Bir gemi gövdesinin dinamik modeli, gemi gövdesinin dinamik davranışını belirleyen hareket eşitliklerinden oluşur [29+. Gemi hareketlerinin basitçe ifade edilebilmesi için aşağıdaki bazı kabuller yapılmıştır. Bunlar kısaca şöyle ifade edilebilir:
Dinamik analiz sırasında gemi kütlesi sabittir,
Gemi katı bir cisimdir.
Bu kabuller altında geminin üç tane doğrusal üç tanede açısal yer değiştirmeden kaynaklanan hareketi söz konusudur *29]. Gemi hareketlerinin analizlerinin gerçekleştirilmesi için iki ayrı koordinat sistemi tanımlanır. Bunlar ( ) önce geminin orijinine yerleştirilen referans eksen takımı ve (XYZ) yere bağlı sabit bir eksen takımıdır. Bu eksen takımları Şekil 2.2’de görülmektedir.
Savrulma, 𝛹 Yalpa 𝜙 Baş-Kıç Vurma, 𝜃 Boyuna Öteleme, x Yan Öteleme, y Dalıp-Çıkma, z X Y Z DTMB 5415
19
Şekil 2. 2 Yere sabitlenmiş referans koordinat sistemi (XYZ) ve gövdeye sabitlenmiş koordinat sistemi (X0Y0Z0) [44]
Yere sabitlenmiş eksen takımına göre ( ) orijin merkezini kütle hareket merkezi seçilerek öteleme hareket denklemleri [44];
m[u̇ vr wq x (q r ) y (qp ṙ) z (pr q̇)]
m[v̇ wp ur y (p r ) z (qr ṗ) x (pq ṙ)] (2.3) m[ẇ uq vp z (p q ) x (rq q̇) y (qr ṗ)]
dönme hareket denklemleri [44];
ṗ ( )qr (ṙ pq) (r q ) (pr q̇) m[y (ẇ uq vp) z (v̇ wp ur)]
q̇ ( )rp (ṗ qr) (p r ) (qp ṙ) m[z (u̇ vr wq) x (ẇ uq vp)]
20
ṙ ( )pq (q̇ rp) (q p ) (rq ṗ) m[x (v̇ wp ur) y (u̇ vr wq)] (2.4) formulleriyle ifade edilir. Burada u, v, w doğrusal hız ve p, q, r açısal hız bileşenlerini; X, Y, Z kuvvet ve K, M, N moment bileşenlerini göstermektedir.
2.1.4 Hidrodinamik Katsayılar
Akışkan içerisinde ivmeli hareket gerçekleştiren herhangi bir cisim hareketiyle orantılı olarak belli bir miktar akışkan kütlesini de harekete zorlayacaktır ve bu akışkan kütlesine ek kütle adı verilmektedir. Bu ek kütleyle beraber akışkan hareketi sönümlemeye çalışır ve bu terimede sönüm katsayısı adı verilmektedir. Denklem (2.3) ve Denklem (2.4) ile tanımlanan hareket denklemlerinin çözülebilmesi için denklem takımında gösterilmiş olan ek su kütlesi ve sönüm katsatyısı terimlerinin her bir hareket modu için hesaplanması gerekmektedir. Bu terimlerin hesaplanması için potansiyel teoriye dayalı yöntemler geliştirilmiştir. Potansiyel teoriye dayalı olarak tekne formlarına ait ek su kütlesi ve sönüm katsayıları üç boyutlu geometri için hesaplanabildiği gibi genellikle iki boyutlu kesitler incelenir ve elde edilen sonuçlar tüm tekne formu için integre edilerek hesaplanır. Hidrodinamik katsayıların ilavesiyle elde edilen gemi hareketlerine ait doğrusal olmayan formdaki denklemler kaynak [44+’den ayrıntılı bir şekilde elde edilebilir.
