2 14
95 , 0 , 7 2
95 , 0
,
f
olarak alınır. Sonuçta, bu iki değerin karşılaştırmasından, 021,6<2f,0,9572,0,9514,067
olduğu için H0 sıfır hipotezi kabul, Hs seçenek hipotezi ret edilir.
Yorum: Bu xi verniyer okuması değerleri; 0,05 yanılma olasılığı ile 9 .
, ˆ 21 mm
x ortalama ve s2,14mm. standart sapma değerlerine göre )
14 , 2
; 9 , 21
(
N
xi normal dağılımdadır denebilir.
9.4. Kolmogorow-Smirnow Uyum Testi
Kolmogorow-Smirnow uyum testi; normal dağılıma uyum iyiliği ile ilgili non-parametrik ve ampirik dağılım fonksiyon bazlı bir test yöntemidir. Böyle bir hipotez testi ilk defa Kolmogorow tarafından 1933 yılında önerilmiş bir normal dağılıma uyum iyiliği test yöntemdir. Önceleri, Kolmogorow ’un kuramsal ve deneysel dağılımlar arasındaki tek taraflı düşey farklar için önermiş olduğu bu test yöntemi daha sonraları; 1939 yılında bir diğer Rus matematikçisi olan Simirnow tarafından dağılımın her iki uç değerleri için de uygulanarak daha da geliştirilmiştir. Bu nedenle, Kolmogorow ve Simirnow tarafından farklı yıllarda ve şekillerde uygulanmış olan Kolmogorow ve Simirnow uyum iyiliği testleri benzerlikleri nedeniyle, uygulamada Kolmogorow-Smirnow uyum testi olarak yer almaktadır. Uygulamada böyle bir yöntem iki farklı amaç için kullanılabilir.
Bunlar;
Tek Örnekli Kolmogorow-Smirnow K-S uyum testi
Çift Örnekli Kolmogorow-Smirnow K-S uyum testi şeklinde farklı iki isim altında ele alınmaktadır.
Tek örnekli Kolmogorow-Smirnow K-S uyum testi ‘inde bir olayla ilgili evrensel kümeden örneklemeler yoluyla elde edilmiş n sonlu sayıdaki veri kümesinin dağılım parametreleri önceden parametreleri bilinen evrensel küme ile ilgili normal dağılıma veya daha genel anlamda bu normal dağılımda olup olamadıkları konu edinilerek irdelenmektedir. Buna karşılık, çift örnekli
Kolmogorow-Smirnow K-S uyum testi ‘inde ise; kuramsal dağılımlarının aynı iki farklı örnekleme veri kümesinin deneysel dağılımlarının eşdeğer olup olmadığı konu edinilerek istatistik olarak irdelenmektedir. Genelde, her iki test işlemi temelde aynı prensiplere dayanmasına rağmen buradan da görüldüğü gibi sadece detayda bazı farklılıklar göstermektedir.
9.4.1. Tek Örnekli Kolmogorow-Smirnow K-S Uyum Testi
Tek Örnekli Kolmogorow-Smirnow uyum testi ya da diğer adıyla tek Örnekli Kolmogorow-Smirnow (K-S) testi (veya alternatif 2 yöntemi), özellikle verileri keyfi gruplara ayırabilme açısından diğer 2-bazlı uyum testlerine oranla daha etkin bir test yöntemi olmaktadır. Çünkü testin uygulanmasında sınıf yığılmaları için, 2-uyum testinin aksine (npi4 gibi) hiçbir alt sınırlama bulunmamaktadır. Bu nedenle Kolmogorow-Smirnow uyum testi, sağladığı bu gibi üstünlükler nedeniyle, aynı zamanda, diğer 2-bazlı uyum testlerinin bir alternatif yöntemi olmaktadır.
Böyle bir testin temelinde; F(x) kuramsal kümülatif dağılım fonksiyonu ile verilerin bir veri kümesindeki tüm elemanlarının işaretleri ile birlikte küçükten büyüğe doğru sıralanmaları halinde onların
)
biçiminde tanımlanan ampirik kümülatif dağılım fonksiyonu veya deneysel bağıl kümülatif dağılım fonksiyonu arasındaki dikey yöndeki sapma mesafelerinin ya da uyum iyiliklerinin istatistik olarak irdelenmesi prensibi yatmaktadır(Şekil 29).
H(x) : Deneysel Normal
Şekil 29: H(x) Deneysel ve F(x) kuramsal Normal Dağılımlar ve aralarındaki K-S Düşey sapma mesafeleri
Hatırlanacağı gibi Cantelli-Glivenko önermesine göre her iki kümülatif dağılım fonksiyonları arasındaki farklar için,
0 ) ( )
(x F x H
Sup
bağıntısı yazılabilmektedir (Panık. M. J. 2005). Bu bağlamda da böyle bir hipotez testi için,
) ( )
0 MaxH(xi F xi
D 9-19
her iki dağılım fonksiyonları arasındaki düşey farklardan maksimum değerli olanı test büyüklüğü olarak seçilmektedir.
) (x
H deneysel dağılım fonksiyonunun süreksiz, kesikli türden bir rastgele değişken fonksiyonu olması nedeniyle, düşey yöndeki maksimum mutlak fark bağıl dağılımın her iki ucunda da oluşabileceğinden bu şekilde tanımlanacak olan bir test büyüklüğü ya da standart rastgele değişken çoğu zaman yetersiz kalabilir.
