Meta-Sezgisel algoritmaların çözüm yakla¸sımı

Meta-Sezgisel algoritmalar için iki temel eleman vardır. Birincisi en iyi fitness de˘gerini seçme; bu i¸slem optimaliteye yakınsamayı (convergence) sa˘glar. ˙Ikincisi rasgelelik; elde edilen çözümlerin lokal optimuma takılmasını (yakalanmasını) engeller. Aynı zamanda çözümlerin çe¸sitlili˘gini arttırır. Sonuç olarak Simulated Annealing (Tavlama Benzetimi Algoritması) yörünge Esaslı Algoritma; Particle Swarm Optimization (PSO)-Parça Sürü Optimizasyon Algoritması, grup bilgisi payla¸sımlı algoritma; Evaluation Algorithm (EA), Geli¸sim algoritması, en iyinin ya¸satılması esasına dayanan algoritmalardır.

¸Sekil 8.7: Geli¸sim esaslı arama yakla¸sımı

8.3 TWO Algoritması

TWO (Tug Of War Optimization) algoritması fiziksel modellemesi ip çekme oyunundan esinlenerek geli¸stirilmi¸s sürü esaslı bir meta-sezgisel algoritmadır. ˙Idealize edilmi¸s ip çekme oyununda ve iki takımın a˘gırlıkları olmak üzere düz bir yüzey üzerinde yatıyor oldukları göz önüne alınır.

¸Sekil 8.8: Geli¸sim esaslı arama yakla¸sımı

Takımlar Newton’un üçüncü yasasına göre Fpgibi iki tane e¸sit ve kar¸sıt kuvvete maruz kalır. (i) nesnesi için, çekme kuvveti maksimum statik sürtünme kuvvetinden küçük oldu˘gu sürece, nesne (takım) yerinde kalır. Aksi takdirde, olu¸san çekme kuvveti a¸sa˘gıdaki formül ile hesaplanır.

Fr= Fp−W_iµk (8.4)

Bu kuvvetin sonucunda nesne/takım (i), Newton’un ikinci yasasına göre nesne/takım (j)’ye do˘gru a¸sa˘gıdaki formüle göre ivmelenir.

a= ^Fr

8.3 TWO Algoritması 145 Böylece (i) nesnesinin yeni pozisyonu a¸sa˘gıdaki formüle göre hesaplanır.

X_i^new=¹ 2^at

2+ X_i^old (8.6)

Her bir aday çözüm Xi= {xi, j}, ip çekme yarı¸smasında olan takımları temsil eder. Çekme kuvveti, a˘gırlıkla orantılı oldu˘gu kabul edilir. Do˘gal olarak kar¸sı takım yarı¸smayı kaybetmemek için ipi en azından aynı kuvvetle tutmak zorundadır. Hafif olan takım a˘gır olan takımın tarafına do˘gru ivmelenir (hızlanır). Bu durum TWO algoritmasının yakınsamasını (convergence) ifade eder. A¸sa˘gıda algoritmanın adımları verilmi¸stir.

Adım-1. Ba¸slatma (Initilization)

N elemanlı bir ba¸slangıç çözümü rasgele üretilir.

x⁰_{i j}= x_j,min+ rand(x_j,max− x_j,min) j= 1, 2, ..., N (8.7) Bu formülde x⁰_{i j} i. aday çözümün, j. de˘gi¸skeninin ba¸slangıç çözümüdür. xj,max ve xj,min j. de˘gi¸sken için izin verilen sınır de˘gerleridir. rand uniform da˘gılıma göre [0,1] aralı˘gında rasgele sayı üretecidir.

Adım-2. Aday çözümlerin de˘gerlendirilmesi ve a˘gırlık atanması

Aday çözümler için amaç fonksiyonunun de˘gerleri hesaplanır. Tüm çözümler leage (lig) olarak adlandırılarak hafızada saklanır. Her çözüm a¸sa˘gıdaki a˘gırlık ile bir takım (team) olarak dikkate alınır.

Wi= f it(i) − f itworst

f itbest− f it_worst 

+ 1 i= 1, 2, ..., N (8.8)

f it(i) i.particle (bireyin) uygunluk (fitness) de˘geridir. f itbesttakım içerisindeki en iyi fitness de˘geridir. f itworst takım içerisindeki en kötü fitness de˘geridir.

