FIPS Analizi

FIPS standardında, rastgelelik derecesini belirlemek için dört istatistiksel test kullanılır ve her bir testte 20,000 bit uzunluğundaki bit serisinin durumu incelenir [91]. Ancak ĠLH sisteminden üretilen x_n serileri ondalıklı değerlerde olup, 0 ile 1 arasında dağılmaktadır. FIPS ve NIST testlerinin uygulanabilmesi için serinin „0‟ ve „1‟ değerlerinden oluĢan bit serisi formatında olması gerekir. Bir baĢka ifadeyle, ĠLH üretecinin mevcut çıktısı, „0‟ ve „1‟ bit değerlerine haritalanması gerekir. Bu amaca yönelik olarak ĠLH sisteminin çıkıĢında uygun bir eĢik seviye belirlenerek elde edilen x_n değeri, ikili sayı sisteminde tek bit ile temsil edilmiĢtir. ĠLH sisteminde simetrik bir dağılım gözlemlendiğinden dolayı bu eĢik seviye 0.5 olarak seçilmiĢ ve sıralı bit serileri üretmek için Denklem (4.12)‟ de verilen dönüĢüm fonksiyonu, ĠLH üretecinin çıkıĢına uygulanmıĢtır. 1 , 0.5 0 , 0.5 n n n x b x     _  (4.12)

Burada bn, her bir xn değerine karĢılık gelen „0‟ veya „1‟ değerlerinden oluĢan bit serisidir. Örneğin, x0 0.1 baĢlangıç değeri ile 10 iterasyon sonunda elde edilen xn _{ve ona karĢılık} gelen b grafiksel olarak ġekil 4.9‟ da gösterilmiĢtir. _n

50

ġekil 4.9 ĠLH sisteminden üretilen bit serisi

ĠLH sisteminde bu yöntemle üretilen bit akıĢlarının rastgelelik performansı FIPS ve NIST standartları altında incelenmiĢtir. Bu standartların uygulanmasında her bir test aĢaması için Matlab ortamında rastgele olarak seçilmiĢ farklı x₀ ve s kullanılarak ĠLH üreteci üzerinden toplam 50 benzetim gerçekleĢtirilmiĢtir. Burada verilen sonuçlar, bazı testler için benzetim sonunda hesaplanan değerlerin ortalama sonuçlarıdır. Ancak tüm testler için yapılan her bir benzetime ait sayısal sonuç, analizi yapılan testin baĢarı Ģartını sağlamaktadır. FIPS standardı, bir serideki rastgelelik derecesini belirlemek için tek bit (Monobit), Poker, akıĢ (Run) ve uzun akıĢ testlerini kullanır. Bundan sonraki kısımda, ĠLH üretecinden elde edilen bit serileri bu dört teste uygulanarak her bir test için üretecin rastgelelik performansı incelenmiĢtir.

4.2.1.1 Tek Bit Testi

Tamamen rastgele olan bir bit serisi içerisindeki „0‟ veya „1‟ sayılarının olasılığı tam olarak 0.5 olması gerekir. Bu aynı zamanda, „0‟ ve „1‟ bit sayılarının eĢit olması anlamına gelmektedir. Bu teste ilk olarak 20,000 bit serisi içindeki „0‟ veya „1‟ değerlerinin sayısını temsil eden x bulunur ve eğer sonuç her iki durum için 9,725 < x < 10,275 koĢulunu sağlıyorsa test baĢarılı olarak değerlendirilir [92].

Bilgisayar ortamında gerçekleĢtirilen benzetimler sonucunda, ĠLH sisteminden farklı baĢlangıç değerleriyle üretilen bit serileri içerisinde „1‟ ve „0‟ sayılarının ortalaması sırasıyla 0.4993 ve 0.5007 olarak bulunmuĢtur. Bu değerler, „1‟ için 9,987; „0‟ için ise 10,013 sonucuna karĢılık gelmektedir. Benzer Ģekilde, farklı s parametre değerleri altında üretilen bit serisi oranı, „1‟ ve „0‟ için sırasıyla 0.4996 ve 0.5004 olarak hesaplanmıĢtır. Bu

51

sonuçlardan görüldüğü gibi her iki sistem parametresi için ĠLH üretecinden elde edilen farklı bit değerlerinin sayısı hemen hemen eĢit sayıda olup, bunların tüm bit serisi içindeki oranı, ideal olan 0.5 değerine çok yakındır. Bu değerlendirmeye göre ĠLH üreteci tek bit testini baĢarıyla geçtiği söylenebilir.