Böyle durumlarda, tek noktadaki düşey farkların yerine daha gerçekçi bir test büyüklüğü, sınıf bağıl yığılmalarının her iki ucunda oluşacak maksimum mutlak düşey farkların birlikte irdelemeye yarayacak bir şekilde test büyüklüğü,
( ) ( ) , ( 1) ( )
0 Max H xi F xi H xi F xi
D 9-20
olarak hesaplanabilir(Şekil 29). Böylece, test büyüklüğü olarak alternatif durumdaki çapraz farklardan maksimum değerli olanı test değeri olarak seçilmiş olur. Diğer taraftan, H(x) ampirik dağılımın umut değeri,
F(x) : Kuramsal Normal Dağılım Eğrisi
0 0 x
E
H(x)
F(x),kuramsal dağılıma eşdeğer olacağından, H(x) ampirik dağılım fonksiyonu F(x) kuramsal dağılım fonksiyonunun sistematik hata içermeyen yansız bir kestirimcisi olmaktadır. Böylece sürekli dağılımlarda F(x) kuramsal dağılıma bağlı olmayan, her iki uca ilişkin H(xi)F(xi) düşey ve H(xi1)F(xi) çapraz farklar sadece örnekleme veri hatalarını temsil edecektir. Buna göre de bu farkların büyüklüğü, deneysel veri değerlerinin F(x) kuramsal dağılıma uygunluğunu belirlemek için kullanılabilecek bir ölçüt olacaktır. Daha sonra, bu şekilde bir test büyüklüğü olarak hesaplanmış D0 değerinin önceden seçilmiş belli bir 1S yanılma olasılığına göre ilgili Kolmogorow-Smirnow test irdelemesi, daha önceden hazırlanmış mevcut tablolardan alınan D1 sınır değeri ile bir karşılaştırılması gerçekleştirilecektir. Böyle bir karşılaştırma neticesinde eğer, D0 test büyüklüğünün ilgili dağılım tablosundan alınmış D1 sınır değerinden küçük ise; her iki dağılım fonksiyonu arasındaki dikey ya da çapraz farkların önemsenmeyecek derecede küçük, neticede her iki dağılımın uyumlu olmasına karar verilecektir. Büyük çıkması durumunda da aralarında önemli bir sistematik farkın olduğuna karar verilerek böylece arzulanan istatistik irdelemeler gerçekleştirilmiş olacaktır.
Özetle, Kolmogorow-Smirnow uyum testine göre bir deneysel veri kümesinin;
parametreleri 0 ve 0 olarak bilinen bir normal dağılımda olup olmadığının öngörülen bir 1S yanılma olasılığına göre istatistik olarak irdelenmesinde sırası ile aşağıdaki işlem adımları uygulanır. Bu amaçla uygulanacak normal dağılıma uyum iyiliği hipotezinin;
birinci işlem adımında
0:
H verilerin örnek dağılımı, parametreleri 0 ve 0
olan bir normal dağılımdadır.
s:
H verilerin örnek dağılımı, parametreleri 0 ve 0
olan bir normal dağılımda değildir.
biçiminde bir sıfır hipotezi kurulur.
İkinci işlem adımı olarak ; D0 test büyüklüğünün hesaplanması amacıyla;
a) Örnek veri kümesindeki elemanlar işaretleri de dikkate alınarak
küçükten büyüğe doğru xixi1 koşulunu sağlayacak şekilde
) ( )
3 ( ) 2 ( ) 1
( , x , x , ..., xn
x büyüklük sırasına sıralanırlar.
b) Sonra bu sıralı verilerin her birine ilişkin, i 1, 2, 3, .., n için
n
x i H( i)
formülü ile bağıl dağılımları hesaplanır.
c) Yine aynı, i 1, 2, 3, .., n, sırasında H0 hipotezinde verilmiş olan 0 ve 0 kuramsal parametre değerleri ile her bir
) ( )
3 ( ) 2 ( ) 1
( , x , x , ..., xn
x veri değeri için F(xi) kuramsal dağılımları hesaplanır.
d) Daha sonra, H(xi) deneysel kümülatif dağılımı ile F(xi) kuramsal kümülatif dağılım değerleri arasındaki farklar hesaplanarak,
( ) ( ) , ( 1) ( )
0 Max H xi F xi H xi F xi
D
test büyüklüğü hesaplanır(tek taraflı düşey farklar için (9-19 ve çift taraflı düşey farklar için de (9-20), formülleri kullanılarak hesaplamalar yapılır).
(9-19) veya (9-20) formüllerinden hesaplanmış test büyüklüklerinin, verilmiş bir 1S yanılma olasılığı değerlerine göre istatistik olarak irdelenebilmesi için, önceden hazırlanmış Kolmogorow-Smirnow test istatistiği tablolardan D1 tablo sınır değeri bulunur.
D0 test büyüklüğünün D1 sınır değeri ile karşılaştırılmasında;
D0<D1 olması halinde H0 sıfır hipotezi kabul, Hs seçenek hipotezi ret edilir. Tersi D0>D1 durumda; H0 sıfır hipotezi ret, Hs seçenek hipotezi kabul edilir.
Sonuçta elde edilen bulgulara göre yorum yapılır. Yorum: D0<D1 olması halinde, veriler yanılma olasılığına göre normal
dağılımdadır. Aksi halde, eğer D0>D1 ise; normal dağılımda olmadıkları söylenebilir.
Örnek 1: Bir olayla ilgili n10 deneme sonucunda,
106 136 128 118 131 123 127 113 117 109
x
gözlem değerleri elde edilmiştir. Bu verilerin; 0,05 yanılma olasılığı ile Kolmogorow-Smirnow uyum testine göre xN(120,81) parametreli bir normal dağılıma uyup uymadıklarının irdelenmesi istenmektedir.