Adım-3. Çeki¸sme ve yer de˘gi¸stirme

Takımdaki her bir birey, her iterasyonda yeni pozisyonuna hareket etmek için di˘ger takım bireylerinin tümüne kar¸sı yarı¸sır. Takım tarafından çıkarılan güç statik sürtünme katsayısına Wµs e¸sit oldu˘gu kabul edilir. i ve j takımları arasındaki çekme gücü Fp,i jmax{WiµsW_jµs}olarak belirlenir. Bu tanım, a˘gır olan (güçlü olan) takımın pozisyonu de˘gi¸smemi¸s olarak ifade eder. k. iterasyondaki çeki¸sme sonucunda j takımı ile itakımını etkileyen güç a¸sa˘gıdaki formülle hesaplanır:

F_{r,i j}^k = F_{p,i j}^k −W_i^kµk (8.9) Bu formülde, Fk

p,i jk. iterasyonda i ve j takımları arasındaki çekme kuvvetidir ve µkde kinematik sürtünme katsayısıdır. Sonuç olarak i takımı j takımına do˘gru hızlanması a¸sa˘gıdaki formüle göre gerçekle¸sir. a^k_{i j}= ^F k r,i j W_i^kµk ! g^k_{i j} (8.10)

a^k_{i j}itakımının k.iterasyonda jtakımına do˘gru hızlanmasını ifade eder. g^k_{i j}yer çekimi ivmesidir ve ¸su ¸sekilde ifade edilir:

g^k_{i j}= X^k_j − X_i^k (8.11) Bu fomüldeki X^k_jve X_i^k k.iterasyondaki ive jaday çözümler için pozisyon vektörleridir. Sonuç olarak; itakımının jtakımı ile çeki¸smesi sonucunda meydana gelen yer de˘gi¸sim miktarı (displacement) a¸sa˘gıdaki formüle göre belirleni.

∆X_{i j}^k =¹ 2^a

k

i j∆t²+ α^kβ (Xmax− X_min) · randn(1, n) (8.12) α [0.9, 0.99] aralı ˘gında seçilen bir sabittir. Büyük oldu˘gunda algoritmanın yakınsamasını yava¸slatır, arama uzayında daha fazla ke¸sifler yapar. β parametresi ara¸stırma uzayında hareket ederken aday çözümlerin adımlarını kontrol eder (0,1] aralı˘gında seçilir. Xmaxve Xminara¸stırma uza-yının üst ve alt sınır de˘gerlerdir. randn(1, n)normal da˘gılıma göre üretilen random sayı vektörüdür. itakımının toplam yer de˘gi¸stirmesi a¸sa˘gıdaki formülle hesaplanır.

∆X_i^k=

N

∑

j=1

∆X_{i j}^k (8.13)

k.iterasyon sonunda itakımının yeni pozisyonu a¸sa˘gıdaki formüle göre belirlenir.

X_i^k+1= X_i^k+ ∆X_i^k (8.14) Adım-4. Güncelleme

Her iterasyon (döngü) sonunda bir birleriyle rekabet eden takımlar güncellenmesi gerekir. Bu i¸slem bir önceki iterasyondaki çözüm de˘geri (fitness) ile bulunulan iterasyondaki çözüm de˘gerinin kar¸sıla¸stırılması ile gerçekle¸stirilir. Bulunulan iterasyondaki çözüm de˘geri (fitness) bir önceki çözüm de˘gerinden iyi ise yer de˘gi¸stirilir. Çözüm de˘geri iyi de˘gilse var olan çözüm de˘geri ile bir sonraki iterasyona geçilir.

Adım-5. Sınır kontrolü

Yarı¸san takımların ara¸stırma uzayı (alanı) dı¸sına çıkması durumunda, takımların tekrar saha içine çekilmesi i¸slemidir. Bu i¸slem farklı meta-heuristik algoritmalarda farklı biçimde yapılabilmektedir. Genellikle (flayback strategy) sınırı a¸smadan önceki pozisyona döndürülme yöntemi kullanılır. TWO algoritmasında ise a¸sa˘gıdaki strateji kullanılmaktadır.

X_{i j}^k = GBj+ randn k

 

GBj− X_{i j}^k−1 (8.15) Bu formülde GBj ¸su ana kadar ki en iyi çözüm randn ise standart normal da˘gılımı ifade etmektedir.

Adım-6. Sonlandırma

Adım-2 ile Adım-5 arasındaki i¸slemler, sonlanma kriterleri gerçekle¸sene kadar tekrar edilir. Adımları yukarıda açıklanan TWO algoritmasının sözde kodunu a¸sa˘gıda verilmi¸stir.

8.4 TWO Algoritmasının Uygulaması 147

Procedure Tug of War Optimization Begin

Parametrelere de˘ger ataması yap;

N boyutlu rasgele bir ba¸slangıç aday popülasyonu (çözümü) üret; Tüm rasgele aday çözümleri kaydederek lig’i (müsabakayı) ba¸slat; While Sonlandırma ¸sartı sa˘glanana kadar do

Aday çözümler için amaç fonksiyonunun de˘gerini hesapla; Yeni çözümleri sırala ve lig’i güncelle;

Ligdeki takımların Wi a˘gırlıklarını f it(xi)’ye göre güncelle; For Her takımı için

If Wi> Wj

Denklem (12)’u kullanarak takımını takımına do˘gru hareket ettir; End if

Denklem (13)’u kullanarak takımının toplam yer de˘gi¸stirmesini hesapla; Denklem (14)’i kullanarak takımının son pozisyonunu hesapla;