Gemi hareketlerinin modellenmesi için tekne gövdesi üzerine gelen kuvvetlerin ve momentlerin ayrıntılı olarak hesap edilmesi gerekir. Potansiyel teori ile gerçekleştirilen modelleme ile tekne üzerine gelen viskoz etkiler, aerodinamik etkiler ve pervanenin yol açtığı etkiler ihmal edilir [29+. Bu çalışmada viskoz etkiler ve aerodinamik etkiler ihmal edilmeycek ve pervane kaynaklı etkilerin olmadığı kabul edilecektir. Sonuç olarak tekne üzerine gelen toplam kuvvet ve momentler akışkan kaynaklı basınç ve sürtünmedir. Gemi hareketlerinin HAD ile çözümü için kullanılan yöntem alt Bölüm 2.2 de anlatılmıştır.
21
Gemi Hareketlerinin HAD ile Çözümü için Kullanılan Yöntem 2.2
Bir önceki bölümde belirtildiği gibi hareketlerinin ve direncinin çözümü için geleneksel potansiyel akış metotları kullanılmayıp türbülans ve viskoz etkilerin de göz önüne alındığı body-attached mesh algoritması çözüm için kullanılmıştır. Javanmardi vd. [45] yapmış oldukları çalışmada trimaran sınıfı bir teknenin hareketlerini bu yöntemi kullanarak modellemişler ve elde ettiği sonuçları deneysel verilerle karşılaştırdıklarında kullanılan bu yöntemin potansiyel metodlara göre daha iyi sonuç verdiğini gözlemlemişlerdir. Panahi vd. [46+ çalışmalarında katamaran sınıfı bir teknenin zamana bağlı olarak yunuslama hareketini incelemişler ve elde ettikleri sonuçları deneysel verilerle ve SPH (Smooth particle Hydrodynamic) ile elde edilen sonuçlarla karşılaştırmışlardır. Bu çalışmada Panahi vd. [46] body-attached ağ algoritmasının deneysel verilerle karşılaştırıldığında SPH yöntemine göre daha güvenilir olduğunu belirlemişlerdir. Body-attached mesh algoritmasına göre yapılan çözümün aşamaları Şekil 2.3’de gösterilmiştir.
Kullanılan bu yöntemde akış içerisinde bulunan cisim dönme ve öteleme hareketini hesaplama hacmi ile birlikte gerçekleştirmektedir ve hesaplama hacmi katı bir cisim gibi davranmaktadır. Şekil 2.4’de iki farklı zaman adımında meydana gelen dönme hareketi gösterilmiştir.
Şekil 2.3 ve Şekil 2.4 incelendiğinde hareket sistemini çözmek için ek su kütlesi ve sönüm katsayısı değerlerine ihtiyaç duyulmamaktadır. Dönme ve öteleme hareketleri hesaplama hacminin tamamı döndürülerek ve ötelenerek gerçekleştirilmektedir.
Her bir zaman adımında yerdeğiştirmelerin hesap edilebilmesi için gövde üzerine gelen toplam kuvvet ve momentlerin bilinmesi gerekir. Yukarıda da belirtildiği gibi akış viskoz olup türbülanslıdır, kuvvet ve momentler aşağıda verilen formuller kullanılarak hesaplanır [47].
Basınç kuvveti:
∑ pa (2.5) Basınç momenti:
22
Şekil 2. 3 Gemi hareketlerinin HAD ile çözümü için kullanılan yöntem [46]
Şekil 2. 4 Hesaplama hacminin tn ve tn+1 anlarında konumu [46] Süreklilik, Navier-Stokes ve Türbülans Transport Denklemlerinin çözümü Ağ yapısnın oluşturulması ve başlangıç şartlarının tanımlanması
Fyeni, Myeni kuvvet ve momentlerin hesaplanmsı
6 Serbestlik dereceli gemi hareketlerinin çözülmesi
açısal ve lineer hızların hesabı
Body-attached ağ yapısının hareketi (Dönme ve
Öteleme)
Serbest su yüzeyine ait skaler transport denkleminin
çözümü Efektif özelliklerin
hesaplanması Bir sonraki zaman adımı
23 Sürtünmeden kaynaklanan kuvvet:
∑ a (2.7) Sürtünmeden kaynaklanan moment:
∑ [r ( a)] (2.8) Bu kuvvetlere ek olarak yer çekimi etkisiyle meydana gelen kuvvet:
mg (2.9) Yukarıda verilen eşitliklerde, p basınç olup f yüzeyine etkimektedir. f yüzeyinin alanı a, r ise f yüzeyinin tekne ağırlık merkezine olan uzaklığıdır. Her bir yüzeydeki kayma gerilmeleri ile gösterilmiştir. Tekne üzerine gelen toplam kuvvet;
f (2.10) ve toplam moment:
n (2.11) Hesaplama hacmini dolayısıyla tekne gövdesini hareket ettirebilmek için zorlayıcı bir kuvvete ihtiyaç duyulmakatdır. Sistemi zorlayıcı kuvvet olarak sinusoidal dalga formu kullanılmıştır ve kullanılan lineer dalga formu Şekil 2.5’de gösterilmiştir.
