LN3 Ana Dağılımı ile 1Milyon Elemanlı Sentetik Seri Üretimi

Yukarıdaki Bölümde anlatılan algoritmayı LN3 ana dağılımı ile icra eden LN3SYN.FOR adlı bir Fortran programı kodlanmıştır. Bu programın, uzun sentetik seriyi 20 veya 30 elemanlı birçok küçük serilere bölerek bunlar üzerinde hesaplar ve analizler yapacak olan programa giriş donesi olacak çıktısı, 1Milyon elemanın tamamı E formatında, her satıra 20 adet yazdırılmak suretiyle istenen adda bir TEXT dosyasına yazılmaktadır. Ortalama değeri: μ = 1, varyasyon katsayısı: VK = 0.5, ve çarpıklık katsayıları da: ÇK = 0.5, 1, 2, 3, 5 olan LN3 dağılımı ile türetilmiş 1Milyon elemanlı sentetik seriler ekteki CD’de SENTDATA klasöründe CK05LN3.DAT, CK1LN3.DAT, CK2LN3.DAT, CK3LN3.DAT, ve CK5LN3.DAT adlı dosyalarda sunulmaktadır. Aşağıda, 50012 satırdan oluşan CK2LN3.DAT dosyasının ilk kısımları ve uzun sentetik serinin ilk 2 satırı verilmektedir.

Ortalama Değeri= 1, Standart Sapması= 0.5, Çarpıklık Katsayısı= +2.0 olan 3-parametreli log-normal dağılımla uzun sentetik seri türetimi:

Bu LN3 dağılımının parametreleri:

y: y = ln(x-c) olarak tanımlanan ara değişken iken,

c b = exp(μy) a = σy

--- --- --- 0.161175 0.720533 0.551384

Bu LN3 dağılımı ile türetilen 1000000-elemanlık sentetik seri:

.86616E+00 .97819E+00 .93477E+00 .10562E+01 .12711E+01 .10354E+01 .19360E+01 .12242E+01 .11416E+01 .16915E+01 .64148E+00 .10594E+01 .73094E+00 .98476E+00 .15735E+01 .37974E+00 .97577E+00 .91304E+00 .69419E+00 .90509E+00

.12261E+01 .60500E+00 .63487E+00 .94202E+00 .10326E+01 .92473E+00 .10983E+01 .98431E+00 .37163E+00 .15943E+01 .46066E+00 .65646E+00 .45788E+00 .13249E+01 .45652E+00 .16174E+01 .71131E+00 .73783E+00 .57728E+00 .58016E+00

2.1.3. GED Ana Dağılımı ile 1Milyon Elemanlı Sentetik Seri Üretimi

Sentetik seri türetme algoritmasını GED ana dağılımı ile icra eden GEVSYN.FOR adlı bir Fortran programı kodlanmıştır. Ortalama değeri: μ = 1, varyasyon katsayısı: VK = 0.5, ve çarpıklık katsayıları da: ÇK = 0.5, 1, 2, 3, 5 olan GED dağılımı ile türetilmiş 1Milyon elemanlı sentetik seriler ekteki CD’de SENTDATA klasöründe CK05GED.DAT, CK1GED.DAT, CK2GED.DAT, CK3GED.DAT, ve CK5GED.DAT adlı dosyalarda sunulmaktadır. Aşağıda, sadece CK2GED.DAT dosyasında sentetik serinin ilk 2 satırını içeren tablo verilmektedir.

Ortalama Değeri= 1, Standart Sapması= 0.5, Çarpıklık Katsayısı= +2.0 olan genel ekstrem değerler dağılımıyla uzun sentetik seri türetimi:

Bu genel ekstrem değerler (GED) dağılımının parametreleri: şekil par. ölçek par. konum par. --- --- --- -0.108548 0.330094 0.770031

Bu GED dağılımı ile türetilen 1000000-elemanlık sentetik seri:

.87796E+00 .98874E+00 .94603E+00 .10649E+01 .12729E+01 .10446E+01 .19174E+01 .12276E+01 .11478E+01 .16790E+01 .64649E+00 .10681E+01 .74075E+00 .99517E+00 .15647E+01 .33251E+00 .98636E+00 .92455E+00 .70246E+00 .91668E+00

.12295E+01 .60687E+00 .63937E+00 .95317E+00 .10419E+01 .93612E+00 .11059E+01 .99473E+00 .32096E+00 .15848E+01 .43931E+00 .66254E+00 .43584E+00 .13248E+01 .43414E+00 .16072E+01 .72036E+00 .74788E+00 .57618E+00 .57940E+00

... ...

2.1.4. 3-Parametreli Gama Ana Dağılımı ile 1Milyon Elemanlı Sentetik Seri Üretimi

Sentetik seri türetme algoritmasını P3 ana dağılımı ile icra eden GAMSYN.FOR adlı bir Fortran programı kodlanmıştır. Ortalama değeri: μ = 1, varyasyon katsayısı: VK = 0.5, ve çarpıklık katsayıları da: ÇK = 0.5, 1, 2, 3, 5 olan 3-parametreli gama dağılımı ile türetilmiş 1Milyon elemanlı sentetik seriler ekteki CD’de SENTDATA klasöründe CK05GAM.DAT, CK1GAM.DAT, CK2GAM.DAT, CK3GAM.DAT, ve CK5GAM.DAT adlı dosyalarda sunulmaktadır. Aşağıda, sadece CK2GAM.DAT dosyasında sentetik serinin ilk 2 satırını içeren tablo verilmektedir.

