Gumbel Dağılımı Parametrelerinin Olasılık-Ağırlıklı-Momentler

Gumbel dağılımının parametrelerinin olasılık-ağırlıklı-momentler yöntemiyle hesabı Greenwood ve arkadaşları tarafından formülüze edilmiş olup aşağıda özetlenmektedir (Greenwood ve ark., 1979).

 = ln(2) / (μx – OAM1) (1.9)

 = μx – (0.5772157) /  (1.10)

Burada, μx ve OAM1, Gumbel dağılımının ortalama değeri ve 1.nci olasılık-ağırlıklı momenti olup, (1.9) ve (1.10) nolu ifadelerde bunların örnek seriden hesaplanan tahminleri konur.

1.2.1.5. Gumbel Dağılımı Parametrelerinin Kendini-Belirleyen-Olasılık-Ağırlıklı-Momentler Yöntemiyle Hesabı

Gumbel dağılımının parametrelerinin kendini-belirleyen-olasılık-ağırlıklı-momentler (KBOAM) yöntemiyle hesabı 1997 yılında sunulmuş olup burada tekrar edilmeyecektir (Haktanır, 1997). KBOAM yöntemi herA<dağılıma maksimum-olabilirlik yönteminki gibi iteratif bir nümerik yöntem gerektirmektedir. Gumbel dağılımına uygulamasında OAM yöntemi değerleri başlangıç tahminleri olarak verilerek çoğu kez yakınsak bir algoritma sonucunda KBOAM değerleri hesaplanmaktadır.

1.2.1.6. Gumbel Dağılımında (Değişken Değeri) ↔ (Küçük-Kalma Olasılığı) İlişkisinin Hesabı

Parametreleri herhangi bir yöntemle hesaplandıktan sonra, Gumbel dağılımında (değişken değeri) ↔ (küçük-kalma olasılığı) ilişkisinin her iki yönde hesabı (1.2) ve (1.3) nolu eşitlikler kullanılarak kolaylıkla yapılabilmektedir. Parametrelerinin hesabındaki kolaylık, bu ilişkinin hesabındaki kolaylık, ve teorik geçerliliğinden dolayı Gumbel dağılımı halen dünyada yıllık taşkın pikleri ve yıllık yağmur pikleri frekans analizinde yaygınlıkla kullanılan dağılımlardandır.

1.2.2. 3-PARAMETRELİ LOG-NORMAL (LN3) DAĞILIM HAKKINDA ÖZET BİLGİLER

1.2.2.1. Giriş

Parametre tahmin yöntemi ne olursa olsun, LN3 dağılımı aslında daima pozitif-çarpıklıklı bir dağılımdır ve olasılık yoğunluk fonksiyonu aşağıda verildiği gibidir (Burges ve ark., 1975; Cohen & Whitten, 1980; Rao & Hamed, 2000, Bölüm 5.3):

f(x) = {1/[(x–c)·a·√2π]}·exp{–[ln((x–c)/b) / a]² / 2} (1.11) veya:

f(x) = {1/[(x–c)·a·√2π]}·exp{–[(ln(x–c) – ln(b)) / a]² / 2} (1.11a) Burada, x: LN3 dağılımlı rastgele değişken iken, a, b, ve c: LN3 dağılımının parametreleri olup, bunlar: – < c < SD, 0 < b < +, 0 < a < + aralığında, ve rastgele

değişken: c  x < + aralığında değerler alırlar. İlk aralıktaki SD: pozitif veya negatif olabilen bir sonlu değerdir. LN3 dağılımı, olasılık yoğunluk fonksiyonu unimodal biçimli, değişken çarpıklıklı fakat daima pozitif çarpıklıklı olan bir dağılımdır. Olasılık yoğunluk fonksiyonunun sol kolu x = c’de absis eksenine değer (f(x=c) = 0’dır), sağ kolu da x = +’da absis eksenine asimptottur.

y = ln(x–c) (1.12)

ifadesiyle tanımlanan y ara değişkeninin ortalama değeri ve standart sapması ile a ve b parametreleri arasında aşağıdaki ilişkiler vardır:

μy = ln(b) ve b = exp(μy) (1.13a), (1.13b)

σy = a (1.14)

w = exp(σy²) = exp(a²) (1.15)

ifadesiyle bir w büyüklüğü tanımlandığında, dağılımın ortalama değeri, standart sapması, ve çarpıklık katsayısı ile parametreleri arasında aşağıda verilen analitik ilişkiler mevcuttur (örneğin: Cohen & Whitten, 1980):

