Lilliefors Normal Dağılıma Uyum İyiliği Testi

24681 b

bir diğer ara değerleri olarak hesaplanır.

 Bu işlemlerin sonucunda sıfır hipotezi ile ilgili test büyüklüğü

7868645 ,

5950 0 626355 , 4498 ˆ)

( ) (

2 2

1

2 1

2



















S b x x

x a

W _n

i i n

i i i

olarak hesaplanır.

Daha sonra,  1S 0,05 yanılma olasılığı ve n10 değerlerine göre daha önceden hazırlanmış Tablo 27 ‘deki; Shapiro-Wilk W testi tablosundan test için sınır değeri,

W_n, W_10,0,050,842 olarak alınır.

Sonuçta; bu iki değerin karşılaştırılmasından WW_n, olduğu için, H0 sıfır hipotezi kabul, H_s seçenek hipotezi ret edilir.

Yorum: Bu yöntemle gerçekleştirilen bir normal dağılım uyum iyiliği testine göre örnek küme elemanları  1S0,05 yanılma olasılığına göre normal dağılımda kabul edilebilirler.

9.6.4. Lilliefors Normal Dağılıma Uyum İyiliği Testi

Lilliefors normal dağılıma uyum iyiliği testi, literatür de bazı kaynaklarda belirtildiği gibi çoğu zaman, Kolmogorow-Simirnow uyum testinin değişik bir uygulaması biçiminde ele alınabilen bir diğer normal dağılım uyum iyiliği testidir. Bu test yönteminde; Kolmogorow-Simirnow uyum testinde olduğu gibi ortalama ve varyans değerlerinin nasıl seçildiği önemli olmaksızın, veri kümesindeki elemanların birikimli deneysel dağılımı ile standart normal dağılımın birikimli kuramsal dağılımları arasındaki dikey farklar rastgele

değişken olarak alınmaktadır. Bu farklardan en büyüğü yöntemin standart rastgele değişken veya test büyüklüğü seçilerek, Lilliefors ‘un verdiği EK Tablo 10 ‘dan öngörülmüş bir 1S yanılma olasılığı ile alınmış sınır değerinden büyük ise; deneysel veri kümesinin dağılımın normal dağılımda olmadığına karar verilir. Aksi halde, normal dağılımda oluğu kabul edilir.

Bu durumuyla Lilliefors normal dağılım uyum iyiliği testi, Kolmogorow-Smirnow uyum testinde kullanılan kuramsal dağılım parametreleri yerine deneysel verilerden kestirilen tahmin parametrelerinin kullanılması ile daha da özelleştirilmiş bir biçimidir söylenebilir. Bu durum, Lilliefors normalite testi ile Kolmogorow-Smirnow uyum testinin arasındaki temel farklılığı oluşturur. Bu nedenle, uygulamada çoğu zaman her iki test yöntemi için, Kolmogorow-Smirnow ve Lilliefors normal dağılıma uyum iyiliği testi isimi kullanılmaktadır.

Pratikte bu yöntemle bir deneysel veri kümesinin normal dağılımda olup olmadığı Kolmogorow-Smirnow uyum testinde izlenen işlem yoluna benzer şekildeki bir düşünceden hareketle gerçekleştirebilmek için,  kuramsal ortalama ve  kuramsal standart sapma değerleri yerine örnekleme küme elemanlarından hesaplanmış xˆ deneysel ortalama ve s deneysel standart sapma değerleri kullanılarak, EK Tablo 10 ‘ verilmiş olan tablo sınır değerlerinden faydalanılarak aşağıda verilmiş şekilde bir karşılaştırma yapılır. Böyle bir hipotez irdelemesinin ilk işlem adımı olarak, belli bir istatistik anlamlılık seviyesine göre sorunu ortaya koyup özetleyebilecek bir varsayım

ya da hipotez,

H₀: Deneysel veri kümesi elemanları normal dağılan bir evrensel kümeden alınmıştır.

H_s: Deneysel veri kümesi elemanları normal dağılan bir evrensel kümeden alınmamıştır.

biçiminde ileri sürülerek kurulur. Daha sonra, bu sıfır hipotezine geçerliğini irdeleyebilmek için sıfır hipotezine ilişkin standart rastgele değişken değeri ya da test büyüklüğü değeri hesaplanır. Böyle bir değerin hesaplanmasında Kolmogorow-Smirnow uyum testindeki test büyüklüğünün belirlenmesine benzer ancak burada kuramsal parametreler yerine örnekleme veri kümesinden tahmin edilen kestirim parametre değerleri kullanılarak,

d0^max





bağıntısından hesaplanır.

Üçüncü işlem adımında, sıfır hipotezinin d₀ test büyüklüğünü karşılaştırmak için kullanılacak bir kritik ya da sınır değeri Ek Tablo 10 ‘ verilmiş 1S yanılma olasılıklarına göre düzenlenmiş Lilliefors testi istatistiği D_ tablosundan qD_ olarak alınır. Bu işlemlerin neticesinde, farklı kaynaklardan elde edilmiş olan d₀ test büyüklüğü ile qD_ sınır değerinin bir karşılaştırması gerçekleştirilir

Sonuçta; d₀<qD_ ise, H₀ sıfır hipotezi kabul, H_s seçenek hipotezi ret edilir.