Ortalama Değeri= 1, Standart Sapması= 0.5, Çarpıklık Katsayısı= +2.0 olan 3-parametreli gama dağılımıyla uzun sentetik seri türetimi:

Bu 3-parametreli gama dağılımının parametreleri: şekil par. ölçek par. konum par. --- --- --- 1.00000 0.50000 0.500000

Bu 3-parametreli gama dağılımı ile türetilen 1000000-elemanlık sentetik seri:

.83104E+00 .94598E+00 .90067E+00 .10291E+01 .12648E+01 .10067E+01 .19876E+01 .12129E+01 .11220E+01 .17270E+01 .63134E+00 .10326E+01 .70409E+00 .95289E+00 .15986E+01 .50768E+00 .94343E+00 .87833E+00 .67286E+00 .87022E+00

.12150E+01 .60521E+00 .62643E+00 .90817E+00 .10037E+01 .89032E+00 .10748E+01 .95242E+00 .50644E+00 .16213E+01 .52864E+00 .64271E+00 .52765E+00 .13243E+01 .52717E+00 .16465E+01 .68719E+00 .71013E+00 .58699E+00 .58881E+00

... ...

2.1.5. 1Milyon Elemanlı Sentetik Seriden Elde Edilen, 100Bin Adet n=10 Elemanlı, 50Bin Adet n=20 Elemanlı, 33333 Adet n=30 elemanlı, 20Bin Adet n=50 elemanlı, 14285 Adet n=70 Elemanlı, ve 10Bin Adet n=100 Elemanlı Kısa Seriler Üzerinde Değişik Tekerrürlü Değişken Değerlerinin ve Bunların Kitle Değişken Değerlerinden Olan Relatif Hatalarının Hesapları

Bu çalışmada geliştirilen paket programdan ayrı olarak, baştan beri hedeflenen Monte Carlo analzilerinin nümerik kısımlarını icra eden ayrı bir bilgisayar programı da kodlanmıştır. Bu programın SDALN3.FOR, SDAGED.FOR, SDAGAM.FOR (SDA: Sentetik Data Analizi) adı verilen üç farklı biçimi geliştirilmiştir. SDALN3.FOR, LN3 ana dağılımı ile türetilmiş 1Milyon elemanlı sentetik serileri okumakta, SDAGED.FOR, GED ana dağılımı ile türetilmiş 1Milyon elemanlı sentetik serileri okumakta, SDAGAM.FOR da P3 ana dağılımı ile türetilmiş 1Milyon elemanlı sentetik serileri okumaktadır. Üçünün de, 1Milyon/n adet n-elemanlı kısa seriler üzerinde çeşitli tekerrürlü değişken değerlerini 21 farklı dağılım ile hesapladıkları kısımları ortaktır. Bu ortak kısımdaki icraat safhaları aşağıda özetlenmektedir.

i) Önce, program ortalama değer, varyasyon katsayısı, ve çarpıklık katsayılarını, ve o

dağılımın momentleri ile parametrelerini iliştiren belirli analitik ilişkileri ile hesaplanmış parametrelerini okumakta, takiben bu parametre değerleriyle o dağılımla hesaplanmış 1Milyon adet sentetik seri elemanlarını okumaktadır.

ii) Sonra program, baştan okunan parametre değerlerine sahip o ana dağılım ile, T = 10,

25, 50, 100, 200, 500, 1000, 2Bin, 5Bin, 10Bin yıl olan 10 farklı tekerrür peryotlu, ki bunlar: Pnex = 0.90, 0.96, 0.98, 0.99, 0.995, 0.999, 0.9995, 0.9998, 0.9999 küçük-kalma olasılıklarına tekabül etmektedir, kitle değişken değerlerini hesaplamaktadır. Pnex = 0.50 ve 0.80 küçük-kalma olasılıklı T = 2 ve 5 yıllık küçük tekerrürlü değişken değerleri genelde oldukça küçük boyutlar almakta ve bunların tahmininde dağılımlar birbirine yakın değerler vermektedir. Bu yüzden geçilme olasılıkları 0.10 ile 0.0001 aralığındaki 10 farklı sağ kuyruk değişken değerlerinin tahminini en yakın yapan dağılımların belirlenmesi amaçlanmıştır.

iii) Sonra program, kısa örnek seri uzunluğu n’yi ekrandan sormakta, kullanıcı da n’yi,

iv) Sonra program, 1Milyon/n adetlik bir büyük döngüye girmekte, 1Milyon/n adetlik

her bir n-elemanlı kısa seri ile, paket programda kullanılan, 4 (LN3 için 5) farklı parametre tahmin yöntemlerinin 5 farklı dağılıma uygulanmasıyla oluşan 21 farklı dağılımın parametrelerini, ve sonra, bu 21 farklı dağılım ile T = 10, 25, 50, 100, 200, 500, 1000, 2Bin, 5Bin, 10Bin yıl olan 10 farklı tekerrür peryotlu (Pnex = 0.90, 0.96, 0.98, 0.99, 0.995, 0.999, 0.9995, 0.9998, 0.9999 değerlerinde 10 farklı küçük-kalma olasılıklı) değişken değerlerini hesaplayıp, büyük döngüye başlamadan evvel ana dağılımı kullanarak hesaplamış olduğu, aynı tekerrürlü kitle değişken değerlerinden olan relatif hataları aşağıdaki gibi hesaplamaktadır.

