Nümerik sonuçlar

Bu bölümün amacı, önceki iki bölümde elde edilen analitik sonuçları, nümerik simülasyonlar kullanarak desteklemek ve difüzyon teriminin (5.28) sisteminin dinami˘gi üzerindeki etkisini göstermektir. Bunun için, tıbbi deneylerle tahmin edilen

α = 1.636, β = 0.002, δ = 0.3743, ω = 0.04, σ = 0.1181 (5.39) parametre de˘gerlerini kullanılacaktır (Kuznetsov ve di˘g., 1994). Bu parametre de˘gerleriyle, sistem (5.28)          ∂ u(t, x) ∂ t = c1 ∂2u(t, x) ∂ x2 + 0.1181 + 0.04u(t − τ, x)v(t − τ, x) − 0.3743u(t, x) ∂ v(t, x) ∂ t = c2 ∂2v(t, x) ∂ x2 + 1.636v(t, x)(1 − 0.002v(t, x)) − u(t, x)v(t, x) (5.40) sistemine dönü¸sür. E₀?= (0.3155, 0), E₁?= (−0.0060, 501.8323), ve E₂?= (1.6114, 7.5252), olmak üzere bu sistemin 3 tane denge noktası vardır. Bölüm 5.4.2’de bazı ko¸sullar altında E₂? denge noktasının kararlılı˘gını kaybedebilece˘gini ve bu denge noktasından

periyodik çözümlerin çatallanabilece˘gini gösterdik. Bu nedenle, bu bölümde E₂?denge noktasının kararlılık yapısı ile ilgili simülasyonlara yer verilecektir.

Difüzyon teriminin, sistemin dinami˘gi üzerindeki etkisini görebilmek için biyolojik açıdan farklı anlamlar ta¸sıyan 5 farklı durum ele alınacaktır. Durum I: difüzyon yok, sadece zamana göre de˘gi¸sim var; Durum II: efektör hücrelerde yayılma yokken tümör hücreleri c2= 0.02 sabit difüzyon katsayısı ile yayılır; Durum III: tümör hücrelerinde

yayılma yokken efektör hücreler c2= 0.03 sabit difüzyon katsayısı ile yayılır; Durum

IV: hem efektör hücreler hem de tümör hücreleri sabit difüzyon katsayıları ile yayılır fakat tümör hücrelerinin yayılma hızı daha fazladır; Durum V: efektör hücreler ve tümör hücreleri aynı hızla yayılır. Bölüm 4’te olu¸sturulan algoritmanın MATLAB kodu kullanılarak bu difüzyon katsayı de˘gerleri için varlık analizi ve yön analizi için gerekli de˘gerler sırasıyla, Çizelge 5.16 ve Çizelge 5.17’te verilmi¸stir.

Çizelge 5.16, ele alınan 5 farklı difüzyon katsayı de˘geri için (5.40) sisteminin E₂? = (1.6114, 7.5252) denge noktasının τ ∈ [0, τ2,0) iken yerel (lokal) asimptotik

kararlı oldu˘gunu (Çizelge 5.16’nın son satırı); τ = τ2,0 iken sistemin karakteristik

denkleminin ±iω2 sırf sanal kök çiftine sahip olması nedeni ile

E₂? = (1.6114, 7.5252) denge noktasının kararlılı˘gını kaybedece˘gini ve bu gecikme de˘gerinde sistemde Hopf çatallanmanın ortaya çıkaca˘gını; denge noktasının τ > τ2,0

iken kararsız kalaca˘gını gösterir. Yani, Teorem 5.1’e göre sistem (5.40), Çizelge 5.16’da verilen her bir difüzyon katsayı de˘ger çifti için τ2,0 de˘gerinin bir

kom¸sulu˘gunda periyodik çözümler ailesine sahiptir. Dikkat edilirse difüzyon terimi, Hopf çatallanmanın ortaya çıktı˘gı çatallanma de˘gerini de˘gi¸stirmi¸stir (Çizelge 5.16’nın son satırı). Difüzyon katsayı de˘gerleri büyüdükçe denge noktası kararlılı˘gını, daha büyük gecikme de˘gerlerinde kaybetmektedir, yani gecikme terimine göre daha uzun süre kararlı kalmaktadır.

Çizelge 5.16: (5.40) sisteminin varlık analizi için gerekli de˘gerler.

