Defini¸c˜ao 1.10.1 Um espa¸co X de Hausdorff admite uma estrutura de CW-complexo se
possui uma cole¸c˜ao de subconjuntos fechados σqj, chamados c´elulas (q ≥ 0 representando a dimens˜ao e j variando sobre um conjunto de ´ındices Jq) junto com uma fam´ılia de subespa¸cos
fechados X0 ⊂ X1 ⊂ . . . ⊂ Xq
⊂ . . . , sendo Xq =
p≤q j∈Jp
σjp (com X−1 := ∅) e o bordo dado
por fjq = σqj ∩ Xq−1, satisfazendo:
(1) σpi − fip intercepta σjq− fjq se p = q e i = j. (2) X =
q
Xq.
(3) Para cada σqj existe uma aplica¸c˜ao, chamada aplica¸c˜ao caracter´ıstica φqj : Dq→ σq j
(com Dq o disco fechado de dimens˜ao q) que leva Sq−1 (esfera de dimens˜ao q− 1) sobre fq j
e aplica Dq− Sq−1 homeomorficamente sobre σq j − f
q
j (com S−1 := ∅).
(4) fjq intercepta um n´umero finito de conjuntos (σiq− fiq), i∈ Jq.
(5) Um subconjunto Y de X ´e fechado se Y ∩ σjq ´e fechado em σjq, para todo q e todo j ∈ Jq,
com σqj tendo a topologia quociente de Dq coinduzida por φ q j.
O subconjunto Xn de X ´e chamado de n-esqueleto. Os pontos de X0 s˜ao chamados
de v´ertices ou 0-c´elulas. Um CW-complexo ´e dito ser finito ou infinito se o n´umero de c´elulas ´e finito ou infinito, respectivamente. Se X = Xn para algum n o CW-complexo ´e
dito de dimens˜ao finita e o menor inteiro n para o qual isto ocorre ´e chamado dimens˜ao de X.
Observa¸c˜ao 1.10.1 (a) Denotamos por eq = σq− fq a c´elula aberta de dimens˜ao q.
(b) Para CW-complexos finitos as condi¸c˜oes (4) e (5) (tamb´em denotadas por C e W ) s˜ao sup´erfluas. Este fato simplifica a teoria no caso finito, que ser´a de nosso maior interesse.
Exemplo 1.10.1 Seja X = R. Podemos dar a R uma estrutura natural de CW-complexo,
em que as 0-c´elulas e 1-c´elulas s˜ao dadas , respectivamente, por e0
n∈ Z.
Exemplo 1.10.2 Seja X = Sn (n-esfera). Uma estrutura de CW -complexo sobre Sn pode
ser dada por uma 0-c´elula e uma n-c´elula, ou seja, Sn = e0∪ en.
Exemplo 1.10.3 Consideremos X a figura oito. ´E poss´ıvel dar a X uma estrutura de
CW - complexo 1-dimensional, com uma ´unica 0-c´elula, e duas 1-c´elulas, ou seja, X = e0∪ e1
1∪ e12.
Exemplo 1.10.4 Como um caso mais geral, consideremos X =
s∈S
Ss1, o bouquet de
c´ırculos indexados por um conjunto S. Podemos dar a X uma estrutura de CW -complexo 1-dimensional, com uma ´unica 0-c´elula e uma 1-c´elula para cada elemento de S, ou seja, X = (e0∪ (
s∈S
e1s)).
Exemplo 1.10.5 O toro (T2) admite uma estrutura de CW -complexo 2-dimensional, com
uma 0-c´elula, duas 1-c´elulas e uma 2-c´elula, ou seja, T2 = e0∪ e1
Observa¸c˜ao 1.10.2 E tamb´em usual denotar uma n-c´elula por σ´ n ou, simplesmente por
σ, caso a dimens˜ao esteja clara no contexto.
Veremos agora dois resultados que ser˜ao de grande importˆancia para a demonstra¸c˜ao do Teorema do Borsuk-Ulam no caso geral.
Lema 1.10.1 Seja X um CW-complexo. Dado uma q-c´elula σq de X, qualquer aplica¸c˜ao
caracter´ıstica para σq,
φq: (Dq, Sq−1)−→ (fq, eq), induz um isomorfismo em homologia relativa.
Demonstra¸c˜ao. [12], IV.39.1.
Teorema 1.10.1 Seja X um CW-complexo. O grupo Hi(Xq, Xq−1) ´e zero para i = q, e
´e abeliano livre para i = q. Se γ gera Hq(Dq, Sq−1), ent˜ao os elementos (φq)∗(γ) formam
uma base para Hq(Xq, Xq−1), j´a que φq percorre um conjunto de aplica¸c˜oes caracter´ısticas
para as q-c´elulas de X.
Demonstra¸c˜ao. [12], IV.39.3.