RHijk = (DDijk – KDDj) / KDDj (2.1)

Bu eşitlikte, KDDj: 10 farklı Pnex’ten j’ninci Pnex’e karşılık gelen kitle değişken değeri, DDijk: 21 adet olasılık dağılımından k’nıncısını kullanarak, 1Milyon/n adet kısa seriden i’ninci seri ile hesaplanan j’ninci Pnex’e karşılık gelen değişken değeri, ve

RHijk: k’nıncı olasılık dağılımını kullanarak, i’ninci seri ile hesaplanan j’ninci Pnex’e karşılık gelen değişken değerinin aynı Pnex’e karşılık gelen kitle değişken değerinden olan relatif (bağıl) hatasıdır.

2.1.6. 1Milyon/n Adet n-elemanlı Sentetik Serilerden Elde Edilen 1Milyon/n Adet Relatif Hataların (RHların) Ortalama Değerleri, Standart Sapmaları, ve Dağılımlarının Hesaplanması

2.1.6.1. 1Milyon/n Adet RHların Ortalama Değerleri ve Standart Sapmalarının Hesaplanması

Monte Carlo analzilerinin amacı, küçük veya büyük herhangi bir tekerrürlü değişken değerini, 20 ~ 30 gibi kısa bir örnek seriden, kitlenin (gerçek) değişken değerine en yakın hesaplayan olasılık dağılımını belirlemeye çalışmaktır. Bu yaklaşım, örnek serinin histogramını dağılımın olasılık yoğunluk fonksiyonundan elde edilen beklenen değerler histogramı ile nicel olarak karşılaştıran Chi² uygunluk testinden, örnek seri elemanlarının California noktalama pozisyonu formülü ile tahmin edilen küçük-kalma olasılıklarını dağılımın kümülatif dağılım fonksiyonundan elde edilen küçük-kalma olasılıkları ile nicel olarak karşılaştıran Kolmogorov-Smirnov uygunluk testinden, ve örnek seri elemanlarının, Cunnane noktalama pozisyonu formülünce belirlenen

küçük-kalma olasılıkları ile dağılımın hesapladığı seri elemanlarına karşı korelasyon katsayısını değerlendiren olasılık pozisyonu korelasyon katsayısı (PPCC) uygunluk testinden farklı bir yaklaşımdır.

Daha önce özetlendiği gibi, bu çalışmada, RAN1 alt-programının türettiği, 0 ile 1 aralığında üniform yayılı rastgele sayılara dayandırılarak üretilen 1Milyon elemanlı uzun sentetik serinin kitleyi temsil ettiği varsayımı yapılmıştır.

Bilindiği gibi, eldeki mevcut, kaydedilmiş örnek seri uzunluğu ne kadar büyük ise, bu serinin anlamlılığı o kadar artmakta, ve özellikle T = 1000 yıl, T = 10Bin yıl gibi büyük tekerrürülü değişken değerlerin tahmini daha güvenilir olmaktadır. Diğer bir deyişle, n = 10 elemanlı, çok kısa bir örnek seriden, kullanılan olasılık dağılımı ve parametre tahmini yöntemi ne olursa olsun, T = 1000 yıl gibi, sağ kuyruk değişken değerlerin sağlıklı tahminin yapılacağını beklemek gerçekçi değildir, safdillik olur. Bu gerçeklerin ışığında, bu çalışmada kullanılan olasılık dağılımların, örnek seri uzunluğuna (n’e), kitle dağılımın çarpıklık katsayısının boyutuna, ve kitle dağılımının türüne olacak duyarlılıkları, yukarılarda özetlenegelen kapsamlı analizle tespit edilmeye gayret edilmiştir. DMİ’nin 70 yıldır kaydetmekte olduğu plüviyograflı yağmur rasatlarından, 20 yıl ve daha uzun serili olanların varyasyon katsayılarının (VK) ve çarpıklık katsayılarının (ÇK) boyutlarının incelenmesinden, VK’ların 0.5 civarında dar bir aralıkta, ÇK’ların çoğunluğunun, 1<ÇK<3 aralığında, nadiren bir kısmının da, 0<ÇK<5 aralığında değiştiği görülmüştür. Dolayısıyla, bu değerlerin ülkemizdeki 14 ardışık, standart süreli yıllık yağmur pikleri serilerinin karakteristiklerini yansıttığı kabulü ile, yukarıda özetlendiği gibi, ÇK = 0.5, 1, 2, 3, 5 olan 5 farklı çarpıklık katsayısı değerleri alınmıştır.

Herhangi bir ana dağılım ile türetilmiş 1Milyon elemanlı sentetik seriden çıkarılan 1Milyon/n adet n-elemanlı kısa seriler ile, ortalama tekerrür peryodu: T = 10, 25, 50, 100, 200, 500, 1000, 2Bin, 5Bin, ve 10Bin yıldan her biri için ayrı ayrı 1Milyon/n adet relatif hatalar (RH) hesaplanmıştır. Her bir T için elde edilen 1Milyon/n adet RH’ın aşağıdaki ifadelerle ortalama değeri ve standart sapması hesaplanmıştır.