I II III IV V c1= 0 c1= 0 c1= 0.03 c1= 0.01 c1= 0.03 c₂= 0 c₂= 0.02 c₂= 0 c₂= 0.03 c₂= 0.03 H1 0.0979 0.1179 0.1279 0.1379 0.1579 H42 -0.2280 -0.2221 -0.2280 -0.2191 -0.2191 ω2 0.6732 0.6680 0.6650 0.6626 0.6570 τ2,0 0.2121 0.2610 0.2804 0.3100 0.3580

Çizelge 5.16’daki verilere göre, (5.40) sisteminde Hopf çatallanmanın meydana geldi˘gini ifade ettik. Bu çatallanmanın yön analizi hakkında, Çizelge 5.17, Teorem 5.2’ye göre bütün difüzyon katsayı de˘gerleri için ¸su bilgileri verir: Re(c1(0)) < 0

oldu˘gundan Hopf çatallanma süperkritiktir ve ortaya çıkan periyodik çözümler kararlıdır; µ2 > 0 oldu˘gundan periyodik çözümler çatallanma de˘geri τ2,0 dan sonra

ortaya çıkar; çatallanma de˘gerine yeterince yakın iken periyodik çözümlerin periyodu Çizelge 5.17’nin son satırındaki gibidir ve bu periyot, T2> 0 oldu˘gundan çatallanma

de˘gerinden uzakla¸stıkça artar. Dikkat edilirse difüzyon terimi, ortaya çıkan periyodik çözümlerin periyodunu de˘gi¸stirmi¸stir (Çizelge 5.17’nin son satırı). Difüzyon katsayı de˘gerleri arttıkça periyot artmaktadır.

Çizelge 5.17: (5.40) sisteminin için yön analizi için gerekli de˘gerler.

I II III IV V c1= 0 c1= 0 c1= 0.03 c1= 0.01 c1= 0.03 c2= 0 c2= 0.02 c2= 0 c2= 0.03 c2= 0.03 Re(c1(0)) -0.0365 -00656 -0.0490 -0.0847 -0.0936 µ2 0.1762 0.3326 0.2487 0.4485 0.5140 T2 0.4991 0.4999 0.5393 0.5135 0.5382 Periyot 9.3339 9.4055 9.4486 9.4824 9.5630

Bu sonuçları destelemek amacıyla, sıfırdan farklı difüzyon katsayıları içeren (5.40) sistemi için FORTRAN programı ve difüzyon katsayılarının sıfır oldu˘gu durum için ise MATLAB DDE (Delay Differential Equations) paketini kullanarak bazı simülasyonlar elde edilmi¸stir.

Difüzyonun olmadı˘gı durumda, çatallanma de˘gerinden küçük τ = 0.1 ∈ [0, 0.2121) gecikme de˘gerinde denge noktasının yerel (lokal) asimptotik kararlı oldu˘gu ¸Sekil 5.14’ten görülmektedir. ¸Sekil 5.15 ve ¸Sekil 5.16, τ = 0.2121 çatallanma de˘gerinde ve çatallanma de˘gerinden büyük fakat çatallanma de˘gerine çok yakın τ = 0.213 > 0.2121 de ˘gerinde, (5.40) sisteminin periyodik çözüme sahip oldu˘gunu göstermektedir. Bu simülasyonlar, periyodik çözümlerin çatallanma de˘gerinden sonra ortaya çıktı˘gı sonucunu, difüzyon katsayı de˘gerlerinin sıfır oldu˘gu durum için destekler.

¸Sekil 5.14: c1= c2= 0 ve τ = 0.1 < 0.2121 iken (u0, v0) = (2, 8) ba¸slangıç de˘gerine

sahip efektör hücre popülasyon yo˘gunlu˘gunun çözüm grafi˘gi u(t) solda, tümör hücresi popülasyon yo˘gunlu˘gunun çözüm grafi˘gi v(t) ortada ve (5.40) sisteminin faz portresi sa˘gda verilmi¸stir.

¸Sekil 5.15: c1 = c2 = 0 ve τ = 0.2121 iken (u0, v0) = (2, 8) ba¸slangıç de˘gerine

sahip efektör hücre popülasyon yo˘gunlu˘gunun çözüm grafi˘gi u(t) solda, tümör hücresi popülasyon yo˘gunlu˘gunun çözüm grafi˘gi v(t) ortada ve (5.40) sisteminin faz portresi sa˘gda verilmi¸stir.