Defini¸c˜ao 1.10.2 Uma aplica¸c˜ao cont´ınua f : X −→ Y , em que X e Y s˜ao
CW-complexos, ´e chamada celular se f (X(n)) ⊂ Y(n) para n = 0, 1, 2, ... (X(n) e Y(n)
s˜ao os n-esqueletos de X e Y , respectivamente).
Defini¸c˜ao 1.10.3 Uma retra¸c˜ao de deforma¸c˜ao de um espa¸co X em um espa¸co A ´e
uma aplica¸c˜ao cont´ınua k : X× I → X tal que k(x, 0) = x para todo x∈ X,
k(a, t) = a para todo a∈ A e todo t ∈ I.
A aplica¸c˜ao r : X → A dada por r(x) = k(x, 1) ´e usualmente chamada de retrato de deforma¸c˜ao de A em X.
Teorema 1.10.2 Se A ´e um subcomplexo de um CW-complexo de X ent˜ao existe uma
vizinhan¸ca U de X com A⊂ U tal que A ´e retrato de deforma¸c˜ao de U
Demonstra¸c˜ao. [8], A.5.
Propriedade da Extens˜ao da Homotopia:
Defini¸c˜ao 1.10.4 Um par de espa¸cos topol´ogicos (X, A) tem a propriedade da extens˜ao
da homotopia se toda aplica¸c˜ao X× {0} ∪ A × I → Y pode ser estendida `a uma aplica¸c˜ao X× I → Y .
Proposi¸c˜ao 1.10.1 Se X ´e um CW-complexo e A ´e um subcomplexo de X ent˜ao (X, A)
possui a propriedade da extens˜ao da homotopia.
2
O Teorema do Ponto Fixo de Brouwer e sua
rela¸c˜ao com o Teorema da Curva de Jordan
O Teorema do Ponto Fixo de Brouwer foi primeiramente publicado em 1909, por L. E. J. Brouwer, para o caso n = 3. Em 1910, Hadamard seguiu com a prova para todas as dimens˜oes, prova esta que Brouwer tamb´em conseguiu por´em, em 1912.
Em dimens˜ao trˆes, o Teorema de Brouwer ´e geralmente interpretado da seguinte maneira: n˜ao importa como mexemos ao redor do caf´e em um copo (fazendo isso continuamente ou n˜ao), sempre existir´a um ponto na mesma posi¸c˜ao que ele estava antes de mexer o caf´e. Al´em disso, se tentarmos mexer tal ponto de sua posi¸c˜ao original iremos, inevitavelmente, mexer algum outro ponto para sua posi¸c˜ao original.
Neste cap´ıtulo veremos a demonstra¸c˜ao desse teorema para aplica¸c˜oes cont´ınuas f : Dn → Dn, com n ∈ N ; lembrando que Dn = {(x
1, ..., xn) ∈ Rn | x21 + ... + x2n ≤ 1}
denota o n-disco unit´ario.
Como aplica¸c˜ao, faremos uma prova do famoso Teorema da Curva de Jordan usando o Teorema do Ponto Fixo de Brouwer, prova essa que ser´a baseada no artigo de R. Maehara (ver [10]).
2.1
O Teorema do Ponto Fixo de Brouwer
Nesta se¸c˜ao apresentaremos uma demonstra¸c˜ao do Teorema do Ponto Fixo de Brouwer para aplica¸c˜oes cont´ınuas do n-disco unit´ario Dn nele mesmo, com n ≥ 1. Para isto ser˜ao
necess´arios alguns conceitos preliminares, os quais veremos a seguir.
Defini¸c˜ao 2.1.1 Um ponto fixo para uma aplica¸c˜ao f de um espa¸co nele mesmo ´e um
ponto y tal que f (y) = y.
Observa¸c˜ao 2.1.1 O conjunto de todos os pontos fixos de uma aplica¸c˜ao f de um espa¸co
nele mesmo ´e denotado por F ix(f ).
Defini¸c˜ao 2.1.2 Seja A ⊂ X. Uma retra¸c˜ao de X sobre A ´e uma aplica¸c˜ao cont´ınua
r : X → A tal que r|A ´e a aplica¸c˜ao identidade de A. Se tal aplica¸c˜ao r existe, dizemos que
A ´e um retrato de X.
Proposi¸c˜ao 2.1.1 N˜ao existe uma retra¸c˜ao de Dn em Sn−1.
Demonstra¸c˜ao. Para n = 1 o resultado ´e ´obvio j´a que D1 ´e conexo e S0 n˜ao ´e conexo.
Suponhamos n > 1 e seja f : Dn → Sn−1 uma aplica¸c˜ao cont´ınua tal que f ◦ i = id,
na qual i ´e a aplica¸c˜ao inclus˜ao de Sn−1 em Dn e id ´e a aplica¸c˜ao identidade de Sn−1.
