Modern portföy yaklaĢımı

Modern portföy yaklaĢımında, sadece portföy çeĢitlendirmesine gidilerek riskin azaltılamayacağı, çünkü, portföyde yer alan menkul kıymetlerin ya da menkul kıymet gruplarının, aynı ya da ters yönde hareket ettikleri ileri sürülmektedir (Ceylan ve Korkmaz, 1998).

Bazı yatırımcılar ve portföy yöneticileri, tek tek menkul kıymetler ya da gruplar arasında, aynı ya da zıt yönde bir hareket olduğunu belirlemiĢler ancak bu iliĢkiyi ölçebilecek formül veya teknikler geliĢtirememiĢlerdir. Modern portföy teorisinin mimarı diyebileceğimiz Harry Markowitz, bu iliĢkinin ölçülmesini sağlayan ve kendi adı ile anılan modeli geliĢtirmiĢtir. Markowitz (1952), “Portföy Seçimi” adlı makalesinde, portföyü oluĢturan menkul varlıklar arasındaki iliĢkinin araĢtırılması ve getirileri arasında tam pozitif korelasyon bulunmayan menkul kıymetlerle bir portföy oluĢturulması suretiyle beklenen getiride bir azalma olmaksızın, sistematik olmayan riskin düĢürülebileceği görüĢünü ileri sürmüĢtür (Ġpekten, 1992).

Modern portföy teorisi, piyasada bilgilerin nasıl değerlendirildiği, yatırımcıların nasıl davrandığı, yatırımcıların davranıĢlarının fiyat oluĢumlarını nasıl etkilediği ve bu iliĢkilerin nasıl nicelleĢtirilebileceğiyle uğraĢan birkaç varsayıma dayanmaktadır. Bunları;

- Menkul kıymetler borsalarında iĢlem gören menkul kıymetlerin arzında herhangi bir kısıtlama söz konusu değildir. Dolayısıyla yatırımcılar borsada istediği kadar hisse senedi alabilme imkânına sahiptir.

- Menkul kıymet yatırımcıları, akıllı hareket etmeyi düĢünürler. Yani yatırımcının en büyük amacı, elde edebileceği faydayı maksimum yapmaktır. Dolayısıyla, kendi refahlarını arttırmaktır.

- Menkul kıymet yatırımcıları, yatırım kararı verdiklerinde bunu yatırım yapacakları menkul kıymetlerin beklenen getirisi ve risklerine göre yaparlar. Beklenen getiri ölçüsü olarak portföy içindeki menkul kıymetlerin beklenen getirilerinin ortalamasını, risk ölçüsü olarak da portföy getirilerinin varyansını alırlar. Dolayısıyla yatırımcıların tümü menkul kıymetlerin beklenen getirileri, standart sapmaları ve korelasyonuna iliĢkin aynı beklentiye sahiptirler.

- Menkul kıymet yatırımcılarının hemen hemen tümü, aynı risk düzeyinde daha fazla getiri elde etmeyi tercih ederler.

- Menkul kıymet yatırımcıları, aynı zaman ufkuna sahiptirler.

- Menkul kıymet yatırımcıları için sermaye piyasasına ait bilgilere aynı zamanda ulaĢmak mümkündür. Çünkü sermaye piyasası bilgileri süratle ve doğru olarak menkul kıymet fiyatlarına yansımaktadır. Bilgi akıĢına ait bir kısıtlama yoktur.

Ģeklinde sıralamak mümkündür (Berk, 2000).

3.8.2.1. Markowitz (Ortalama - Varyans) modeli

Markowitz, 1952 yılında yayımladığı “Portfolio Selection” adlı makalesi ile portföy analizinde yeni bir çağ açmıĢtır. Bu çalıĢmadaki amaç, yatırımcının kazancını maksimum, riskini ise minimum yapan portföylerin seçimini, olabilirlik ve

optimizasyon teknikleri yardımıyla sağlamaktır. Bu Ģekilde yatırımları çeĢitli alternatifler üzerinde değerlendirme fikrinin ilk matematiksel formülünü oluĢturmuĢtur. Markowitz modeli, kovaryans ile tanımlanan portföy riskinin en küçüklenmesi ve portföyün beklenen getirisinin en büyüklenmesi kararları Ģeklinde iki temel ölçü içerir (Markowitz, 1952).