¸Sekil 5.16: c1= c2= 0 ve τ = 0.213 > 0.2121 iken (u0, v0) = (2, 8) ba¸slangıç de˘gerine

sahip efektör hücre popülasyon yo˘gunlu˘gunun çözüm grafi˘gi u(t) solda, tümör hücresi popülasyon yo˘gunlu˘gunun çözüm grafi˘gi v(t) ortada ve (5.40) sisteminin faz portresi sa˘gda verilmi¸stir.

Tanım 3.1, çatallanma de˘gerinde denge noktası zayıf bir ¸sekilde çekici ise Hopf çatalanmanın süperkritik olarak adlandırıldı˘gını söyler. ¸Sekil 5.17’ye bakılırsa E₂? = (1.6114, 7.5252) denge noktasının kararlılı˘gının zaman aralı˘gı artırılmasına ra˘gmen zayıf kaldı˘gı görülür. Bu simülasyon, Hopf çatallanmanın tipinin süperktirik oldu˘gunu destekler. ¸Sekil 5.18’de ise çatallanma de˘gerinden büyük τ = 0.3 > 0.2121 gecikme de˘gerinde denge noktasının kararsız oldu˘gu görülmektedir.

¸Sekil 5.17: c1= c2= 0 ve τ = 0.2121 iken (u0, v0) = (2, 8) ba¸slangıç de˘gerine sahip

(5.40) sisteminin faz portresi, t ∈ [0, 100] için solda, t ∈ [0, 300] için ortada ve t ∈ [0, 500] için sa˘gda verilmi¸stir.

¸Simdi, difüzyon teriminin E₂? = (1.6114, 7.5252) denge noktasının kararlılı˘gı üzerindeki etkisini inceleyelim. ¸Sekil 5.19, farklı difüzyon katsayı de˘gerleri için ilgili çatallanma de˘gerlerinden küçük τ = 0.1 gecikme de˘gerinde denge noktasının yerel (lokal) asimptotik kararlı oldu˘gunu göstermektedir.

¸Sekil 5.18: c1= c2= 0 ve τ = 0.3 > 0.2121 iken (u0, v0) = (2, 8) ba¸slangıç de˘gerine

sahip efektör hücre popülasyon yo˘gunlu˘gunun çözüm grafi˘gi u(t) solda, tümör hücresi popülasyon yo˘gunlu˘gunun çözüm grafi˘gi v(t) ortada ve (5.40) sisteminin faz portresi sa˘gda verilmi¸stir.

(a) c1= 0, c2= 0.02 ve τ = 0.1 < τ2,0= 0.2610

(b) c1= 0.03, c2= 0 ve τ = 0.1 < τ2,0= 0.2804

(c) c1= 0.01, c2= 0.03 ve τ = 0.1 < τ2,0= 0.3100

¸Sekil 5.19: u(x, 0) = 1.6114 + 0.002 cos(x) ve v(x, 0) = 7.5252 + 0.002 cos(x) ba¸slangıç de˘ger fonksiyonlarına sahip efektör hücre popülasyon yo˘gunlu˘gunun çözüm grafi˘gi u(t, x) solda ve tümör hücresi popülasyon yo˘gunlu˘gunun çözüm grafi˘gi v(t, x) sa˘gda verilmi¸stir.

Difüzyonun olmadı˘gı Durum I için çatallanma de˘gerinin τ = 0.2121 oldu˘gunu ve dolayısıyla difüzyonun yoklu˘gunda, bu gecikme de˘gerinde ve bu de˘gerden büyük fakat çok yakın gecikme de˘gerlerinde (5.40) sisteminin periyodik çözüme sahip oldu˘gunu biliyoruz ( ¸Sekil 5.15 ve ¸Sekil 5.16). ¸Sekil 5.20’ye bakılırsa farklı difüzyon

de˘gerlerinin ele alındı˘gı sistemlerde, τ = 0.2121 gecikme de˘gerinde, (5.40) sisteminin E₂?= (1.6114, 7.5252) denge noktası halen yerel (lokal) asimptotik kararlı oldu˘gu görülür. Bu sonuç, sistem difüzyon içeriyorsa difüzyonun pozitif denge noktasının kararlı kaldı˘gı gecikme aralı˘gını uzattı˘gının altını çizmektedir. Ba¸ska bir deyi¸sle, difüzyon, periyodik bir çözümü asimptotik olarak kararlı bir denge noktasına dönü¸stürebilecek bir etkiye sahiptir.

