4. ÇOK AMAÇLI GENETİK ALGORİTMALAR
4.7. SPEA2: Kuvvet Pareto Evrimsel Algoritması 2
SPEA’daki uygunluk ataması, yoğunluk tahmini ve arĢiv küçültmedeki potansiyel zayıflıklarını yine Zitzler ve arkadaĢları iyileĢtirilmeye çalıĢmıĢ ve 2001 yılında SPEA2’yi önermiĢlerdir.
Uygunluk Ataması: Aynı arĢiv üyeleri tarafından bastırılan bireyler, özdeĢ uygunluk değerlerine sahiptir. Bunun anlamı, arĢiv tek bir bireye sahip olduğu
durumda, tüm popülasyon üyelerinin, birbirlerini bastırıp bastırmadıkları aynı derecede seçilim etkinliğine sahip olmasıdır. Sonuç olarak, seçim basıncı büyük ölçüde azalır. Bu durumda SPEA rasgele araĢtırma algoritması gibi çalıĢır.
Yoğunluk Tahmini: mevcut popülâsyondaki birçok birey farksızsa, birbirlerini bastırmıyorlarsa, üstünlük iliĢkisiyle tanımlı kısmi sıralama temelinde, yok denecek kadar az bilgi elde edilir. Yoğunluk bilgisi; aramaya yön göstermek için daha etkili bir Ģekilde kullanılmak zorundadır.
Arşiv Küçültme: SPEA’da kullanılan sınıflandırma tekniği, bastırılmamıĢ kümenin karakteristiğini bozmadan küçültebilmesine rağmen, atılan bireyleri kaybedebilir. Bununla beraber, iyi bir bastırılmamıĢ çözümler dağılımı elde etmek için bu çözümlerin arĢivde tutulması daha iyidir. SPEA2’de bu gerçekleĢtirilmektedir (Zitzler, 2001).
4.7.1. SPEA2 Algoritması
Girdi: N (popülasyon boyutu)
N (arşiv boyutu)
T (maksimum jenerasyon sayısı)
Çıktı: A (bastırılmamış küme)
Adım 1: Başla: P baĢlangıç popülâsyonunu üret ve arĢivi boĢ olarak oluĢtur. 0
0
P ve t 0
Adım 2: Uygunluk ataması: P ve t Pt deki bireylerin uygunluk değerlerini hesapla.
Adım 3: Çevresel seçim: P ve t Pt deki bireylerin tamamını P e kopyala. Eğer t 1 1
t
P in boyutu N yi aĢarsa, küçültme operatörü aracılığıyla P i azalt. Aksi t 1
takdirde P in boyutu t 1 N den daha küçükse, P i t 1 P ve t Pt deki bastırılmıĢ
Adım 4: Sonlandırma: eğer t Tise veya diğer herhangi bir durdurma kriteri
sağlanmıĢsa, P deki bastırılmamıĢ bireyler aracılığıyla gösterilen karar t 1
vektörleri kümesini, A çıktı kümesine ata ve bitir.
Adım 5: Eşleşme seçimi: eĢleĢme havuzunu doldurmak için P üzerinde t 1
çaprazlama ile ikili turnuva seçimini gerçekleĢtir.
Adım 6: Değişim: eĢleĢme havuzuna çaprazlama ve mutasyon iĢlemcilerini uygula ve sonuç popülâsyonuna P i ata. Jenerasyon sayacını artır (t 1 t t 1) ve
Adım2’ye git.
Şekil 4.18: iki amaç fonksiyonlu (f1vef2) bir maksimizasyon problemi için SPEA ve SPEA2 deki uygunluk atama Ģemalarının karĢılaĢtırılması.
ġekil 4.18’de solda SPEA Ģemasına göre verilen bir popülâsyon için uygunluk değerleri görülmektedir. Sağda iĢlenmemiĢ SPEA2 uygunluk değerleri aynı popülâsyon için çizilmiĢtir.
SPEA’dan farklı olarak, SPEA2 yoğunluk bilgisini kullanan ince-taneli (fine- grained) uygunluk atama stratejisini kullanır. Ayrıca, arĢiv boyutu da sabittir.
BastırılmamıĢ bireylerin sayısı önceden tanımlanmıĢ arĢiv boyutundan daha küçükse, arĢiv bastırılmamıĢ bireylerle doldurulur. SPEA’da ise arĢiv boyutu çoğu zaman
değiĢebilir. Ek olarak; bastırılmamıĢ yüzey arĢiv boyutunu aĢtığı zaman kullanılan kümeleme tekniği, benzer özellikleri olan ama sınır noktalarını kaybetmeyen alternatif bir küçültme yöntemiyle değiĢtirilmiĢtir. Son olarak, SPEA’dan bir baĢka farkı, seçim iĢleminde sadece arĢiv üyelerinin kullanılmasıdır.