10⁶/n

ORHjk = ∑ RHijk / (10⁶/n) (2.2)

10⁶/n

SSRHjk = { ∑ (RHijk – ORHik)²/ (10⁶/n) }^1/2 (2.3) i=1

Bu eşitliklerde, ORHjk: k’nıncı olasılık dağılımını kullanarak, her biri n elemanlı 10⁶/n adet kısa seriden j’ninci T’ye (veya, j’ninci Pnex’e) karşılık gelen değişken değerinin kitle değişken değerinden olan relatif hatalarının ortalaması, SSRHjk de: k’nıncı olasılık dağılımını kullanarak ortaya çıkan bu 10⁶/n adet relatif hataların standart sapmasıdır. k’nıncı olasılık dağılımının ‘iyi’ veya ‘uygun’ olması için hem ORHjk’nin hem de

SSRHjk’nin sıfıra yakın olması gerekir. ORHjk’nin sıfıra yakın olması: “n elemanlı 10⁶/n adet kısa seriden hesaplanan T-yıl tekerrürlü bazı değişken değerleri kitleninkiden farklı olabilirken, bunların ortalaması sıfıra yakın olduğuna göre, bu olasılık dağılımının T-yıl tekerrürlü değişkenin hesabındaki gücü ve anlamlılığı sağlıklıdır.” sonucunu işaret eder.

SSRHjk’nin sıfıra yakın olması ise: “Bu olasılık dağılımı T-yıl tekerrürlü değişkenin hesabında tutarlıdır.” sonucunu işaret eder. O halde, 21 dağılımdan ORHjk’si sıfıra en yakın iken SSRHjk’si en küçük olan dağılım j’ninci T’ye (veya, j’ninci Pnex’e) karşılık gelen değişken değerinin kısa serilerden tahmininde ‘en iyi’ dağılımdır.

Dolayısıyla, ortalama tekerrür peryodu: T = 10, 25, 50, 100, 200, 500, 1000, 2Bin, 5Bin, ve 10Bin yıldan her biri için ayrı ayrı, ORHjk’ler ve SSRHjk’ler hesaplandıktan sonra, her bir T için ayrı ayrı ORHjk’ler ve SSRHjk’ler küçükten büyüğe doğru dizilerek, en küçük değerli dağılıma 1 en büyük değerli dağılıma da 21 numarası verilmiştir. Böylece, o anan dağılımla türetilmiş olan 1Milyon elemanlı sentetik seri ile, 10 ile 100 arasında seçilen o n ile, ve 10, 25, 50, 100, 200, 500, 1000, 2Bin, 5Bin, ve 10Bin yıldan biri olan o T ile, dağılımlara 1’den 21’e kadar ‘iyilik’ numaraları verilmiştir. Sonra, 10, 25, 50, 100, 200, 500, 1000, 2Bin, 5Bin, ve 10Bin yıldan hepsi için ayrı ayrı yapılan bu sıralamaların iyilik numaraları toplanmıştır. Eğer bir olasılık dağılımı, bütün T’ler için kitle değişken değerlerini ‘en yakın (en iyi)’ olarak tahmin ederse, o dağılım bu 10 farklı T’nin hepsi için 1 iyilik numarası alacak ve toplam iyilik numarası da 10’a eşit olacaktır. Eğer bir dağılım, 10 ve 25 gibi küçük T’lerde kitle değişken değerini daha iyi tahmin ediyor, fakat, 1000, 2Bin, 5Bin, 10Bin gibi büyük T’lerde kitle değişken değerini kötü tahmin ediyorsa, küçük T’lerde küçük iyilik numarası alırken, büyük

50, 100, 200, 500, 1000, 2Bin, 5Bin, ve 10Bin yıl değerleri Pex = 0.1’den başlayarak,

Pex = 0.0001’e kadar (Pnex = 0.9999’a kadar) sağ kuyruğun çok geniş bölümünü

kapsamaktadır. Dolayısıyla, bir olasılık dağılımı, kitle değişken değerlerini, bu aralıktaki bazı T’lerde iyi bazılarında kötü olarak tahmin ederse, 10 adet iyilik numaralarının toplanmasıyla, bunu genel olarak yansıtan bir toplam uygunluk rakamı ortaya çıkacaktır. Bu değerlendirmeye göre, herhangi bir kombinezon için ‘mükemmel uyumlu’ dağılımın toplam iyilik numarası 101 = 10, ‘en uyumsuz (en kötü)’ dağılımın toplam iyilik numarası ise 1021 = 210 olacaktır. Böylece, 21 adet dağılımın toplam iyilik numaraları 10 ile 210 arasında rakamlar olacaktır. Bu analizde, dağılımlar toplam iyilik numaralarının küçükten-büyüğe doğru dizilmesiyle iyilik açısından sıralanmaktadır. Bütün bu yaklaşımla yapılan analizlerden elde edilen, 3 farklı ana dağılım (LN3, GED, P3), 5 farklı çarpıklık katsayısı (ÇK = 0.5, 1, 2, 3, 5), 6 farklı kısa seri uzunluğu (n = 10, 20, 30, 50, 70, 100) ile oluşan, 356 = 90 adet kombinezonun 90 adet çıktı dosyası ilişikte sunulan CD’de ‘RH-Tabloları-ve-Dağılımları’ klasöründe verilmektedir.

Tablo 2.1. GED ana dağılımı ile, =1, VK=0.5 ve ÇK=2 değerleriyle türetilmiş 1Milyon elemanlı sentetik seriden, n=30 elemanlı 33333 kısa seriler ile elde edilen çıktı dosyasının Ortalama Relatif Hataları, bunların sıralanmasını, Relatif Hataların Standart Sapmalarını ve bunların sıralanmasını veren kısmı.

