Embora a história sobre Descartes junto a outros matemáticos de seu tempo fora contemplada no Capítulo II, voltamos com esse personagem que exerce papel fundamental para o desenvolvimento da proposta apresentada nesse trabalho.
A luz do século XVII, o francês, filósofo, cientista e matemático, René Descartes (1596-1650), pertencia a um período onde os matemáticos tinham grande
dificuldade de aceitação dos números negativos. A história nos mostra um forte apelo à geometria para sustentar todo o trabalho que era desenvolvido acerca dos números, em outras palavras, número era um ente geométrico. Nesta época, a geometria ainda era capaz de dar sustentação às verdades matemáticas que eram questionadas. Neste contexto, Descartes coloca em seu livro La Géométrie as seguintes palavras:
As linhas são símbolos mais simples que os números, porque se podem exprimir por linhas todas as relações de grandezas, ao passo que certas relações, como as de grandezas incomensuráveis entre si, não se podem exprimir por números. Além disso, a proposição existe entre duas linhas não está de modo algum limitada a estas próprias linhas, porque pode igualmente representar a mesma proporção existente entre dois números, entre duas superfícies ou entre dois sólidos. (DESCARTES, 1979, p. 59)
Como um exemplo, utilizando a notação que atualmente utilizamos para números, podemos exprimir a soma de dois números irracionais, que na época ainda careciam de entendimento, √2 + √2 = 2√2 que em representação decimal não pode ser expresso. Entretanto, quando representado como um segmento, podemos fazer referência do mesmo.
Com isso, Descartes facilita as suas demonstrações ao considerar que o produto de dois segmentos de retas pode ser expresso por outro segmento de reta e, não necessariamente, como a área de um retângulo, consequentemente, as grandezas envolvidas tornam-se homogêneas. (EVES, 2011; BOYER, 1996).
Isto foi possível pela escolha de um segmento de reta arbitrário para unidade, então, o produto de dois segmentos pôde ser interpretado como um outro segmento [...], apesar de construir geometricamente a solução, este método é absolutamente inovador na geometria, pois permite operar com grandezas como se fossem números. (ROQUE e CARVALHO 2012, p.248).
Em La géométrie, René Descartes considera que:
[...] assim como a aritmética não compreende mais que quatro ou cinco operações, que são a adição, a subtracção, a multiplicação, a divisão e a extracção de raízes, que pode tomar-se como uma espécie de divisão, assim também não há outra coisa a fazer em geometria, com respeito às linhas que se desejam conhecer, que juntar ou subtrair outras, ou ainda, conhecendo uma, que designarei por unidade para relacioná-la o melhor possível com os números, e que geralmente pode ser escolhida arbitrariamente e, conhecendo logo outras duas, determinar uma quarta que esteja para uma dessas duas como a outra está para a unidade, é o mesmo que a multiplicação; ou ainda encontrar uma quarta que esteja para uma dessas duas como a unidade está para a outra, o que é o mesmo que a divisão; ou, enfim, encontrar um, dois, ou vários meios proporcionais entre a unidade e alguma outra linha, o que é o mesmo que extrair a raiz quadrada, ou cúbica, etc. E não temerei introduzir estes termos de aritmética em geometria, a fim de tomar-me mais inteligível. (DESCARTES, apud. CYRINO E PASQUINI, 2010, p. 20)
Desse modo, Descartes mostra a necessidade de se amparar em conceitos geométricos para que os aritméticos possam ser considerados (CYRINO e PASQUINI, 2010). Em outras palavras, Descartes usa uma construção geométrica para dar um significado à multiplicação entre dois valores a e b onde o produto ab é um segmento de reta e não a área de um retângulo.
A seguir, apresentamos o modo pelo qual Descartes define o produto e a divisão de segmentos, associado às suas justificativas.
Iniciaremos com a multiplicação. Observando a figura a seguir, consideremos por exemplo, AB a unidade, e que se deva multiplicar o segmento BD pelo segmento BC, para isso, só é necessário unir os pontos A e C, depois determinar o segmento DE paralelo a CA. Assim, o segmento BE será o produto desta multiplicação.
Figura 8 Multiplicação de segmentos por Descartes
Por uma construção análoga, Descartes descreve a divisão entre segmentos. Ou seja, podemos obter a divisão do segmento BE pelo segmento BD , assumindo ainda, AB como a unidade, é necessário unir os pontos E e D , depois determinar CA paralela a DE , sendo BC o produto desta divisão.
Figura 9: Divisão de segmentos proposta por Descartes
Mas, o que garante de fato que Descartes possui sustentação para as suas ideias, ou seja, podemos considerar que a multiplicação ou a divisão de segmentos de Descartes é possível? Para isso recorremos há anos de história, trazendo o matemático Tales de Mileto. Sobre este matemático ainda cercam muitas conjecturas, sobre sua existência, suas ideias e incursões. O teorema a que atribuímos sua autoria é um resultado de grande importância da geometria euclideana, cuja demonstração foi alvo de diversos matemáticos posteriores a seu tempo. Este teorema apresenta-se em diversas formas e uma apresentação mais detalhada sobre o tema pode ser encontrada em Pereira (2005).
Para nossa exposição trazemos uma redação do enunciado do Teorema de Tales encontrada em um livro didático utilizado nas escolas paranaenses.
Se duas retas transversais são cortadas por um feixe de retas paralelas, então a razão entre quaisquer dois segmentos determinados em umas das transversais é igual à razão entre os segmentos correspondentes da outra transversal. (SOUZA, 2013. p.258)
Com isso, a explicação para a multiplicação dos segmentos pode ser dada por este resultado, o teorema de Tales, ou seja, se considerarmos o segmento AB como a unidade, e desejamos multiplicar o segmento BD pelo segmento BC, note que ACé paralelo a DE na construção. Logo, pelo Teroema de Tales é válida a proporção ̅̅̅̅̅̅̅̅= ̅̅̅̅̅̅̅̅ então BC
̅̅̅̅. BD̅̅̅̅ = AB̅̅̅̅. BE̅̅̅̅ e como AB̅̅̅̅ é a unidade, o segmento BE será o produto desta multiplicação. Analogamente, podemos explicar a divisão.
Na sequência apresentamos as ideias de Hilbert para a multiplicação e a divisão.