Standart Lojistik Harita Sistemi

Standart Lojistik harita (SLH), kaotik davranıĢın gözlemlenebildiği en basit ayrık zamanlı sistemlerden biridir. Bir boyutlu olan bu harita, doğrusal olmayan dinamik sistemlerde incelenen kaos teorisinin temelini oluĢturur ve bu alanda sıkça kullanılan genel bir örnektir. Bu sistem, Denklem (3.9)‟ daki gibi tekrarlı bir denklem ile tanımlanır [78].

1

. (1

)







n n n

x

r x

x

(3.9)

Burada r sistemin kontrol parametresidir ve tanım aralığı r(0, 4



Ģeklindedir.Denklemde verilen x_n sistemin durum değiĢkenini gösterirken; x_n1 ise bir sonraki çıkıĢ değerini ifade eder. Sistemin durum değiĢkeni, x_n(0,1) olarak tanımlıdır ve reel bir değere sahiptir. Sistemin mevcut çıktısı x_n1, bir önceki x_{n değerine bağlı olmakla beraber sistemden elde} edilen tüm seriler de sistemin baĢlangıç değeri olan x0‟ a bağlıdır. Bu ifade Denklem

(3.10)‟ da gösterildiği gibi özetlenebilir.

1 0

( _) ( )

  n

n n

x f x f x (3.10)

Burada xn, x0‟ ın n. iterasyonu olup, tüm iterasyonların kümesi ise fonksiyonun haritası

olarak adlandırılmaktadır. Dolayısıyla belirli bir baĢlangıç değeri ve kontrol parametresi ile bir

 

x_n _n1 serisi hesaplanabilir ve seride oluĢan bu tekrarlı çözümler, sistemin yörüngesi olarak ifade edilmektedir.

Bir sistemin aynı baĢlangıç değeri ile tamamen benzer bir davranıĢ sergileyerek aynı son durumuna ulaĢması bu sistemin deterministik yapıya sahip olmasıyla açıklanır. Ancak baĢlangıç değerinde çok küçük bir değiĢimin sistemde çok farklı bir son durum yaratması,

30

sistemdeki kaos varlığı ile açıklanmakta ve deterministik kaos kavramını oluĢturmaktadır. Bu anlamda SLH, kaos içeren deterministik bir sistem olarak da yorumlanabilir.

SLH sistemi, esasen sınırlı kaynaklara sahip olan bir büyüme artıĢ modelini temsil etmesine [79] karĢın bu sistem, kaos teorisi içerisinde yeni fikirlerin ortaya çıkmasında özellikle kaosun kriptografi uygulamalarına yönelik çalıĢmalarında yararlı bir model olmaya devam etmektedir [80]. Bunda sistemin hem yazılım hem de donanım ortamında tasarımının kolay oluĢu ve sadece basit aritmetik iĢlemlerle gerçekleĢtirilmesinin rolü büyüktür. Bunun yanında sistemin kaos durumunda rastgele benzeri bir davranıĢ sergilemesi ve uzun dönemde sistem durumunun öngörülemez oluĢu, bu haritanın kripto sistemlerde sözde-rastgele anahtar üreteci olarak kullanılmasına olanak sağlamaktadır. SLH özellikle kaos tabanlı görüntü Ģifrelemede sıkça kullanılmıĢtır [24, 72, 76, 81-85].

SLH basit bir matematiksel denkleme sahip olmasına rağmen kontrol parametresine bağlı olarak farklı davranıĢlar sergileyebilmektedir. Bu dinamik davranıĢlar değiĢken r parametresi için, 0 r 3 iken sistemin son durumu durağan ve 3 r 3.57 durumunda ise periyodik salınım Ģeklindedir. Kontrol parametresi 3.57 r 4 durumunda ise sistem davranıĢı karmaĢık bir kaotik yapıya dönüĢürken xn serileri düzensiz bir hal alır ve sistem baĢlangıç değerine karĢı aĢırı duyarlı olur. Bu durumda seriler, sınırlı bir aralıkta olmasına rağmen periyodik olmayan sözde-rastgele özelliktedir ve herhangi bir iterasyondan sonra yakınsamazlar. SLH sisteminden farklı r _{değerleriyle elde edilen 10,000 serinin histogram} dağılımı ġekil 3.5‟ de verilmiĢtir.