GED DAĞILIMI İLE TÜRETİLMİŞ UZUN (N ELEMANLI) SENTETİK SERİDEN ÇIKARILAN N/n ADET ÇAKIŞMAYAN KISA (n ELEMANLI) SERİLER ÜZERİNDE T = 10 yıl İLE 10BİN-yıl ARASI TEKERRÜRLÜ DEĞİŞKEN DEĞERLERİNİN TAHMİNİNDE 21 FARKLI DAĞILIMIN RELATİF HATALARININ HESABI

Bu program 106Y192 kod numaralı TÜBİTAK projesinin bir ürünüdür.

Ortalama Değer = 1, Standart Sapma = 0.5, Çarpıklık Katsayısı = +2.0 ikenGED Dağılımı Parametreleri:

Şekil Ölçek Konum --- --- ---

-0.108548 0.330094 0.770031

Tablo-3.1’de, rastgele seçilen, GED ana dağılımı ile, =1, VK=0.5 ve ÇK=2 türetilmiş 1Milyon elemanlı sentetik seriden, n=30 elemanlı 33333 kısa seriler ile elde edilen çıktı dosyasının Ortalama Relatif Hataları, bunların sıralanmasını, Ortalama Relatif Hataların Standart Sapmalarını ve bunların sıralanmasını içeren kısımları verilmektedir. Aynı dosyanın 21 dağılımın histogram koordinatlarını içeren kısmı bu tabloya dahil

edilmemiştir. Bu çıktı dosyalarından toplam 90 adet bulunmaktadır ve bunların her biri toplam 9311 satırdan oluşmaktadır. FORTRAN dilinde yazılmış program çıktısı olduklarından, bu dosyalar TEXT dosyalarıdır ve NOTEPAD veya WORDPAD veya EDIT adlı editörler tarafından açılabilmektedir.

Tablo 2.2. 33333 Adet 30 elemanlı serilerden elde edilen relatif hataların özet bilgileri. 33333 ADET 30 ELEMANLI SERİLERDEN ELDE EDİLEN

RELATİF HATALARIN ORTALAMA DEĞERLERİ:

DAĞILIMLAR\T: 10 25 50 100 200 500 1000 2000 5000 10000 GUMBEL-MOM .07 .05 .03 .00 -.03 -.08 -.11 -.14 -.18 -.22 GUMBEL-MO -.04 -.08 -.11 -.15 -.18 -.22 -.25 -.28 -.32 -.35 GUMBEL-OAM .00 -.04 -.07 -.10 -.13 -.17 -.20 -.24 -.28 -.31 GUMBL-KBOAM -.05 -.09 -.13 -.16 -.20 -.24 -.27 -.30 -.34 -.37 LN3-MOM -.01 -.05 -.08 -.11 -.14 -.17 -.20 -.23 -.26 -.28 LN3-MO -.01 -.01 -.02 -.02 -.03 -.03 -.04 -.04 -.05 -.06 LN3-OAM .01 .01 .00 .00 .00 -.01 -.01 -.02 -.02 -.03 LN3-KBOAM .00 -.02 -.03 -.04 -.05 -.07 -.08 -.09 -.11 -.12 LN3-CK0 .00 -.01 -.02 -.03 -.04 -.05 -.06 -.07 -.09 -.10 GED-MOM -.01 -.04 -.06 -.09 -.12 -.15 -.17 -.20 -.22 -.24 GED-MO -.02 -.01 .00 .01 .03 .07 .11 .15 .23 .31 GED-OAM -.01 -.01 -.01 .00 .00 .02 .04 .06 .09 .12 GED-KBOAM -.02 -.02 -.02 -.01 -.01 .01 .03 .05 .08 .11 P3-MOM .00 -.02 -.05 -.08 -.11 -.16 -.19 -.23 -.27 -.30 P3-MO .00 -.06 -.11 -.16 -.21 -.27 -.31 -.35 -.40 -.44 P3-OAM .01 .00 -.03 -.06 -.09 -.13 -.16 -.19 -.24 -.27 P3-KBOAM .00 -.03 -.06 -.09 -.13 -.17 -.21 -.24 -.28 -.32 LP3-MOM .00 -.01 -.02 -.03 -.04 -.04 -.05 -.05 -.05 -.04 LP3-MO -.01 -.02 -.03 -.04 -.04 -.04 -.04 -.04 -.03 -.01 LP3-OAM -.01 -.01 .00 .01 .02 .04 .05 .07 .11 .13 LP3-KBOAM -.01 -.01 -.01 .00 .00 .01 .02 .04 .06 .08

Tablo 2.3. Ortalama değerlere göre dağılımların sıra noları. DAĞILIMLAR\T: 10 25 50 100 200 500 1000 2000 5000 10000 GUMBEL-MOM 21 17 10 3 8 12 12 11 11 11 GUMBEL-MO 19 20 20 19 19 19 19 19 19 19 GUMBEL-OAM 1 15 17 17 17 16 17 17 17 16 GUMBL-KBOAM 20 21 21 20 20 20 20 20 20 20 LN3-MOM 15 18 18 18 18 18 16 15 15 14 LN3-MO 9 5 6 8 6 5 5 4 4 4 LN3-OAM 10 3 3 1 2 1 1 1 1 2 LN3-KBOAM 4 10 13 12 12 11 10 10 10 8 LN3-CK0 2 7 8 9 11 9 9 8 7 6 GED-MOM 8 16 16 15 15 14 14 14 12 12 GED-MO 18 8 2 6 7 10 11 12 13 17 GED-OAM 14 6 5 4 3 4 4 7 8 9 GED-KBOAM 17 11 7 7 4 2 3 5 6 7 P3-MOM 7 13 14 14 14 15 15 16 16 15 P3-MO 5 19 19 21 21 21 21 21 21 21 P3-OAM 16 1 11 13 13 13 13 13 14 13 P3-KBOAM 3 14 15 16 16 17 18 18 18 18 LP3-MOM 6 9 9 10 9 8 7 6 3 3 LP3-MO 11 12 12 11 10 7 6 2 2 1 LP3-OAM 13 2 1 5 5 6 8 9 9 10 LP3-KBOAM 12 4 4 2 1 3 2 3 5 5

