SİMÜLASYON ÇALIŞMASI

Bu bölümde -seri sürecin üç önemli parametresi olan  , ve ² için önerilen ˆ ˆ, _ML

  , ˆ_MML, ˆ ,_i i1, 2,.., 6, ˆ _ML,ˆ_MML ve ˆ₁², ˆ₂², ˆ_ML² ,ˆ_MML² tahmin edicilerinin performansları bir simülasyon çalışması ile incelenmiştir. Tahmin edicilerin performansları yan ve MSE ölçütlerine göre değerlendirilmiştir.

Yapılan simülasyon çalışmasında aşağıdaki üç dağılım kullanılmıştır.

(i)

2 2

(ln )

1 2

( ) , 0; , 0

2

x

f x e x

x



  



 

   

olasılık yoğunluk fonksiyonu ile lognormal dağılım, burada ( , )  sırasıyla (0,0.5), (0.4,0.4), (0.7, 0.3) ve (1, 0.2) olarak alınmıştır.

(ii) f x( ) _ x^{ 1}e ^{( /x )} ,x 0; ,  0



 

  

olasılık yoğunluk fonksiyonu ile Weibull dağılımı, burada ( , )  sırasıyla (1.5,1), (2,1), (1.2, 0.5) ve (3, 1) olarak alınmıştır.

(iii) ( ) ^{1 1 /} , 0; , 0

( )

f x _ x^ e x ^ x  

  ^{ }

  



olasılık yoğunluk fonksiyonu ile gama dağılımı, burada ( , )  sırasıyla (1.5,1), (2,1), (3, 0.5) ve (4, 0.5) olarak alınmıştır.

Çalışmada   2(0.2)2 değerleri seçilmiştir. Ayrıca tahmin edicilerin küçük ve büyük örneklem özelliklerini incelemek için n örneklem hacmi 20(10)150 alınmıştır. Sonuçlar kısaltılarak aşağıdaki tablolarda verilmiştir. Tüm tablolar 1000 simülasyon üzerine kurulmuştur.

Çizelge 7.1 Lognormal dağılım (  0.5, 0, 0.5; 1.1331, ²0.3647)

durumunda -seri sürecin  parametresi, dağılımın ortalaması ve varyansı için önerilen tahmin edicilerin Yan ve MSE’leri

ˆ ˆ, _ML

Çizelge 7.2 Lognormal dağılım (0.5, 0.4, 0.4; 1.6161, ² 0.4532)

durumunda -seri sürecin  parametresi, dağılımın ortalaması ve varyansı için önerilen tahmin edicilerin Yan ve MSE’leri

ˆ ˆ, _ML

Çizelge 7.3 Lognormal dağılım (0.8, 0.7, 0.3; 2.1064, ²0.4179)

durumunda -seri sürecin  parametresi, dağılımın ortalaması ve varyansı için önerilen tahmin edicilerin Yan ve MSE’leri

ˆ ˆ, _ML

Çizelge 7.4 Lognormal dağılım (1.5, 1, 0.2; 2.7732, ²0.3139)

durumunda -seri sürecin  parametresi, dağılımın ortalaması ve varyansı için önerilen tahmin edicilerin Yan ve MSE’leri

ˆ ˆ, _ML

Çizelge 7.5 Weibull dağılım (  0.5, 1.5,1; 0.9027, ²0.3757) durumunda -seri sürecin  parametresi, dağılımın ortalaması ve varyansı için önerilen tahmin edicilerin Yan ve MSE’leri

ˆ ˆ, _MML

Çizelge 7.6 Weibull dağılım (0.5, 2,1; 0.8862, ²0.2146) durumunda -seri sürecin  parametresi, dağılımın ortalaması ve varyansı için önerilen tahmin edicilerin Yan ve MSE’leri

ˆ ˆ, _MML

Çizelge 7.7 Weibull dağılım ( 0.8, 1.2,0.5; 0.4703, ² 0.1549) durumunda  -seri sürecin  parametresi, dağılımın ortalaması ve varyansı için önerilen tahmin edicilerin Yan ve MSE’leri

ˆ ˆ, _MML

Çizelge 7.8 Weibull dağılım (1.5,3,1; 0.8930, ²0.1053) durumunda -seri sürecin  parametresi, dağılımın ortalaması ve varyansı için önerilen tahmin edicilerin Yan ve MSE’leri

