Motorlu Taşıtlar Vergisi

O enfoque que daremos nesta se¸c˜ao, para analisar e classificar as quasi-part´ıculas do DQ, ´e diferente da apresentada na se¸c˜ao sobre o TC. Aqui iremos usar artif´ıcios puramente

alg´ebricos, bem como a ´algebra dos operadores de v´ertice e plaqueta e suas representa¸c˜oes. Vamos olhar para os primeiros estados excitados dente modelo, mais precisamente, estados excitados para os quais apenas um de quasi-part´ıculas ´e criado. Em outras palavras vamos olhas para as excita¸c˜oes de v´ertice, de plaqueta e site que podem aparecer aqui. Vamos analisar cada um desses casos separadamente a seguir.

Se _|Ψ0_{i ´e um estado de v´acuo da hamiltoniana, ent˜ao B}

p|Ψ0i = Av|Ψ0i = |Ψ0i para

todos os v´ertices e plaquetas da rede. No entanto, se alguma dessas condi¸c˜oes ´e “violada”, isto ´e, se para alguma plaqueta Bp′|Ψfi = 0, ent˜ao esse estado n˜ao ´e um estado fundamental.

Dizemos nesse caso que_|Ψf_{i ´e um estado excitado de H}DQ_{com uma quasi-part´ıcula de fluxo}

localizada na plaqueta p′_{. O mesmo vale para quasi-part´ıculas de carga, se para algum v´ertice}

Av′|Ψci = 0, dizemos que |Ψci ´e um estado excitado de HDQ com uma quasi-part´ıcula de

carga localizada no v´ertice v′_{. Esses estados excitados podem ser constru´ıdos de maneira}

similar ao estado de v´acuo (5.10).

Excita¸c˜oes de plaqueta e quasi-part´ıculas de fluxo

O estado |Ψ0_{i, definido na equa¸c˜ao (5.10), ´e um estado de v´acuo, pois o operador}

U0 = Y p Bp Y v Av (5.11)

projeta um estado qualquer da base de _{H no subespa¸co H}0. Como seria ent˜ao um estado

excitado com um par de quasi-part´ıculas de fluxo, localizadas nas plaquetas p1 e p2? Vimos

que um estado _|Ψf_{i, com uma quasi-part´ıcula de fluxo na plaqueta p}

i, possui a propriedade

Bpi|Ψ

f_{i = 0. Um estado com tais propriedade ´e:}

|Ψf_{i = B}⊥ p1B ⊥ p2 Y p6=p1,p2 Bp Y v Av|si , em que B⊥

pi ´e um projetor ortogonal a Bpi, isto ´e,

(B_p⊥_i)2 = B_p⊥_i e B_p⊥_iBpi = BpiB

⊥ pi = 0 .

Sendo assim, uma maneira de encontrar todas as poss´ıveis excita¸c˜oes de fluxo ´e encontrando um conjunto completo de projetores ortogonais de operadores de plaquetas. Al´em disso, se queremos usar esses operadores para classificar as excita¸c˜oes de fluxo esses devem co- mutar com a hamiltoniana HDQ. Em outras palavras, estamos procurando um conjunto 

BR

p : R∈ I

, sendo I algum conjunto de ´ındices, com as seguintes propriedades: X R BR_p = 1 , (5.12a) BR_pBR_p′ = δ(R, R′)BR_p , (5.12b)  HDQ_{, B}R p  = 0 . (5.12c)

Da equa¸c˜ao (5.12a) tiramos que, para algum R′ _{∈ I, tˆem-se que:}

e da equa¸c˜ao (5.12b) tiramos que, se a equa¸c˜ao acima ´e satisfeita para R′_{, ent˜ao:}

BR_pi′′|Ψf_{i = 0 , se R}′ _{6= R}′′ _.

Nesse caso dizemos que existe uma quasi-part´ıcula de fluxo mR′ localizada na plaqueta p_i.

