Sayı Duyusu Temelli Öğretim ve Sayı Duyusu

Yapılan deneyde sayı duyusu temelli bir öğretim sürecinden geçen ve geçmeyen öğrencilerin sayı duyuları arasında anlamlı bir fark oluşup oluşmayacağı sorusuna yanıt aranmıştır. Analiz sonuçlarına göre sayı duyusu temelli bir öğretim sürecinden geçen ve geçmeyen öğrencilerin sayı duyuları arasında deney grubu lehine anlamlı bir fark oluşmuştur. Bu durum alan yazına göre beklenen bir durumdur. Yang (1995), sayı duyusunun durağan değil aksine geliştirilebilir olduğunu ifade etmiştir. Yapılan birçok çalışmada da uygun ortam, uygun öğretim metodu, uygun materyal ve uygun teknolojik donanım sağlandığında sayı duyusunun geliştirilebileceği deneysel olarak ispatlanmıştır (Griffin, 2004;

Markovits & Sowder,1994; Kaminski, 2002; O’nan, 2003; Whitacre & Nickerson, 2006; Yang, 2002; Yang & Tsai, 2010). Yang, Hsu ve Huang (2004) sayı duyusunun gelişimine yönelik olarak yaptıkları çalışmalarında öğrencileri sayıları ve işlemleri keşfetmeye, bu konuda düşünmeye ve tartışmaya teşvik etmenin sayı duyusunun gelişimine katkısının oldukça fazla olduğuna inandıklarını ifade etmişlerdir. Bu düşüncenin paralelinde deney esnasında öğrencilerin gerek grup içi tartışmalar gerekse sınıf içi tartışmalarda olabildiğince rahat bir şekilde sayılarla ilgili düşünme biçimlerini ifade etmeleri sağlanmaya çalışılmıştır. Deney ve kontrol grubunda, deneyin başlangıç dönemlerinde sorulan her soru için kesin bir cevap vermeye çalışma, sürekli söylediği cevabın doğru olup olmadığını sorgulama, bir işlemin ikinci bir yolunu düşünememe gibi durumlar söz konusuyken deney grubunda ilerleyen dönemlerde bu durumlar gözlenmemiş, aksine öğrenciler sayılarla ilgili çok daha esnek düşünebildiklerini göstermişlerdir. Örneğin, deneyin ilk günü deney grubu öğrencilerinden “24” sayısı denince akıllarına gelen şeyleri sıralamaları istenmiştir. Öğrenciler bu sayı için “doğal sayı, çift sayı, iki düzine”

özelliklerinden öteye gidememişlerdir. Deneyin sonlarına doğru aynı öğrencilerden

“16” sayısı denince akıllarına gelen şeyleri sıralamaları istendiğinde deneyin başlarında verdikleri cevaplara kıyasla oldukça esnek, sayıların farklı özelliklerine ve farklı kullanım şekillerine yönelik “Doğal sayı, tam sayı, çift sayı, dördün karesi, ikinin dördüncü kuvveti, bir onluk altı birlik, dört birlik daha olsaydı iki onluk olurdu,

dün annemle markete 16 lira verdik, iki tane 8, 10+6, içinde dört tane iki var, kuzenimin yaşı, dört sene sonraki yaşım, dört tane dört, 32’ nin yarısı, 64’ ün dörtte biri yani %25’ i, 32x

2

1” gibi cevaplar gelmiştir.

Deney grubu öğrencilerinin sayı duyularındaki istatistiksel olarak anlamlı artış, yapılan uygulama sırasında sayı duyusu bileşenleri bazında araştırmacı tarafından da gözlenmiştir. Bu gözlemlere dayanılarak deney grubundaki öğrencilerin özellikle sayı ve işlem bilgisini hesaplama durumlarına uygulamadaki esneklik bileşeninin içeriğindeki tahmin ve zihinden işlem yapma becerisinde ve kıyaslama (referans noktası kullanma) bileşeninde daha çok ilerleme kaydettikleri söylenebilir. Bu ilerlemenin sebebi öğrencilere daha önceki yıllarda tahmin ve zihinde işlem yapma becerilerinin öneminin üzerinde yeterince durulmamış olması ve bu becerilerle ilgili yeterince tecrübe yaşamamış olmaları olarak yorumlanabilir.

İlgili literatürde de tahmin becerisindeki yetersizliklerin temel sebebi olarak öğrencilerin tahminle ilgili yeterince çalışmamış olmaları (Sowder & Wheeler, 1989; Tsao & Pan, 2010) ve öğrencilerin gerek sonuca ulaşmak ve gerekse sonucun anlamlılığını test etmek için tahmin becerisini kullanmak konusunda motive edilmedikleri (Bestgen, Reys, Rybolt, & Wyatt, 1980) söylenmektedir.