μx = c – exp(μy)·w (1.16)

σx = exp(μy)·[w·(w–1)]^1/2 (1.17)

Gx = +(w+2)·(w–1)^1/2 (1.18)

Bu eşitliklerde, μx, σx, Gx: x değişkeninin ortalama değeri, standart sapması, ve çarpıklık katsayısı, ve μy ve σy: y değişkeninin ortalama değeri ve standart sapmasıdır. (1.13b), (1.15), (1.16), ve (1.17) nolu ifadelerden yararlanan cebrik işlemler yapıldığında (1.18) nolu eşitlik aşağıdaki gibi yazılabilir:

Gx = [(μx – c)2 / b2 + 2]·σx / {b·[exp(a2)]1/2 } (1.19) (1.19) ifadesinden görülebileceği gibi, LN3 dağılımının çarpıklık katsayısı, üç parametrenin tamamına analitik olarak bağımlıdır. Pearson-3 olarak ta bilinen 3-parametreli gama dağılımında ve genel ekstrem değerler dağılımında, dağılımın çarpıklık katsayısı sadece şekil parametresinin bir fonksiyonu iken, 3-parametreli

log-normal dağılımında ise, (1.19) nolu ifadede görüldüğü gibi, çarpıklık katsayısı her üç parametreye bağlı bir fonksiyondur.

Burges ve arkadaşları (1975) μx, σx, Gx ve c parametresi arasında aşağıdaki analitik ifadeyi vermiştir:

(Gx/μx³)·c³ + [3·(σx/μx – Gx)/μx²]·c² + [3·(–2·σx/μx + Gx)/μx]·c + (σx/μx)³ + 3·(σx/μx) –

Gx = 0 (1.20)

(1.20) nolu ifade, hem pozitif-çarpıklıklı LN3, hem de bunun transpozu olan negatif-çarpıklıklı LN3 için geçerlidir, ve μx, σx, Gx değerleri bilindiği durumda c parametresinin bilinmeyen olduğu üçüncü dereceden bir polinomdan oluşan bir denklem arz eder. Bu denklemin bir kökü reel iken diğer iki kök birbirinin eşleniği olarak komplekstir (Burges ve ark., 1975).

1.2.2.2. LN3 Dağılımı Parametrelerinin Momentler Yöntemiyle Hesabı

Ölçülmüş kaydedilmiş örnek serinin aritmetik ortalaması, AOx, standart sapması, SSx, ve çarpıklık katsayısı, ÇKx, klasik yansız tahmin formüllerinden hesaplandıktan sonra, dağılımın ortalama değeri, standart sapması, ve çarpıklık katsayısı için: μx  AOx, σx 

SSx, ve Gx  ÇKx atamaları yapılır.

i) Öncelikle, (1.18) ifadesinin diğer bir biçimi olan,

w³ + 3·w² – (ÇKx² + 4) = 0 (1.21)

denkleminin kökü olarak, 1’den büyük olması gereken w büyüklüğü hesaplanır.

ii) (1.16) ifadesinin diğer bir biçimi olan,

c = AOx – SSx / (w–1)1/2 (1.22)

eşitliğinden c parametresi hesaplanır.

Cohen ve Whitten (1980) tarafından verilen bu yola bir alternatif olarak, μx  AOx, σx 

SSx, ve Gx  ÇKx atamaları yapıldıktan sonra Burges ve arkadaşları (1975) tarafından verilmiş olan (1.20) denkleminin reel kökü c için hesaplanabilir. Her iki yöntem de c için aynı nümerik değeri vermektedir.

iii) (1.17) ifadesinin diğer bir biçimi olan,

b = SSx / [w·(w–1)]1/2 (1.23)

eşitliğinden b parametresi hesaplanır.

iv) (1.15) ifadesinin diğer bir biçimi olan,

a = [ln(w)]^1/2 (1.24)

eşitliğinden a parametresi hesaplanır.

