Bir sayma sürecinden gelen veri kümesi bağımsız ve aynı dağılımlı rasgele değişkenlerden oluşuyor ise model olarak bir yenileme süreci kullanılmaktadır. Bu rasgele değişkenler üstel dağılımlı ise model olarak homojen Poisson süreci model olarak uygulanmaktadır. Fakat sayma sürecinden gelen olaylar arası geçen zamanlar monoton olarak büyüme ya da küçülme eğilimde ise model olarak ne homojen Poisson ne de yenileme süreci kullanılamaz. Uygulamada ortaya çıkan bir çok bakım, onarım ve yer değiştirme problemlerinde ve güvenirlik teorisindeki başka analizlerde sayma sürecinden gelen veri kümesi monoton eğilimli rasgele değişkenlerden oluşur. Bu durum sayma sürecinden gelen veri kümesi içerisinde trend olduğunu ve bu sürece göre gerçekleşen olaylar arası geçen zamanların dağılımının aynı olmadığını ifade eder.
seri süreç bu tür durumlarda geometrik süreç ve homojen olmayan Poisson sürecine alternatif olarak sık kullanılan stokastik monoton bir süreçtir. Bu çalışmada -seri sürece göre ilk olayın gerçekleşme zamanı olan X rasgele değişkeninin dağılım 1 fonksiyonu F’ nin bilinmediği kabul edilerek, sürecin üç önemli parametresi olan
, ve 2’nin LSE yöntemine dayalı olarak parametrik olmayan tahmin edicileri elde edilmiştir. Elde edilen bazı tahmin edicilerin tutarlılık ve asimptotik normallik gibi istatistiksel özellikleri incelenmiştir. Ayrıca - seri sürecin yenileme sürecinden ayırt edilmesine yönelik bir test istatistiği geliştirilmiştir. X rasgele değişkeninin 1 dağılımının Weibull, gama ve lognormal olması durumunda , ve 2’nin ML ve MML tahmin edicileri elde edilmiş ve bu tahmin edicilerin bazı istatistiksel özellikleri incelenmiştir.
Genel olarak simülasyon sonuçlarına göre F dağılım fonksiyonunun bilinmediği durumda hata kareler ortalaması ve yan ölçütüne göre için 0 ya da 1 iken
ˆ1
’nın diğerlerine göre tercih edilebileceği gösterilmiştir. 0 0.5 durumunda ˆ6 ve 0.5 1 durumunda ˆ4 diğerlerine göre daha iyi olduğu gözlemlenmiştir. F dağılımının 2 varyansı için yan ve hata kareler ölçütüne göre ˆ12’nin daha iyi olduğu gösterilmiştir. Ayrıca Weibull ve gama dağılım durumunda şekil parametresi büyüdükçe ˆ , ˆ ve ˆ2 tahmin edicilerinin performanslarının iyileştiği saptanmıştır.
F dağılım fonksiyonunun bilinmesi durumunda ve 2 için ML ve MML tahmin edicilerinin NP tahmin edicilerinden daha iyi olduğu belirlenmiştir.
Son olarak beş ayrı gerçek veri kümesi göz önüne alınmış ve her bir veri kümesinde trendin olup olmadığı tespit edilmiştir. Trendin varlığı durumunda bu veri kümelerinin bir -seri sürece uygun olup olmadığına yönelik bir test geliştirilmiştir.
Bu veri kümelerine dayalı olarak F’ nin bilinmediği kabulü altında , ve 2 parametrelerinin parametrik olmayan tahmin ediciler ile tahmin değerleri hesaplanmıştır. F sırasıyla Weibull, gama ve lognormal dağılım fonksiyonu alınarak,
, ve 2 parametrelerinin parametrik tahmin edicilerinin değerleri bulunmuştur. Bu veri kümelerine uygun olan -seri süreci modelinin belirlenmesi amacıyla parametrik ve parametrik olmayan tahmin değerlerine bağlı olarak kestirimler için MSE* değerleri hesaplatılmıştır. MSE* değerlerine göre, bu veri kümeleri için Weibull ve gama ilk varış zamanı dağılımına sahip -seri süreci modellerinin uygun olduğu saptanmıştır. Ayrıca bu veri kümeleri için uygulamada çok sık kullanılan geometrik süreç, Weibull süreci, Cox-Lewis süreci ve yenileme süreci modelleri ile -seri süreç modeli karşılaştırılmış ve -seri sürecin bu veri kümelerini daha iyi modellediği gözlemlenmiştir.
KAYNAKLAR
Ascher, H. and Feingold, H. 1984. Repairable Systems Reliability. Marcel Dekker, pp.
70- 84.,New York.
Arnold, S.F. 1990. Mathematical Statistics. Prentice-Hall, p. 340., New Jersey.
Aydoğdu, H., Şenoğlu, B. and Kara, M. 2010. Application of MML methodology to an
-series process with Weibull distribution. Hacettepe Journal of Mathematics and Statistics, 39(3), 449-460.
Aydoğdu, H. and Kara, M. 2012. Nonparametric estimation in -series processes.
Computational Statistics and Data Analysis, 56, 190-201.
Barnett, V. D. 1966. Evaluation of the maximum likelihood estimator where the likelihood equation has multiple roots. Biometrika, 53, 151-165.
Bates, G.E. 1955. Joint Distributions of Time Intervals for the Occurence of Successive Accidents in a Generalized Polya Scheme. Ann. Math. Stat., 26, 705-720.
Braun, W. J., Li, W. and Leung, Y. Q. 2005. Properties of the geometric and related processes. Naval Research Logistics, 52, 607-616.