Markowitz modeline göre çeĢitlendirmenin temel yaklaĢımı “çok sayıda menkul kıymete” değil, “doğru menkul kıymete” yatırım yapmaktır. Markowitz, bu durumu Ģöyle ifade eder; Portföy analizi, yalnızca çeĢitlendirmeyi içermez; aynı zamanda doğru bir sebep için doğru çeĢitlendirmeyi içerir. ÇeĢitlendirmenin yetersizliği, yatırımcılar tarafından, elde tutulan menkul kıymetlerin sayısına bağlı olarak değerlendirilemez. Örneğin, 60 değiĢik demiryolu menkulünden oluĢan bir portföy, demiryolu, hizmet, maden ve çeĢitli üretim sektörlerinden oluĢan aynı sayıdaki menkulü içeren portföy kadar iyi çeĢitlendirilmiĢ olmayacaktır. Bunun nedeni, aynı endüstrideki firmaların aynı anda güçsüzleĢmesinin farklı endüstrideki firmalardan daha muhtemel olmasıdır. Benzer Ģekilde, getirilerinin varyansını küçültmeye çalıĢırken, çok sayıda menkul kıymete yatırım yapmak yeterli değildir. Aralarında yüksek kovaryans olan menkul kıymetlere yatırım yapmaktan çekinmek gerekir (Pelitli, 2007).

Modern portföy modelinin varsayımları,

Yatırımcının amacı, fayda fonksiyonunu maksimize etmektir.

Yatırımcı, yatırım kararını, risk ve getiriyi esas alarak verir. Getiri ölçütü olarak, portföyü oluĢturan varlıkların beklenen getirilerinin ortalaması, riskin ölçütü olarak da bu portföy getirilerinin varyansı kullanılır.

Yatırımcıların risk ve getiri hakkındaki beklentileri homojendir. Yatırımcılar özdeĢ, zaman ufkuna sahiptir.

Bilgi akıĢına herhangi bir kısıtlama konmamıĢtır ve yatırımcılar için söz konusu bilgilere eĢ zamanlı olarak ulaĢmak mümkündür.

olarak sıralanabilir (Yörük, 2000). Markowitz modelinin amaç fonksiyonu;

N N

i j ij i =1 j =1

V Min x x σ (3.14) biçiminde gösterilmektedir (Markowitz, 1952). Burada;

V : Portföyün varyansı,

ij

σ : i ve j menkul kıymetler arasındaki kovaryans değeri (i=1,…,N) (j=1,…,N),

i

x : i menkul kıymetinin portföy içindeki oranı,

j

x : j menkul kıymetinin portföy içindeki oranı,

Markowitz modelinde iki temel kısıt vardır. Bunlardan birincisi, hedeflenen beklenen getiri düzeyini sağlayacak kısıttır ve matematiksel ifadesi;

N i i i =1 x μ R (3.15) „dir. Burada; i

μ : i menkul kıymetinin beklenen getirisi (i=1,…,N),

i

x : i menkul kıymetinin portföy içindeki ağırlığı, R : Beklenen getiri.

Modelin ikinci temel kısıtı, portföyde bulunan menkul kıymetlerin ağırlıklarının toplamının 1‟ e eĢit olmasıdır.

N i i =1

x 1

Yatırım içerisindeki menkul kıymetlerin ağırlıkları aĢağıdaki eĢitsizlik biçiminde ifade edilir;

0≤x_i ≤1 i=1,…,N

Markowitz modeline göre; iki menkul kıymetten ve N sayıda menkul kıymetten oluĢan portföylerin beklenen getirileri ve varyansları aĢağıdaki Ģekilde hesaplanabilir:

1.İki menkul kıymetten oluşan portföyler: Bir portföyün sadece iki menkul kıymetten oluĢmayacağı, optimal bir portföyde bulunacak menkul kıymet sayısı hakkında tam ve kesin bir rakamın olmadığı bilinmektedir. AĢağıda iki menkul kıymetten oluĢan portföyün beklenen getirisi ve riski verilmiĢtir:

) R ( E . x + ) R ( E . x = ) R ( E p 1 1 2 2 (3.16) 2 2 2 2 P 1 1 2 2 1 2 1 2 12 σ x .σ +x .σ +2.x .x .σ .σ .ρ (3.17) Burada; 1

2

E(R ) : Ġkinci menkul kıymetin beklenen getirisi,

p

E(R ) : Portföyün getirisi,

1

σ : Birinci menkul kıymetin standart sapması,

2

σ : Ġkinci menkul kıymetin standart sapması,

1

x : Birinci menkul kıymetin portföy içindeki ağırlığı,

2

x : Ġkinci menkul kıymetin portföy içindeki ağırlığı,

12

ρ : Birinci ve ikinci menkul kıymet arasındaki korelasyon katsayısı,

P

σ : Portföyün kovaryansı (Riski).

Portföyün getirisi, tek tek menkul kıymetlerin getirilerinin ağırlıklı ortalamasıdır. Portföyün riski ise portföyü oluĢturan menkul kıymetlerin getirilerinin varyansları ile bu getiriler arasındaki kovaryansın iliĢkisine bağlı olarak değiĢmektedir. Portföye dahil edilen menkul kıymetler arasındaki iliĢki, korelasyon katsayısı ile gösterilir.

Korelasyon katsayısının +1 olması durumu: Portföyü oluĢturan menkul kıymetlerin getirileri arasındaki korelasyonun tam olması durumunda, portföy riskini sınırlamak mümkün değildir. Çünkü portföydeki menkul kıymetlerin fiyatları aynı yönde değiĢmektedir. BaĢka bir deyiĢle, portföy tek bir menkul kıymetten oluĢmuĢ gibidir (Ceylan ve Korkmaz, 1998).

5 10 15 20 Beklenen Getiri Risk A B

Korelasyon katsayısının sıfır olması durumu: Portföyü oluĢturan menkul kıymetlerin getirileri arasında herhangi bir iliĢki bulunmuyorsa, çeĢitlendirme yoluyla risk azaltılabilir. Korelasyon katsayısının sıfır olması durumunda, portföy riskinde görülen sınırlama, portföy riskine iliĢkin eĢitlik üzerinde de izlenebilir. Korelasyonun sıfır olması durumunda formülün üçüncü terimi sıfıra eĢit olacaktır. Bu durumda, iki menkul kıymetten oluĢan portföyün standart sapması,

2 2 2 2

P 1 1 2 2

σ x .σ +x .σ (3.18)

eĢitliğiyle ifade edilmektedir. ġekil 3.8‟ de korelasyon katsayısının sıfır olması durumunda portföy riski gösterilmiĢtir.

Beklenen Getiri

Risk B

A

ġekil 3.8. Korelasyon katsayısının sıfır olması durumunda portföy riski (Ceylan ve Korkmaz, 1998)

Korelasyon katsayısının -1 olması durumu: Menkul kıymetlerin getirileri arasındaki iliĢkinin negatif olması ihtimali en az rastlanan bir durumdur. Korelasyon katsayısının negatif olması halinde, portföy riski minimum düzeye indirilebilir. Eğer korelasyon katsayısı -1 ise, menkul kıymetler arasında mükemmel negatif tam korelasyon var demektir. Bu durumda portföy riski, belirli bir menkul kıymet bileĢiminde sıfır olacaktır. Portföy çeĢitlendirmesinde menkul kıymetler arasındaki korelasyon katsayısının -1 veya yakın bir değerde olması arzu edilir. Ancak piyasada her zaman korelasyon katsayısı -1 veya bu değere yakın menkul kıymetler bulmak

mümkün değildir. ġekil 3.9‟ da Z noktası risksiz portföy bileĢimini göstermektedir (Ceylan ve Korkmaz, 1998). 5 10 17 20 Beklenen Getiri Risk A B Z

ġekil 3.9. Korelasyon katsayısının -1 olması durumunda portföy riski (Ceylan ve Korkmaz, 1998)

Korelasyon katsayısının +1, 0 ve -1 olması durumu tek bir grafik üzerinde ġekil 3.10‟ da gösterilmiĢtir. 5 10 17 20 Beklenen Getiri Risk A B Z C r = -1 r = 0 r = +1

