Normal Dağılımla İlgili Çarpıklık ve Basıklık Testleri

1 nn

n

D n 

 

formülünden n₁50 ve n₂50 için,

272 , 2500 0

50 36 50

, 1 36

, 1

2 1

2 1 05

.

0     

n n

n D n

olarak elde edilir.

Sonuçta; her iki değerin karşılaştırmasından; D₀<D_0,05 olduğu için, H₀ sıfır hipotezi kabul, H_s seçenek hipotezi ret edilir.

Yorum: Bu iki örnekleme kümelerin alındığı evrensel kümelerin dağılımları 05

,

0

 yanılma olasılığı ile benzer dağılımda oldukları söylenebilir.

9.5. Normal Dağılımla İlgili Çarpıklık ve Basıklık Testleri

Deneysel verilerin normal dağılımda olup olmadıklarının irdelenmesinde kullanılan bu testler, kuramsal normal dağılımın çarpıklık ve basıklık gibi bazı geometrik özelliklerini konu almaktadır. Bu nedenle, çoğu zaman bu gibi istatistik normal dağılım uyum iyiliği testlerine ekses(basıklık) ve asimetri(çarpıklık) testleri de denmektedir. Genelde bu tür normal dağılıma uyum iyiliği testleri, üçüncü ve dördüncü momentlerden faydalanılarak geliştirilmiş olduklarından, bunlar aynı zamanda momentlere dayalı parametrik ² bazlı testler gurubundan sayılmaktadır. Uygulamada bu konuda birçok yöntem geliştirilmiş olmasına rağmen, jeodezik veri irdelemesi yönünden en genel hatları ile bunlardan en güncel kullanılanları aşağıdaki gibi açıklanabilir.

Daha önce paragraf 6.1 ‘de verildiği şekliyle; xN(,²) parametrelerine göre normal dağılıma sahip bir x rastgele değişkeninin yoğunluk fonksiyonu











 



 _{1/2 2} ²

2 ) exp (

) 2 ( ) 1

( 





 x x f

ve normal dağılım fonksiyonu da f(x) frekans fonksiyonunun entegralinin alınmasından

^





 f x dx x

F( ) ( )

olarak tanımlanabilmektedir. Yine daha önceki konularla ilgili yapılmış açıklamalardan hatırlandığı gibi, normal dağılımlı bir x rastgele değişkenin k.

dereceden momentleri onun umut değerlerini vermektedir. En genel ifadesi ile bu şekilde tanımlı kılınabilen bütün umut değerleri;  ortalama ve ² varyans parametrelerine göre xN(,²) normal dağılımdaki bir x rastgele değişkeni için f(x) normal dağılımın yoğunluk fonksiyonu olmak üzere

 

^







E x^k x^kf xdx

k ( )



entegral bağıntısından hesaplanabilir. Buna benzer şekilde de k .inci dereceden merkezsel momentleri de

 

^











E x x f xdx

m_k ( )^k ( )^k ( ) olarak ifade edilebilir.

Böylece, xN(,²) parametrelerine göre normal dağılımda ve sürekli türden bir değişken özelliğinde olan bu x rastgele değişkenin ayrık türden bir değişken olması halinde, k. dereceden momentleri ve merkezsel momentleri yukarıdaki entegral alma işlemleri yerine toplam işlemleri kullanılarak,

¹ _;

Ancak, bu şekilde kuramsal anlamda tanımlı parametre değerlerine göre tanımlanmış bu formüllerdeki  ortalama değeri sonlu sayıda yapılmış denemeler sonucunda elde edilmiş veri kümelerinden gerçek değeri ile hiçbir zaman bilinemez. Bu gibi uygulamada bunların yerine ancak n sonlu sayıda elemandan oluşan bir örneklemeden tahmin yoluyla hesaplanabilen xˆ deneysel ortalama ya da kesin parametre değerleri bilinebilir. Bu durumda, xˆ deneysel ortalama değerlerine göre hesaplanmış moment değerleri de



biçiminde deneysel verilerin kullanılması neticesinde elde edilmiş olur. Burada bazı özelleştirmeler yapılırsa;

k=1 değeri için diğer bir ifade ile birinci dereceden moment değerleri,

olarak ve benzer şekilde,

k=2 için de ikinci dereceden merkezsel moment veya varyans değeri, 1 ( ˆ)

biçiminde hesaplanabilir. Burada tekrar hatırlatmak gerekirse; yukarıda verilmiş olan moment bağıntılarında geçen,

p n

n i

i

1

değeri mutlak yığılmaların toplamını göstermektedir. Böylece, bir x rastgele değişkenin herhangi bir dereceden momenti ve merkezsel momentinin değerleri k ‘nin birden başlamak üzere alacağı çeşitli değerlere göre hesaplanabilir.