ˆ ˆ, _MML

Çizelge 7.9 Gama dağılım ( 0.5, 1.5,1; 1.5, ²1.5) durumunda  - seri sürecin  parametresi, dağılımın ortalaması ve varyansı için önerilen tahmin edicilerin Yan ve MSE’leri

ˆ ˆ, _ML,ˆ_MML

Çizelge 7.10 Gama dağılım ( 0.5, 2, 1; 2, ²2) durumunda  -seri sürecin  parametresi, dağılımın ortalaması ve varyansı için önerilen tahmin edicilerin Yan ve MSE’leri

ˆ ˆ, _ML,ˆ_MML

Çizelge 7.11 Gama dağılım ( 0.8, 3, 0.5; 1.5, ²0.75) durumunda

-seri sürecin  parametresi, dağılımın ortalaması ve varyansı için önerilen tahmin edicilerin Yan ve MSE’leri

ˆ ˆ, _ML,ˆ_MML

Çizelge 7.12 Gama dağılım ( 1.5, 4,0.5; 2, ²1) durumunda  -seri sürecin  parametresi, dağılımın ortalaması ve varyansı için önerilen tahmin edicilerin Yan ve MSE’leri

ˆ ˆ, _ML,ˆ_MML

20 40 60 80 100 120 140 0.04

0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 0.16

n

Hko

=-0.5, =0, =0.5; =1.1331, ²=0.3647.

20 40 60 80 100 120 140

0 0.02 0.04 0.06 0.08

n

|Yan|

=-0.5, =0, =0.5; =1.1331, ²=0.3647.

ML NP1 NP2 NP3 NP4 NP5 NP6

20 40 60 80 100 120 140

0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1

n

|Yan|

=-0.5, =0, =0.5; =1.1331, ²=0.3647.

20 40 60 80 100 120 140

0 0.05 0.1 0.15 0.2

n

Hko

=-0.5, =0, =0.5; =1.1331, ²=0.3647. ML NP1 NP2

Şekil 7.1 Çizelge 7.1’deki sonuçlara göre dağılımın ortalaması ve varyansı için önerilen tahmin edicilerin Yan ve MSE grafikleri

20 40 60 80 100 120 140 0

0.01 0.02 0.03 0.04 0.05

n

|Yan|

=0.5, =0.4, =0.4; =1.6161, ²=0.4532.

20 40 60 80 100 120 140

0.05 0.1 0.15 0.2 0.25

n

Hko

=0.5, =0.4, =0.4; =1.6161, ²=0.4532. ML NP1 NP2 NP3 NP4 NP5 NP6

20 40 60 80 100 120 140

0 0.02 0.04 0.06 0.08

n

|Yan|

=0.5, =0.4, =0.4; =1.6161, ²=0.4532.

20 40 60 80 100 120 140

0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12

n

Hko

=0.5, =0.4, =0.4; =1.6161, ²=0.4532.

ML NP1 NP2

Şekil 7.2 Çizelge 7.2’deki sonuçlara göre dağılımın ortalama ve varyansı için önerilen tahmin edicilerin Yan ve MSE grafikleri

20 40 60 80 100 120 140 0

0.01 0.02 0.03 0.04 0.05

n

|Yan|

=0.8, =0.7, =0.3; =2.1064, ²=0.4179.

20 40 60 80 100 120 140

0.05 0.1 0.15 0.2

0.25 =0.8, =0.7, =0.3; =2.1064, ²=0.4179.

n

Hko

ML NP1 NP2 NP3 NP4 NP5 NP6

20 40 60 80 100 120 140

0 0.01 0.02 0.03 0.04

n

|Yan|

=0.8, =0.7, =0.3; =2.1064, ²=0.4179.

20 40 60 80 100 120 140

0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07

=0.8, =0.7, =0.3; =2.1064, ²=0.4179.

n

Hko

ML NP1 NP2

Şekil 7.3 Çizelge 7.3’deki sonuçlara göre dağılımın ortalaması ve varyansı için önerilen tahmin edicilerin Yan ve MSE grafikleri

20 40 60 80 100 120 140 0

0.01 0.02 0.03 0.04

n

|Yan|

=1.5, =1, =0.2; =2.7732, ²=0.3139.

20 40 60 80 100 120 140

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25

n

Hko

=1.5, =1, =0.2; =2.7732, ²=0.3139.

ML NP1 NP2 NP3 NP4 NP5 NP6

20 40 60 80 100 120 140

0 0.005 0.01 0.015 0.02

n

|Yan|

=1.5, =1, =0.2; =2.7732, ²=0.3139.

