XIX. yüzyılın sonu ile XX. yüzyıl boyuca matematik ve geometride vuku bulan çalışmalarda “matematiğin temeli/temelleri nedir?” sorusu, büyük oranda “matematikte doğrunun tanımı nedir?” sorusuna bağlı olarak yürüdü. Bu soruya ilişkin verilen cevaplar ise matematik nesnelerin mahiyetini sorgulayan “matematik nesneler nedir?” sorusunu merkeze aldı. Bu soruların yanında, matematik ile fizik biliminin ilişkisi, matematik yapıların fizik dünyayı temsil etmesinin anlamı ve değeri gibi pek çok sorun gündeme geldi. Bu sorulara cevap arayanların başında; Peano, Russell, Whitehead, Hilbert, Frege, Poincare, Klein, Tarski, Gödel, Brouwer v.b. sayılabilir. Bu ve benzeri sorular üzerine yapılan çalışmalar sonucunda “Formalizm”in takip ettiği “aksiyomatik” yaklaşımla Peano ve Frege’nin aritmetiği, saf mantıki bir disiplin haline getirmişlerdir (Fazlıoğlu, 2002).
Boole (1854), “Düşüncenin Kanunları” adlı kitabında, mantık kanunlarının matematizasyonunu yaparak, onları belirli cebirsel kurallarla yorumlamış ve böylece matematik mantığın kurulmasında öncülük etmiştir. Ayrıca Bernay, Fraenkel, von Neumann, De Morgan, Frege ve Peano matematik mantığın sağlam temellerini kuranlardandır.
Modern mantığın tarihi; matematiğin tarihi veya daha genel olarak sembolik mantığın tarihi içerisinde yer almaktadır. Modern mantık “yeni mantık”, matematik mantık” ve “sembolik mantık” olarak da anılmaktadır. Aslında modern mantığın kurucuları matematikçilerdir. Bu mantığın ilk temsilcisi George Boole’dur. Bu mantık, matematikçiler tarafından geliştirilmiş olmasına rağmen bir çok matematikçi tarafından göz ardı edilmiştir. Boole’nın ortaya koyduğu fikirler, düşünme yasalarının cebirsel
temsili ile ilgilidir. Aynı zamanda Boole’nun “mantığın cebirsel temsil” görüşlerine benzer görüşler Gottlob Frege’nin olduğu kadar Hermann Rudolf Lotze ve Ernst Schröder tarafından da ileri sürülmüştür (Peckhaus, 1999).
Yunanlı filozofların “prior analitiği” ile Boole’nin “düşüncenin yasaları” iki önemli orijinal mantığın temsilcileridir. Boole’nın mantık alanına katkısı, mantığı genişleterek, mantığın bir boyutunun doğasını değiştirmesidir. Boole’yan mantığın gelişiminde Aristo’nun sözel olarak ifade ettiği mantık bağlaçlarının önemi büyüktür. Boole, önerilerin dilini sınıflandırmakla kalmamış aynı zamanda Aristo’nun sözel olarak ifade ettiği mantık bağlaçlarını genişleterek kullanmıştır. Fakat bu alanda tamamen başarılı da olamamıştır. Boole, mantık için yarı formal bir metot geliştirmiştir (Corcoran, 2003).
George Boole, cebirsel sembollerle hareket ederek sembolik mantığı kurmuş ve cebirsel eşitliklerin çözümündeki gibi metotlar kullanarak çağdaş mantık teorilerini yeniden inşa etmiştir. Mantık teorileri, öncelikle lisanla (matematikle) ilgilidir. Bu mantık, işaret (sembol) ve bu işaretlerin bir dilidir. Başarılı bir matematik mantık kullanımında, önerilerin matematiksel sembollerle yapılmasına dikkat edilmesi gerekir. Semboller evrensel olmalı ve diğer yasaların belirlenmesinde kullanılabilmelidir (Ledesma, at all, 1997).
Matematik mantığın tüm uygulamalarındaki, sembol seçiminde iki görüş vardır; ilki, semboller dizisinde mantık formülasyonları dikkate alınarak matematiksel olarak tanımlanmalıdır. İkinci olarak ise, önceki formüllerden yeni formüller çıkarımı matematiksel olarak tanımlanmalıdır. Bu görüşlerde, sembol kombinasyonları cümlelerdir ve benzer mantık dillerinde sonuç çıkarımlarına izin verdiği gibi bilgisayar programlarının yazılmasına da izin verir (McCarty, 1988).
Matematik mantığın kısa tarihçesi şu şekilde verilebilir. Her biri gerçekten çok uzun tarihçesi olan iki farklı akımdan; “formal dedüksiyon”un tarihçesi Aristo ve Euclid’e (ve diğerleri) kadar uzanır. Diğeri “matematik analiz” olup, tarihçesi yine aynı devrin Archimendes’ine kadar uzanır (Özenli, 1999, s: R1; Ledesma, at all, 1997). Bu iki akım uzun bir süreç içerisinde birbirinden ayrı olarak gelişmişlerdir. 17-18. yüzyıllarda Newton ve Leibnitz’in diferansiyel ve entegral hesabı ile bir birinden
bağımsız gelişen bu akımlar bir araya getirilmeye başlanmıştır. Diğer bir ifade ile mantık, matematik kaidelere dayandırılmaya başlanmıştır. Bu felsefe ve bilim arasındaki belirgin ve kesin farklılaşmayı başlatmıştır.