31

(a) (b)

(c) (d)

ġekil 3.5SLH sisteminde farklı r değerleriyle üretilmiĢ serilerin dağılımları; (a) r2.5, (b) r3.2, (c) r3.9, (d) r4

Kontrol parametresi r2.5 iken sistemin sabit davranıĢ sergilediği ġekil 3.5(a)‟ da; 3.2



r durumunda sistemin belli değerler arasında salınım yaparak periyodik bir davranıĢ oluĢturduğu ġekil 3.5(b)‟ de gösterilmektedir. ġekil 3.5(c)‟ de ise sistem kaos durumunda olmasına rağmen x_n değerleri (0,1) aralığında tam olarak düzenli bir Ģekilde dağılmamıĢtır. Grafik sonuçlarından açıkça görüldüğü gibi kontrol parametresi, r4

durumunda sistem mükemmel kaotik davranıĢ sergilemekte ve çıkıĢ değerleri (0,1) aralığının tamamında simetrik biçimde dağılmaktadır. ġekil 3.6‟ da ise sistemin farklı kontrol parametrelerindeki yörüngesi verilmiĢtir. SLH sisteminde sergilenen durağan, periyodik ve karmaĢık davranıĢ biçimleri sırasıyla ġekil 3.6(a), ġekil 3.6(b) ve ġekil 3.6(c)‟ de gösterilmiĢtir.

(a) (b) (c)

32

Kaotik bir sistemin en belirgin tanımlayıcı özelliği baĢlangıç koĢullarına olan hassas duyarlılığıdır. SLH‟ de değerce birbirine çok yakın iki baĢlangıç değeri x00.12345678 ve

0` 0.12345679

x  seçilerek iki kaotik seri elde ediliyor. Daha sonra bu serilerin oluĢturduğu yörüngelerin tamamen farklı olduğu ve zamanla birbirinden uzaklaĢtığı durum ġekil 3.7‟ de grafiksel olarak gösterilmiĢtir.

ġekil 3.7 SLH sisteminin baĢlangıç değerine olan duyarlılığı

Doğrusal olmayan dinamik bir sistemde, birbirine çok yakın olarak baĢlayan iki yörünge artan zaman ile birlikte birbirinden çok fazla sapıyorsa bu sistem kaotik olarak adlandırılır. Bu yakın yörüngelerin zamanla birbirlerinden ayrıldığı oran, Lyapunov üsteli adı verilen bir değer ile karakterize edilmektedir. Lojistik harita sisteminde, xn1f x r( n; )

için Lyapunov üsteli , birbirine çok yakın iki farklı baĢlangıç değeri ile x0 ve x00

gerçekleĢtiğinde, n iterasyon sonunda bu iki nokta arasındaki uzaklaĢma yaklaĢık olarak

0

n

n e



   denklemi ile ifade edilir. Daha açık bir Ģekilde, her iki tarafın doğal logaritması alındığında, 0 0 0 0 0 ( ) ( ) 1 1 ln ln n n n f x f x n n          (3.11)

Denklem (3.11) elde edilir ve çok küçük ₀ değerleri için logaritma içerisindeki kalan terim düzenlenirse, 1 1 0 0 1 1 ln '( ) ln '( ) n n i i i i f x f x n n      







(3.12)

33

Denklem (3.12)‟ de verilen ifade bulunur. Sonuç olarak n  durumu için, ayrık zamanlı sistemlerde Lyapunov üsteli Denklem (3.13)‟ deki gibi hesaplanır.

1 0 1 lim ln '( ) n i n i f x n    _ 



(3.13)

Burada, 0 ise komĢu yörüngeler birbirinden üstel olarak ayrılır ki bu durum kaos dinamiğine karĢılık gelmektedir. Diğer bir yandan yörüngeler sabit bir noktaya veya limit döngüsüne doğru yakınsıyor ise 0 olur. Dolayısıyla, bir sistemin kaotik durumda olup olmadığı, Lyapunov üstelinin iĢareti ile belirlenebilir. Sistemin  değerinin, r parametresine göre grafiksel gösterimi Lyapunov spektrumunda verilir. SLH sisteminin Lyapunov spektrumu ġekil 3.8‟ de verilmiĢtir.