Şekil 2. 5 Sinusoidal dalga formu [29]
Bu düzenli dalganın lineer teoriye göre temel fiziksel özellikleri aşağıdaki gibidir: Dalga boyu: (2.12) Dalga frekansı: H x z
24 √ (2.13) Dalga periyodu: T √ (2.14) Dalga hızı: c (2.15) Dalga yüksekliği: a ga en i i (2.16) Dalga sayısı: k (2.17) Dalga profili: cos(kx t ) az arkı (2.18) Hareket analizlerinin gerçekleştirilmesi esnasında başlangıç sınır şartı ve hız giriş sınır şartı için sinusoidal dalga formu tanımlanmıştır.
Karşılaşma Frekansı 2.3
Düzgün dalgalara karşı hızıyla ilerleyen bir gemi dalgalar tarafından periyodik olarak fe karşılaşma frekansı ile zorlanır [48].
Teknenin karşılaşma frekansı dalgaların tekne üzerine geliş açı ve hızına bağlıdır. Eğer ise gemi dalgaları kıçtan, ise baştan alır. Bu çalışmada tekne üzerine gelen dalgaların tekneyle yapmış olduğu açı derece kabul edilmiştir. Sonuç olarak gemi baştan gelen düzenli dalgalarda harekete zorlanmıştır.
Baştan gelen düzenli dalgalarda karşılaşma frekansı aşağıdaki formulle verilmektedir: f √ (2.19)
25
Denklemi ile gemi hızı, dalga frekansı ve karşılaşma frekansı arasındaki bağıntı verilmiştir.
Şekil 2. 6 Dalga konvansiyonu [48]
Akışkanlar Dinamiği Denklemleri 2.4
2.4.1 Giriş
Gemi inşaatında HAD yöntemleri gemilerin hidrodinamiği ile ilgili problemlerin çözümünde günümüzde etkili bir hesaplama yöntemi olarak kullanılmaktadır. Mühendislerin esas amacı su içerisinde dalmış halde bulanan veya yüzen cisimlerin etrafındaki basınç dağılımını ve hızın üç eksendeki bileşenlerini hesaplamaktır. Bu sayede su içerisinde hareket eden taşıtın üzerinde meydana gelen kuvvet ve momentlerin hesaplanabilmesi mümkündür [49].
26
Hareketin diferansiyel denklemlerini çözmek çok zordur ve ayrıca bunların genel matematiksel özellikleri hakkında çok az şey bilinmektedir. İlk olarak denklemler çözülmemiş olsalar bile akışkanın hareketini düzenleyen temel boyutsuz parametreleri ortaya çıkarırlar. Daimi akış ve sıkıştırılamaz akış kabulleri yapılırsa önemli sayıda yararlı çözümler elde edilebilir. Üçüncü ve oldukça büyük bir basitleştirme sürtünmesiz akış kabulüdür ve Bernoulli denklemini geçerli kılar ve çok çeşitli idealleştirilmiş, ya da ideal akışkan, muhtemel çözümleri sağlar.
Bu bölümde akışkan hareketini analiz etmek için akışkanlar mekaniğinin temel diferansiyel denklemleri ve türbülanslı hareketi analiz etmek için temel basitleştirme yöntemleri anlatılacaktır.