(1.23) ve (1.24) eşitliklerinin kullanımı yerine, bir alternatif olarak b ve a parametrelerinin hesabı için aşağıdaki yol da takip edilebilir:

iii-a) c parametresi (1.22) eşitliğinden hesaplandıktan sonra, örnek serideki bütün

elemanlar için (1.12) eşitliğinden, yi = ln(xi – c) ifadesiyle n adet yi değişkenleri hesaplandıktan sonra, yi serisinin aritmetik ortalaması, AOy, ve standart sapması, SSy, hesaplanır.

iii-b) (1.13b) ifadesinden yararlanarak,

b = exp(AOy) (1.25)

ifadesiyle b parametresi hesaplanır.

iii-c) (1.14) ifadesinden yararlanarak,

a = SSy (1.26)

ifadesiyle a parametresi hesaplanır. SSy’nin hesabında paydada (n–1) yerine n alınırsa, (1.24) ve (1.26) eşitlikleriyle a parametresi için hesaplanan değerler eşit çıkar. SSy’nin hesabında yansız tahmin olmasından dolayı paydada (n–1) alınırsa, bu iki a değeri arasında,

a(2.26) = a(2.24)·[(n–1)/n]1/2 (1.27)

eşitliğinin belirlediği kadar bir fark olur. Bilindiği gibi, [(n–1)/n]1/2 terimi büyük n’ler için 1’e çok yakındır. Momentler yönteminin temel yaklaşımı: örnek seriden dağılım

momentlerinin yansız tahminlerinin hesaplanması olduğuna göre, paydasında (n–1) bulunan SSy’nin hesabından sonra a parametresinin hesabı ya (1.26) eşitliğinden, ya da, (1.27) eşitliği ile düzeltilmiş (1.24) eşitliğinden yapılmalıdır. Bu düzeltme yapılmadığında dahi, (1.24) ve (1.27) eşitlikleri arasındaki nümerik fark göz ardı edilebilecek boyutlarda küçüktür. Örneğin: [(n–1)/n]^1/2 değeri, n = 20 için 0.975, ve n = 30 için 0.983’tür.

1.2.2.3. LN3 Dağılımı Parametrelerinin Maksimum-Olabilirlik Yöntemiyle Hesabı

Bilindiği gibi, üç parametreli bir dağılım için olabilirlik fonksiyonunun logaritması alınmış biçimi (log-olabilirlik fonksiyonu, LOF) aşağıdaki gibi tanımlanmaktadır:

 



  ⁿ i i a b c x f LOF 1 ) , , , ( ln (1.28)

LN3 dağılımı için log-olabilirlik fonksiyonu (LOF) (1.11a) ifadesindeki olasılık yoğunluk fonksiyonu ile teşkil edilir. LOF’unu maksimum yapacak a, b, ve c parametrelerinin değerlerini bulmak amacıyla, LOF’unun a, b, ve c parametrelerine göre kısmi türevleri alınır, bunların sıfıra eşitlenmesiyle üç bilinmeyenli üç adet non-lineer denklem oluşturulur (∂LOF/∂a=0 ve ∂LOF/∂b=0 ve ∂LOF/∂c=0) ve gerekli bütün cebrik düzenlemeler yapılırsa, üç denklemden oluşan takım, bilinmeyeni c parametresi olan aşağıdaki denkleme dönüştürülebilir (örneğin: Haktanır, 1992):

 ¹  ^{ln  ln } 1^{ln  } 1^{ln    0} 2 2 1 1 1                                

   



     c x c x n c x n c x c x c x ⁱ n i i n i i n i i n i i n i i (1.29)

Burada, xi: toplam n adet elemandan oluşan eldeki mevcut ölçülmüş kaydedilmiş örnek serinin i’ninci elemanının nümerik değeri, c: c parametresinin LN3 dağılımının

LOF’unu maksimum yapan değeridir.

3-parametreli gama dağılımı olan Pearson-3 ve 3-parametreli log-gama dağılımı olan log-Pearson-3 dağılımlarında da LN3 dağılımına benzer olarak LOF’unu maksimum yapan parametreleri içeren denklemler takımı, cebrik manipülasyonlar sonucu, c parametresi cinsinden tek parametreli bir denkleme dönüştürülebilmektedir. Bu çalışmada ele alınan dağılımlardan olan genel ekstrem değerler dağılımında ise, anılan

denklemler takımı üç bilinmeyenli üç adet non-lineer denklemden oluşan bir denklem takımı olarak kalmaktadır.

LN3 dağılımında xmin: eldeki mevcut örnek serideki en küçük boyutlu elemanın değeri iken, c parametresinin – < c < xmin aralığında kalması zorunluluğu olduğundan, öncelikle, –10⁺⁸’den xmin’e kadar bütün ( –10^+j , –10^+(j–1) ) aralıkları denenerek (1.29) eşitliğinin sol tarafındaki ifadenin işaret değiştirdiği aralık bulunur. Takiben, beş adım İkiye-Bölme yöntemiyle işaret değiştirilen aralık daraltıldıktan sonra Kiriş yöntemiyle (1.29) denkleminin kökü olan c parametresinin değeri hesaplanır. Haktanır (1992) tarafından geliştirilmiş olan bu algoritma, bu Tübitak projesi çalışmasında tekrardan gözden geçirilmiş ve daima yakınsak sonuç veren bir alt-program olarak kodlanmıştır. (1.29) denkleminden c parametresi hesaplandıktan sonra, (1.25) ve (1.26) ifadelerinden

b ve a parametreleri de hesaplanır.