ġekil 3.10. Korelasyon katsayısının +1, 0 ve -1 olması durumunda portföy riski (Ceylan ve Korkmaz,

2. N sayıda menkul kıymetten oluşan portföyler: Gerçek hayatta yatırımcıların portföylerine alacağı ve hakkında bilgi sahibi olması gereken yüzlerce finansal varlık vardır. Bu nedenle, N sayıda menkul kıymetten oluĢan portföyün beklenen getirilerinin ve risklerinin hesaplanması gerekmektedir. Ancak menkul kıymetler arasındaki korelasyonların hesaplanmasında bazı sorunlar görülmektedir. Menkul kıymetler arasındaki korelasyon sayısı, menkul kıymet artıĢından daha fazla olmaktadır. Hesaplamalarda kullanılan değiĢkenlerin sayısı arttıkça, iĢlemlerin yapılması zorlaĢmakta, hatta iĢlemlerin elle yapılması imkânsızlaĢmaktadır. Bu nedenle bu tür iĢlemler için hazırlanmıĢ bilgi iĢlem programlarından yararlanılmaktadır. Bilindiği gibi, N sayıda menkul kıymet bulunan bir portföyde, menkul kıymetlere değiĢik ağırlıklar verilerek, sınırsız sayıda portföy oluĢturulabilir. Bu nedenle, yatırımcının baĢlıca görevi, belirli bir beklenen getiri oranı düzeyinde, kovaryansların ağırlıklı ortalamasını mümkün olduğu kadar düĢürecek bir biçimde, parasını menkul kıymetler arasında paylaĢtırabilmek için “etkin portföyleri” seçmektir. Eğer yatırımcılar, varyansı göz önüne almaksızın, sadece beklene getiriyi maksimize etmek isterlerse, fonlarını en az getiri sağlayacak olan tek bir menkul kıymete yatıracaklardır. Öte yandan, eğer yatırımcılar, varyansın en aza indirilmesiyle ilgileniyorlarsa ve beklenen getiriyi göz ardı ediyorlarsa, bir portföy aracılığı ile yatırımlarını çeĢitlendirecektir. Portföylerindeki her bir menkul kıymetin payını ise matematiksel olarak saptayacaklardır. Markowitz, değiĢik risk ve getiri düzeylerindeki etkin portföyleri birleĢtiren eğriyi “etkin sınır” olarak tanımlamıĢ ve portföy yöneticisinin amacını “etkin sınır üzerindeki noktaları belirlemek” olarak ifade etmiĢtir (Ceylan ve Korkmaz, 1998).

3.8.2.2. Markowitz modeline göre optimal portföyler ve etkin sınır

Bir portföyün optimal olarak nitelendirilebilmesi için belli bir kârlılık seviyesinde riskinin en düĢük veya belli bir risk altında kârlılığının en yüksek olması gerekir. Yatırımcılar açısından optimal portföyler listesinden risk ve kârlılık bileĢimi amacına en uygun olan portföyü seçmek önemlidir.

Portföy oluĢturmada riski en aza indirmeye çalıĢmak çok fazla gerekli değildir. Çünkü risk azaltılırken, beklenen getiri de azaltılmıĢ olacaktır. Bundan dolayı, en uygun

risk ve getiri bileĢimini elde etmek önemlidir. En uygun risk ve getiri bileĢimine sahip olan portföy, optimal portföydür.

Markowitz modeli kullanılarak optimal portföy seti belirlenir. Daha sonra yatırımcılar, oluĢturulan bu set içinde yer alan portföylerden hangisini tercih edeceklerine karar verebilirler. Bu model sadece tek bir optimal portföy sağlamaz. Aksine, en iyi olan optimal portföylerin sınırlarını oluĢturmaktadır. Optimal portföy setleri oluĢturabilmek için portföye alınabilecek her bir menkul kıymetin beklenen getirisi, menkul kıymetlerin varyansı veya standart sapması, menkul kıymet getirileri arasındaki iliĢkiyi gösteren kovaryans gibi birtakım bilgilere ihtiyaç vardır. Bu bilgilerden hareketle optimal bir portföy, aynı risk seviyesindeki bütün portföyler içinde en yüksek getiriye sahip olan veya aynı getiri seviyesinde riski en düĢük olan portföydür (Bekçi, 2001). Optimal portföyler risk getiri uzayında ġekil 3.11‟ de görüldüğü gibi etkin sınırı oluĢturur.