Isto implica que o diagrama seguinte de grupos de homologia e homomorfismos induzidos ´e comutativo. Hn−1(Sn−1) i∗ id // Hn−1(Sn−1) Hn−1(Dn) f∗ 77 n n n n n n n n n n n n
Entretanto, como Hn−1(Dn) ={0} e Hn−1(Sn−1) = Z segue que id = f∗◦ i∗ = 0, o que
´e um absurdo.
Dessa forma, n˜ao existe uma retra¸c˜ao de Dn em Sn−1.
Teorema 2.1.1 Toda aplica¸c˜ao cont´ınua f : Dn
→ Dn possui um ponto fixo, isto ´e, existe
x pertencente a Dn tal que f (x) = x.
Demonstra¸c˜ao. Suponhamos que f : Dn → Dn n˜ao possui pontos fixos.
Definamos uma fun¸c˜ao g : Dn → Sn−1 da seguinte maneira: para x pertencente a
Dn, existe uma semi-reta l
x bem definida come¸cando em f (x) e com dire¸c˜ao x− f(x).
Consideremos g(x) como sendo o ponto no qual esta semi-reta intercepta Sn−1.
Faremos agora os c´alculos para encontrar a equa¸c˜ao que define g em fun¸c˜ao de f (x) e de x.
Temos ⎧ ⎨ ⎩ lx(λ) = f (x) + λx(x− f(x)) , λx ∈ R, λx > 0 | lx(λ)|2 = 1. Assim, | lx(λ)|2 = 1 ⇒ | f(x)+λx(x−f(x))|2 = 1⇒ f(x)+λx(x−f(x)), f(x)+λx(x−f(x)) = 1 f(x), f(x) + 2λxf(x), x − f(x) + λ2xx − f(x), x − f(x) = 1 λ2 x.| x − f(x)|2+ 2λxf(x), x − f(x) + | f(x)|2− 1 = 0. Temos Δ = 4.f(x), x − f(x)2− 4.| x − f(x)|2.(| f(x)|2− 1). Agora, f(x), x − f(x)2− | x − f(x)|2.(| f(x)|2− 1) = = (f(x), x − f(x), f(x))2− (| x|2− 2x, f(x) + | f(x)|2).(| f(x)|2− 1) = =f(x), x2− 2.x, f(x).| f(x)|2 +| f(x)|4− | x|2.| f(x)|2+| x|2+ 2.x, f(x).| f(x)|2− −2.x, f(x)−| f(x)|4+| f(x)|2 =x, f(x)2−| x|2.| f(x)|2+| x|2−2.x, f(x)+| f(x)|2 = =x, f(x)2− | x|2.| f(x)|2+| x − f(x)|2.
Obtemos assim que Δ = 4.x, f(x)2− | x|2.| f(x)|2+| x − f(x)|2.
Segue da constru¸c˜ao da fun¸c˜ao g que Δ > 0. Assim o valor de λx ´e
λx= −2.f(x), x − f(x) + √ Δ 2.| x − f(x)|2 ou λx = 2.f(x), x − f(x) −√Δ 2.| x − f(x)|2 . Logo, g(x) = f (x)± √ Δ− 2.f(x), x − f(x) 2.| x − f(x)|2 .(x− f(x)), para todo x ∈ D n.
Portanto, segue que a aplica¸c˜ao g definida acima ´e uma aplica¸c˜ao cont´ınua, j´a que f ´e cont´ınua por hip´otese, e n˜ao possui pontos fixos. Al´em disso, g(x) = x para todo x∈ Sn−1,
pois todo x = 1, e dessa forma, g ´e uma retra¸c˜ao de Dn em Sn−1.
Por´em, a existˆencia de tal aplica¸c˜ao g contradiz a Proposi¸c˜ao 2.1.1. Logo, f : Dn→ Dn deve possuir um ponto fixo.
Podemos observar que n˜ao ´e f´acil se convencer da continuidade da aplica¸c˜ao g definida acima sem apresentar uma f´ormula que a exibe por´em, ´e desagrad´avel fazer todas essas contas.
Uma outra retra¸c˜ao para a qual a continuidade ´e evidente ´e dada como segue: considere o disco D de raio 2 e defina uma aplica¸c˜ao h : D → D da seguinte maneira
h(x) = ⎧ ⎪ ⎨ ⎪ ⎩ (2− |x|) f x |x| se|x| ≥ 1, f (x) se|x| ≤ 1. ´
E claro que h n˜ao possui pontos fixos, j´a que a imagem de cada ponto est´a no disco de raio 1 no qual h e f coincidem.
Dessa forma, defina g : D → D por g(x) = 2(x− h(x))
|x − h(x)| . Tal aplica¸c˜ao ´e cont´ınua, j´a que h ´e cont´ınua, e se|x| = 2 ent˜ao h(x) = 0 e assim r(x) = x.