1.2.2.4. LN3 Dağılımı Parametrelerinin Olasılık-Ağırlıklı-Momentler Yöntemiyle Hesabı

Olasılık-ağırlıklı-momentler yöntemi ilk olarak Greenwood ve arkadaşlarının 1979’da yayınlanan bir makalesi ile sunulmuştur (Greenwood ve ark., 1979). Herhangi bir olasılık dağılımının j’ninci olasılık-ağırlıklı-momenti, küçük-kalma veya aşılma olasılığının j’ninci kuvveti ile çarpılmış x’in beklenen değeri olarak tanımlanmıştır ve aşağıda verildiği gibi ifade edilmektedir.

OAMj = E[x·(Pnex)^j] veya OAMj = E[x·(1 – Pnex)^j] (1.30a, 1.30b) Bu eşitliklerde, x: rastgele değişken ve Pnex: x’in küçük-kalma olasılığıdır. Pnex, kümülatif dağılım fonksiyonu ile ifade edildiğinde ve ‘Beklenen Değer’ olasılık yoğunluk fonksiyonuna bağlı olarak analitik biçimiyle tanımlandığında, olasılık-ağırlıklı momentler aşağıdaki gibi ifade edilir.

ü.s. ü.s.

OAMj =  x·[F(x)]j·f(x)·dx veya OAMj =  x·[1 – F(x)]j·f(x)·dx (1.31a, 1.31b)

Burada, a.s. ve ü.s., söz konusu dağılımın rastgele değişkeni x’in alt ve üst sınırlarıdır, ve f(x) ve F(x), dağılımın olasılık yoğunluk fonksiyonu ve kümülatif dağılım fonksiyonudur. Bu eşitliklerde, j, 0’dan başlar ve 1’er 1’er artar. 0’ıncı olasılık-ağırlıklı-moment, OAM0, 1’inci klasik momente, yani dağılımın ortalama değerine eşittir (OAM0 = μx). 3-parametreli bir dağılımın parametrelerinin olasılık-ağırlıklı-momentler yöntemiyle hesabı için 0’ıncı, 1’inci, ve 2’nci olasılık-ağırlıklı-momentler gerekmektedir. Olasılık-ağırlıklı-momentleri, bu yöntemin sunucusu Greenwood ve arkadaşları (1.31b) nolu ifade ile (Greenwood ve ark., 1979), Jing ve arkadaşları (Jing

ve ark., 1989a,b) ve Hosking ve arkadaşları (Hosking ve ark., 1985) gibi bazı

araştırmacılar ise (1.31a) nolu ifade ile tanımlanmıştır. Her halikarda, klasik momentler yöntemininkine benzer bir prensip ile, olasılık-ağırlıklı-momentler yönteminde, dağılımın OAMj’leri ile dağılımın parametreleri arasındaki analitik ilişkiler belirlendikten sonra, eldeki mevcut örnek seriden OAMj’lerin tahminleri yapılır, ve bu analitik ilişkilerden dağılım parametreleri hesaplanır. (1.31a) eşitliği ile tanımlanan

OAMj’nin örnek seriden yapılan tahmini aşağıdaki ifade ile hesaplanmaktadır.

n

OAMj  oamj =  xi · (Pnexi)j / n (1.32)

i=1

Burada, oamj, dağılımın OAMj’sinin örnek seriden hesaplanan tahmini olup, Pnexi de, örnek serideki i’ninci elemanın uygun bir noktalama-pozisyonu formülü ile tahmin edilen küçük-kalma olasılığıdır. Birçok araştırmacı Pnexi’nin hesabı için Landwehr noktalama-pozisyonu formülünü önermiştir (örneğin: Greenwood ve ark., 1979; Haktanır & Bozduman, 1985; Hosking ve ark., 1985). Landwehr noktalama-pozisyonu formülü aşağıdaki gibidir.

