O método das Projeções em Conjuntos Convexos (Projections Onto Convex Sets) vem da Teoria de Conjuntos. Ele busca a solução para um dado problema descrito por N conjuntos de restrições convexas . No método ART, cada conjunto corresponde a um hiperplano definido por (Salina, 2007).
Entretanto, muitos outros conjuntos de restrições convexas podem ser descritos. Sendo que informação a priori pode ser descrita por meio de um conjunto de restrição. Na tese (Salina, 2007), outros conjuntos são utilizados para a imagem a ser reconstruída. Destes po- demos citar: 1) Restrição de Não Negatividade que define que os valores para os pixels da imagem sejam maiores ou iguais a zero, 2) Restrição de Amplitude Limitada que pode ser entendida como limitantes superior e inferior aos valores dos pixels (0 a 255, por exemplo) e 3) Restrição de Suporte Finito que basicamente delimita a região (suporte) do objeto, assu- mindo valores nulos aos pontos fora da região de interesse.
Uma solução POCS é encontrada se ela satisfaz todos os conjuntos de restrições defi- nidas, ou seja, se um ponto de intersecção entre estes conjuntos existe ( ), dado por (Salina, 2007)
(2.29)
Semelhante ao algoritmo iterativo do método ART, partimos de uma estimativa inicial da imagem reconstruída, definida pelo ponto . Projeções sucessivas são realizadas em cada conjunto de restrições , obtendo-se uma nova estimativa da imagem reconstruída a cada passo.
O algoritmo POCS sequencial pode ser definido pela equação (Sezan e Stark, 1982; Youla e Webb, 1982; Salina, 2007)
(2.30)
Uma implementação paralela também está disponível. Neste caso, um ponto é pro- jetado em todos os conjuntos de restrição, sendo que o novo ponto será definido em fun- ção de uma combinação linear das distâncias entre o ponto atual e as suas projeções no i- ésimo conjunto de restrição , cujo somatório dos pesos é igual a 1. Assim, podemos re- presentar o algoritmo de POCS paralelo por (Combettes e Puh, 1993; Salina, 2007)
(2.31)
Em casos onde não há intersecção entre os conjuntos de restrições, como ocorre com o sinal na presença de ruído, a solução do POCS sequencial fica oscilando entre os conjuntos de restrições. Já a sua versão paralela, apresenta-se mais robusta, pois convergirá para uma solu- ção que minimize a distância desta para os conjuntos de restrições, podendo convergir para uma solução de mínimos quadrados ponderados (Combettes, 1993). A Figura 2.7 representa esta ideia.
(a) (b)
Figura 2.7. Convergência dos Algoritmos de Reconstrução por POCS: a) POCS Sequencial e b) POCS Paralelo.
Assim, a apresentação de alguns algoritmos para a Reconstrução Tomográfica é con- cluída. Na próxima Seção, o ruído tanto nas projeções (Transformada de Radon), quanto no domínio da imagem será mais bem caracterizado. Isto é importante, pois afeta diretamente a qualidade dos métodos de reconstrução e filtragem.
2.4 Caracterização do Ruído em CT
O ruído branco se espalha igualmente sobre todas as frequências. Por sua vez, em ge- ral, detalhes finos da imagem como bordas compreendem principalmente as componentes de alta frequência, enquanto a maior parte da energia comumente está concentrada nas baixas frequências, tal como regiões homogêneas (Rangayyan, 2005). Assim, em filtragem, o objeti- vo consiste em remover ou reduzir o ruído, sem afetar os detalhes importantes e sem acres- centar artefatos.
Em CT, o ruído é gerado pela própria natureza estatística do processo de emissão de fótons por uma fonte e detecção por um sensor (Rangayyan, 2005), o que leva a uma aleatori- edade nas medidas de projeção tomadas. Esta aleatoriedade de é descrita estatistica- mente pela distribuição de probabilidade de Poisson (Kak e Slaney, 1988)
(2.32)
onde é o número de fótons detectados do k-ésimo raio emitido no ângulo , é a probabilidade e é o valor esperado (E) de fótons
. (2.33)
Assim, como esta é uma distribuição de Poisson, podemos definir a variância como (Kak e Slaney, 1988)
. (2.34)
Desta forma, podemos dizer que as projeções são governadas por um ruído Poisson, que é dependente do sinal, com variância igual a sua média. Entretanto, foi mostrado que na Trans- formada de Radon, assumindo um número fixo de fótons incidentes, a variância de uma me- dida é inversamente proporcional ao número fótons medido (Epstein, 2008). Isto implica que
em quanto menor a contagem de fótons, maior será o ruído. Outra maneira de ver isto é pela Razão Sinal-Ruído (SNR), que é definida pela razão da média sobre o desvio padrão. Como no caso de distribuição Poisson, temos que a média é igual à variância, o SNR será dado por média sobre raiz quadrada da média, ou seja, por raiz quadrada da média. Portanto, o SNR diminui à medida que a média cai.
Na imagem reconstruída, podemos definir o ruído como sendo Gaussiano (distribuição normal), pois se considerarmos que tanto a reconstrução no domínio de Fourier quanto a re- construção por métodos algébricos envolvem uma combinação linear de um grande número de variáveis aleatórias, podemos invocar o Teorema Central do Limite (Epstein, 2008). Este Teorema estabelece que seja qual for a distribuição original de n variáveis aleatórias indepen- dentes e identicamente distribuídas, quando , se considerarmos uma nova variável alea- tória Z como a média amostral destas variáveis aleatórias, ela será aproximadamente normal- mente distribuída. Portanto, temos que os pixels no domínio da imagem são governados apro- ximadamente por ruído Gaussiano. Vale ressaltar ainda, que no caso do POCS, uma porcenta- gem muito baixa dos pixels do objeto é sujeita a restrições não lineares de não negatividade e suporte finito, considerados nesta tese, o que não invalida os argumentos do Teorema Central do Limite.
Enfim, foi verificado empiricamente (veja o Apêndice B), pelo cálculo das variâncias de áreas homogêneas claras e escuras, que o ruído na imagem reconstruída também é depen- dente do sinal, já que a variância não é constante ao longo de toda imagem e depende da tona- lidade média da área. Esta é uma suposição razoável, pois a imagem é reconstruída de variá- veis aleatórias Poisson nas projeções, dependentes de sinal.