ġekil 3.8 SLH sisteminin Lyapunov spektrumu

Lyapunov grafiğinden görülebildiği gibi kontrol parametresinin r



3.57, 4



aralığındaki çoğu değerinde sistem kaotik durumdadır ve  değeri pozitiftir. Sistemin sabit veya periyodik davranıĢ sergilediği durumda ise  değeri negatiftir. Dinamik bir sistemin sabit bir noktadan kaotik durumuna kadar olan tüm davranıĢlarının, değiĢken kontrol parametresine göre gözlemlenmesi çatallaĢma (Bifurcation) diyagramı olarak adlandırılan grafikte verilir. ÇatallaĢma diyagramı sistem davranıĢının analizi için kullanılır ve sistemin dinamik durumu hakkında bilgi verir. SLH sistemine ait çatallaĢma diyagramı ġekil 3.9‟ da gösterilmiĢtir. 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 -8 -6 -4 -2 0 2 r ly a p u n o v

34

ġekil 3.9 SLH sisteminin çatallaĢma diyagramı

ÇatallaĢma diyagramından görüldüğü gibi kontrol parametresi 0 değerine doğru yaklaĢtıkça sistem durağan bir yapıya; 4‟ e doğru yakınlaĢtıkça karmaĢık bir yapıya dönüĢmektedir. Ayrıca grafikte r[3.57, 4] için sistemdeki x_n serileri bu bölgede düzensiz bir Ģekilde dağılmaktadır. Bu tanım aralığındaki çoğu değerde SLH sistemi kaotik davranıĢ sergilemektedir ancak belli bazı noktalarda, örneğin r3.83 gibi sistemin Lyapunov üsteli ġekil 3.8‟ de görüldüğü gibi negatif olmakta ve bu noktada sistem kaos özelliği taĢımamaktadır. Sistemin çatallaĢma diyagramından da kolayca görülebilen bu kısım literatürde açık bölge (blank zone) olarak adlandırılmaktadır [86]. Sonuç olarak kontrol parametresi, r[3.57, 4] _{aralığında olsa bile tüm} r değerleri altında sistem sürekli kaotik davranıĢ sergilememektedir. Sistem davranıĢındaki bu kaos eksikliği SLH sisteminin ciddi bir kusurudur. Bu açıdan sistemin iyi bir kaotik özellik göstermesi kontrol parametresinin

[3.9, 4] alanına düĢürülmesiyle mümkün olabilir ancak bu çözüm tek alternatif yöntem de değildir.

Lojistik haritanın bir diğer problemi, kontrol parametresinin sınırlı bir aralıkta olması ve sadece r4 değeri için mükemmel kaos sergilemesidir. Bir kripto sisteminde Ģifreleme anahtarlarının rastgele ve homojen bir dağılıma sahip olması istenen özelliklerdir. Böyle bir kripto sistem için anahtar üreteci olarak SLH kullanılacaksa, sistemin sahip olduğu bu kusurlar dikkate alınıp, öncelikle iyileĢtirilmelidir. Aksi takdirde bu durum, Ģifreleme anahtarlarından beklenen karakteristik özelliklerin oluĢmasını engeller. Bu olumsuzlukların belirmesi ise kripto sistemde küçük anahtar aralığına, zayıf güvenliğe ve verimsiz bir Ģifrelemeye neden olur. Sonuç olarak, sistemdeki bu ciddi sıkıntıların giderilmesi tüm kripto sisteminin güvenliği açısından çok önemlidir.

35

SLH sisteminin geliĢtirilmesine ve iyileĢtirilmesine yönelik birçok çalıĢma bu alanda sunulmuĢtur. Bunların çoğu, SLH denklemine yeni bir ek parametre eklenmesi veya iç içe geçmiĢ birden fazla kaotik harita kullanılması odaklıdır. Bu çalıĢmalara ek olarak farklı yöntemler de benimsenmesine karĢın hedeflenen amaç aynıdır. Sistemin kontrol parametre aralığının arttırılması ve tüm değerler altında sistemin sürekli kaos durumunda olması, geliĢtirilen veya iyileĢtirilen haritadan beklenen özelliklerdir. Böylelikle sistemin kriptografik uygulamalardaki karmaĢıklığı dıĢında yüksek güvenliği de sağlanmıĢ olacaktır. Bundan sonraki kısımda SLH sistemi iyileĢtirilerek bir boyutlu yeni bir kaotik harita tasarlanacaktır. Bu yeni haritada, SLH sisteminin sahip olduğu tüm kusurlar giderilecek ve sistemde sürekli kaos durumu olması sağlanacaktır.

36

Belgede Kaos tabanlı bir görüntü şifreleme algoritması ve donanımsal ortamda gerçekleştirilmesi / A chaos-based image encryption algorithm with its hardware implementation (sayfa 46-53)