Pnexi = (i – 0.35) / n (1.33)

Burada, i: küçükten-büyüğe doğru dizilmiş olan örnek seride baştan sıra numarasıdır, ve (1.33) eşitliği ile hesaplanan Pnexi: küçükten-büyüğe doğru dizilmiş olan örnek seride baştan i’ninci sıradaki elemanın tahmini küçük-kalma olasılığıdır. Bu çalışmada dahil edilen beş farklı dağılımın olasılık-ağırlıklı-momentler yöntemiyle parametre hesaplarında (1.33) nolu ifade kullanılmaktadır.

LN3 dağılımının kümülatif dağılım fonksiyonunun analitik ifadesi mevcut olmamasına rağmen, Jing ve arkadaşları LN3 dağılımı parametrelerinin olasılık-ağırlıklı-momentler yöntemiyle hesabı için özel bir tablo gerektiren bir nümerik yöntem geliştirmiştir (Jing

ve ark., 1989b; Song & Hou, 1988). Bu tabloyu temin ederek, Haktanır, Jing ve

arkadaşlarının geliştirdiği bu yöntem için doğruluğu kanıtlanmış bir alt-program kodlamıştır (Haktanır, 1992; Haktanır & Bozduman, 1995; Haktanır, 1997). Sonradan, Hosking, Lineer-Momentler veya kısaca L-Momentler olarak adlandırdığı bir yöntem sunmuştur (Hosking, 1990; Hosking & Wallis, 1997). L-Momentler yönteminde, olasılık-ağırlıklı-momentlerin lineer kombinezonları olarak Varyasyon Katsayısı, L-Çarpıklık Katsayısı, ve L-Kurtosis Katsayısı tanımlanmakta, fakat, parametre değerleri için, L-Momentler yönteminin analitik algoritmaları, olasılık-ağırlıklı-momentler yöntemi ile tamamen aynı sonuçlar vermektedir. Dolayısıyla, olasılık-ağırlıklı-momentler yöntemi yerine L-Momentler yöntemi tabiri kullanılabilir.

LN3 dağılımı için olasılık-ağırlıklı-momentler yönteminin adımları ‘Kaynaklar’ kısmında listelenen yayınlardan ilgili olanlarda mevcuttur (Jing ve ark., 1989b; Song & Hou, 1988; Haktanır, 1992, 2003a). Daha önceden bir alt-program olarak kodlanmış olan bu yöntem (Haktanır, 1997) bu Tübitak projesi çalışmasında tekrardan gözden geçirilmiş ve daima yakınsak sonuç veren bir alt-program olarak ana programca çağrılmaktadır.

1.2.2.5. LN3 Dağılımı Parametrelerinin Kendini-Belirleyen-Olasılık-Ağırlıklı-Momentler Yöntemiyle Hesabı

1997 yılında sunulmuş olan Kendini-Belirleyen-Olasılık-Ağırlıklı-Momentler (KBOAM) yöntemi bugüne kadar birkaç bilim adamının da dikkatini çekmiştir (Haktanır, 1997; Savage ve ark., 2002; Whalen ve ark., 2002, 2004). KBOAM yönteminde, örnek serideki elemanların olasılık-ağırlıklı-momentlerinin hesabında, Landwehr gibi herhangi bir noktalama-pozisyonu formülü yerine dağılımın kendisi kullanılmaktadır. Dağılımın parametreleri henüz bilinmediğinden ve parametreler hesaplanmaya çalışıldığından, prensibi bir cümle ile özetlenebilen KBOAM yönteminin uygulaması maksimum-olabilirlik yönteminkine benzer, kapsamlı nümerik iteratif algoritmalar gerektirmektedir. Bu projede geliştirilen bilgisayar programının sonuçlarına göre ve bu proje yöneticisinin yayınlanmış ve yayınlanmamış bazı

çalışmalarında KBOAM yöntemi, klasik uygunluk testleri ve Monte-Carlo çalışmalarına göre genelde oldukça başarılı sonuçlar vermiştir (örneğin: Haktanır, 1997, 2003a). On yıl kadar önce geliştirilmiş olan LN3 dağılımına KBOAM yönteminin uygulama algoritması (Haktanır, 1997, 2003b), bu Tübitak destekli proje kapsamında tekrardan dikkatlice gözden geçirilmiş ve bir program olarak nihayi haline getirilmiştir. Bu alt-program, DMİ Genel Müdürlüğünden temin edilen n ≥ 11 elemanlı 253 adet rasat istasyonunda kaydedilmiş olan 14253 = 3542 adet örnek serinin %99.5’unda başarılı sonuçlar vermektedir. Çok nadiren, KBOAM yönteminin çözümünün başarılı olamayacağı anlaşıldığında, o serinin KBOAM parametreleri olarak, ağırlıklı-momentleri Landwehr noktalama-pozisyonu formülü ile tahmin edilmiş klasik olasılık-ağırlıklı-momentler yönteminin verdiği değerler alınmaktadır.

