Hopf çatallanma teoremi

Temelinde yatan mantı˘gı ifade etti˘gimize göre artık Hopf Çatallanma Teoreminin ifadesine geçebiliriz. Hassard ve di˘g. (1981) kayna˘gında Hopf Çatallanma Teoreminin üç farklı ifadesi verilmi¸stir. Biz buraya kadar bu teoremlerden ikincisine ait ispatın adımlarını analiz ettik. ¸Simdi ise ikinci teoremin özünden ayrılmadan fakat daha anla¸sılır bir ¸sekilde ifade ederek Hopf Çatallanma Teoremini verece˘giz.

˜

F : Rn× R → Rn

, x ∈ Rnba˘gımsız de˘gi¸sken ve υ ∈ R bir parametre olmak üzere

˙x = ˜F(x, υ) (3.48)

adi diferensiyel denklem sistemini ele alalım. (3.48) sisteminin ayrık denge noktası x?(υ) ve D_x( ˜F(x, υ)) =  ∂ ˜Fi(x, υ) ∂ xj : i, j = 1, 2, ..., n 

olmak üzere sistemin x?(υ) denge noktasında hesaplanan Jakobiyen matrisi A(υ) = Dx( ˜F(x?(υ), υ))

olsun. Ayrıca bu Jakobiyen matris parametre de˘geri υ = υciken

α (υc) = 0, ω (υc) > 0 ve α0(υc) 6= 0

ko¸sullarını sa˘glayan λ (υ) = α(υ) + iω(υ) ve λ (υ) = α(υ) − iω(υ) basit (tek katlı) kompleks e¸slenik özde˘ger çiftine sahip olsun. Yukarıda elde edilen sonuçları kullanabilmek için

X = x − x?(υ) ve µ = υ − υc

de˘gi¸sken ve parametre de˘gi¸stirmesi yapalım.

F(X; µ) = ˜F(X + x?(µ + υc); µ + υc)

olmak üzere, yeni de˘gi¸sken ve yeni parametre ile elde edilen ˙

X = F(X; µ) (3.49)

sistemi (3.48) sistemine topolojik olarak denktir. (3.49) sistemi için Hopf çatallanma teoreminin ifadesi ¸su ¸sekildedir:

Teorem 3.1 (Hopf Çatallanma Teoremi (Hassard ve di˘g., 1981, Teorem II)). Kabul edelim ki (3.49) sistemi için a¸sa˘gıdaki ko¸sullar sa˘glansın.

(K1) I ⊂ R sıfırın açık bir kom¸sulu˘gu olmak üzere her µ ∈ I için F(0; µ) = 0 ve 0 ∈ Rn

noktasıF fonksiyonunun ayrık bir denge noktasıdır.

(K2) (0, 0) ∈ Rn× R nin bir kom¸sulu˘gunda, L ≥ 2 için F(X; µ) ∈ CL+2(Rn× R, Rn)

dir, yaniF nin X e ve µ ye göre (L+2) inci mertebeye kadar bütün kısmi türevleri mevcuttur ve bu türevler süreklidir.

(K3) A(µ) = DXF(0; µ) Jakobiyen matrisi

λ (µ ) = α (µ ) + iω (µ ), ve

α (0) = 0, ω (0) > 0 ve α0(0) 6= 0

olacak ¸sekilde λ ve λ basit (tek katlı) kompleks e¸slenik özde˘ger çiftine sahiptir. (K4) A(µ) Jakobiyen matrisinin geriye kalan n − 2 tane özde˘gerinin reel kısmı, µ = 0

çatallanma de˘gerinde negatiftir.

Bu takdirde,

a) Bir p> 0 vardır öyle ki her bir  ∈ (0, p) için çatallanma parametresi µ

µ () = µ22+ µ44+ YMT

de˘gerine e¸sit oldu˘gunda (3.49) sistemi, p_(t) periyodik çözümüne sahiptir. Dolayısıyla, (3.49) sistemi (0, p) aralı˘gında periyodik çözümler ailesine

sahiptir. AyrıcaX = 0 denge noktasının bir ζ kom¸sulu˘gu ve µ = 0 çatallanma de˘gerini içeren bir ϑ açık aralı˘gı vardır öyle ki her µ ∈ ϑ için (3.49) sisteminin ζ kom¸sulu ˘gunda yatan periyodik çözümleri µ = µ(),  ∈ (0, p) e¸sitli˘gini

sa˘glayan de˘gerleri için p(t) ailesine aittir.

Üstelik yeterince küçük  de˘gerleri için, c1(0) Poincaré normal form katsayısı

(3.39) ile tanımlanmak veRe(c1(0)) 6= 0 olmak üzere, periyodik çözümler

a1) µ2= −

Re(c1(0))

α0(0) > 0 ise µ = 0 çatallanma de˘gerinden sonra, a2) µ2= −

Re(c1(0))

α0(0) < 0 ise µ = 0 çatallanma de˘gerinden önce ortaya çıkar.

b) Re(c1(0)) 6= 0 olmak üzere, p(t) periyodik çözümü

b1) Re(c1(0)) > 0 ise kararsız,

b₂) Re(c₁(0)) < 0 ise yerel (lokal) asimptotik kararlıdır. c) p(t) periyodik çözümünün periyodu T() = 2π ω (0) 1 + T2 2_{+ T} 44+ YMT

dir. Dolayısıyla, yeterince küçük de˘gerleri için periyot T() ≈ 2π

ω (0) olur. Ayrıca periyot T(),

c1) T2= − ω0(0)µ2+ Im(c1(0)) ω (0) > 0 ise artan, c2) T2= − ω0(0)µ2+ Im(c1(0)) ω (0) < 0 ise azalandır. Açıklama 3.5 (Hassard ve di˘g. (1981)).