4.7.2. Uygunluk ataması
SPEA’dan farklı olarak; bireylerin sadece aynı arĢiv üyeleri tarafından bastırılarak özdeĢ uygunluk değerlerine sahip olmalarını önlemek için, hem bastırılan hem de bastırılmamıĢ tüm bireyler hesaba katılır. ArĢivdeki ve popülâsyondaki her bir i bireyine, bu bireyi kaç tane çözümün bastırdığını gösteren birS i kuvvet değeri atanır. j i P P j j i S | t t 1
|.| notasyonu bir kümenin en önemliliğini gösterir, + çoklu küme birleĢimi ve
sembolü Pareto üstünlük iliĢkisiyle ilgilidir. S değerlerinin temelinde bir i bireyinin iĢlenmemiĢ Ri uygunluğu hesaplanır. Özetle bu değer; i bireyini bastıran j bireylerinin S değerleri toplamıdır.
i j P P j t t j S i R ,
Bu değer, sadece arĢiv üyelerinin dikkate alındığı SPEA’nın aksine hem arĢiv hem de popülâsyondaki bireylerin kuvvet değerleri tanımlanır. Burada dikkat edilmesi gereken bir nokta da uygunluğun minimize ediliyor olmasıdır.
0 i
R durumu bastırılmamıĢ bir bireyi gösterir. Yüksek bir Ri değeri i bireyinin birçok birey tarafından bastırıldığını gösterir. Bu durumġekil 4.17’degörülmektedir.
ĠĢlenmemiĢ uygunluk ataması, Pareto üstünlük kavramına dayalı bir tür hücreleme (niching) mekanizması sağlamasına rağmen, bireylerin çoğu birbirlerini bastırdığı zaman baĢarısız olabilir. Bu yüzden özdeĢ iĢlenmemiĢ uygunluk değerlerine sahip bireyler arasında ayrım yapabilmek için ek bir yoğunluk bilgisi
daha kullanılır. SPEA’da ise kullanılan yoğunluk tahmin tekniği k. en yakın komĢu tekniğinin bir uyarlamasıdır. Bu metot, herhangi bir noktadaki yoğunluğun k. en yakın veri noktasına uzaklığının bir fonksiyonudur. Burada yoğunluk tahmini olarak
k. en yakın komĢuya uzaklığın tersi alınır. Daha açık bir Ģekilde, her bir i bireyi için,
arĢiv ve popülasyondaki tüm j bireylerine uzaklıkları hesaplanır ve bir listede depolanır. Bu liste artan düzende sıralandıktan sonra, k. eleman uzaklık arasını verir ve bu ikolarak gösterilir. Genellikle k, örnek uzay boyutunun karekökü olarak alınırk N N . Daha sonra yoğunluk D i aĢağıdaki gibi hesaplanır.
2 1 k i i D
Paydada, değerin sıfırdan büyük olması ve D i 1 olması için iki eklenir. Son olarak D i ve iĢlenmemiĢ uygunluk değeri R i toplanarak i bireyinin uygunluk değeri bulunur. i D i R i F 4.7.3. Çevresel seçim
SPEA2’de arĢiv güncelleme iĢlemi, SPEA’ya göre iki açıdan farklılık gösterir. Bunlar, arĢiv boyutunun sabit olması ve arĢiv küçültme metodunun uç çözümleri korumasıdır. Çevresel seçim sürecinde ilk adım, arĢiv ve popülâsyonda uygunluğu birden düĢük olan tüm bastırılmamıĢ bireylerin sonraki jenerasyona kopyalanmasıdır.
1 |
1 i i P P F i
Pt t t
Eğer bastırılmamıĢ yüzeydeki birey sayısı arĢiv boyutuyla tam olarak uyuĢursa Pt 1 N çevresel seçim iĢlemi tamamlanır. Aksi takdirde, arĢiv boyutu
olması gerekenden ya küçük Pt 1 N yada büyük Pt 1 N olacaktır. ArĢiv
boyutundan küçük olması durumunda, önceki arĢiv ve popülâsyondaki en iyi
1 t P
değerlerine göre Pt Pt 1 çoklu kümesi sıralanarak gerçekleĢtirilebilir ve F i 1
olan ilk Pt 1 N tane i bireyi sıralanmıĢ sonuç listesinden Pt 1 e kopyalanır.
Pareto yüzeydeki birey sayısının arĢiv boyutunu aĢması durumda ise yani mevcut bastırılmamıĢ kümenin boyutu N ’yi aĢtığında, Pt 1 N oluncaya kadar Pt 1 den
iteratif olarak eksiltme yapılır. Hangi bireylerin çıkarılması gerektiğine karar vermek için bir arĢiv küçültme prosedürüne baĢvurulur. Burada her bir iterasyonda, tüm
1 t P
j ve i d jolan ve aĢağıdaki eĢitsizliklere bağlı olarak çıkarılmak üzere seçilen i bireyi için k
i , i bireyinin Pt 1 deki k. en yakın komĢusuna uzaklığını
gösterir. k j k i k j k i t k j k i t d k l P k P k j i : 0 : 0 : 0 : 1 1
Diğer bir değiĢle, her bir adımda, diğer bireylere minimum uzaklığa sahip olan birey seçilir. Eğer minimum uzaklığa sahip birkaç birey varsa, ikincisine ve sonraki komĢu uzaklıklarına bakılarak tercih yapılır.
4.8. PESA: Pareto Zarflama-Temelli Seçim Algoritması