Deneyin başlangıç dönemlerinde deney grubu öğrencilerinden zihinden işlem yapmaları istendiğinde birçoğu gözlerini kapayarak zihinlerini defter gibi kullanmışlar, defterlerinde uyguladıkları algoritmaları zihinlerinde canlandırmaya çalışmışlardır. Deneyin ilerleyen dönemlerinde yapılan gözlemlerde ise deney grubu öğrencilerinin sayılarla ilgili içsel süreçlerini nasıl dışa yansıttıkları gözlenmiştir. Örneğin, öğrenciler bir etkinlik içinde geçen dört ondalık kesrin (45,82; 55,35; 49,2; 59,95) toplamını zihinden tahmin etmeye çalışırken “Dört sayı da 40 ve 50 civarında. 50 nin üzerinde olan birlikleri 40 eklersek o da 50 ye yaklaşır. O nedenle dört tane 50 ye yakın sayı olduğu için 50x4=200 civarında bir sayı elde edilmesi gerekir“ şeklinde bir strateji kullanmışlardır. Yine aynı etkinlikte başka bir deney grubu öğrencisi kullandığı stratejiyi arkadaşlarına “Önce tam kısımları toplarız. 208 yapıyor. Sonra kesirli kısımlara bakarız. Onları da birleştirerek tama tamamlamaya çalışırız. Örneğin: 0,95 zaten 1e çok yakın. 0,82 ile 0,2 nin toplamı da neredeyse 1 ediyor. 0,35 ihmal edebiliriz. Böylelikle kesir kısımlarından da 2 tam elde ettik. 208 ile toplarsa sonuç 210 yapar” şeklinde açıklamıştır. Öğrencilerin bu cevapları dikkate alındığında, onların zihinden işlem

yaparken sayı ve işlemlerle ilgili esnek düşünebildiklerini göstermeleri, sayı duyusunun sayı ve işlem bilgisini hesaplama durumlarına uygulamadaki esneklik bileşeni için bir gösterge olarak değerlendirilebilir.

Yine sayı ve işlem bilgisini hesaplama durumlarına uygulamadaki esneklik, bileşeninin gelişimi bir etkinlikte şöyle gözlenmiştir: Uygulamanın başlarında deney grubuna yöneltilen “Bir okul servisi 36 öğrenci taşıyabiliyorsa 1128 öğrenciyi taşımak için kaç otobüs gerekir?” problemini öğrenciler 1128: 36=31,3 şeklinde çözmüşlerdir. Öğrencilerin bir kısmı verdikleri sayısal cevabı hiç sorgulamamış, bir kısmı ise cevabın küsürlü çıktığını, sorunun yanlış olduğunu iddia etmişlerdir.

Ancak öğretmenin günlük hayatta böyle bir durumla karşılaşmanın mümkün olup olmadığını sorgulaması üzerine yorum yapan bir öğrenci “Her zaman öğrenci sayısı kapasiteye tam bölünemez ki, o zaman bir tane fazladan otobüs tutarız”

şeklinde günlük hayatta geçerli olabilecek sayısal bir çözüm önerisi getirebilmiştir.

Uygulamanın ilerleyen zamanlarında kurşun kalem fiyatının 1,20 TL olarak verildiği ve 50 adet kalem için ne kadar ödenmesi gerektiği üzerinde tartışılırken, kurşun kalemin fiyatı olan 1,20 sayısına ilişkin olarak yaptıkları tartışmada deney grubu öğrencilerinin büyük çoğunluğu “Bu sayı taneyi değil, miktarı belirtiyor. 1,20 TL, 1 lira 20 kuruş demektir. O nedenle problemin içindeki bu sayı anlamlı bence”

yorumunu yapmıştır.

Yapılan uygulamada sayı duyusu bileşenlerinden işlemlerin sayılar üzerindeki etkisini anlama bileşeninin geliştirilmesi için mümkün olduğu kadar işlemlerin kavramsal anlamları verilmeye çalışılmış, işleme tabi tutulan sayıların yapılan işlemden nasıl etkilendikleri üzerinde konuşulmuştur. Bu durum da öğrencilerin sayı duyularında artışa sebep olmuş olabilir. Örneğin 23x15=? işleminin tartışıldığı deney grubunda, öğrencilerden biri tahtaya 23x5=115, 23x10=230, 115+230=445 işlemlerini yazarak “Öğretmenim aslında basamak kaydırılmıyor, basamak kaydırdığımız yerde gizli bir sıfır var. Biz 23x1=23 yazıyoruz ama o aslında 23x10=230. Yani aslında basamak kaydırmıyoruz da sıfırları yazmıyoruz” şeklinde bir açıklama yapmıştır. Öğrencinin yaptığı bu açıklama genelde algoritma olarak verilen (basamak kaydırma gibi kurallar) çarpma işleminin, işleme tabi tutulan sayıları nasıl etkilediğinin içselleştirilmesi ve dolaylı olarak sayı duyusunun gelişimi ile ilgilidir.

