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O filósofo, cientista e matemático francês, René Descartes (1596-1650), é um dos personagens principais deste trabalho já que suas ideias nos permitiram elaborar a proposta que apresentamos, ou seja, pelo seu método de operar com segmentos. Isso nos motiva a trazer neste capítulo um pouco da sua trajetória de vida e suas respectivas obras que colaboraram para tal.

Apesar de não ter seu nome relacionado à construção do conjunto dos

reconheceu os números negativos, Descartes ganha relevância ao apresentar sua geometria. Utilizaremos suas ideias para a elaboração das Tarefas que compõe um tratamento para as quatro operações básicas com números negativos por meio de construções geométricas envolvendo segmentos. Hilbert foi outro matemático que construiu uma geometria usando ideias análogas, cerca de trezentos anos mais tarde, à sua época traremos este personagem para o texto.

Descartes foi uma figura central do racionalismo, corrente filosófica que preconizava a busca da verdade por meios intelectuais e dedutivos sem contraposição dos meios sensoriais. Ou seja, inicia um pensamento inovador no campo da filosofia que ocorria na diretiva agostiniana do apego ao “eu pensante” juntamente à iluminação divino-natural das ideias superando a iluminação divina, permanecendo apenas na intuição do eu e do inatismo das ideias. Este pensamento ficou imortalizado pela sua célebre frase: “Penso, logo existo” (KATZ, 2010; MOL, 2013).

Na época em que os movimentos intelectuais da Idade Média e da Renascença entravam em declínio, ele concebeu novas ideias para a filosofia e a ciência, elaborando e defendendo-as com originalidade e brilhantismo. O pensamento cartesiano teve formação paulatina, a qual tudo era explicável em termos de matéria e movimento, porquanto teria se consolidado somente em 1637, com a publicação do Discurso do Método para Bem

Conduzir a Razão e Buscar a Verdade nas Ciências, popularmente conhecido como O Discurso do Método.

Se, por um lado, a filosofia de Descartes era inovadora e revolucionária para sua época, por outro sua obra matemática inseriu-se na corrente evolutiva que teve início com os algebristas árabes e prosseguiu com os matemáticos do Renascimento. As bases da teoria hoje conhecida por Geometria Analítica foram lançadas em seu trabalho matemático mais importante, A Geometria, de 1637. Esse texto nasceu como um conjunto de três apêndices ao Discurso do Método [...] A Geometria, que apenas mais tarde ganhou existência como

obra independente, era aberto com a seguinte frase: ‘Todos os problemas em

geometria podem facilmente serem reduzidos a termos tais que basta o conhecimento dos comprimentos de algumas retas para que sejam

construídos’. (MOL, 2004, p. 96, grifo nosso)

No campo da Matemática René Descartes na obra Règles pour direction de

lésprit, de 1628, anunciava uma nova ciência que seria uma espécie de Matemática Universal.

Essa maneira inovadora de pensar a Matemática é a precursora citada por MOL, La

Géométrie, de 1637, e foi batizada por Mathesis Universalis, que difere muito da matemática

A Mathesis Universalis, nada tem a ver com a matemática de seu tempo. Ela permitiria reduzir a análise de um fenômeno qualquer a problemas

relacionados à “ordem” e a “relações”, por meio de raciocínios dedutivos.

Com a álgebra, qualquer dedução pode ser traduzida em termos de equações. Os problemas geométricos devem ser formulados em linguagem algébrica pra que se possa penetrar nas relações que existem entre os objetos do universo. Este passo é fundamental para legitimar o estudo da geometria por meio da álgebra, pois o que esta última permite apreender são as proporções envolvidas nos objetos geométricos. (ROQUE e CARVALHO, 2011, p. 247) Nesta linha Mol (2004) explica que a primeira seção de La Géométrie era intitulada “como o cálculo aritmético se relaciona às operações de geometria”, embasada em dois objetivos: buscar a tradução das operações aritméticas para a linguagem geométrica (procedimento indispensável para validar verdades matemáticas desde a época de Euclides) e libertar a geometria do uso de diagramas através de procedimentos algébricos.

Com isso a álgebra sofreu significativo avanço, tanto em termos de interpretação geométrica como em notação, chegando a um formato muito próximo do atual. Na citada obra, as variáveis eram denotadas pelas últimas letras do alfabeto, enquanto as letras iniciais do alfabeto eram reservadas para os parâmetros.

O uso de letras do começo do alfabeto para parâmetros e das do fim como incógnitas, a adaptação da notação exponencial a essas, e o uso dos símbolos germânicos + e –, tudo isso fez com a notação de Descartes se assemelhasse à nossa, pois naturalmente tiramos a nossa dele. Havia, porém uma diferença importante na maneira de ver as coisas, pois ao passo que pensamos em parâmetros e incógnitas como números, Descartes pensava neles como segmentos. Num ponto essencial ele rompeu com a tradição grega, pois em vez de considerar x2 e x3, por exemplo, como uma área e um volume, ele também os interpreta como segmentos. (BOYER, 1996 p. 248)

Ainda não era possível perder de vista os procedimentos geométricos para aludir e verificar verdades matemáticas, então Descartes avança significativamente no sentido de entender números ao “trocar” quadrados e cubos de números que eram considerados áreas e volumes geométricos, respectivamente, por valores expressos por segmento de reta (BOYER, 1996). Com isso, a “álgebra geométrica” tornou-se flexível a ponto de lermos “x ao quadrado” sem visualizarmos ou associarmos a um quadrado. Agora é possível trabalhar com potências maiores sem se preocupar com a ausência de um significado geométrico. Descartes foi o primeiro a utilizar a notação moderna de potência (x2, por exemplo) (KATZ, 2010).