SONUÇ, TARTIŞMA VE ÖNERİLER
5.1 SONUÇ VE TARTIŞMA
O livro de Thompson começa de maneira curiosa. Em vez de um capítulo sobre funções, limites ou qualquer outro tópico esperado em um livro de Cálculo, o primeiro capítulo do Calculus Made Easy exibe o título “Libertando- se dos Terrores Preliminares”. Nesse capítulo, Thompson dedica-se a uma descrição dos principais símbolos utilizados no cálculo diferencial e integral, argumentando que
O terror preliminar, que choca e até desencoraja a maior parte dos estudantes de tentar aprender Cálculo, pode ser abolido de uma vez por todas se entendermos o significado – em sentido comum – dos dois principais símbolos utilizados no cálculo diferencial e integral (THOMPSON, 1998, p. 39, tradução nossa).
A partir daí, Thompson faz uma pequena descrição dos principais símbolos, d e
∫
, utilizados no Cálculo – da seguinte forma:•d significa simplesmente “uma pequena parte de”
Portanto, dx significa uma pequena parte de x ; du significa uma pequena parte de u . Os matemáticos preferem chamar dx de “um elemento de x , em vez de “uma pequena parte de x . Como você quiser. Você perceberá que essas pequenas partes (ou elementos) poderão ser consideradas infinitamente pequenas.
•
∫
é a representação de um longo S, e pode ser chamado de “a soma de”. Portanto,∫
dx significa a soma de todas as pequenas partes de x ; e∫
dt significa a soma de todas as pequenas partes de t. Os matemáticos chamam esse símbolo de “a integral de”. A palavra “integral” significa simplesmente “o todo”. Se você pensar na duração de 1 hora, você poderá pensar também nesse mesmo período dividindo o todo em 3600 pequenas partes, chamadas segundos. O total dessas 3600 pequenas partes quando adicionadas – vale 1 hora.Da próxima vez que você vir uma expressão que comece com esse símbolo assustador, lembre-se de que ele foi colocado lá simplesmente para lhe mostrar que você deve executar uma operação de soma, adicionando todas as pequenas partes indicadas no símbolo
No segundo capítulo do livro, Thompson começa a desenvolver o conceito de infinitesimal, tratando das diferentes ordens das quantidades pequenas. Esse conceito será especialmente importante durante todo o livro, já que Thompson não utiliza explicitamente a noção de Limite, tão cara aos matemáticos. Em vez disso, Thompson prefere trabalhar com infinitesimais, negligenciando aqueles termos que se tornam infinitamente pequenos quando passados ao Limite. Para desenvolver essa noção, o livro traz alguns diálogos com o leitor:
Considere uma quantia de $100 comparada com 1 centavo: o centavo representa apenas 1001 de 1 dólar. Portanto, tem pouca importância se comparado com $100 e poderá ser certamente considerado uma pequena quantia. Mas, agora, compare 1 centavo com $10.000: em relação a esse montante – 1 centavo não tem mais nenhuma importância e pode ser, claramente, descartado.
(THOMPSON, 1998, p. 41-42, tradução nossa).
É importante lembrar que essa negligência dos termos foi duramente criticada por alguns matemáticos e pensadores do século XIX. Karl Marx, por exemplo, apontava esse problema quando afirmava que “para obter as fórmulas corretas do cálculo diferencial, as grandezas infinitesimais às vezes eram escamoteadas ou violentamente suprimidas, ou seja, tratadas como zero (dx=0)” (GERDES, 1983, p. 34)19. Apesar disso, Thompson parecia não se preocupar muito com esse problema e boa parte do seu curso foi construída com base na supressão dos termos infinitamente pequenos:
No Cálculo, sempre escrevemos dx para simbolizar “uma pequena parte de x ”. Esses símbolos, tais como du,dt,dy, são chamados de
diferenciais de u , t e y , de acordo com o caso. Se dx é uma pequena parte de x(e relativamente pequena), não podemos afirmar com certeza que x⋅dx, ou x2⋅dx, ou ax⋅dx serão termos descartáveis. Mas dx X dx
será, certamente, descartável – porque será uma “pequena quantidade de segunda ordem” (THOMPSON, 1998, p. 42, tradução nossa).
