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Como mencionamos na Introdução, nosso estudo visava propor uma abordagem metodológica do ensino da Geometria. Para isso, construímos um estudo teórico-prático baseado na relação entre a modelagem matemática e as Geometrias Urbana e Isoperimétrica. Para o desenvolvimento do mesmo delimitamos alguns objetivos a serem alcançados.

Neste item fazemos uma descrição dos resultados obtidos com base no alcance desses objetivos. Optamos em analisar partindo dos objetivos específicos para o objetivo geral, haja vista que estes se constituem em metas importantes para o alcance daquele primeiro. Assim, o primeiro objetivo específico é

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O alcance deste objetivo pode ser verificado a medida que os alunos, aos poucos, demonstraram melhor desempenho ao realizarem tarefas que consistiam na realização de pesquisas e na resolução de situações-problema. Esta melhora direciona-se, principalmente, as capacidades de analisar, refletir e tirar conclusões.

Observamos que essas conclusões aos poucos foram avançando, pois os alunos passaram, no decorrer das aulas, a fazerem reflexões mais consistentes, direcionadas a aspectos que não se restringiam apenas as formas das figuras, como observado no começo, mas também passaram a considerar o processo usado para encontrá-las, bem como a relação com o tipo de malha usada para isso.

Durante as atividades introdutórias os alunos puderam concluir que a distância mais curta entre dois pontos no plano nem sempre é uma linha reta e que esta concepção está intimamente relacionada às diferentes formas de organização do espaço que iremos percorrer. Isto gerou uma discussão muito proveitosa, pois além de permitir que estes alunos conhecessem diferentes tipos de organização espacial e formas, também diferentes, de atuar nos mesmos proporcionou, ainda, reflexões a respeito da importância de levá-los em consideração na organização de espaços, a exemplo, do espaço urbano.

Em relação ao segundo objetivo específico, temos:

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Como já mencionamos no item 4.1 deste capítulo, não observamos nenhuma diferença de nível cognitivo entre os alunos da 7ª e os da 8ª série, além do conhecimento de alguns conteúdos. Tal informação, pode ser claramente observada através das respostas dadas as questões das atividades (ver item 3.2.3, Capítulo 3) que demonstram estar sempre num mesmo nível cognitivo.

Entretanto, vale ressaltar que, como podemos verificar no item 3.2.1 (Capítulo 3) não há uma grande diferença se compararmos a faixa etária dos alunos das duas turmas. Não podemos deixar de considerar ainda os estágios em que Piaget classifica o desenvolvimento de estruturas sucessivamente construídas pelos sujeitos, cuja periodização, apesar de serem indícios e poderem variar de indivíduo para indivíduo, podem ser consideradas. A partir desse, os alunos de ambas as séries estão incluídos no 6º estágio, o das operações intelectuais abstratas, da formação da personalidade e da inserção afetiva e intelectual na sociedade dos adultos e correspondente a fase da adolescência.

Como terceiro objetivo específico temos:

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A proposta sugerida por nós adotou as malhas quadricular e triangular utilizadas, respectivamente, pelas Geometrias Urbana e Isoperimétrica. Como podemos verificar no Capítulo 1, figuras como as cônicas, que dependem de uma definição de distância, apresentam-se com aspectos diferentes quando aplicadas a estas geometrias.

Esta característica foi utilizada por nós ao organizar as atividades e, na aplicação desta, podemos verificar que foi eficiente para que os alunos chegassem a um estado de equilibração majorante. Isso porque, estes partiam de algo que já tinham como pronto – mas, que na verdade estava parcialmente completo, pois não tinham os conceitos de circunferência e elipse, apenas conheciam suas formas geométricas – e, ao se depararem com a forma das figuras apresentadas naquelas geometrias, passavam por um estado de desequilíbrio, isso foi observado claramente durante as discussões e entrevistas.