Ancak, dağılımlarla ilgili ölçüt tanımlamada, özel bir anlam taşıması ve aynı zamanda uygulamada yaygın bir biçimde kullanılmaları bakımından bunlardan pratikte en çok sözü edilen bazı özel moment çeşitleri, Tablo 26‘da kısaca özetlenmiştir.

Tablo 26: Kullanılan momentler

Derecesi Türü Değeri Derecesi Türü Değeri

k=1 Kuramsal

Deneysel ₀

0

1 1



 b

m k=3 Kuramsal

Deneysel ₀

0

3 3



 b m

k=2 Kuramsal

Deneysel ₂

2 2 2

s b m



 k=4 Kuramsal

Deneysel

yoktur m33⁴

Bilindiği gibi bir örnekleme küme elemanlarının normal dağılımda olup olmadıklarının irdelenmesinde kullanılabilecek en önemli normal dağılıma uyum iyiliği (normalite) ölçülerinden biri çarpıklık (asymetry) ve bir diğeri de basıklık (excess) ölçütüdür. Bunların her biri kuramsal anlamda üçüncü ve dördüncü dereceden merkezsel momentlere göre;

3 3

1 

 m ; kuramsal çarpıklık değeri,

4 3

4

2 

 m

; kuramsal basıklık değeri şeklinde ifade edilebilir. Kuramsal parametrelere göre tanımlanmış olan bu ölçütlerin, deneysel olarak düzeltmelerden hesaplanan deneysel karşıt değerleri de;

xˆ : Kesin değeri,

olarak hesaplanabilir.

Ağırlıkları (duyarlıkları) eşit ve korelasyonsuz gözlemler için yapılan bu gibi hesaplamalarda, p₁ p₂.... p_n1 ve

 

p n olacağından, bunların yerine daha sade bir ifadeleri olan,



bağıntıları da kullanılabilir (Öztürk, E.-Şerbetçi, M. 1992).

Merkezi normal dağılımlar için, bu merkezsel momentlerin çarpıklık ve basıklık değerleri ₁0 ve ₂0 sıfırdır. Ancak, merkezi olmayan normal dağılımlar için ₁0 ise yoğunluk fonksiyonu sola çarpıktır, ₁0 ise yoğunluk fonksiyonu sağa çarpıktır denir(Şekil 10).

Bir diğer şekliyle, gözlemlerin yayılmasının bir ölçütü olarak ₂ ekses değeri;

2 0

 ise irdelenen dağılımın yoğunluk fonksiyonu çan eğrisinden daha yüksek, tersi durumda ₂0 olması halinde ise daha alçak olur (Şekil 11).

Neticede, bu ölçütlerden çarpıklık c₁; ortalama değeri sıfır, standart sapması

n

6 olan,

6) , 0

1 ( N n

c  9-21

normal dağılımdaki bir rastgele değişken olur. Benzer şekilde, basıklık c₂; umut değeri sıfır, standart sapması

n

24 olan,

24)

, 0

2 ( N n

c  9-22

normal dağılıma sahip bir diğer rastgele değişken olmaktadır.

Buradan da görüleceği gibi, aynı zamanda bu değişkenlerden her biri; normal dağılımın bir diğer özelliklerini içeren, dağılımın geometrik biçimiyle ilgili istatistik testlerin temel dayanağını oluşturmaktadır. Bunların birlikte ya da tek tek irdelenmesi, aynı zamanda normal dağılım özelliklerinden basıklık ve çarpıklığın da incelenmiş olduğunu temsil eder.