O terceiro capítulo do Calculus Made Easy trata essencialmente do crescimento e da variação das grandezas utilizadas no Cálculo. É possível notar que essa seqüência (infinitésimos – taxas de variação) tem como principal objetivo estabelecer o conceito de derivada, e será nesse capítulo que o
coeficiente diferencial (Derivada) será definido. Com esse intuito, Thompson
começa o capítulo de modo elementar:
Durante todo o Cálculo, estaremos lidando com quantidades que variam e com taxas de variação. Classificamos todas as quantidades em duas classes: constantes e variáveis. Aquelas que possuem um valor fixo (chamadas constantes) são geralmente denotadas por letras do começo do alfabeto, tais como a, b ou c; e aquelas capazes de crescer ou decrescer (em linguagem matemática – variar) são denotadas pelas letras do final do alfabeto, tais como x, y, z, u, v, w, ou às vezes, t (THOMPSON, 1998, p. 45, tradução nossa).
Após essa primeira exposição sobre o que vem a ser uma constante e uma variável no cálculo diferencial, Thompson explicita algumas considerações sobre a dependência entre variáveis (conceito de Função):
Suponha que tenhamos duas variáveis dependentes (uma da outra). Qualquer alteração em uma das variáveis gerará, também, uma alteração na outra – em virtude da dependência. Vamos chamar uma das variáveis de x e a outra de y .
Suponha que a variável x varie, isto é, que o seu valor seja alterado, acrescido de um pequeno valor, dx . Com essa alteração, fazemos x
valer x+dx, portanto. Então, haja vista que x foi alterado (variou), a variável y deverá ter sido alterada também (por causa da dependência) tornando-se y+dy. Nesse caso, a pequena parte dy pode ser – em alguns casos – positiva e em outros negativa; e nunca terá (exceto em casos particulares) o mesmo valor de dx
(THOMPSON, 1998, p. 45, tradução nossa).
Essa é a base da definição de Derivada no livro Calculus Made Easy. A partir desse momento, Thompson resolve alguns exemplos, tentando sempre isolar os termos dy e dx. E, posteriormente, observa:
Chamaremos a razão dy dx de “coeficiente diferencial de y com respeito a x ”. Este é o nome cientificamente solene para essa coisa simples que acabamos de conhecer. Mas não nos assustemos com esses nomes solenes quando, na verdade, as coisas são tão simples. Na álgebra comum que você aprendeu na escola, o objetivo era sempre procurar algumas quantidades desconhecidas, chamadas de
x ou y ; ou, às vezes, havia duas quantidades desconhecidas que devíamos procurar simultaneamente. Agora você deverá aprender a procurar uma nova incógnita; a busca não será nem por x nem por
y. Em vez disso, você terá de procurar este curioso valor: dy dx. O processo de encontrar esse valor é chamado de diferenciação. Mas lembre-se que o objetivo é encontrar essa razão quando dy e dx forem infinitamente pequenos.
(THOMPSON, 1998, p. 49, tradução nossa).
É por meio desse processo (exibido nos capítulos 1, 2 e 3) que Silvanus Thompson estabelece um dos conceitos mais importantes do Cálculo: a Derivada. É importante notar, nesse sentido, que, desde as primeiras páginas do livro até essa definição, o autor não menciona de forma explícita, em lugar nenhum, que conceitos prévios são necessários para o aluno entender o assunto. (Como já dito, o livro não começa tratando dos números reais, funções, limites etc.). Apesar disso, é oportuno observar que todos esses conceitos são desenvolvidos implicitamente, ainda que não sejam destacados no texto.
Desse capítulo em diante, Thompson vai-se preocupar unicamente com alguns processos para diferenciar uma função. No capítulo 4, por exemplo, o autor começa tratando dos casos considerados “mais fáceis”:
Vamos começar com a simples expressão y=x2. Agora, lembre-se de
que a noção fundamental do Cálculo é a idéia de “crescimento”. Os matemáticos chamam isso de “variação”. Como y e x2 são iguais, então
fica claro que se x crescer - x2 também crescerá. E se x2 crescer,
então y também crescerá. O que temos de encontrar, então, é a proporção entre o crescimento de y e o crescimento de x . Em outras palavras, nossa tarefa é encontrar a razão entre dy e dx , ou simplesmente, encontrar o valor de dydx
O processo utilizado por Thompson, para achar a derivada das funções elementares, é feito por meio da comparação de acréscimos. O autor supõe uma variação na variável x e observa que essa variação gera também uma variação no y . Assim, desenvolvendo as expressões, chega-se logo ao valor dydx:
Façamos x crescer, tornando-se x+dx; similarmente, y também crescerá – tornando-se y+dy. Então, claramente, ainda será verdadeiro escrever a seguinte igualdade: y+dy=(x+dx)2
Desenvolvendo a igualdade acima, teremos: y+dy=x2+2x⋅dx+(dx)2
O que significa (dx)2? Lembrando que dx significa uma pequena parte
de x , então (dx)2 significa uma pequena parte da pequena parte. E,
como vimos no capítulo anterior, essa é uma pequena quantidade de segunda ordem. Pode ser, portanto, descartada – negligenciada – em comparação aos demais termos. Com isso, temos: y+dy=x2+2x⋅dx Como y=x2, subtraímos da equação acima os termos y e x2:
dx x dy=2 ⋅
E então temos que x dx dy
. 2
=
Era exatamente isso o que estávamos procurando. Nesse caso, a razão entre o crescimento de y e o crescimento de x é igual a x2
(THOMPSON, 1998, p. 51-52, tradução nossa, grifo nosso).