Esse resultado mostra que o conjunto de ´ındices que parametriza os projetores ortogonais de plaqueta parametrizam tamb´em as quasi-part´ıculas de fluxo. Resta agora saber o que ´e este conjunto de ´ındices.

Da equa¸c˜ao (D.18), no apˆendice D, sabe-se que este conjunto completo de projetores ortogonais de plaqueta ´e parametrizado pelas classes de conjuga¸c˜ao do grupo G, ou seja, considere {CR : R = 0, 1,· · · , l − 1} o conjunto de todas as classes de conjuga¸c˜ao1 de G e

considere gR∈ G um representante da classe de conjuga¸c˜ao CR, sendo C0 ={e} a classe de

conjuga¸c˜ao da unidade do grupo e l o n´umero total de classes de conjuga¸c˜ao distintas. Esses projetores ortogonais s˜ao definidos por:

BR_p = X g∈CR bg_s . (5.13) Note que B0_p = X g∈{e} bg_s = be_p = Bp ,

em que e ´e a unidade do grupo. Isso significa que a quasi-part´ıcula correspondente ao v´acuo, localizada na plaqueta p, ´e uma “excita¸c˜ao” de fluxo parametrizada pela classe de conjuga¸c˜ao da unidade do grupo. Resumindo,

BR_p′_|ψf_{i = |ψ}f_{i ⇒ quasi-part´ıcula de fluxo m}R′ .

Com isso mostramos que as excita¸c˜oes de fluxo s˜ao parametrizadas pelas classes de con- juga¸c˜ao do grupo G, sendo a quasi-part´ıcula associada ao v´acuo parametrizada pela pela classe de conjuga¸c˜ao da identidade do grupo, 1 := m0.

Excita¸c˜oes de v´ertices e quasi-part´ıculas de carga

Analogamente, as excita¸c˜oes de carga s˜ao tamb´em classificadas por um conjunto completo de projetores ortogonais de operadores de v´ertice. Ou seja, por um conjunto de projetores {Aρ

v : ρ∈ J}, J sendo algum conjunto de ´ındices, satisfazendo:

X ρ Aρ_v = 1 , (5.14a) Aρ_vAρ_v′ = δ(ρ, ρ′)Aρ_v , (5.14b)  HDQ, Aρ_v = 0 . (5.14c)

Da equa¸c˜ao (5.14a) tiramos que para qualquer estado, _|Ψc_{i, sempre existe ρ}′ _{∈ J tal que}

Aρ_v′_i|Ψc_{i = |Ψ}c_{i ,}

1

e da equa¸c˜ao (5.14b) tiramos que, se a equa¸c˜ao acima ´e satisfeita, ent˜ao Aρ_vi′′|Ψc_{i = 0 , se ρ}′ _{6= ρ}′′_.

Nesse caso dizemos que existe uma quasi-part´ıcula de carga, eρ′, localizada no v´ertice v_i.

Assim como no caso anterior, para encontrar esse conjunto de ´ındices precisamos olhar para a ´algebra dos operadores de v´ertice.

Da equa¸c˜ao (D.17), no apˆendice D, sabe-se que esse conjunto de projetores de v´ertice ´e parametrizado pelas representa¸c˜oes irredut´ıveis de G. Considere ent˜ao

{πρ: ρ = 0, 1,· · · , l − 1}

o conjunto das representa¸c˜oes irredut´ıveis de G, parametrizadas por ρ _{∈ {0, 1, · · · , l − 1},} com ρ = 0 para a representa¸c˜ao trivial π0(g) = 1 (∀g) e l o n´umero total de representa¸c˜oes

irredut´ıveis. Os projetores de v´ertice s˜ao dados ent˜ao por: Aρv = dρ |G| X g∈G χρ(g−1)agv ,

sendo dρ a dimens˜ao da representa¸c˜ao πρ e χρ(g) = tr(πρ(g)) o caracter desta representa¸c˜ao