Sonuçta; basıklık ve çarpıklıkla ilgili yukarıda yapılmış açıklamalardan, bunların normal dağılımla ilgili diğer bir dağılımla irdelenebileceklerini de ortaya koymuş olur. Böyle bir düşüncenin neticesinde, hem çarpıklık hem de basıklık birlikte standart hale getirildikten sonra kareleri alınarak (6-97c) ‘deki gibi toplamları biçiminde ele alınarak tanımlanan yeni standart rastgele değişkenin ² -dağılımına uyan bir rastgele değişken olduğu söylenebilir. Bu nedenle, bunların istatistik olarak irdelenmesi de ²-dağılımına göre yapılır. Bu amaçlı böyle bir hipotez testi için burada yapılacak işlemlerin ilk adımı olarak, örnekleme kümenin çarpıklık ve basıklık elemanları birlikte ele alınarak verilerin normal dağılıma uyum iyiliği ile ilgili,

H₀: c₁ Çarpıklık c₂ basıklık değerlerine göre normal dağılımdadır, H_s: c₁ Çarpıklık c₂ basıklık değerlerine göre normal dağılımda değildir.

şeklinde bir sıfır hipotez kurulur. Sonra bu hipotezle ilgili test büyüklüğü hesaplanır. Bunun için, bu iki normal dağılımlı rastgele değişkenler önce kendi standart sapmalarına bölünerek merkezi normal dağılıma sahip standart rastgele değişken haline dönüştürülürler. Böyle bir işlem için, her birinin karesi alınarak toplamlarından bunların birlikte standart dağılımlı rastgele değişkeni veya sıfır hipotez testine göre birlikte irdelenmelerine ilişkin test büyüklüğü,

₀² ₁² ₂² 24

6 n c

nc 

  9-23

olarak elde edilir.

Daha sonra, bu ₀² test büyüklüğünün serbestlik derecesi f 2 olmaktadır. Bu değer, önceden öngörülmüş bir 1S yanılma olasılığına ve f serbestlik derecesine göre; ²-dağılım tablosundan alınan ²_f,1 sınır değeri ile karşılaştırılır (Şekil 26). Gerek test büyüklüğünün gerekse tablodan alınmış sınır değerinin karşılaştırılması neticesinde eğer;

2

0<²_f,1 ise H₀ sıfır hipotezi kabul, H_s seçenek hipotezi ret edilir.

Yorum: veriler seçilen 1S yanılma olasılığına göre normal dağılımdadır denir.

Tersi durumda; ₀²>²_f,1 ise H0 sıfır hipotezi ret, Hs seçenek hipotezi kabul edilir. Bu durumda da; veriler seçilen 1S yanılma olasılığına göre normal dağılımda değildir yorumu yapılır.

Seçenek hipotezinin yanı normal dağılımda olmama tezinin geçerli olduğu durumda, olayın hangi ölçütten kaynaklandığını araştırmak için, her bir ölçüt için ayrı ayrı hipotez testleri uygulanır. Bu amaçla, c₁ çarpıklık ve c₂ basıklık rastgele değişkenlerinin her ikisi de merkezi olmayan bir normal dağılımda olduklarından bunlar kendi standart sapmalarına bölünerek merkezi normal dağılıma sahip standart rastgele değişken haline dönüştürülürler. Bu durumda her biri için standartlaştırılmış,

a) Çarpıklık için test büyüklüğü :

1 6

1

c n

z  9-24a

b) Basıklık için test büyüklüğü :

2 24

2

c n

z  9-24b

değerleri hesaplanır. Sonra, bunlar standart normal dağılım tablolarından çift taraflı yanılma olasılığına göre alınan,

1_2

z sınır değerleri ile karşılaştırılır.

z

Şekil 31: Sıfır hipotezi ile ilgili kabul ve ret bölgeleri

Böyle bir karşılaştırma neticede Şekil 31 ‘den de görüleceği gibi;

 z₁

1_2

z ve z₂

1_2

z ise; verilerin dağılımında çarpıklık ve basıklık yoktur. Bu ölçütlere göre 1S yanılma olasılığına göre normal dağılımdadır denebilir.

 Tersi durumda; z₁

1_2

z ve z₂

1_2

z hem çarpıklık hem de basıklık vardır. Dolayısı ile normal dağılımda değillerdir denir.

 z₁

1_2

z ve z₂ 

1_2

z olması halinde, çarpıklık var ancak basık değildir denir. Bu durumda sağa ya da sola çarpık bir dağılımdadırlar denir.

 z₂

1_2

z ve z₂

1_2

z ise; çarpık değil ancak basıktır denir.

