Tanım 1. : A IR, f :A IR bir fonksiyon ve a da A cümlesinin bir yığılma noktası olsun. Her 0 için eğer 0 x a olduğunda f(x) L kalacak şekilde sayısına bağlı bir 0 sayısı bulunabiliyorsa x , a ‟ya yaklaştığında ya da başka bir ifadeyle “ x , a ‟ya giderken” ‟nin limiti L‟dir denir ve
L x f a x ( ) lim yazılır.
Limit ile bir fonksiyonun belirli noktalarda nasıl davrandığı incelenir. Tanım 1. “bir
f fonksiyonu için x , a ‟ya yaklaşırken f(x)‟in limiti nedir?” sorusunun cevabını
verir. Yani x , a ‟ya çok çok yaklaştığında, f(x)‟in belli bir sayıya çok çok yakın olup
olamayacağının, oluyorsa hangi sayıya çok çok yakın olacağının karşılığıdır. Burada belirtmek gerekir ki “ x , a ‟ya giderken” demek, “ x , a ‟ya yaklaşırken ama x , a ‟ya eşit olmadan a ‟ya yaklaşırken” demektir; çünkü f fonksiyonu a ‟da tanımlı olmak zorunda değildir.
Limitin yukarıdaki formal tanımında üzerinde durulması gereken en önemli kavram komşuluk kavramıdır. Tanım 1. sözel olarak asılında şunu ifade etmektedir: Eğer f
fonksiyonunun x , a ‟ya yaklaşırken limitinin değeri L ise, L‟nin istendiği kadar küçük
bir komşuluğu, yani L ,L için a ‟nın bir delik komşuluğu, yani a ,a
vardır ki bu delik komşuluğun f altındaki görüntüsü L‟nin seçilen komşuluğu içinde
yer alır.
ġekil 7: Tek Değişkenli Reel Fonksiyonlarda Limit
Şekil 7‟de de görüldüğü gibi f fonksiyonunun limitinin L olması demek, değeri ne kadar küçük seçilirse seçilsin, L‟nin komşuluğu içine kalacak şekilde a
‟nın yarıçaplı bir delik komşuluğu bulunabilir demektir.
Tanım 1.1. : A IR, f :A IR bir fonksiyon ve a A olmak üzere,
f fonksiyonu a noktasında süreklidir 0 için 0 vardır, öyle ki x A için ) ( ) (x f a f a x dir. (*)
Tanım 1.1. bir fonksiyonun belirli bir noktada sürekli olması için gerekli ve yeterli şartın ne olduğunu ifade ediyor. Tanıma göre her 0 için (*) koşulunu sağlayan en az bir 0 bulmalıyız. Bu sayısı ve a ‟ya göre değişebilir ancak x ‟ten bağımsızdır. Bir f :A IR fonksiyonunun bir a A noktasında sürekli olduğunu kanıtlamak için, önce herhangi bir 0 sayısı seçilir. Sonra x A için
) ( )
(x f a
f eşitsizliğinin sağlanması için x ‟in a ‟ya ne kadar yakın olması gerektiği araştırılır. Bunun için genellikle f(x) f(a) ile oynayarak ifadeyi, içinde
a
x bulunan bir ifadeden daha küçük hale getirmek gerekir. Burada belirtmek gerekir ki a noktası tanım kümesinin bir elemanı olmak zorundadır.
Tanım 1.1.‟den yola çıkarak bir fonksiyonun belirli bir noktada sürekli olması için gerek ve yeter şartları sözel olarak şu şekilde ifade edebiliriz;
1. f fonksiyonu a noktasında tanımlı olmalı, yani a noktası f fonksiyonunun tanım kümesinde olmak zorundadır.
2. lim f(x)
a
x mevcut olmalıdır. 3. lim f(x)
a
x değeri fonksiyonun a noktasındaki değerine eşit, yani
) ( ) ( lim f x f a a x olmalıdır.