4.2.1.2 Poker Testi

Poker testi için ilk olarak burada kullanılan 20,000 bit uzunluğundaki bit serisi 5,000 adet üst üste geçmeyen 4-bitlik kısımlara bölünür. OluĢan bu 4-bitlik örneklerin alabileceği değerlerin toplam sayısı ₂4_{16 olur. Daha sonra bu 4-bitlik değerler içerisinde mümkün} olan her birinin oluĢma sayısı bulunur ve Denklem (4.13)‟ de verilen formül kullanılarak bu test sonucunun değerlendirilmesinde kullanılacak olan bir x değeri hesaplanır.

15 2 0 16 . ( ) 5000 5000 i x f i     _{ } 



Burada, i parametresi 4-bit ile temsil edilen değeri gösterirken; f i( ) ise bu değerin oluĢma sayısını ifade eder. Denklem (4.13)‟ de bulunan sonuç eğer 2.16 x 46.17 koĢulunu sağlıyor ise testbaĢarılıdır [92].

Tablo 4.1 Poker testi sonucu Değer Sayı f(0) 286 f(1) 334 f(2) 315 f(3) 324 f(4) 314 f(5) 331 f(6) 337 f(7) 302 f(8) 313 f(9) 302 f(10) 326 f(11) 295 f(12) 310 f(13) 307 f(14) 287 f(15) 317

Benzetimler sonunda bit serisi içerisinde oluĢturulan 4-bitlik her bir değerin oluĢma frekansları Tablo 4.1‟ de verilmiĢtir. Hesaplanan sonuçlar, Denklem (4.13)‟ deki formüle

52

uygulandığında, x değeri 11.72 olarak bulunmuĢtur. Bu sonuç, bu test için kabul edilebilir aralık içerisinde olduğundan test baĢarılıdır.

4.2.1.3 AkıĢ Testi

Bir bit serisi içerisinde art arda gelen maksimum sayıda „1‟ veya „0‟ değerlerinden oluĢan seri bir akıĢ olarak adlandırılır. Bu test için 20,000 bit serisindeki tüm akıĢ sayıları bulunur ve her bir akıĢ uzunluğu için bu test, „1‟ ve „0‟ durumlarına göre ayrı ayrı değerlendirilir. Testin baĢarılı olabilmesi, farklı uzunluklardaki akıĢ sayılarının „1‟ ve „0‟ için kabul edilebilir aralıkta olmasına bağlıdır [91]. Bu test için akıĢ sayılarına göre kabul aralığı ve test analiz sonucu Tablo 4.2‟ de verilmiĢtir.

Tablo 4.2 AkıĢ testi sonucu AkıĢ

uzunluğu Kabul aralığı 1 0 Sonuç

1 2,315 x 2,685 2,635 2,623 BaĢarılı 2 1,114 x 1,386 1,228 1,262 BaĢarılı

3 527 x 723 655 638 BaĢarılı

4 240 x 384 322 323 BaĢarılı

5 103 x 209 144 152 BaĢarılı

Tablo 4.2‟ de verilen sonuçlara göre hem „1‟ hem de „0‟ bit değerlerine ait akıĢ uzunlukları kabul edilebilir seviyelerde olduğundan dolayı ĠLH üretecinden elde edilen seriler bu teste göre rastgelelik açısından yeterli performansa sahiptir.

4.2.1.4 Uzun AkıĢ Testi

Uzun akıĢ testinde öncelikle 20,000 bit serisi içinde görünen sıfır veya birden oluĢan en uzun akıĢ sayısı olan x hesaplanır. Eğer serideki „1‟ ve „0‟ için x26 ise test baĢarılı olarak değerlendirilir [92]. Test sonucuna göre bit serisinde art arda gelen „1‟ durumu için akıĢ sayısı 14; „0‟ durumu için ise 15 olarak bulunmuĢtur. ĠLH üretecinden elde edilen yeterli sayıda farklı bit serileri bu testte uygulanmıĢ ve her durumda hesaplanan sayısal veriler testin baĢarıyla sonuçlandığı göstermiĢtir.