Esta etapa, por sua vez, como já mencionamos no item 4.2, foi importante e esteve presente em todo o processo de construção do conhecimento proposto, propiciando a ultrapassagem das perturbações e alcance de uma equilibração majorante que, neste caso, consiste na melhor compreensão, por parte dos alunos, das definições que cercam as circunferência e elipse.

Tal resultado pode ser alcançado a medida que, ao considerarmos, com base nas concepção de Piaget (1976b), o equilíbrio psicológico como uma compensação proveniente das atividades do sujeito em resposta às perturbações exteriores. Buscamos fazer com que nas atividades os alunos atuassem como sujeitos ativos na busca de respostas para estas perturbações.

No que refere ao quarto objetivo específico, temos:

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Este objetivo foi alcançado não apenas durante as atividades de pesquisa, em que os alunos eram incentivados a buscarem situações em que a circunferência e elipse pudessem ser utilizadas, como também durante as discussões em sala de aula em que os alunos expunham suas descobertas e socializavam com os colegas, ampliando, assim, seus conhecimentos.

A relação com a Geografia, por sua vez, foi verificada principalmente durante a realização da atividade introdutória (1ª atividade). Durante o desenvolvimento desta, foi realizada debates com a classe de modo a proporcionar uma reflexão a respeito das diferentes formas de organização de espaço, direcionando esta discussão para a organização do espaço urbano. O trabalho com o plano cartesiano, fazendo analogias com as coordenadas geográficas e, ainda, o uso do mapa de Natal, encontrado nos catálogos telefônicos, para que os alunos pudessem localizar residências, a escola e outros, além de ser um trabalho muito interessante, também propiciou uma maior relação com aquela disciplina.

De modo geral, nossos objetivos específicos, bem como nosso objetivo geral, como pudemos observar no decorrer deste capítulo, foram alcançados com êxito, tornando, assim, a referida proposta, uma boa opção para o trabalho em sala de aula, o que podemos atribuir, principalmente, ao uso do modelo matemático e das Geometrias Urbana e Isoperimétrica. Mas, não afirmam que esta seja suficiente para que o aluno possa compreender o amplo conteúdo pertinente à essas formas geométricas, além de um professor que trabalha regularmente com a turma ter a oportunidade de estar revendo o assunto, sempre que necessário, fazendo as conexões com outros que o seguem.

Assim, esperamos ter contribuído positivamente à necessidade de mudança na realidade escolar através de uma proposta que busca provocar, tanto no educando quanto no professor, uma atitude ativa na construção do conhecimento matemático, principalmente no que concerne a Geometria.

Durante a realização de nossa pesquisa alguns fatos inesperados, tais como a falta de conhecimentos prévios, nos fez repensar o tempo determinado para a realização das atividades e, ainda, as finalidades de nossa proposta.

Com a ajuda de um bom planejamento, que inclua a participação de professores de diferentes disciplinas é possível que este conteúdo possa ter um tratamento interdisciplinar mais consistente.

As orientações e entrevistas informais que fazíamos durante o curso nos faz concluir que a atividade proposta atingiu os objetivos, concernente a construção dos conceitos de circunferência e elipse, através de uma abordagem metodológica que os permitiu, a partir do uso de sua intuição, levantar hipóteses, testar, discutir com os colegas e tirar suas conclusões,

visto que eles conseguiram compreender não apenas o que define estes gráficos, mas também suas variações de acordo com o espaço, passando, para isso, por constantes etapas de desequilíbrio e equilibração majorante.

A eficiência da atividade é atribuída, principalmente, ao uso da modelagem matemático e das Geometrias Urbana e Isoperimétrica. Mas, não afirmam que esta seja suficiente para que o aluno possa compreender o amplo conteúdo pertinente à essas formas geométricas.

No item a seguir, faremos algumas sugestões, surgidas após nossa experiência com o curso e que poderiam complementar a atividade, proporcionando um trabalho mais efetivo.