Braun, W. J., Li, W. and Leung, Y. Q. 2008. Some theoretical properties of the geometric and -series processes. Communications in Statistics Theory and Methods, 37, 1483-1496.
Cox, D.R. and Lewis, P. A. W. 1966. The Statistical Analysis of Series of Events.
Mathuen, pp. 4-16., London.
DasGupta, A. 2008. Asymptotic Theory of Statistics and Probability. Springer-Verlag, p. 35., New York.
Gertsbakh, I.B. 1989. Statistical Reliability Theory. Marcel Dekker, 331,p. 201., New York.
Greenwood, J.A. and Durand, D. 1960. Aids for fitting Gama distribution by maximum likelihood. Technometrics, 2, 55-65.
Hoeffding, W. 1953. On the distribution of the expected values of the order statistics.
Ann. Math. Stats., 24, 93-100.
Kvaloy, J.T. and Lindqvist, B.H. 2003. A Class of Tests for Renewal Process Versus Monotonic and Nonmonotonic Trend in Repairable Systems Data, in Mathematical and Statistical Methods in Reliability, 401-414.
Lam, Y., Zhu, L., Chan, S. K. and Liu, Q. 2004. Analysis of data from a series of events by geometric process model. Acta Mathematicae Applicatae Sinica, 20(2), 263-282.
Lee, L. 1980a. Testing adequacy of the Weibull and loglinear rate models for a Poisson process. Technometrics, 22, 195-199.
Lee, L. 1980b. Comparing rates of several independent Weibull processes.
Technometrics, 22, 427-430.
Lehmann, E.L. 1999. Elements of Large Sample Theory. Springer-Verlang, 613 p., New York.
Musa, B.D. 1979. Software Reliability Data. Data Analysis Center for Software, Rome Air Development Center, Rome, NY.
Musa, J.D., Iannino, A. and Okumoto, K. 1987. Software Reliability: Measurement, Prediction, Application, McGraw-Hill, New York.
Öztürk, F., Akdi, Y., Aydoğdu, H. ve Karabulut, İ. 2006. Parametre Tahmini ve Hipotez Testi. Bıçaklar Kitapevi, Ankara.
Pekalp, M.H. 2013. Sayma süreçlerine ilişkin trend testleri ve karşılaştırılmaları.
Yüksek lisans tezi, Ankara Üniversitesi, Fen Bilimleri Enstitüsü, İstatistik Anabilim Dalı, Ankara.
Proschan, F. 1963. Theoretical Explanation of Observed Decreasing Failure Rate.
Technometrics, 5, 375-383.
Puthenpura, S. and Sinha, N. K. 1986. Modified maximum likelihood method for the robust estimation of system parameters from very noisy data. Automatica, 22, 231-235.
Roy, A. and Seidman, T.I. 2002. On consistency of estimators in simple linear regression models. Calcutta Statistical Association Bulletin, 53, 261-264.
Serfling, R. J. 1980. Approximation Theorems of Mathematical Statistics. John Wiley
& Sons.
Tiku, M. L. 1967. Estimating the mean and Standard deviation from censored normal samples. Biometrika, 54, 155-165.
Tiku, M. L. 1968. Estimating the parameters of lognormal distribution from censored samples. J. Amer. Stat. Assoc., 63, 134-140.
Tiku, M. L. and Akkaya, A. D. 2004. Robust estimation and hypothesis testing. New Age International (P) Limited, Publishers, pp. 33-35., New Delhi.
Vaughan, D.C. and Tiku, M. L. 2000. Estimation and hypothesis testing for a nonnormal bivariate distribution with applications. Mathematical and Computer Modelling, 32, 53-67.
ÖZGEÇMİŞ
Adı Soyadı : Mahmut KARA Doğum Yeri : Erzurum
Doğum Tarihi : 30.01.1981 Medeni Hali : Bekar Yabancı Dili : İngilizce
Eğitim Durumu
Lise : Van Atatürk Lisesi (2000)
Lisans : Karedeniz Teknik Üniversitesi Fen Edebiyat Fakültesi İstatistik ve Bilgisayar Bilimleri Bölümü (2005)
Yüksek Lisans : Ankara Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü İstatistik Anabilim Dalı (2009)
Çalıştığı Kurum ve Yıl
Ankara Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü İstatistik Anabilim Dalı (2006)
SCI Yayınlar
1. Aydoğdu, H., Şenoğlu, B. and Kara, M. 2010. Application of MML methodology to an -series process with Weibull distribution. Hacettepe Journal of Mathematics and Statistics, 39(3), 449-460.
2. Aydoğdu, H., Şenoğlu, B. and Kara, M. 2010. Parameter estimation in geometric process with Weibull distribution. Applied Mathematics and Computation, 217(6), 2657-2665.
3. Aydoğdu, H. and Kara, M. 2012. Nonparametric estimation in -series processes . Computational Statistics and Data Analysis, 56, 190-201.
Uluslararası Kongreler
1. Altındağ, Ö., Aydoğdu, H. and Kara, M. 2011. Monte Carlo estimation of the mean value function in geometric process. The 24th international conference of Jangjeon Mathematical Society, Konya, Turkey.
2. Türkşen, Ö., Kara, M. and Aydoğdu, H. 2013. Parameter estimation in geometric process with the inverse Gaussian distribution. 2th international eurasian conference on mathematical sciences and applications, Sarajevo, BOSNA.
Ulusal Kongreler
1. Kara, M. and Aydoğdu, H. 2008. Geometrik süreçlerde bazı parametrelerin parametrik olmayan tahmini. 6. istatistik sempozyumu, Samsun, Türkiye.