O curso de Thompson é desenvolvido sempre em “pequenos capítulos”. Cada uma dessas partes, que variam de 5 a 15 páginas, traz ao aluno um tópico fundamental para o trabalho com derivadas, integrais e aplicações. Thompson também reserva algum espaço para tratar das técnicas atreladas ao processo de diferenciação, o que será mais bem percebido nos capítulos posteriores ao desenvolvimento do conceito de derivada.
Depois de ter estabelecido a derivada como um elemento importante do Cálculo, Thompson dedica-se à exposição de algumas técnicas matemáticas para a execução dessa operação. No capítulo 5, Próximo passo: O que fazer com as
constantes?, o Calculus Made Easy trata da conseqüência que as constantes
trazem ao processo de diferenciação, quando elas fazem parte de uma expressão que se deseja derivar. No capítulo 6, Somas, Diferenças, Produtos e Quocientes, Thompson desenvolve as conhecidas regras da soma, da diferença, da multiplicação e da divisão. Nesse sentido, é conveniente destacar que o autor estabelece essas regras utilizando também os princípios de infinitésimos definidos no capítulo 2, como podemos ver na regra do produto abaixo:
Vamos voltar aos princípios elementares e considerar a equação
v u
y= × , sendo u uma função de x , e v outra função de x . Então, fazendo x variar até x+dx, y variará até y+dy, e u até u+du, e v até v+dv. Teremos, portanto:
dv du du v dv u v u dv v du u dy y+ =( + )×( + )= ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅
Agora, a expressão du⋅dv é uma pequena quantidade de segunda ordem e pode ser, portanto, descartada:
du v dv u v u dy y+ = ⋅ + ⋅ + ⋅
Subtraindo a expressão original y=u×v, teremos, finalmente:
du v dv u dy= ⋅ + ⋅ ⇒ dx du v dx dv u dx dy + =
Isso mostra que nossa tarefa será a seguinte: Diferenciar o produto
das duas funções, multiplicar cada função pela derivada da outra função e adicionar os dois produtos obtidos
(THOMPSON, 1998, p. 67-68, tradução nossa).
Os capítulos 9 e 10 são visivelmente uma seqüência. No capítulo 9, Thompson aborda o significado geométrico da derivada, levando o aluno a perceber – graficamente – que a inclinação da reta tangente está relacionada
com o processo de diferenciação. Nesse capítulo, o autor não faz mais do que apresentar a representação gráfica da derivada ao aluno.
No capítulo 10, o livro trata das aplicações de máximos e mínimos que podem ser feitas por meio da derivada. Esse tópico parece ser de grande importância para Thompson, como mostra o excerto abaixo:
Uma das principais utilidades do processo de derivação é encontrar em que condições o valor da expressão derivada se torna um valor de máximo ou um valor de mínimo. Isso é sempre muito importante na engenharia e na economia, porque é sempre bom saber que condições farão o custo do trabalho menor, ou que condições trarão a maior eficiência (THOMPSON, 1998, p. 116, tradução nossa).
Essas aplicações são desenvolvidas no livro da mesma maneira que os tópicos anteriores. Thompson dialoga com o leitor e vai, assim, criando as noções necessárias para implementar as operações desejadas:
Quando você tiver uma expressão e quiser descobrir que valores de x retornarão os valores de mínimo ou máximo, primeiro diferencie a
expressão e, tendo feito isso, escreva sua derivada (dy dx) igualando a zero, e então resolva a equação em x . Coloque esse valor de x na equação original e terá os valores procurados de y .
Para ver como esse método funciona, vamos retornar ao exemplo enunciado no início desse capítulo: y=x2 −4x+7.
Diferenciando, temos: =2x−4
dx dy
Agora, iguale essa expressão a zero: 2x−4=0
Resolvendo essa equação para x, temos: 2x=4⇒x=2
Agora sabemos que o ponto de máximo (ou mínimo) ocorrerá exatamente quando x=2.