1.2.2.6. LN3 Dağılımı Parametrelerinin Dönüştürülmüş-Değişkenin-Örnek-Seri-Çarpıklık-Katsayısını-Sıfır-Yapan (ÇK0) Yöntemiyle Hesabı

LN3-dağılımlı bir rastgele değişken x’in herhangi bir X değerinin küçük-kalma olasılığı aşağıdaki gibi tanımlıdır:

X

P(c < x  X)  Pnex =  1/[(x–c)·a·√2π]·exp{–[(ln(x–c) – ln(b)) / a]2 / 2}·dx (1.34)

C

Bu ifadedeki integrali analitik olarak alabilme ümidiyle olasılık yoğunluk fonksiyonunda y = ln(x–c) değişken dönüştürümü yapıldığında bu ifade aşağıdaki gibi yazılabilir:

Y

P(c < x  X)  Pnex =  [1/(a·√2π)]·exp{–[(y – ln(b)) / a]2 / 2}·dy (1.35) –

Görüldüğü gibi, (1.35) nolu eşitlikte integral işareti ile dy arasında kalan ifade, rastgele değişkeni y olan 2-parametreli normal dağılımın olasılık yoğunluk fonksiyonudur, ve y = ln(x–c) değişken dönüştürümü ile 3-parametreli log-normal dağılım 2-parametreli normal dağılıma dönüşmüş olmaktadır. Analitik olarak, y’nin beklenen değeri ve (y– E(y))²’nin beklenen değeri aşağıdaki gibi tanımlanmaktadır (örneğin: Benjamin & Cornell, 1970; Ross, 1977):

+

E(y)  μy =  y·[1/(a·√2π)]·exp{–[(y – ln(b)) / a]2 / 2}·dy (1.36) –

+

E[(y–E(y))²]  σy2 =  (y – μy)2·[1/(a·√2π)]·exp{–[(y – ln(b)) / a]² / 2}·dy (1.37) –

Bu ifadelerle tanımlanan y’nin beklenen değeri ve (y–E(y))²’nin beklenen değeri analitik olarak alınır, gerekli cebrik düzenlemeler yapılırsa, en nihayet:

μy = ln(b) ve σy² = a² (1.13a), (1.38) eşitlikleri elde edilir.

Dönüştürülmüş-değişkenin-örnek-seri-çarpıklık-katsayısını-sıfır-yapan (ÇK0) paramet-re tahmin yönteminin yaklaşımı aşağıda özetlenmektedir.

y değişkeni, (1.12) eşitliğiyle dönüştürülmüş bir değişken değil de, genelde bir rastgele

değişken olsaydı, (1.36) nolu eşitlikte integral işareti ile dy arasında kalan ifadeye göre 2-parametreli genel bir normal dağılımlı rastgele değişken olacaktı. Normal dağılım ise, çarpıklık katsayısı sıfır olan simetrik bir dağılım olduğuna göre, y = ln(x–c) ifadesiyle dönüştürülen y’lerin çarpıklık katsayısının da sıfır olması gerekir (ÇKy = 0). O halde, y = ln(x–c) ifadesindeki c parametresi öyle bir nümerik değer almalıdır ki, aşağıda verildiği gibi, örnek seriden hesaplanan ÇKy değeri sıfır olmalıdır.

n

ÇKy = n/[(n–1)(n–2)]·[ ∑ (yi – AOy)³] / SSy³ = 0 (1.39) i=1

Burada, n adet yi, yi = ln(xi–c) eşitliği ile hesaplandıktan sonra, AOy ve SSy , yi’lerin aritmetik ortalaması ve yansız standart sapmasıdır. AOy ve SSy’nin bilinen ifadeleri (1.39) nolu eşitliğe taşınırsa, (1.39) nolu eşitlik, bilinmeyeninin c olduğu, analitik ifadesi uzunca bir denklem halini alır. Bu denklemin kökü de ÇK0 yönteminin c parametresidir. Bu denklemin çözümü için Haktanır tarafından daima yakınsak, Kiriş yöntemini kullanan bir algoritma geliştirilmiştir (Haktanır, 1992). Bu Tübitak projesi kapsamında bu algoritma tekrar gözden geçirilmiş ve daima yakınsak bir alt-program olarak kodlanmıştır. (1.39) denkleminin kökü olarak c parametresi çözüldükten sonra, (1.25) ve (1.26) eşitlikleriyle b ve a parametreleri hesaplanır.