µ = 0 çatallanma de ˘gerinde A(0) Jakobiyen matrisinin kompleks e¸slenik çiftten geriye kalan n− 2 tane özde˘gerinin bazılarının veya tamamının reel kısımlarının pozitif oldu˘gu durumda µ ∈ ϑ için ortaya çıkan periyodik çözümler kararsızdır.

Teoremin ifadesinde geçen α0(0) 6= 0 ko¸sulu, transversalite (kesme) ko¸sulu olarak adlandırılır. Bu ko¸sul ile kompleks e¸slenik özde˘ger çiftinin reel kısmı α(µ) nün i¸saretinin, µ = 0 çatallanma de˘gerinde de˘gi¸smesi garanti edilir. Geriye kalan n − 2 tane özde˘gerin reel kısmı negatif oldu˘gu için α(µ) nün i¸saret de˘gi¸simi, denge noktasının kararlılık yapısının de˘gi¸smesi anlamına gelir. Denge noktası, α0(0) > 0 ise çatallanma de˘geri µ = 0 dan önce kararlı, sonra kararsız; α0(0) < 0 ise çatallanma de˘geri µ = 0 dan önce kararsız, sonra kararlıdır.

Di˘ger taraftan, Teorem 3.1’de ifade edildi˘gi üzere (3.49) sisteminin sahip oldu˘gu periyodik çözümler kararlı veya kararsız olabilir. Periyodik çözümlerin kararlılık yapısına göre Hopf çatallanma farklı ¸sekilde isimlendirilir.

Tanım 3.1. Hopf çatallanma, periyodik çözümler kararlı ise Süperkritik Hopf Çatallanma; kararsız ise Subkritik Hopf Çatallanma olarak adlandırılır (Wiggins, 2003).

Bu tanım denge noktasının çatallanma de˘gerindeki kararlılık yapısına göre ¸su ¸sekilde ifade edilebilir:

Tanım 3.2. Hopf çatalanma, çatalanma de˘gerinde denge noktası zayıf bir ¸sekilde çekici ise Süperkritik Hopf Çatallanma; zayıf bir ¸sekilde itici ise Subkritik Hopf Çatallanma olarak adlandırılır (Robinson, 2004).

Denge noktasının çatallanma de˘gerinden önce veya sonra kararlı olmasına ve periyodik çözümlerin çatallanma de˘gerinden önce veya sonra ortaya çıkmasına ba˘glı olarak Hopf çatallanma dört farklı faz portresine sahip olabilir. Bu durumlar a¸sa˘gıda ifade edilmi¸s ve iki boyutlu bir sisteme ait faz portreleri ile örneklendirilmi¸stir.

Durum I - α0(0) > 0 ve µ2< 0: Denge noktası çatallanma de˘geri µ = 0 dan önce

kararlı, sonra kararsızdır. Periyodik çözümler çatallanma de˘geri µ = 0 dan önce ortaya çıkar. Re(c1(0)) > 0 oldu˘gu için bu periyodik çözümler kararsızdır.

Dolayısıyla, Subkritik Hopf Çatallanma meydana gelir ( ¸Sekil 3.3a).

Durum II - α0(0) > 0 ve µ2> 0: Denge noktası çatallanma de˘geri µ = 0 dan önce

kararlı, sonra kararsızdır. Periyodik çözümler çatallanma de˘geri µ = 0 dan sonra ortaya çıkar. Re(c1(0)) < 0 oldu˘gu için bu periyodik çözümler kararlıdır. Dolayısıyla,

Süperkritik Hopf Çatallanma meydana gelir ( ¸Sekil 3.3b).

(a) Subkritik Hopf Çatallanma 1 (b) Süperkritik Hopf Çatallanma 1

¸Sekil 3.3: Denge noktası çatallanma de˘gerinden önce kararlıdır (Wiggins, 2003). (a) Kararsız periyodik çözümler çatallanma de˘gerinden önce ortaya çıkar. (b) Kararlı periyodik çözümler çatallanma de˘gerinden sonra ortaya çıkar.

Durum III - α0(0) < 0 ve µ2> 0: Denge noktası çatallanma de˘geri µ = 0 dan önce

kararsız, sonra kararlıdır. Periyodik çözümler çatallanma de˘geri µ = 0 dan sonra ortaya çıkar. Re(c1(0)) > 0 oldu˘gu için bu periyodik çözümler kararsızdır.

Dolayısıyla, Subkritik Hopf Çatallanma meydana gelir ( ¸Sekil 3.4a).

Durum IV - α0(0) < 0 ve µ2< 0: Denge noktası çatallanma de˘geri µ = 0 dan önce

kararsız, sonra kararlıdır. Periyodik çözümler çatallanma de˘geri µ = 0 dan önce ortaya çıkar. Re(c1(0)) < 0 oldu˘gu için bu periyodik çözümler kararlıdır. Dolayısıyla,

(a) Subkritik Hopf Çatallanma 2 (b) Süperkritik Hopf Çatallanma 2

¸Sekil 3.4: Denge noktası çatallanma de˘gerinden sonra kararlıdır (Wiggins, 2003). (a) Kararsız periyodik çözümler çatallanma de˘gerinden sonra ortaya çıkar. (b) Kararlı periyodik çözümler çatallanma de˘gerinden önce ortaya çıkar.