Tablo 2.4. Ortalama değerlere göre dağılımların sıralaması. LN3-OAM 25 LP3-KBOAM 41 LN3-MO 56 GED-OAM 64 LP3-OAM 68 GED-KBOAM 69 LP3-MOM 70 LP3-MO 74 LN3-CK0 76 LN3-KBOAM 100 GED-MO 104 GUMBEL-MOM 116 P3-OAM 120 GED-MOM 136 P3-MOM 139 GUMBEL-OAM 150 P3-KBOAM 153 LN3-MOM 165 P3-MO 190 GUMBEL-MO 192 GUMBL-KBOAM 202

Tablo 2.5. 33333 Adet 30 elemanlı serilerden elde edilen relatif hataların medyan değerleri. DAĞILIMLAR\T: 10 25 50 100 200 500 1000 2000 5000 10000 GUMBEL-MOM .06 .04 .01 -.02 -.05 -.09 -.12 -.15 -.20 -.23 GUMBEL-MO -.04 -.08 -.12 -.15 -.18 -.22 -.25 -.29 -.32 -.35 GUMBEL-OAM -.01 -.04 -.07 -.10 -.14 -.18 -.21 -.24 -.28 -.31 GUMBL-KBOAM -.05 -.09 -.12 -.16 -.19 -.23 -.26 -.29 -.33 -.36 LN3-MOM -.02 -.06 -.09 -.12 -.16 -.20 -.23 -.26 -.30 -.32 LN3-MO -.01 -.02 -.03 -.04 -.06 -.08 -.09 -.11 -.13 -.15 LN3-OAM .00 -.01 -.03 -.04 -.06 -.08 -.10 -.12 -.14 -.16 LN3-KBOAM -.01 -.03 -.05 -.07 -.09 -.11 -.13 -.15 -.18 -.20 LN3-CK0 -.01 -.02 -.03 -.05 -.07 -.09 -.11 -.12 -.15 -.17 GED-MOM -.01 -.05 -.08 -.11 -.14 -.18 -.21 -.24 -.28 -.31 GED-MO -.02 -.03 -.03 -.03 -.04 -.04 -.04 -.05 -.05 -.05 GED-OAM -.01 -.02 -.02 -.03 -.03 -.04 -.04 -.05 -.06 -.06 GED-KBOAM -.02 -.03 -.03 -.04 -.04 -.05 -.05 -.06 -.06 -.07 P3-MOM .00 -.04 -.07 -.11 -.14 -.19 -.23 -.27 -.31 -.35 P3-MO .00 -.07 -.12 -.17 -.22 -.28 -.32 -.36 -.41 -.45 P3-OAM .01 -.02 -.04 -.07 -.10 -.15 -.18 -.22 -.26 -.29 P3-KBOAM -.01 -.04 -.07 -.11 -.14 -.19 -.23 -.26 -.30 -.34 LP3-MOM -.01 -.02 -.04 -.05 -.07 -.09 -.11 -.13 -.15 -.17 LP3-MO -.01 -.03 -.05 -.06 -.08 -.10 -.12 -.14 -.16 -.18 LP3-OAM -.01 -.01 -.02 -.02 -.02 -.03 -.03 -.03 -.04 -.04 LP3-KBOAM -.01 -.02 -.02 -.03 -.04 -.04 -.05 -.06 -.07 -.07

Tablo 2.6. Medyan değerlerine göre dağılımların sıra noları.

DAĞILIMLAR\T: 10 25 50 100 200 500 1000 2000 5000 10000 GUMBEL-MOM 21 14 1 1 6 9 11 12 12 12 GUMBEL-MO 19 20 19 19 19 19 19 19 19 19 GUMBEL-OAM 4 15 15 14 14 14 14 14 14 15 GUMBL-KBOAM 20 21 21 20 20 20 20 20 20 20 LN3-MOM 16 18 18 18 18 18 17 17 16 16 LN3-MO 10 7 8 8 7 6 6 6 6 6 LN3-OAM 2 1 5 7 8 7 7 7 7 7 LN3-KBOAM 6 11 12 12 12 12 12 11 11 11 LN3-CK0 5 6 9 9 9 8 8 8 8 8 GED-MOM 11 17 17 15 15 15 15 15 15 14 GED-MO 18 9 6 5 4 3 3 2 2 2 GED-OAM 14 4 3 3 2 2 2 3 3 3 GED-KBOAM 17 10 7 6 5 5 5 5 4 4 P3-MOM 1 13 14 16 17 17 18 18 18 18 P3-MO 3 19 20 21 21 21 21 21 21 21 P3-OAM 9 3 11 13 13 13 13 13 13 13 P3-KBOAM 8 16 16 17 16 16 16 16 17 17 LP3-MOM 7 8 10 10 10 10 9 9 9 9 LP3-MO 12 12 13 11 11 11 10 10 10 10 LP3-OAM 15 2 2 2 1 1 1 1 1 1 LP3-KBOAM 13 5 4 4 3 4 4 4 5 5