20 40 60 80 100 120 140

0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025

=1.5, =1, =0.2; =2.7732, ²=0.3139.

n

Hko

ML NP1 NP2

Şekil 7.4 Çizelge 7.4 ‘deki sonuçlara göre dağılımın ortalaması ve varyansı için önerilen tahmin edicilerin Yan ve MSE grafikleri

20 40 60 80 100 120 140 0

0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4

n

Hko

=-0.5, =1.5, =1; =0.9027, ²=0.3737.

20 40 60 80 100 120 140

0 0.05 0.1 0.15 0.2

n

|Yan|

=-0.5, =1.5, =1; =0.9027, ²=0.3737.

MML NP1 NP2 NP3 NP4 NP5 NP6 MML NP1 NP2 NP3 NP4 NP5 NP6

20 40 60 80 100 120 140 150

0 0.2 0.4 0.6 0.8

n

Hko

=-0.5, =1.5, =1; =0.9027, ²=0.3737.

20 40 60 80 100 120 140

0 0.1 0.2 0.3 0.4

n

|Yan|

=-0.5, =1.5, =1; =0.9027, ²=0.3737. MML NP1 NP2 MML NP1 NP2

Şekil 7.5 Çizelge 7.5 ‘deki sonuçlara göre dağılımın ortalaması ve varyansı için önerilen tahmin edicilerin Yan ve MSE grafikleri

20 40 60 80 100 120 140 0

0.05 0.1 0.15 0.2

n

Hko

=0.5, =2, =1; =0.8862, ²=0.2146.

20 40 60 80 100 120 140

0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1

n

|Yan|

=0.5, =2, =1; =0.8862, ²=0.2146.

MML NP1 NP2 NP3 NP4 NP5 NP6

MML NP1 NP2 NP3 NP4 NP5 NP6

20 40 60 80 100 120 140

0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1

n

Hko

=0.5, =2, =1; =0.8862, ²=0.2146.

20 40 60 80 100 120 140

0 0.02 0.04 0.06 0.08

n

|Yan|

=0.5, =2, =1; =0.8862, ²=0.2146.

MML NP1 NP2 MML NP1 NP2

Şekil 7. 6 Çizelge 7.6’daki sonuçlara göre dağılımın ortalaması ve varyansı için önerilen tahmin edicilerin Yan ve MSE grafikleri

20 40 60 80 100 120 140 0

0.05 0.1 0.15 0.2

n

Hko

=0.8, =1.2, =0.5; =0.4703, ²=0.1549.

20 40 60 80 100 120 140

0 0.05 0.1 0.15 0.2

n

|Yan|

=0.8, =1.2, =0.5; =0.4703, ²=0.1549.

MML NP1 NP2 NP3 NP4 NP5 NP6

MML NP1 NP2 NP3 NP4 NP5 NP6

20 40 60 80 100 120 140

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

n

Hko

=0.8, =1.2, =0.5; =0.4703, ²=0.1549.

20 40 60 80 100 120 140

0 0.05 0.1 0.15 0.2

n

|Yan|

=0.8, =1.2, =0.5; =0.4703, ²=0.1549.

MML NP1 NP2 MML NP1 NP2

Şekil 7.7 Çizelge 7.7 ‘deki sonuçlara göre dağılımın ortalaması ve varyansı için önerilen tahmin edicilerin Yan ve MSE grafikleri

20 40 60 80 100 120 140 0

0.02 0.04 0.06 0.08

n

Hko

=1.5, =3, =1; =0.8930, ²=0.1053.

20 40 60 80 100 120 140

0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05

n

|Yan|

=1.5, =3, =1; =0.8930, ²=0.1053.

MML NP1 NP2 NP3 NP4 NP5 NP6

MML NP1 NP2 NP3 NP4 NP5 NP6

20 40 60 80 100 120 140

0 0.005 0.01 0.015

n

Hko

=1.5, =3, =1; =0.8930, ²=0.1053.

20 40 60 80 100 120 140

0 0.01 0.02 0.03 0.04

n

|Yan|

=1.5, =3, =1; =0.8930, ²=0.1053.

MML NP1 NP2

MML NP1 NP2

Şekil 7.8 Çizelge 7.8’deki sonuçlara göre dağılımın ortalaması ve varyansı için önerilen tahmin edicilerin Yan ve MSE grafikleri

20 40 60 80 100 120 140 0.2

0.4 0.6 0.8 1 1.2

n

Hko

=-0.5, =1.5, =1; =1.5, ²=1.5.