1.2.2.7. LN3 Dağılımında (Değişken Değeri) ↔ (Küçük-Kalma Olasılığı) İlişkisinin Hesabı

(1.35) nolu eşitlikte, integral içindeki ifadede z = (y – ln(b)) / a biçiminde tanımlanan ikinci bir değişken dönüştürümü yapıldığında, bu eşitlik aşağıdaki kompakt hale gelir:

Z

P(c < x  X)  Pnex =  (1/√2π)·exp(–z2 / 2}·dz (1.40) –

Bilindiği gibi, (1.40) eşitliğinde integral içindeki ifade standart normal dağılımın olasılık yoğunluk fonksiyonudur. Basit bir görüntüsü olmasına rağmen, bu integral analitik olarak alınamamakta, belirli integralin nümerik değeri, seri açındırımı, yüksek dereceden polinomlar gibi yaklaşık algoritmalarla hesaplanmaktadır.

a) Dağılımın parametreleri herhangi bir yöntemle belirlendikten sonra, küçük-kalma

olasılığı değeri Pnex olarak verilen LN3-dağılımlı rastgele değişkenin boyutu aşağıdaki gibi hesaplanmaktadır:

i) Z = –1(Pnex) (1.41)

ii) X = c + exp(ln(b) + Z·a) (1.42)

b) Dağılımın parametreleri herhangi bir yöntemle belirlendikten sonra, boyutu X olarak

verilen LN3-dağılımlı rastgele değişkenin küçük-kalma olasılığının değeri, Pnex, aşağıdaki gibi hesaplanmaktadır:

Z = [ln(X–c) – ln(b)] / a (1.43)

Pnex = (Z) (1.44)

Bu eşitliklerde, (z): standart normal dağılımın kümülatif dağılım fonksiyonu, – 1(Pnex): standart normal dağılımın invers kümülatif dağılım fonksiyonu veya kısaca değişken fonksiyonu, Z: LN3-dağılımlı X değişkeninden dönüştürülmüş standart normal değişkenin değeridir. Bu çalışmada, (z) için Abramowitz ve Stegun’un klasik kitabında verilen, en az 7 anlamlı hane doğruluğundaki beşinci dereceden polinom (Abramowitz & Stegun, 1970, s: 932), ve –1(Pnex) için de Odeh ve Evans tarafından

verilen, en az 7 anlamlı hane doğruluğundaki yaklaşık algoritma (Odeh & Evans, 1974) kullanılmaktadır.

Şekil 1.1. Ortalama değerleri : 10, standart sapmaları: 5 ve çarpıklık katsayıları: 0, 1, 2, 3, 5, 10 olan LN3 dağılımları olasılık yoğunluk fonksiyonları.

1.2.3. GENEL EKSTREM DEĞERLER (GED) DAĞILIMI HAKKINDA ÖZET BİLGİLER

1.2.3.1. Giriş

GED dağılımının, ekstrem değerler tip I (Gumbel), ekstrem değerler tip II (GED-2), ve ekstrem değerler tip III (GED-3) olarak tanımlanan üç farklı türü bulunmaktadır. Çarpıklık katsayısı: Gx = +1.1396 ≈ +1.14 olan sabit pozitif-çarpıklıklı iki parametreli bir dağılım olan Gumbel dağılımı, GED dağılımının, şekil parametresinin sıfır değeri alarak olasılık yoğunluk fonksiyonundan düştüğü özel bir halidir. Bu çalışmada,

Gumbel dağılımı, 3-parametreli dağılımların yanısıra ayrı bir dağılım olarak değerlendirilmektedir. Gumbel dağılımı, 2 parametreli, sabit çarpıklıklı bir dağılım olmasına rağmen, ekstrem yağmur pikleri ve taşkın pikleri frekans analizi için dünyada halen yaygınlıkla kullanılan dağılımlardan biridir. Parametre tahmin yöntemi ne olursa olsun, Gumbel dağılımı parametrelerinin hesabı kolay ve Gumbel dağılımı ile (değişken değeri) ↔ T ilişkisinin hesabı da kolaydır. Türkiye’de DMİ’nin işlettiği yağmur rasat istasyonlarındaki 14 ardışık süreli yıllık yağmur pikleri serilerinin frekans analizinde uygunluk testlerine göre Gumbel dağılımı 3-parametreli diğer dağılımların arasında oldukça başarılı bir performans sergilemiştir.