Yapılan uygulamada deney grubunda mümkün olduğunca sayı, sayı türleri, sayıların hangi miktarlara karşılık geldiği, sayıların ne ifade ettiği, sayıların günlük hayattaki kullanım yerleri gibi konular üzerinde durulmuştur. Yapılan bu etkinliklerde sayı duyusu bileşenlerinden sayıların anlamlarını anlama bileşeninin gelişimi hedeflenmiştir. Öğrencilerden kullandıkları sayıları günlük hayatlarıyla bağdaştırmaları istenmiştir. Öğrenciler böylelikle günlük hayatlarında karşılaştıkları sayılarla matematik kitaplarında karşılaştıkları sayıları ilişkilendirebilmişlerdir. Örneğin; öğrencilerle ondalık kesirler hakkında konuşulurken öğrencilerin “Mesela benim kardeşim olmuştu, doğum dosyasında ağırlığı 3,76 kg yazıyordu”, “İstanbul’daki köprüde maraton gibi bir şey vardı, orada koşma süresi bu şekilde yazılmıştı”, “Alışverişlerde görüyoruz öğretmenim, 15 lira değil de 14,99 lira yazıyorlar mesela” gibi günlük hayat ilişkilendirmeleri yaptığı görülmüştür. Bu da öğrencilerdeki sayı duyusu gelişimi için önemli bir faktördür. Deney grubundaki öğrenciler daha önce bu şekilde sayılar ve temsil ettikleri miktarlar hakkında hiç düşünmediklerini ve konuşmadıklarını ifade etmişlerdir. Yang (1995), öğrencilerin gerçek hayatta yaşadıkları tecrübeleri sayıları anlamlandırmada kullandıklarını, bu nedenle sayıların dünyası hakkında yaşanan tecrübelerin çok kıymetli olduğunu ve bu durumun sayı duyusu için önemli bir gösterge olduğu vurgulamıştır.

Uygulama sırasında yapılan gözlemlerde sayıların karşılaştırılması ve sıralanması gibi becerileri içeren sayı duyusu bileşeni olan sayı büyüklükleri bileşeninin de geliştirildiği görülmüştür. Öğrenciler uygulama öncesi sayıları sıralamak ve karşılaştırmak için genelde kural odaklı yöntemler kullanmaktadırlar. Uygulamada öğrencilerin sayıları kurallara bağlı kalmaksızın, kendi stratejileri veya tahmin, referans noktası kullanma gibi sayı duyusuna yönelik stratejileri kullanarak sıralamalarını ve karşılaştırmalarını sağlamaya çalışılmıştır. Öğrenciler istedikleri yöntemle sıralama ve karşılaştırma yapabilecekleri konusunda cesaretlendirilmiştir. Böylelikle öğrenciler özellikle kesirler ve ondalık kesirler konularında gerek bilinen temel referans noktalarını ( ,1

2 ,1

0 ) ve gerekse sorunun içeriğinde kullanılan sayıların büyüklüklerine göre kendi belirledikleri referans noktalarını kullanarak işlem yapmışlardır. Örneğin; deney grubunda ondalık kesirlerin sıralanmasını gerektiren bir etkinlikte tahtaya bir ip asılmış, bu ipin bir ucuna 4,6 diğer ucuna 4,7 sayıları asılmıştır. Öğrencilerden istenen 4,67 sayısını

uygun yere yerleştirmeleridir. Bu etkinlik her ne kadar öğrencilerin sayı büyüklükleri bileşenine yönelik olarak hazırlansa da bu bileşen sayıları karşılaştırıp sıralarken farklı stratejiler kullanmayı içerdiğinden öğrenciler bu etkinlikte, kıyaslama (referans noktası kullanımı) bileşenini ve tahmin becerilerini kullanmışlardır. Öğrencilerden biri “4,65 olsaydı tam orta olurdu, 4,67 olduğu için biraz sağa kaydırdım” ifadesi ile aslında 4,65 sayısını referans noktası olarak kullandığını vurgulamıştır. Başka bir öğrenci ise “Öğretmenim, aralığı gözümüzle 10 eşit parçaya bölüp, daha sonra bu parçalardan 7. yi işaretlesek daha garanti olurdu” şeklindeki yorumu ile farklı bir tahmin stratejisi kullandığını ifade etmiştir.