Yatırımcıların çoğu, uzun dönemli portföy yönetimini ve kazanç elde edecekleri menkul kıymetleri seçmeyi isterler. Optimal portföyün ağırlığı menkul kıymetlerin tahmin edilen bazı istatistiksel özelliklerine de bağlıdır. Bu bilgiler ıĢığında yatırımcılar ellerindeki menkul kıymetlerin elde tutma süresini belirleyebilirler. Beklenen getiriler ve bu getiriler arasındaki kovaryansların gerçek istatistiksel dağılımı hakkında bazı yatırımcıların bilgisi olmayabilir. Bu nedenle bütün yatırımcılar aynı fayda fonksiyonuna sahip olsa bile, optimal portföy oluĢturma konusu yatırımcıdan yatırımcıya farklılık gösterebilecektir (Jacobs ve ark., 1999).

G e ti ri ( % ) Risk (%) Olanaksız Portföyler Olanaksız Portföyler Olanaksız Portföyler Olanaksız Portföyler Y Y D D Olası Portföyler Olası Portföyler

Grafikte D-Y eğrisinin altında kalan taralı alan geçerli yatırım ortamında oluĢturulabilecek portföylerin oluĢturduğu risk-getiri uzayını göstermektedir. Bunun dıĢında kalan bölgede portföy oluĢturmak olanaksızdır. Taralı alandaki her noktada ise, o noktaya karĢılık gelen risk ve beklenen getiriye sahip en az bir portföy oluĢturulabilir. UlaĢılabilir alanın üstünü çevreleyen D-Y eğrisi ise etkin sınırı oluĢturur. Etkin sınır üzerindeki portföyler hem belli bir beklenen getiri için en düĢük riske sahip olmaları, hem de belli bir risk için en yüksek beklenen getiriye sahip olmaları nedeniyle optimaldirler ve en iyi çeĢitlendirilmiĢ portföylerdir (Genel, 2004).

3.8.2.3. Modern portföy yaklaĢımına göre optimizasyon süreci

Modern portföy teorisi normatif bir teoridir. Pozitif teoriler gerçek yatırımcı davranıĢlarını ele alırken, normatif teoriler yatırımcıların nasıl davranması gerektiğini belirtir. Bu yönüyle, normatif bir teori olarak modern portföy teorisi optimum portföy oluĢturmak amacıyla yatırımcının takip etmesi gereken standart veya normal davranıĢı açıklamaktadır (Genel, 2004).

Modern portföy teorisine göre yatırım süreci ġekil 3.12‟ de gösterilmiĢtir. Yatırımcı belirlediği beklenen getiri ve risk tahminleri ile portföy kısıtlarını kullanarak optimal portföylerden oluĢan etkin sınırı oluĢturduktan sonra yatırım tercihleri doğrultusunda yatırım yapacağı optimal portföyü seçer.

ġekil 3.12. Modern portföy teorisine göre yatırım süreci (Genel, 2004)

Beklenen Getiri Modeli Risk ve Korelasyon Tahminleri Portföy Kısıtları Portföy Optimizasyonu Yatırımcı Tercihleri Etkin Sınır Optimal Portföy

Etkin sınır, birçok portföyün risk ve getiri düzeyinde belirlenmesiyle elde edilir. Yani, birçok menkul kıymetin var olduğu bir ortamda, oluĢturulacak portföy bileĢeni için yatırım fırsatları kümesi oluĢturulur. OluĢturulan bu kümenin üst sınırına etkin sınır denir. Bu etkin sınırın elde edilmesi için de portföyün varyansı ve beklenen getirisinin bilinmesi gerekir. Bu nedenle üst sınır üzerinde oluĢan portföylere etkin portföyler denir (Bekçi, 2001).

Portföy yöneticisi de etkin sınır üzerindeki etkin varlıklardan oluĢan portföylerden hangilerinin seçileceği konusunda karar verirken, yatırımcı tipini göz önüne almalıdır.

