖB’nin j’nci İÖB’den seçilen örneklemin ortalaması,

1

1 ^nij

ij ijt

ij t

y y

n ₌

=

∑

N1 N₂ N ₃ . . . N_L

N1 N ₃

1 11 2 ... _k n =n + +n +n

N11 ... N _{1k N21} ... N _2k

2 21 22 ... 2_k

n =n +n + +n

1 2

n n= +n

L tane kümeden (BÖB)

l tane küme rassal olarak seçiliyor ve seçilen kümeler K tane alt kümeye

ayrılıyor. (İÖB)

K tane kümeden k tane küme rassal olarak seçiliyor.

Seçilen k tane kümeden rassal örneklemler seçiliyor.

(ÜÖB)

Şekil 5.2. Üç Aşamalı Küme Örneklemesi

114

i’nci BÖB’den seçilen j’nci İÖB’nin toplamının kestirimi, ˆY_ij =N y_{ij ij}

i’nci BÖB toplamının kestiricisi,

1 1

olarak ifade edildiğinde üç aşamalı küme örneklemesinde sonlu evren toplamının EKK kestiricisi,

biçiminde yazılır. (5.20) eşitliğinde verilen ˆY EKK kestiricisinin yansızlığı iki aşamalı küme örneklemesi durumundaki gibi elde edilir. Sadece üç aşamalı küme örneklemesinde üç kez beklenen değer alınması gerekir.

( )

1 1 1 EKK kestiricisi Y evren toplamı için yansız bir kestiricidir. (5.20) eşitliğinde verilen üç aşamalı küme örneklemesi için evren toplamının EKK kestiricisinin varyansı iki tane iki aşamalı küme örneklemesi mantığıyla elde edilir. İlk aşamada birincil örnekleme birimlerinden ikincil örnekleme birimlerinin seçilmesi durumu ele alınır. Bu durum, iki aşamalı bir küme örneklemesidir. Benzer şekilde ikincil örnekleme birimlerinden, üçüncül (nihai) örnekleme birimlerinin seçilmesi durumu da iki aşamalı bir küme örneklemesi durumudur. (5.14) eşitliğinde verilen varyans formülü birincil örnekleme birimlerinden ikincil örnekleme birimlerinin seçilmesi durumuna uyarlandığında,

2 2

115

elde edilir. Benzer biçimde (5.14) eşitliği, ikincil örnekleme birimlerinden üçüncül örnekleme birimlerinin seçilmesi durumuna uygulandığında,

2 2

elde edilir. (5.21) ve (5.22) ifadeleri birleştirildiğinde üç aşamalı küme örneklemesinde sonlu evren toplamının EKK kestiricisi ˆY ’nın varyansı aşağıdaki gibi elde edilir.

( )

^{2 2 2 2}

5.1.2.2. Süper evrenin simetrik dağılıma sahip olması durumunda sonlu evren parametrelerinin MML kestiricileri

Bu kısımda üç aşamalı küme örneklemesi için evren toplamının MML kestiricileri ele alınacaktır.

i’nci BÖB’nin j’nci İÖB’den seçilen örneklemin ortalaması,

1

i’nci BÖB’den seçilen j’nci İÖB’nin toplamının kestirimi, ^{ˆ ˆ}ˆ

ij ij MMLij

Y =N µ

i’nci BÖB toplamının kestiricisi,

1 1

116

olarak ifade edildiğinde evren toplamının MML kestiricileri,

1 1 1

şeklinde yazılır. (5.24) eşitliğinde verilen Y^ˆ_MML MML kestiricisinin yansızlığı iki aşamalı küme örneklemesinden kolayca gösterilebilir.