Mantık ve matematik, Newton ve Leibnitz’in diferansiyel ve entegral hesabı ile bir birine yaklaşmaya başlamakla birlikte, matematik ve mantığı bir araya getiren Boole ve Frege olmuştur. Boole ve Frege’nin formal dedüksiyonun gerçekte ne olduğu hususuna bir final ve belirgin form verme çalışmaları neticesinde matematik ve mantık birbirine yakınsamaya başlamıştır. Boole, Aristotle’nin dedüksiyon kaidelerinin sembolik bir sistemini geliştirmiş. Frege ise Boole’nin “dedüksiyon kaidelerinin sembolik” sistemini genişleterek, yoruma açık önermeler’e ulaşmış ve matematik mantığın temellerini kurmuştur (Özenli, 1999, s: R1; Frege, 1884, pp: 180-185; Heijenoort, 1970, pp: 1-2; Corcoran, 2003). Matematik mantık; formüllere dökülmüş soyut bir mantık değil, fakat sözcüklerle yapılandan çok daha kesin ve açık bir şekilde içeriği simgeler aracılığıyla dile getirmektir (Frege, Aktaran: Gözkan, 2008, s: 20).
Özenli “İlmi Sohbetler” adlı kitabında (1999, ss: R1-R2) matematik mantığın gelişimi ve ne olduğu hakkında şu açıklamaktadır;
Boole ve Frege gibi mantıkçıların, formal dedüksiyonun gerçekte ne olduğu hususuna bir final ve belirgin form verme uğraşları neticesinde, nihayet matematik ve mantık birbirine yakınsamaya başlamıştır. Aristotle her ne kadar dedüksiyon kaidelerini açıkça belirtmişse de bunları doğal lisanda ifade etmiştir (sözlü olarak). Boole ise bu tarz ifadenin ötesine taşarak sembolik bir sistem geliştirmek istemiştir ve gerçekleştirmiştir. Frege bu uğraşı genişletmiş ve neticede “predikatif hesaba” ulaşmıştır. Bugün bu hesap, günümüzün bütün matematiğinin yeterli bir mantıksal temelini teşkil etmektedir. Sembolik sistem: Mantıksal bağlaçlar olan “ve”, “veya”, “değil”, sistemlerde Λ(&), V, ¬ gibi sembollerle ifade edilir. Değişkenler için x, y ve z, özellikler veya bağıntılar (ilişkiler) için P, Q ve R gibi semboller (predikatif semboller) kullanılır. Bunlar yardımıyla mesela P(x)VQ(x) gibi formüller kurulabilir. Kurulan bu formüllerde; x, P özelliğini veya Q özelliğine haiz’dir demek olacaktır. Bu ifadeyi (bütün …için),
gibi belirleyiciler kullanarak daha belirgin kılınabilir. Örneğin x P(x), her x, P özelliğini haiz’dir.
Özenli “İlim ve Teknolojinin Olumlu İlkeleri” adlı kitabında (1994, ss: 35-38) matematik mantık-bilim arasındaki ilişkiyi aşağıda şekilde ifade etmektedir;
İlmi teori “yorumlanmış aksiyomatik bir sistem” dir. Bununla “Bir bilim dalının gerekli bütün kavram ve teorilerinin, tarifler ve dedüksiyonla, kendilerinden türetilebilineceği →, V, ↔, Λ, Э, v.s. gibi mantıksal terimlerle, teorik ve gözlemsel terimlerin komple kümesi” demek isteniyor.
Matematik mantığın geniş bir anlamı vardır. Bu anlamlar üç aşamada toplanabilir. Bunlardan ilki, teorilerin şekillendirilmesinde sonuç çıkarmayı kapsayan bir dili ifade eder. İkincisi, matematiğin temellerini ifade eder. Üçüncü olarak ise algoritma teorilerini ifade eder (Uspensky, 1992). Bu çalışmalar matematik mantığın gelişimine katkı sağladığı gibi aynı zamanda matematik mantığın başarılı birer uygulama alanlarını oluştururlar.
Urbana-Champaign’de 2000 yılında, yirmi birinci yüzyılda matematik mantığın geleceğine dair yapılan toplantıya katılanlardan bir kısmı; mantık için daha fazla uygulamaların yapılması gerektiği görüşünde birleştiler. Bu uygulamaların önemli ve uygulanabilir alanlarda olması gerektiği görüşünde bileşildi. Birçok katılımcıda bu uygulamaların bilgisayar biliminde büyük bir öneminin olabileceğini düşünüyorlardı. Diğer taraftan, çok az bir katılımcı ise mantık uygulamalarının önemini kabul etmelerine rağmen, mantıktaki önemli ilerlemelerin çoğunun konu dışındaki gelişmelerden kaynaklandığını düşünüyorlardı (Buss, at all, 2001).