3.8.2.4. Konno-Yamazaki doğrusal programlama modeli

Konno–Yamazaki portföy modeli, beklenen bir getiri seviyesinde ortalama getirisinden (r_j) sapması en küçük hisse senetlerini belirleme de etkin bir yöntemdir ve sadece belirli bir getiri seviyesindeki anı fotoğraflamaktadır. Yani, çözümler ortalama getirisi beklenen getiri seviyesine eĢit veya en yakın hisse senetlerinde yoğunlaĢmaktadır (Kocadağlı, 2006).

Markowitz modeli, büyük ölçekli optimizasyon problemleri için uygun değildir. Konno ve Yamazaki bunun nedenlerini Ģu Ģekilde sıralamıĢlardır;

- Hesaplama yükü sorunu,

- Risk ve hisse senedi fiyatları dağılımına karĢı yatırımcının algısı problemi, - ĠĢlem maliyeti problemi.

Bu aksaklıkları gidermek için Konno ve Yamazaki aĢağıdaki modeli geliĢtirmiĢlerdir (Chang, 2005). Amaç Fonksiyonu: T t t =1 MinZ y / T (3.19) Kısıt 1: n t tj j j =1 y a x 0 t =1,2,...,T Kısıt 2: n t tj j j =1 y a x 0 t =1,2,...,T

Kısıt 3: n j j 0 j =1 r x ρM Kısıt 4: n j 0 j =1 x = M 0 x_j u_j j =1,2,...,n y_t 0 t =1,2,...,T Burada;

T : Ġncelenen dönem sayısı,

t : T dönemi içindeki herhangi bir t. dönem, ρ : Beklenen getiri oranı,

j

r : j. hisse senedinin ortalama getiri oranı,

j t

r : t dönemi boyunca j. hisse senedi için gerçekleĢen getiri oranı,

tj

a : j. hisse senedinin riski (r - r_{j t j}),

j

x : j. hisse senedine yapılan yatırımın payı,

j

u : j. hisse senedine yapılan yatırımın üst sınırı,

0

M : Toplam yatırım miktarı,

0

ρM : Beklenen getiri miktarı,

t

y : Yardımcı değiĢken.

olmak üzere a_tj, j. hisse senedinin t. dönemde gerçekleĢen getiri oranı ile T dönemdeki beklenen getiri oranı arasındaki farktır. Bu fark ortalamadan sapmadır ve riski ifade eder (Konno ve Yamazaki, 1991).

Modeldeki amaç fonksiyonu, beklenen getiriden sapma (ρ) olarak ifade edilen riski minimize etmek için kullanılmaktadır. Konno-Yamazaki modelinin etkinlik sınırının her bir noktasının belirlenebilmesi için, eğer uj ve j =1,2,...,n ise kısıt

sayısı en fazla “2T+2” olmalıdır. Yukarıdaki modelin 1. ve 2. eĢitsizlikleri her t dönemi boyunca tekrarlanarak 2T tane kısıt elde edilir. Kısıtların iĢlevleri Ģöyledir: Amaç fonksiyonu ve birinci eĢitsizlikten elde edilen T kısıt yardımıyla a_tj katsayısı en küçük olan hisse senetleri belirlenir. Ġkinci eĢitsizlikten elde edilen T kısıt yardımıyla, her t

dönemi için riski en az sıfıra eĢit hisse senetleri belirlenerek negatif sapmalı hisse senetleri elimine edilecektir. Üçüncü kısıt yardımıyla da bu hisse senetlerinden ortalama getiri oranı, beklenen getiriye eĢit ve en yakın (beklenen getiriyi aĢacak Ģekilde) olanlar seçilecektir. Örneğin, t. dönemde y yardımcı değiĢkeni minimize edilerek, ortalama _t getirisi beklenen getirinin altında olmamak koĢuluyla a_tj katsayısı en küçük olan, yani riski en küçük x_j‟ ler belirlenir. Dördüncü kısıt ise toplam yatırımın miktarıdır. Son olarak x_j ve y ‟ ler çözüm tekniği gereği sıfır veya sıfırdan büyük olmalıdır _t (Kocadağlı, 2006).