Transferindo esse valor para a expressão original, temos: y=22−(4×2)+7 ⇒ 4−8+7=3
Agora olhe novamente para a figura 26 e você perceberá que o mínimo ocorrerá quando x=2, e esse mínimo será y=3
No final desse capítulo, o livro apresenta alguns exercícios ao leitor. É possível perceber nesses exercícios que Thompson visa sempre às aplicações nas áreas da física e da engenharia e não se limita unicamente à proposição de questões que envolvam simplesmente as técnicas do Cálculo. Esse enfoque aplicativo do livro pode, sem dúvida, ser comparado àquele de alguns livros de Felix Klein e outros educadores matemáticos do início do século XX.
Os capítulos 17, 18 e 19 são dedicados às Integrais. Nesse momento, o livro retoma as considerações feitas no primeiro capítulo do Calculus Made Easy, argumentando que:
O grande segredo já foi revelado: este misterioso símbolo, ∫, que é simplesmente um s comprido, significa simplesmente “a soma de todas as pequenas quantidades”. Essa definição, entretanto, faz-nos lembrar de outro símbolo - ∑ - que significa também o somatório de quantidades. Contudo, há uma diferença na prática dos matemáticos, porque, enquanto ∑ é geralmente utilizado para indicar a soma de um número finito de valores, o símbolo da integral - ∫ - é usado para indicar a soma de uma vasta quantidade de valores infinitamente pequenos, na verdade, meros elementos que se juntam para formar o total desejado. Portanto,
∫
dy= y, e∫
dx=x(THOMPSON, 1998, p. 191, tradução nossa).
O desenvolvimento do conceito de Integral é feito mediante alguns diálogos a respeito da relação entre quantidades infinitamente pequenas e o “todo”. Nesse primeiro capítulo sobre Integrais (capítulo 17), Thompson identifica o processo de integração como um simples somatório de valores infinitesimais (que, nesse contexto, seria o conceito de Integral Definida). E, dessa forma, alguns exemplos numéricos são apresentados apenas como curiosidade.
No capítulo 18, o autor passa a identificar o processo de integração como o reverso da diferenciação (Integrais Indefinidas). Isso pode ser rapidamente atestado quando Thompson observa e exemplifica que:
Como qualquer outra operação matemática, o processo de diferenciação pode ser revertido. Assim, sabendo que a derivada de y=x4 é
3
4x
dx
dy = , alguém poderia dizer que o processo reverso da diferenciação na expressão y=4x3 resulta x4. Contudo, existe algo
curioso nesse processo. Se tivéssemos diferenciado as expressões x4,
a
x4 + , x4+c, ou x4 com qualquer constante adicionada, teríamos tido
como resultado dy dx=4x3. Desse modo, fica claro que é preciso estar
prevenido em relação às constantes quando utilizamos o processo reverso da diferenciação. Portanto, se a derivada de y=xn resulta
1
−
⋅ =n xn
dx
dy , revertendo o processo em dy dx=n⋅xn−1, teremos
C x
y= n + , sendo C uma constante indeterminada qualquer (THOMPSON, 1998, p. 198, tradução nossa).
A partir desse primeiro diálogo, o livro traz alguns exemplos simples de Integrais Indefinidas, sempre lembrando ao leitor que a operação desejada é a reversão da derivada (a antiderivada).
. . .
Os últimos capítulos do livro Calculus Made Easy são reservados a algumas técnicas especiais, assim como para a introdução das equações diferenciais. É importante reafirmar, entretanto, que examinamos o livro de Thompson baseados nos tópicos fundamentais para um curso de Cálculo inicial. Nesse sentido, nossa análise compreendeu essencialmente os capítulos em que Thompson desenvolveu os conceitos de Função, Infinitesimais, Derivadas,
Essa análise foi feita exclusivamente nos capítulos originais do Calculus
Made Easy de 1910, 1914 e 1919, permanecendo assim fiel aos objetivos e ao
.:: CONSIDERAÇÕES FINAIS ::.
A intenção desta pesquisa foi escrever, à luz da educação matemática, alguns dos principais momentos da vida do cientista Silvanus Phillips Thompson (1851 – 1916) e de seu livro Calculus Made Easy (1910). A escolha desse problema de investigação foi motivada fortemente por três fatores:
1- Silvanus Thompson foi um cientista renomado, membro da Royal
Society, que se interessou pela educação técnica de seus
compatriotas ingleses. Uma de suas publicações “didáticas” foi especialmente importante para a educação matemática: tratava de desmistificar os conceitos elementares do cálculo diferencial e integral;
2- Esse livro, intitulado Calculus Made Easy, apesar de criticado na época da publicação – 1910 (por tratar os elementos do Cálculo de forma intuitiva), pode ser visto como uma das primeiras tentativas de avanço no ensino de Cálculo. Além disso, vários matemáticos eminentes do século XX manifestaram reconhecimento por esse livro didático;