Tablo 2.7. Medyan değerlerine göre dağılımların sıralaması. LP3-OAM 27 GED-OAM 39 LP3-KBOAM 51 GED-MO 54 LN3-OAM 58 GED-KBOAM 68 LN3-MO 70 LN3-CK0 78 LP3-MOM 91 GUMBEL-MOM 99 LN3-KBOAM 110 LP3-MO 110 P3-OAM 114 GUMBEL-OAM 133 GED-MOM 149 P3-MOM 150 P3-KBOAM 155 LN3-MOM 172 P3-MO 189 GUMBEL-MO 191 GUMBL-KBOAM 202

Tablo 2.8. 33333 Adet 30 elemanlı serilerden elde edilen relatif hataların standart sapmaları. DAĞILIMLAR\T: 10 25 50 100 200 500 1000 2000 5000 10000 GUMBEL-MOM .14 .16 .16 .17 .17 .16 .16 .16 .15 .15 GUMBEL-MO .10 .10 .10 .10 .10 .10 .10 .10 .09 .09 GUMBEL-OAM .11 .12 .12 .12 .12 .12 .12 .11 .11 .11 GUMBL-KBOAM .11 .12 .12 .13 .13 .12 .12 .12 .12 .11 LN3-MOM .11 .14 .15 .17 .18 .20 .21 .22 .24 .25 LN3-MO .12 .16 .19 .22 .26 .30 .33 .36 .40 .42 LN3-OAM .13 .18 .22 .26 .30 .35 .39 .42 .47 .51 LN3-KBOAM .12 .15 .18 .21 .24 .27 .30 .32 .35 .37 LN3-CK0 .12 .15 .18 .21 .24 .28 .30 .33 .36 .38 GED-MOM .12 .14 .16 .18 .21 .23 .25 .27 .30 .32 GED-MO .11 .17 .22 .28 .36 .48 .58 .71 .92 1.12 GED-OAM .11 .14 .18 .22 .27 .34 .41 .48 .58 .68 GED-KBOAM .11 .15 .19 .23 .28 .35 .42 .48 .59 .68 P3-MOM .12 .16 .18 .20 .21 .22 .23 .23 .23 .23 P3-MO .13 .13 .13 .13 .13 .13 .13 .13 .13 .12 P3-OAM .12 .15 .17 .19 .20 .20 .21 .21 .21 .21 P3-KBOAM .12 .15 .16 .17 .18 .19 .19 .19 .19 .19 LP3-MOM .11 .15 .19 .22 .26 .32 .36 .40 .47 .52 LP3-MO .11 .16 .20 .24 .28 .35 .40 .46 .54 .61 LP3-OAM .11 .16 .20 .24 .29 .37 .43 .49 .59 .67 LP3-KBOAM .12 .16 .19 .24 .28 .35 .40 .46 .55 .62

Tablo 2.9. Standart sapma değerlerine göre dağılımların sıra noları. DAĞILIMLAR\T: 10 25 50 100 200 500 1000 2000 5000 10000 GUMBEL-MOM 21 16 7 5 5 5 5 5 5 5 GUMBEL-MO 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 GUMBEL-OAM 7 3 2 2 2 2 2 2 2 2 GUMBL-KBOAM 4 2 3 3 3 3 3 3 3 3 LN3-MOM 5 5 5 6 7 7 8 8 9 9 LN3-MO 13 18 16 15 13 13 13 13 13 13 LN3-OAM 20 21 20 20 20 17 15 15 15 14 LN3-KBOAM 12 10 10 11 11 11 11 11 11 11 LN3-CK0 14 13 13 12 12 12 12 12 12 12 GED-MOM 15 6 8 8 9 10 10 10 10 10 GED-MO 6 20 21 21 21 21 21 21 21 21 GED-OAM 2 7 11 14 15 15 18 18 18 19 GED-KBOAM 3 9 15 16 16 19 19 19 19 20 P3-MOM 18 19 12 10 10 9 9 9 8 8 P3-MO 19 4 4 4 4 4 4 4 4 4 P3-OAM 17 12 9 9 8 8 7 7 7 7 P3-KBOAM 16 8 6 7 6 6 6 6 6 6 LP3-MOM 9 11 14 13 14 14 14 14 14 15 LP3-MO 8 14 18 18 18 18 17 16 16 16 LP3-OAM 10 17 19 19 19 20 20 20 20 18 LP3-KBOAM 11 15 17 17 17 16 16 17 17 17

Tablo 2.10. Standart sapma değerlerine göre dağılımların sıralaması. GUMBEL-MO 10 GUMBEL-OAM 26 GUMBL-KBOAM 30 P3-MO 55 LN3-MOM 69 P3-KBOAM 73 GUMBEL-MOM 79 P3-OAM 91 GED-MOM 96 LN3-KBOAM 109 P3-MOM 112 LN3-CK0 124 LP3-MOM 132 GED-OAM 137 LN3-MO 140 GED-KBOAM 155 LP3-MO 159 LP3-KBOAM 160 LN3-OAM 177 LP3-OAM 182 GED-MO 194

