Zamanın bir fonksiyonu olarak gerçekleşen olayların sayısını sayan bir sürece sayma süreci denilmektedir. Bir sayma sürecinden gelen veri kümesi bağımsız aynı dağılımlı rasgele değişkenlerden oluşuyor ise model olarak bir yenileme süreci (RP) kullanılabilir. Fakat sayma sürecinin olaylar arası geçen zaman süreleri monoton eğilimde ise model olarak yenileme süreci kullanılmaz. Uygulamada ortaya çıkan birçok bakım, onarım ve yer değiştirme problemlerinde ve güvenirlik teorisindeki başka analizlerde sayma sürecinden gelen veri kümesi monoton eğilimli rasgele değişkenlerden oluşur. Bu tür durumlarda model olarak stokastik monoton bir sayma süreci düşünülmelidir. Braun vd. (2005) geometrik ve homojen olmayan Poisson sürecine alternatif olacak şekilde -seri süreç olarak adlandırılan bir stokastik monoton süreç tanımlamıştır.
n X n n, 1, 2,...
bağımsız aynı dağılımlı rasgele değişkenlerin bir dizisi olacak şekilde bir reel sayısı varsa
X nn, 1, 2,...
dizisi üzerine kurulu sayma sürecine-seri süreç denir. Bu süreç 0 için stokastik olarak artan iken 0 için stokastik azalandır. 0 için -seri süreç bir yenileme sürecine dönüşür. Braun vd. (2008) -seri süreç ile geometrik sürecin arasındaki farklılıkları ortaya koymuş ve bazı önemli teorik sonuçlar vermiştir. -seri süreç sayma süreçleri ile ilgili uygulamalarda olaylar arası geçen zaman sürelerinin monoton eğilimde olması durumunda homojen olmayan Poisson süreci (NHPP) ve geometrik sürece (GP) alternatif olarak kullanılmaktadır. Bir
-seri süreçte ilk olay gerçekleşinceye kadar geçen zaman süresi olan X rasgele 1 değişkeninin dağılım fonksiyonu F ile gösterilsin. F ’nin şekilsel olarak bilinmesi ya da bilinmemesi durumunda sürecin parametresinin, F ’nin ortalamasının ve varyansının nasıl tahmin edileceği önemli bir problemdir.
Aydoğdu vd. (2010), ilk olay gerçekleşinceye kadar geçen zaman olan X rasgele 1 değişkeninin Weibull dağılım olması durumunda sürecin üç önemli parametresi , ve
2’nin uyarlanmış en çok olabilirlik (MML) yöntemiyle tahmin edicilerini elde etmişlerdir. Bu tahmin edicilerin tutarlılık ve asimptotik normallik gibi istatistiksel
özelliklerini vermişlerdir. Ayrıca 0 hipotezini test etmek için test istatistiği önermişlerdir. Pratikte Weibull dağılımı kadar sık kullanılan gama ve lognormal dağılımları için -seri süreçlerinde parametrik sonuç çıkarımına ilişkin literatürde bir çalışma bulunmamaktadır. Bu çalışmada bu iki dağılım için sürecin , ve 2 parametrelerinin en çok olabilirlik (ML) yöntemiyle tahmin edicileri elde edilmiş ve bu tahmin edicilerin asimptotik normallik ve tutarlılık gibi bazı istatistiksel özellikleri incelenmiştir. X ’in dağılım fonksiyonu F’nin bilinmemesi durumunda bu 1 parametrelerin en küçük kareler (LSE) yöntemine dayalı olarak bazı parametrik olmayan (NP) tahmin edicileri verilmiş ve bu tahmin edicilerden bazılarının tutarlılık ve asimptotik normallik özellikleri elde edilmiştir. ’nın parametrik olmayan tahmin edicisine bağlı olarak bir -seri sürecini yenileme sürecinden ayırt edilmesi için bir test istatistiği geliştirilmiştir. Bu çalışma aşağıdaki biçimde düzenlenmiştir.