( )

1 1 1

(5.24) eşitliğinde verilen üç aşamalı küme örneklemesi için evren toplamının MML kestiricilerinin varyansı, EKK kestiricisinin varyansına benzer biçimde aşağıdaki gibi elde edilir. (5.14) eşitliğinde verilen varyans formülü birincil örnekleme birimlerinden ikincil örnekleme birimlerinin seçilmesi durumuna uyarlandığında,

2

elde edilir. Benzer biçimde (5.17) eşitliği, ikincil örnekleme birimlerinden üçüncül örnekleme birimlerinin seçilmesi durumuna uygulandığında,

( ) ( )

^{2 2}

elde edilir. (5.25) ve (5.26) ifadeleri birleştirildiğinde üç aşamalı küme örneklemesinde sonlu evren toplamının MML kestiricisi Y^ˆ_MML’nın varyansı aşağıdaki gibi elde edilir.

117

Üç aşamalı küme örneklemesi durumunda sonlu evren toplamının en etkin kestiricisi varyans değerlerinin karşılaştırılması ile belirlenebilir. İzleyen bölümde MML dışındaki diğer sağlam kestiricilerin varyans değerleri elde edilerek, EKK ve MML kestiricileri ile karşılaştırılacaktır.

5.1.2.3. Süper evrenin simetrik dağılıma sahip olması durumunda sonlu evren parametrelerinin sağlam kestiricileri

Üç aşamalı küme örneklemesi için evren toplamının MML dışındaki diğer sağlam kestiricileri aşağıdaki gibi tanımlanabilir.

i’nci BÖB’nin j’nci İÖB’den seçilen örneklemin ortalaması,

1

∑

= olmak üzere, i’nci BÖB’den seçilen j’nci İÖB’nin toplamının kestirimi,

ˆ ˆˆ

ij ij Rij

Y =N µ

şeklindedir. i’nci BÖB toplamının kestiricisi,

1 1

olarak ifade edildiğinde evren toplamının sağlam kestiricileri,

1 1 1

118

şeklinde yazılır. (5.28) eşitliğinde verilen Y^ˆ_R sağlam kestiricisinin yansızlığı, (5.18) de verilen iki aşamalı küme örneklemesi için geçerli olan durumdan kolayca gösterilebilir.

( )

1 1 1

(5.28) eşitliğinde verilen üç aşamalı küme örneklemesi için evren toplamının MML dışındaki sağlam kestiricilerinin varyansı, EKK ve MML kestiricilerinin varyanslarına benzer biçimde aşağıdaki gibi elde edilir. (5.14) eşitliğinde verilen varyans formülü birincil örnekleme birimlerinden ikincil örnekleme birimlerinin seçilmesi durumuna, uygulandığında (5.29) eşitliği elde edilir.

2 2

(5.19) eşitliğinde verilen varyans formülü de ikincil örnekleme birimlerinden üçüncül örnekleme birimlerinin seçilmesi durumuna uygulandığında,

( ) ( )

^{2 2}

elde edilir. (5.29) ve (5.30) ifadeleri birleştirildiğinde üç aşamalı küme örneklemesinde sonlu evren toplamının MML dışındaki diğer sağlam kestiricilerinin varyansı aşağıdaki gibi elde edilir.

119

Üç aşamalı küme örneklemesi durumunda sonlu evren toplamının tüm kestiricileri iki aşamalı küme örneklemesinde olduğu gibi yansızdır. Bu nedenle en etkin kestiricinin belirlenebilmesi için varyans değerlerinin karşılaştırılması gerekir. İki aşamalı küme örneklemesi için elde edilen sonuçların, üç aşamalı küme örneklemesi içinde geçerli olacağı (5.23), (5.27) ve (5.31) eşitliklerinden kolayca görülebilir. Üç aşamalı küme örneklemesi durumunda da sonlu evren toplamının en etkin kestiricisi MML kestiricisidir ve EKK kestiricisi etkinliğini bir çok durumda kaybetmektedir.

Belgede Sağlam Kestiricilerin Etkinliklerinin Farklı Örnekleme Yöntemleri için Karşılaştırılması ve Uygulaması Arzu Altın DOKTORA TEZİ İstatistik Anabilim Dalı Ekim 2007 (sayfa 129-136)