20 40 60 80 100 120 140

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25

n

|Yan|

=-0.5, =1.5, =1; =1.5, ²=1.5.

ML MML NP1 NP2 NP3 NP4 NP5 NP6

20 40 60 80 100 120 140

0 5 10 15

n

Hko

=-0.5, =1.5, =1; =1.5, ²=1.5.

20 40 60 80 100 120 140

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

n

|Yan|

=-0.5, =1.5, =1; =1.5, ²=1.5.

ML MML NP1 NP2

Şekil 7.9 Çizelge 7.9 ‘daki sonuçlara göre dağılımın ortalaması ve varyansı için önerilen tahmin edicilerin Yan ve MSE grafikleri

20 40 60 80 100 120 140 0.2

0.4 0.6 0.8 1 1.2

n

Hko

=0.5, =2, =1; =2, ²=2.

20 40 60 80 100 120 140

0 0.1 0.2 0.3 0.4

n

|Yan|

=0.5, =2, =1; =2, ²=2.

ML MML NP1 NP2 NP3 NP4 NP5 NP6

20 40 60 80 100 120 140

0 2 4 6 8 10 12

n

Hko

=0.5, =2, =1; =2, ²=2.

20 40 60 80 100 120 140

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

n

|Yan|

=0.5, =2, =1; =2, ²=2.

ML MML NP1 NP2

Şekil 7.10 Çizelge 7.10 ‘daki sonuçlara göre dağılımın ortalaması ve varyansı için önerilen tahmin edicilerin Yan ve MSE grafikleri

20 40 60 80 100 120 140 0

0.1 0.2 0.3 0.4

n

Hko

=0.8, =3, =0.5; =1.5, ²=0.75.

20 40 60 80 100 120 140

0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12

n

|Yan|

=0.8, =3, =0.5; =1.5, ²=0.75.

ML MML NP1 NP2 NP3 NP4 NP5 NP6

20 40 60 80 100 120 140

0 0.2 0.4 0.6 0.8

n

Hko

=0.8, =3, =0.5; =1.5, ²=0.75.

20 40 60 80 100 120 140

0 0.05 0.1 0.15 0.2

n

|Yan|

=0.8, =3, =0.5; =1.5, ²=0.75.

ML MML NP1 NP2

Şekil 7.11 Çizelge 7.11’deki sonuçlara göre dağılımın ortalaması ve varyansı için önerilen tahmin edicilerin Yan ve MSE grafikleri

20 40 60 80 100 120 140 0

0.2 0.4 0.6 0.8

n

Hko

=1.5, =4, =0.5; =2, ²=1.

20 40 60 80 100 120 140

0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1

n

|Yan|

=1.5, =4, =0.5; =2, ²=1.

ML MML NP1 NP2 NP3 NP4 NP5 NP6

20 40 60 80 100 120 140

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

n

Hko

=1.5, =4, =0.5; =2, ²=1.

20 40 60 80 100 120 140

0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12

n

|Yan|

=1.5, =4, =0.5; =2, ²=1.

ML MML NP1 NP2

Şekil 7.12 Çizelge 7.12’deki sonuçlara göre dağılımın ortalaması ve varyansı için önerilen tahmin edicilerin Yan ve MSE grafikleri

Genel olarak simülasyon sonuçlarına göre F dağılım fonksiyonunun bilinmediği durumda hata kareler ortalaması ve yan ölçütüne göre  için  0 ya da  1 iken

ˆ1

 ’nın diğerlerine göre tercih edilir. 0  0.5 durumunda ˆ₆ ve 0.5  1 durumunda ˆ₄ diğerlerine göre daha iyi olduğu görülmektedir. F dağılımının ² varyansı için yan ve hata kareler ölçütüne göre ˆ₁²’nin daha iyi olduğu görülmektedir.

Ayrıca Weibull ve gama dağılım durumunda şekil parametresi büyüdükçe ˆ₂, ˆ₅ ve

2

ˆ2

 tahmin edicilerinin performanslarının artığı söylenebilir. F dağılım fonksiyonunun bilinmesi durumunda  ve ² için ML ve MML tahmin edicilerinin NP tahmin edicilerinden daha iyi olduğu belirlenmiştir.

Belgede ANKARA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ DOKTORA TEZİ -SERİ SÜREÇLERDE PARAMETRE TAHMİNİ. Mahmut KARA İSTATİSTİK ANABİLİM DALI ANKARA 2014 (sayfa 93-119)