GED-2 dağılımı, çarpıklık katsayısı: +1.14 < Gx < +∞ aralığında değişen, pozitif-çarpıklıklı bir dağılımdır. GED-3 dağılımının çarpıklık katsayısı ise –∞ < Gx < +1.14 aralığında değişmektedir. Dolayısıyla, GED-3 dağılımı, çarpıklık katsayısı: 0 < Gx < +1.14 aralığında iken pozitif-çarpıklıklı, –∞ < Gx < 0 aralığında ise negatif-çarpıklıklıdır. GED-2 ve GED-3 dağılımlarının olasılık yoğunluk fonksiyonları için, parametre değerleri farklı aralıklarda bulunan, aynı analitik ifade geçerlidir. GED-2 ve GED-3 dağılımlarının kümülatif dağılım fonksiyonu ve bunun inversi olan değişken fonksiyonu analitik olarak mevcuttur. Dolayısıyla, parametreleri herhangi bir yöntemle hesaplandıktan sonra, GED-2 veya GED-3 dağılımı ile (değişken değeri) ↔ T ilişkisinin her iki yönde hesabı kolaydır.

GED-2 ve GED-3 dağılımlarının olasılık yoğunluk fonksiyonu, kümülatif dağılım fonksiyonu, ve değişken fonksiyonu aşağıdaki gibidir (NERC, 1975; Rao & Hamed, 2000, Bölüm 7.1):

f(x) = (1/b)·[1 – a(x–c)/b](1/a–1)·exp{–[1 – a(x–c)/b ](1/a)} (1.58)

F(x) = exp{–[1 – a(x–c)/b ](1/a)} (1.59)

x = c + b{1 – [–ln(F(x))]a}/a (1.60)

Bu ifadelerdeki a, b, c : GED dağılımının şekil, ölçek, ve konum parametreleridir. b parametresi daima pozitif işaretlidir ve aşağıda sıralanan analitik özellikler geçerlidir:

a < 0 ise dağılım GED-2 dağılımıdır ve x, c+b/a  x < + aralığında değişmektedir.

a = 0 ise dağılım GED-1 (Gumbel) dağılımıdır ve x, – < x < + aralığında değişmektedir.

GED-2 dağılımının olasılık yoğunluk fonksiyonu daima uni-modal şekillidir. GED-3 dağılımının olasılık yoğunluk fonksiyonu da a parametresi, +0 < a < +1 aralığında iken uni-modal şekillidir. a parametresi 0’dan +0.277597’ye doğru artarken GED-3 dağılımının çarpıklık katsayısı +1.14’ten 0’a doğru azalmaktadır (a = +0.277597  +0.2776 iken Gx = 0’dır ve olasılık yoğunluk fonksiyonu simetriktir). a parametresi +0.2776’dan daha büyük değerler alırken GED-3 dağılımının çarpıklık katsayısı mutlak değeri artan negatif işaretli değerler alır. a parametresi, +0.2776 ≤ a ≤ +1 aralığında iken GED-3 dağılımının çarpıklık katsayısı, 0 ≥ Gx ≥ –2 aralığında değerler alır ve bu aralıkta GED-3 dağılımının olasılık yoğunluk fonksiyonu hala uni-modal şekillidir. a parametresi +1 değerini aldığında GED-3 dağılımının çarpıklık katsayısı, Gx = –2 değerini almakta, +1’den küçük a’lar için uni-modal şekilli olan GED-3 dağılımının olasılık yoğunluk fonksiyonu, a = +1 iken x = c+ b/a düşey doğrusuna y = +’da asimptot olan ters J biçiminde bir şekle dönüşmektedir. a parametresi, +1 ≤ a < + aralığında iken GED-3 dağılımının çarpıklık katsayısı, –2 ≥ Gx > – aralığında değerler alır ve GED-3 dağılımının olasılık yoğunluk fonksiyonu, x = c+b/a düşey doğrusuna y = +’da asimptot olan ters J biçimindedir. Şekil-2.3’te, ortalama değer ve standart sapmaları: μx = 10, σx = 5 değerleri ile sabit iken çarpıklık katsayıları: Gx = –3, –2, –1, 0, +1, +2, ve +3 olan GED-3 ve GED-2 dağılımları olasılık yoğunluk fonksiyonları

Belgede 1 milyon elemanlı sentetik seriler ile farklı olasılıklı değişken değerlerinin tahmininde bazı dağılımların karşılaştırılması (sayfa 23-46)