Deney grubunda gözlenen bu değişim kontrol grubunda gözlenmemiştir. Onlar sayı duyusunun temel bileşenleri olan tahmin, esnek hesap becerisi, sayıları anlamlandırma, referans noktası kullanma gibi bileşenleri kitapta veya etkinlikte kendilerinden istendiği zaman kullanmaya çalışmışlardır. Yani sayı duyusunu sürece yayarak, kendi iç dünyalarındaki sayı ve işlem kavramlarını zenginleştirmek yerine sadece yeri geldiği zaman, kullanılması istendiğinde kullanmışlardır.

Örneğin; kontrol grubunda öğretmen kesirlerin sıralanması ile ilgili bir kazanımı anlatırken ders kitabındaki (MEB, 2011) örnekleri kullanmıştır. Bir örnekte

4 ,1 2 31 5 , ,19 4

23 kesirlerinin sayı doğrusunda sıraya dizilerek gösterilmesi istenmiştir.

Kitapta belirtilen ve sorunun çözümünde kullanılan ifade “payları ve paydaları eşit olmayan kesirleri karşılaştırırken önce paydaları veya payları eşitlenir, sonra sıralama yapılır” şeklinde bir kuraldır. Kitapta ve dolayısıyla kontrol grubunda tüm anlatım bu kural üzerine kurulmuştur. Öğretmen sadece dersin sonunda kitapta geçen, bir kesir işleminin sonucunu tahmin etme ile ilgili bir örneği öğrencilerle paylaşmıştır. Bu örneğin çözümünde, verilen kesirlerin ,1

2 ,1

0 sayılarından hangilerine daha yakın olduğu sorulmuş, çözüm tahmini sonuçlar üzerinden yapılmıştır. Kontrol grubunda kesirler konusu anlatılırken tahmin ve referans noktası kullanımı ile ilgili yapılan tek örnek bu olmuştur. Öğretmen, ,1

2 ,1 0 sayılarının ne amaçla kullanıldığı, bu sayıları referans noktası olarak kullanmanın nasıl bir avantaj sağlayacağı, başka hangi durumlarda hangi sayıları referans noktası olarak kullanabilecekleri konusunda bir bilgi vermemiştir. Kitaptaki tahminle ilgili birkaç alıştırma da öğrencilere ev ödevi olarak verilmiştir. Dolayısıyla

her ne kadar öğretim programında ve ders kitaplarında sayı duyusunun geliştirilmesine ilişkin bazı öneri, kazanım ve örneklerin yer alması umut verici olsa da uygulama boyutunda eksiklikler yaşandığı, ders kitaplarında sayı duyusunun geliştirilmesine dair yeterince etkinlik bulunmadığı ve maalesef öğretmenlerin kılavuz kitap olarak çoğunlukla sadece ders kitabı kullanmalarının dersin işlenişini kısıtlı hale getirdiği söylenebilir. Bu gibi durumlar sayı duyusunun gelişmesinin ve geliştirilmesinin önünde büyük bir engel olarak durmaktadır. Bu çalışma bu engeller aşıldığı takdirde öğrencilerin sayı duyularında anlamlı artışlar görülebileceğini göstermiştir.

Bu araştırmanın konusu olmamakla birlikte araştırmacının sınıf içerisindeki gözlemlerinden yola çıkılarak, uygulama sürecinde öğretmenin de sayı duyusunun geliştirilmesine ilişkin yetkinliğinin arttığı söylenebilir. Öğretmenin, süreç içerisinde öğrencileri sayılar ve işlemlerle ilgili tartışmaya ve düşünmeye daha çok teşvik ettiği, öğrencilerin yorumlarına ve cevaplarına daha esnek dönütler verdiği, sınıf içi tartışma sürelerini uzattığı, tartışmalarda öğrencileri cesaretlendirici sorularla desteklediği, referans noktası kullanma, zihinden işlem yapma, tahmin yapma gibi sayı duyusu ile ilgili becerilere daha çok değer verdiği ve bu değeri öğrencilerine hissettirdiği gözlenmiştir. Öğretmende gözlenen tüm bu davranışlar Yang, Hsu, Huang (2004)’ ın sayı duyusunun geliştirilmesinin hedeflendiği sınıflardaki öğretmen modelini desteklemektedir.

5.1.2. Sayı Duyusu Temelli Öğretim ve Günlük Hayattaki Matematiği Fark