2.1.6.2. 1Milyon/n Adet RHların Dağılımlarının Hesaplanması

Burada ‘ortalama relatif hata (ORH)’ ve ‘relatif hataların standart sapması (SSRH) olarak tanımlanan büyüklükler, uluslararası birçok benzeri çalışmada ‘Bias (sapma, yanılgı)’ ve ‘root mean square error, RMSE (hataların karelerinin ortalamasının karekökü)’ olarak ta tanımlanmaktadır. Yukarıdaki bölümlerde özetlendiği gibi, karşılaştırılan dağılımlardan en iyi dağılım, ortalama relatif hatası sıfıra en yakın ve relatif hataların standart sapması da en küçük olan dağılımdır. Benzeri çalışmalardan görülebileceği gibi, maalesef ORH ve SSRH değerlendirmeleri uyumlu olmayabilir (örneğin: Haktanır, 1992; Sankarasubramanian & Srinivasan, 1999). Mesela, Gumbel dağılımı genelde küçük SSRH’lar verirken, diğer dağılımlardan bariz bir biçimde büyük veya küçük ORH’lar verebilmektedir. Dolayısıyla, ORH’lar ve SSRH’ların incelenmesi dikkatlice yapılmalıdır. ORH’lar ve SSRH’ların değerlendirilmesi birbiri ile uyumlu olmayabileceği için, bu 21 farklı dağılımdan elde edilen relatif hataların (RH’ların) dağılımlarının birbirine oranlı olarak çizdirilip, ortaya çıkan RH histogramlarının ağırlık merkezlerinin sıfıra en yakın ve aynı zamanda en dar dağılımlı olanlarının doğrudan gözle incelemesi de amaçlanmıştır. T = 10, 25, 50, 100, 200, 500, 1000, 2Bin, 5Bin, 10Bin yıldan oluşan 10 farklı tekerrür peryotlarında hesaplanan ORH’lar ve SSRH’ların bu T’lerin hepsinde sıralanması tablolarından farklı olarak, RH histogramlarının her bir

T için ayrı ayrı incelenmesi astronomik adette şekillerin çizilmesi demektir. Dolayısıyla, RH histogramlarının doğrudan göz ile incelenmesi analizlerinde ortaya çıkacak

kombinezon adedini nispeten makul bir değerde tutabilmek amacıyla, bu T’lerden sadece T = 10, 100, 1000, 10Bin yıl olanlar seçilmiştir. T = 10 yıl küçük tekerrürlü değişkenleri, T = 100, 1000, ve 10Bin yıl da ekstrem sağ kuyruk değişkenlerini temsil eder, ve bu 4 farklı T, RH histogramlarının doğrudan göz ile incelenmesi analizlerinde yeterlidir.

Herhangi bir T için, 21 olasılık dağılımından hesaplanmış 21 farklı 1Milyon/n adet RH histogramlarının 21’i de aynı şekil içinde çizildiği vakit, 21 farklı kalınlıkta veya biçimde veya renkte çizgiler kullanılacağından bunların gözle ayıklanmasının çok zor olacağı anlaşılmış, ve dolayısıyla, RH histogramları Gumbel, LN3, GED, P3, LP3 dağılımları için ayrı ayrı çizdirilmiştir. Herhangi bir kombinezon için 1Milyon/n adet

RH’lardan, Gumbel-MOM, Gumbel-MO, Gumbel-OAM, ve Gumbel-KBOAM’nin

LN3-CK0’ın verdikleri aynı şekilde, MOM, MO, OAM, GED-KBOAM’nin verdikleri aynı şekilde, P3-MOM, P3-MO, P3-OAM, ve P3-GED-KBOAM’nin verdikleri aynı şekilde, ve LP3-MOM, LP3-MO, LP3-OAM, ve LP3-KBOAM’nin verdikleri aynı şekilde çizdirilmiştir. Bunların dikkatlice incelenmesinden, her dağılımın kendi içinde en iyisi gözle seçilmiştir. Sonra 5 farklı dağılımın en iyilerinin verdiği 1Milyon/n adet RH’lar da ayrı bir şekilde çizdirilmiş, bu son şeklin yine gözle incelenmesinden, en iyi dağılıma karar verilmiştir. Bu yaklaşımla, 3 farklı ana dağılım (LN3, GED, P3), 5 farklı çarpıklık katsayısı (ÇK = 0.5, 1, 2, 3, 5), 6 farklı kısa seri uzunluğu (n = 10, 20, 30, 50, 70, 100), ve 4 farklı tekerrür peryodu (T = 10, 100, 1000, 10Bin yıl) ile oluşan, 3564 = 360 adet kombinezonun toplam 3606 = 2160 adet RH histogramları şekli söz konusudur. İlerde ‘BULGULAR’ Bölümünde açıklanacağı gibi, hangi pratik yöntem kullanılırsa kullanılsın, bu kadar astronomik adette şeklin hepsinin çizdirilmesi birkaç aylık bir süre içinde dahi mümkün olamayacağından, bunların yine de büyük bir kısmı çizdirilip tek tek incelenerek, ‘en iyi dağılım (!)’ hakkında kanaat oluşturulmaya çalışılmıştır. Bu incelemelerde, ‘en iyi dağılım’ bulgusunun, 1 Milyon elemanlı sentetik seri türetimindeki ana dağılıma, çarpıklık katsayısının boyutuna, ve kısa seri uzunluğuna olan duyarlılığı da belirlenmeye çalışılmıştır.

Yukarıda, 2.1.5.inci ve 2.1.6.1.inci Alt Bölümlerde özetlenen hesapları yapan üç bilgisayar programından her biri (SDALN3.FOR, SDAGED.FOR, SDAGAM.FOR)

ORH’lar ve SSRH’lar sıralama tablolarının yanı sıra, Sturges Formülü ile (K = 1 +

3.3log10(106/n) ), en yakın bir üst tamsayıya yuvarlatılan dilim adedini (K’yı) hesapladıktan sonra, 1Milyon/n adet RH’ları küçükten büyüğe doğru dizmekte,