İkinci bölümde çalışmada kullanılacak olan bazı temel kavramlar verilmiştir. Klasik, Lindeberg-Feller ve Liapunov merkezi limit teoremleri hatırlatılarak, asimptotik normallik üzerinde durulmuştur. Daha sonra çalışmada ele alınan olasılık dağılımları ile ilgili parametrelerin ML tahmin edicilerinin sayısal olarak hesaplanmasında kullanacağımız Newton-Raphson yöntemi verilmiştir. Son olarak bazı dağılımlar ile ilgili parametrelerin kapalı formda tahmin edicilerini elde etmek için kullanacağımız MML yönteminden bahsedilmiştir.
Üçüncü bölümde ilk olarak sayma süreci tanıtılmış ve ardından homojen Poisson, homojen olmayan Poisson, yenileme, geometrik ve -seri süreç gibi bazı özel sayma süreçleri verilmiştir. Ayrıca Cox-Lewis ve Weibull süreçleri detaylı olarak incelenmiş olup bu süreçlere ait parametrelerin ML tahmin edicileri elde edilmiştir.
Dördüncü bölümde bir sayma sürecinden gelen veri kümesinde bir trendin varlığının anlamlılık testine ilişkin bilinen bazı test istatistikleri verilmiştir. Trendin varlığı durumunda bu veri kümesinin -seri sürece uygun olup olmadığına yönelik bir test geliştirilmiştir.
Beşinci bölümde -seri sürece göre ilk olayın gerçekleşme zamanı olan X rasgele 1 değişkeninin dağılım fonksiyonu F’nin bilinmediği kabul edilerek, sürecin üç önemli parametresi olan , ve 2’nin LSE yöntemine dayalı olarak parametrik olmayan tahmin edicileri elde edilmiştir. Elde edilen bazı tahmin edicilerin tutarlılık ve asimptotik normallik gibi bazı istatistiksel özellikleri incelenmiştir. Ayrıca - seri sürecin yenileme sürecinden ayırt edilmesine yönelik bir test istatistiği verilmiştir.
Altıncı bölümde -seri sürece göre ilk olayın gerçekleşme zamanı olan X rasgele 1 değişkeninin dağılımının üstel, lognormal, gama ve Weibull olması durumunda sürecin üç önemli parametresi olan , ve 2’nin ML ve MML tahmin edicileri elde edilmiştir. Bu tahmin edicilerin bazı istatistiksel özellikleri incelenmiştir.
Yedinci bölümde -seri sürecin üç önemli parametresi olan , ve 2 için önerilen ˆ ˆ, ML
, ˆMML, ˆ , (i i1, 2,..,6), ˆ ML, ˆMML ve ˆ12, ˆ22, ˆML2 ,ˆMML2 tahmin edicilerinin performansları bir simülasyon çalışması ile incelenmiştir. Tahmin edicilerin performansları yan ve hata kareler ortalaması (MSE) ölçütlerine göre değerlendirilmiştir. ML ve MML tahmin edicilerinin NP tahmin edicilerinden daha etkin olduğu görülmüştür.
Sekizinci bölümde beş ayrı gerçek veri kümesi göz önüne alınmıştır. Her bir veri kümesinde trendin olup olmadığı belirlenmiş ve her birisi için seçilen bir ilk gerçekleniş zaman dağılımı ile -seri sürecine uyumlu bir model olduğu gösterilmiştir. Ayrıca her bir modelde bilinmeyen , ve 2 parametrelerinin parametrik ve parametrik olmayan tahmin edicileri ile tahmin değerleri hesaplatılmış ve her bir modelde kestirimlere yönelik olarak hata kareler ortalaması (MSE*) ölçütüne göre en uygun parametre tahmin değerleri seçilmiştir. Ayrıca hem MSE* hem de kestirimler için en büyük göreli hata (MRE) ölçütlerine göre geometrik, Cox-Lewis, Weibull ve yenileme süreç modelleri ile -seri süreç modeli karşılaştırılmıştır. Üzerinde çalışılan veri kümelerine -seri süreç modeli ile Weibull modelinin daha uyumlu olduğu görülmüştür.
.