Sınır kontrolünü yap; End for

End while End

8.4 TWO Algoritmasının Uygulaması

Bu bölümde sürekli optimizasyon probleminin TWO algoritması ile çözümünün gösterildi˘gi örnek bir çalı¸sma vermi¸stir. Bunun için literatürde iki de˘gi¸skenli ve altı hörgüçlü deve sırtı fonksiyonu olarak bilinen a¸sa˘gıdaki test fonksiyon göz önüne alınmı¸stır.

z=  4 − 2.1x²+^x 4 3  x²+ xy + [−4 + 4y²]y²

Bu fonksiyonda x de˘gi¸skeninin sınırları ±3 ve y de˘gi¸skenin sınırları ±2 aralı˘gında tanımlanmı¸stır. Global minimum de˘geri x = −0.0898,y = 0.7126 noktalarında z = −1.0316 olarak veriliyor. Bu fonksiyonun global minimum de˘gerini TWO algoritmasını kodlayarak elde edilmesi istenmektedir. Bu çalı¸smada TWO algoritması JAVA programlama dili kullanılarak kodlanmı¸stır. Programın çalı¸stırılması ile elde edilen global minimum de˘geri ve bu de˘gerin gerçekle¸sti˘gi x ve y de˘gerleri a¸sa˘gıda programın ekran çıktı görüntüsünde verilmi¸stir.

Ele alınan test fonksiyonuna göre TWO algoritmasının çözümü bulma zamanı yani çözüme yakınsama grafi˘gi a¸sa˘gıda verilmi¸stir.

Grafikten de gözüktü˘gü gibi TWO algoritması global minimum de˘gerine 11. iterasyonda ula¸smı¸stır. Algoritmanın bu kadar kısa bir zamanda global minimuma eri¸smesi beklenen bir durum-dur. Zira ele alınan test fonksiyonu e˘gitim amaçlı olup basit fonksiyonlar sınıfında yer almaktadır.

8.5 Sonuç

Bu çalı¸smada optimizasyon konusunda temel kavramlar hakkında kısa bir açıklama yapılmı¸stır. Klasik optimizasyon yöntemleri ile problemleri çözmede kar¸sıla¸sılan sorunlardan bahsedilmi¸stir. Bu tür problemleri a¸smak için geli¸stirilmi¸s olan sezgisel algoritmalardan yörünge tabanlı, grup bilgisi

¸Sekil 8.9: Ele alınan fonksiyonun TWO algoritması ile elde edilen çözüm ekranı

8.6 Kaynakça 149 payla¸sımlı ve evrimsel esaslı algoritmaların çalı¸sma mantı˘gı ve çözüm yakla¸sımları açıklanmı¸stır. Çalı¸smanın deneysel a¸samasında iki yıllık geçmi¸se sahip yeni bir meta-sezgisel algoritma olan TWO algoritması açıklanarak, çalı¸sma adımları verilmi¸stir. Algoritma Java programlama dili ile kodlanmı¸s ve literatürde altı hörgüçlü deve fonksiyonu olarak bilinen problemin optimum de˘gerleri kodlanan program kullanılarak elde edilmi¸stir. Deneysel sonuçlar kısmında programın ekran çıktı görüntüleri ve algoritmanın yakınsama grafi˘gi verilmi¸stir.

8.6 Kaynakça

1. Chapra, Steven C. Numerical methods for engineers, McGraw-Hill International Edition, 2006.

2. Yang, Xin-She. Engineering Optimization: An Introduction with Metaheuristic Applications, John Wiley & Sons, Inc. 2010

3. Çelebi, N. Bir Afet Yardım Merkezinin Sezgisel Algoritmalar Yardımıyla Konumlandırılması, XI. Ulusal Üretim Ara¸stırmaları Sempozyumu 23–24 Haziran 2011,

4. Kaveh, A. Zolghadr, A. Truss shape and size optimization with frequencey constraints using Tug of War Optimization, Asian Journal of Civil Engineering, Vol. 18, No.2, 2017

5. Kaveh, A. Zolghadr, A. A novel Meta-Huristic Algorithm: Tug of War Optimization, Interna-tional Journal of Optimization in Civil Engineering, 6(4):469-492, 2016

6. Kaveh, A. Shokohi, F A.Ahmadi, B. Optimal Analysis and Design of Water Distribution Systems Using Tug of War Otimization Algorithm, International Journal of Optimization in Civil Engineering, 6(4):191-208, 2017

9. Derin Ö˘grenme Uygulaması

Derin Ö˘grenme Tabanlı Kalite Kontrol Uygulama

Tasarımı

Prof. Dr. Orhan TORKUL¹, Muhammet Ra¸sit CESUR¹, Elif CESUR²

1Sakarya Üniversitesi,¹˙Istanbul Medeniyet Üniversitesi