0

Sıfır hipotezi kabul bölgesi Sıfır hipotezi

ret bölgesi bölgesi

Sıfır hipotezi ret bölgesi

Örnek: Aşağıda verilmiş olan verniyer okuması değerlerinin, dağılımda olup olmadıkları irdelenmek istenmektedir.

Çözüm: Böyle bir problemin çözümü için,

ortalama (kesin değer) ve deneysel standart sapma değeri hesaplanır. Sonra her bir ölçüye ilişkin düzeltme değerleri v_i xˆx_i formülünden, normal dağılımda olup olmadıklarının irdelenmesi için, birinci işlem adımı olarak,

şeklinde bir hipotez kurulur. İkinci işlem adımı olarak her bir çarpıklık ve basıklık

değerleri ayrı ayrı bulunduktan sonra sıfır hipotezine ilişkin standart dağılıma sahip rastgele değişken ya da test büyüklüğü değeri,

405

olarak hesaplanır.

Üçüncü işlem adımında, bu şekilde hesaplanmış olan bir test büyüklüğünün kuramsal dağılım sınır değeri olan, 0.05 ve f=2 serbestlik derecesine göre,



2dağılım tablosundan ²_f,1 ₂²_,0.955.991 sınır değeri alınır.

Sonuçta; bu iki değer arasında yapılan bir karşılaştırma neticesinde, ₀² 1.405<

991

Burada tekrar vurgulamak gerekirse; böyle bir hipotez testinde çarpıklık ve basıklık birlikte ele alınarak irdelenmektedir. Böyle bir hipotez testi bunların herhangi biri hakkında ferdi ya da detaylı bir bilgi vermemektedir. Bu amaçla, ikinci bir hipotez olarak, çarpıklık ve basıklık ayrı ayrı ele alınarak yeniden test edilir. Böyle bir işlem için,

Ho : Veriler çarpık ya da basıktır.

Hs : Veriler çarpık ya da basık değildir.

şeklinde bir sıfır hipotezi kurulur. Sonra, bunların herbirine ilişkin test büyüklüğü değerleri,

a) Çarpıklık için test büyüklüğü : 0.163

1 6

1 n 

c z

b) Basıklık için test büyüklüğü : 1.174

2 24

2 n 

c z

olarak hesaplanır.

Daha sonra bu test büyüklükleri ile ilgili sınır değeri normal dağılım tablosundan 05

,

0

 yanılma olasılığına göre çift taraflı olarak _0,975 1,96

1 2  

 z

z _ alınır.

Neticede: z₁0,163< _0,975 1,96

1 2  

 z

z _ olduğundan H₀ sıfır hipotezi kabul, H_s seçenek hipotezi ret edilir (Şekil 31).

Yorum: bu ölçüler, ortalama değeri xˆ21,918mm. ve birim ölçünün deneysel standart sapması s2,145mm. değerine,  0,05 yanılma olasılığı ve f=2 serbestlik derecesine göre normal dağılımdadırlar söylenebilir. Diğer bir ifade ile bu ölçüler arasında anlamlı bir çarpıklık yoktur kararına varılır.

Diğer durumda; z₂  1,174 < _0,9875 1,96

1 2  

 z

z _ olduğu için H₀ sıfır hipotezi kabul, H_s seçenek hipotezi ret edilir.

Yorum: bu ölçüler, ortalama değeri xˆ21,918mm. ve birim ölçünün deneysel standart sapması s2,145mm. değerlerine,  0,05 yanılma olasılığı ve f=2 serbestlik derecesine göre normal dağılımda oldukları söylenebilir.

Sonuçta; aynı zamanda bu ölçülerin dağılımında, anlamlı bir çarpıklık olmamasına karşılık, anlamlı bir basıklıkta olmadığından söz edilebilir.

Belgede 9. BÖLÜM NORMAL DAĞILIMA UYUM İYİLİĞİ HİPOTEZ TESTLERİ 9. NORMAL DAĞILIMLA İLGİLİ TEST YÖNTEMLERİ (sayfa 46-56)