Tersi durumda, d₀>qD_ ise, H₀ hipotezi ret, H_s seçenek hipotezi kabul kararları verilir.

Örnek: Bu probleme bir örnek olarak paragraf 9.4 ‘de çözülmüş olan, x_i= 17,5 18,4 18,5 18,6 19,2 19,2 19,4 19,5 19,6

19,7 19,8 20,2 20,3 20,4 20,6 20,7 20,8 21,1 21,2 21,3 21,4 21,5 21,6 21,7 21,8 21,9 22,1 22,2 22,3 22,4 22,6 22,7 22,8 22,9 23,2 23,3 23,4 23,5 23,6 23,7 23,8 24,1 24,3 24,5 24,7 24,9 25,2 25,5 25,8 26,5mm.

verniyer okuması değerlerinin S=0,95 güvenle Kolmogorow-Smirnow uyum testine göre normal dağılımda olup olmadıklarını istatistik olarak irdelemesi verilebilir.

Çözüm: Bu problemin böyle bir yöntemle burada gerçekleştirilecek çözümünde daha önce diğer konularda gerçekleştirilmiş örnek çözümlerinde olduğu gibi, sürecin ilk işlem adımı olarak

0:

H xN(xˆ,s²) Bu veriler xˆ ortalama ve s standart sapma değerlerine göre normal dağılımdadır.

s:

H Normal dağılımda değildir.

biçiminde bir hipotez kurulur. Daha sonra, standart dağılıma sahip test büyüklüğü değeri değerini hesaplayabilmek için, n=50 ölçüden kurulu örnekleme veri kümesinin,

Ortalaması :

   

. 9 , 21 918 , 50 21

ˆ x mm

n

x x   

Sınıf sayısı : k n3 50310 Standart sapması : s2,14mm.

olarak hesaplanır. Bunun sonucunda, bu sıfır hipotezi ile ilgili test büyüklüğü ya da standart dağılıma sahip rastgele değişken değeri problemde verilmiş olan verniyer okumalarına ilişkin veri kümesi elemanlarında usulüne uygun işaretleri de dikkate alınarak küçükten büyüğe doğru sıralanmış bir büyüklük sırasında sınıflara bölünmüş vaziyette histogram düzeninde Tablo 28 ‘deki bir algoritma düzeni çerçevesinde sırası ile kuramsal normal dağılım tablo değerleri de kullanılarak hesaplanabilir Bu hesaplamalar neticesinde, Tablo 28 ‘in en son iki sütununda yer alan d ve d^* sütunundaki; H(x) örnekleme dağılım değerleri ile F(x) kuramsal dağılım değerleri arasındaki her iki uca ilişkin düşey farkları gösteren, kümülatif dağılım değerlerinden maksimum olanı test büyüklüğü olarak alınır.

D0 ^max

  



Tablo 28: D0Max





x z n ⁱ

) (x

K_j H_j(x) F_j(x) d_j d^*j

1 ^{16,9 -2,34}

2 ^{17,9 -1,87 1 1 0,02 0,0307 0,0107 0,0307} 3 ^{18,9 -1,40 3 4 0,08 0,0808 0,0008 0,0608} 4 ^{19,9 -0,93 7 11 0,22 0,1762 0,0438 0,0962} 5 ^{20,9 -0,47 6 17 0,34 0,3192 0,0208 0,0992} 6 ^{21,9 0,00 9 26 0,52 0,5000 0,0200 0,1600} 7 ^{22,9 0,47 8 34 0,68 0,6808 0,0008 0,1608} 8 ^{23,9 0,93 7 41 0,82 0,8238 0,0038 0,1438} 9 ^{24,9 1,40 5 46 0,92 0,9192 0,0008 0,0992} 10 ^{25,9 1,87 3 49 0,98 0,9693 0,0107 0,0493} 11 ^{26,9 2,34 1 50 1,00 0,9904 0,0096 0,0104}

Daha sonra bu test büyüklüğünü kuramsal dağılıma ilişkin bir sınır değeri, EK Tablo 10 ‘da verilmiş olan 1S yanılma olasılıklarına göre düzenlenmiş Lilliefors test istatistiği D_ tablosundan, 0,05 yanılma olasılığı için

0,125

50 886 , 0 886 , 0

05 ,

0   



n D

D_

olarak hesaplanır.

Sonuçta, bu iki farklı değerin karşılaştırılmasından bu tablo sınır değeri ile ilgili test büyüklüğü arasında,

1608 ,

0 0

d > D_ 0,124

eşitsizlik ilişkisinin bulunması nedeniyle, H₀ sıfır hipotezi ret, H_s seçenek hipotezi kabul edilir.

Yorum: Bu x_i verniyer okuması değerleri veri kümesi  0,05 yanılma olasılığı ile xˆ21,9mm. ortalama ve s2,14mm. standart sapma değerlerine göre normal dağılımda olmadığı söylenebilir.