(ver defini¸c˜ao B.7 no apˆendice B). ´E uma resultado conhecido de teoria de grupos que o n´umero de representa¸c˜oes irredut´ıveis de um grupo finito ´e igual ao n´umero de classes de conjuga¸c˜ao distintas do mesmo, sendo assim, existem tantos projetores ortogonais de v´ertice quanto de plaqueta. Note que

A0 v = 1 |G| X g∈G ag v = Av ,

ou seja, a quasi-part´ıcula do v´acuo, localizada no v´ertice v, ´e uma “excita¸c˜ao” de carga parametrizada pela representa¸c˜ao trivial do grupo G. Resumindo,

Aρ′

v|ψci = |ψci ⇒ quasi-part´ıcula de carga eρ′ .

Com isso mostramos que as excita¸c˜oes de carga s˜ao parametrizadas pelas representa¸c˜oes irredut´ıveis ρ do grupo G, sendo a quasi-part´ıcula associada ao v´acuo parametrizado pela representa¸c˜ao trivial do grupo, 1 := e0.

Excita¸c˜oes de site e quasi-part´ıculas de dyon

Finalmente olhemos para as quasi-part´ıculas de site. A id´eia ´e a mesma da dos casos anteri- ores, por´em com algumas complica¸c˜oes de ordem alg´ebrica a mais. Um estado excitado_|Ψd_i

com uma quasi-part´ıcula de dyon, localizada no site si = (vi, pi), ´e tal que AviBpi|Ψ

d_{i = 0,}

ou simplesmente, Osi|Ψ

d_{i = 0, sendo O}

si = AviBpi. Sendo assim, precisamos encontrar um

conjunto completo de projetores ortogonais de site _{Oµ

s : µ ∈ K}, sendo K algum conjunto

de ´ındices, tais que

X µ Oµ_s = 1 , (5.15a) Oµ_sOµ_s′ = δ(µ, µ′)Oµ_s , (5.15b)  HDQ, Oµ_s = 0 . (5.15c)

A equa¸c˜ao (5.15a) tiramos que para um determinado estado, |ψd_{i, sempre existir´a algum µ}′

tal que

Oµ_s′_|Ψd_{i = |Ψ}d_{i ,}

e da equa¸c˜ao (5.15b) tiramos que, se a equa¸c˜ao acima ´e satisfeita, ent˜ao Oµ_s′′|Ψd_{i = 0 .}

Dizemos neste caso que existe uma quasi-part´ıcula de dyon ǫµ′ localizada no site s. Se

queremos classificar essas quasi-part´ıculas de dyon, precisamos olhar para a ´algebra desses operadores, a qual ´e isomorfa a ´algebra do duplo quˆantico (ver apˆendice D). Da equa¸c˜ao (D.19) sabe-se que o conjunto de ´ındices que parametriza os projetores de sites ´e o mesmo que parametriza as representa¸c˜oes irredut´ıveis da ´algebra do duplo quˆantico. Esta por sua vez ´e parametrizada por uma par µ = (R, α), em que R _{∈ I ´e parametriza as classes} de conjuga¸c˜ao do grupo G, ou seja, CR, com representante gR ∈ G, e α parametriza as

representa¸c˜oes irredut´ıveis do grupo de estabilidade ER = E(gR), definido por:

ER= E(gR) ={g ∈ G : ggR= gRg} .

Os respectivos projetores ortogonais de site s˜ao: Oµ_s = nµ |G| X a∈G X b∈E(u) χα(a−1)Ou,bs ,

sendo µ = (R, α), nµ=|CR|dα e dα a dimens˜ao da representa¸c˜ao πα.

Resumindo,

Oµ_s|ψd_{i = |ψ}d_{i ⇒ quasi-part´ıcula de dyon ǫ} µ.

As quasi-part´ıculas de dyon reduzem-se `as quasi-part´ıculas de carga e fluxo como casos particulares, conforme veremos na pr´oxima se¸c˜ao.