(a) c1= 0, c2= 0.02 ve τ = 0.2121 < τ2,0= 0.2610

(b) c1= 0.03, c2= 0 ve τ = 0.2121 < τ2,0= 0.2804

(c) c1= 0.01, c2= 0.03 ve τ = 0.2121 < τ2,0= 0.3100

(d) c1= 0.03, c2= 0.03 ve τ = 0.2121 < τ2,0= 0.3580

¸Sekil 5.20: u(x, 0) = 1.6114 + 0.002 cos(x) ve v(x, 0) = 7.5252 + 0.002 cos(x) ba¸slangıç de˘ger fonksiyonlarına sahip efektör hücre popülasyon yo˘gunlu˘gunun çözüm grafi˘gi u(t, x) solda ve tümör hücresi popülasyon yo˘gunlu˘gunun çözüm grafi˘gi v(t, x) sa˘gda verilmi¸stir.

¸Sekil 5.21, (5.40) sisteminin c1= 0 ve c2= 0.02 iken τ = 0.2610; c1= 0.03 ve c2= 0

iken τ = 0.2804; c1= 0.01 ve c2= 0.03 iken τ = 0.3100; c1= 0.03 ve c2= 0.03 iken

τ = 0.3580 çatallanma de ˘gerlerinde periyodik çözüme sahip oldu˘gunu göstermektedir.

(a) c1= 0, c2= 0.02 ve τ = τ2,0= 0.2610

(b) c1= 0.03, c2= 0 ve τ = τ2,0= 0.2804

(c) c1= 0.01, c2= 0.03 ve τ = τ2,0= 0.3100

(d) c1= 0.03, c2= 0.03 ve τ = τ2,0= 0.3580

¸Sekil 5.21: u(x, 0) = 1.6114 + 0.002 cos(x) ve v(x, 0) = 7.5252 + 0.002 cos(x) ba¸slangıç de˘ger fonksiyonlarına sahip efektör hücre popülasyon yo˘gunlu˘gunun çözüm grafi˘gi u(t, x) solda ve tümör hücresi popülasyon yo˘gunlu˘gunun çözüm grafi˘gi v(t, x) sa˘gda verilmi¸stir.

c₁ = 0.01 ve c2 = 0.03 iken çatallanma de˘gerinin τ = 0.3100 oldu˘gunu ve

dolayısıyla, bu gecikme de˘gerinde (5.40) sisteminin periyodik çözüme sahip oldu˘gunu biliyoruz ( ¸Sekil 5.21c). Difüzyon içeren (5.40) sisteminde, difüzyon katsayılarının artı¸sının, E₂? = (1.6114, 7.5252) denge noktasının kararlılık yapısı üzerinde nasıl bir etkiye sahip olabilece˘gini görmek için c1 = 0.03 ve c2 = 0.03

difüzyon katsayı de˘gerinde τ = 0.3100 iken çözüm e˘grileri elde edilmi¸stir. ¸Sekil 5.22’de görüldü˘gü gibi, c1 = 0.01 ve c2 = 0.03 için çatallanma de˘geri olan

τ = 0.3100 gecikme de ˘gerinde, c1= 0.03 ve c2 = 0.03 iken E2?= (1.6114, 7.5252)

denge noktası halen yerel (lokal) asimptotik kararlıdır.

¸Sekil 5.22: c1= 0.03, c2 = 0.03 ve τ = 0.3100 < 0.3580 iken u(x, 0) = 1.6114 +

0.002 cos(x) ve v(x, 0) = 7.5252 + 0.002 cos(x) ba¸slangıç de˘ger fonksiyonlarına sahip efektör hücre popülasyon yo˘gunlu˘gunun çözüm grafi˘gi u(t, x) solda ve tümör hücresi popülasyon yo˘gunlu˘gunun çözüm grafi˘gi v(t, x) sa˘gda verilmi¸stir.

Bu sonuç, difüzyon katsayı de˘gerlerinin artmasının, denge noktasının kararlılı˘gını, daha büyük gecikme de˘gerlerinde kaybetti˘ginin, yani gecikme terimine göre daha uzun süre kararlı kaldı˘gının altını çizmektedir. Difüzyon katsayı de˘gerlerinin artması, periyodik bir çözümü asimptotik olarak kararlı bir denge noktasına dönü¸stürebilecek bir etkiye sahiptir. Ba¸ska bir deyi¸sle, difüzyon katsayı de˘gerlerinin azalması yerel (lokal) asimptotik olarak kararlı bir denge noktasını, periyodik bir çözüme dönü¸stürebilir.