Eğer yukarıdaki üç şart sağlanıyorsa f fonksiyonu a noktasında süreklidir denir. Eğer bir fonksiyon tanım kümesindeki tüm noktalarda sürekli ise bu fonksiyona “sürekli fonksiyon” denir.
2.7.2. Ġki değiĢkenli reel fonksiyonlarda limit ve süreklilik
Tanım 2. : 2
IR
A a,b A kümesinin bir yığılma noktası ve f de A üzerinde tanımlı, reel değerli bir fonksiyon olsun.
f fonksiyonunun a,b noktasındaki limiti l dir 0 için 0 öyle ki
A kümesinin a,b noktasının komşuluğunda bulunan tüm x,y noktaları için
) , (x y
f değerleri l ‟nin komşuluğunda bulunur (Şekil 8).
f fonksiyonunun a,b noktasındaki limiti l ise bu
l
y
x
f
b a y x,lim
) ( , )(
,
)
( biçiminde gösterilir.ġekil 8: İki Değişkenli Reel Fonksiyonlarda Limit
b
2 2 ) ( ) (x a y b bağıntısı sağlanır. 2 2 2 ) ( ) ( ) (x a x a y b a x ve 2 2 2 ) ( ) ( ) (y b x a y b b y olduğundan 2 2 ) ( )
(x a y b bağıntısını sağlayan her x,y noktaları için
a
x ve y b
olur. Buradan hareketle, x,y noktası a,b ye yeter derecede yakın olduğunda x ‟in a ‟ya, y‟nin b ‟ye yeter derecede yakın olacağı sonucu çıkar. O halde x a ve
b y olduğunda 2 2 2 2 2 2 ) ( ) (x a y b
olur ki bu da x ‟in a ‟ya, y‟nin b ‟ye yakın olması durumunda x,y ‟nin a,b
noktasına yakın olacağını gösterir.
O zaman Tanım 2. yerine aşağıdaki tanım verilebilir.
Tanım 2.1. : 2 IR
A a,b A kümesinin bir yığılma noktası ve f de A üzerinde tanımlı, reel değerli bir fonksiyon olsun.
l y x f b a y x,lim) ( ,) ( , ) ( 0 için 0 öyle ki x a ve y b
bağıntısını sağlayan, tanım kümesindeki tüm x,y noktaları için f(x,y) l dur.
l y x f b a y x,lim) ( , ) ( , )
( ifadesi “ x,y noktaları a,b ‟ye yaklaşırken f ‟nin limiti l
‟dir” biçiminde okunur. Burada “yaklaşma” sözcüğünden anlaşılması gereken şey a,b
) , (x y
f değerlerinin l sayısına yaklaşacağıdır. Burada a,b noktasına yeter derecede yakın olan tüm noktalar göz önüne alınır (Balcı, 1996).
“ x,y noktası y g(x) eğrisi boyunca a,b noktasına yaklaşıyor” cümlesinin anlamı da “ a,b noktasından geçen y g(x) eğrisi üzerinde, gittikçe a,b ‟ye
yaklaşan x,y noktaları göz önüne alınıyor” demektir. Bu durum eğri üzerinde a,b
noktasına doğru yön belirterek gösterilir (Şekil 9-a). Örneğin “(0.0) noktasına y 2x
doğrusu boyunca yaklaşılıyor” cümlesinin anlamı “y 2x doğrusu üzerinde (0.0)
noktasına yakın olan x,y (x,2x) noktaları göz önüne alınıyor” demektir (Şekil 9-b).
ġekil 9: İki Değişkenli Reel Fonksiyonlarda Limit-Yaklaşım
İki değişkenli bir fonksiyonun bir a,b noktasındaki limit araştırılırken şu hususlara dikkat etmek gerekir (Balcı, 1996).
1. Fonksiyon a,b noktasında tanımlı olmayabilir. Fakat a,b noktası tanım kümesinin bir yığılma noktasıdır.
2. l limiti varsa bu x,y noktasının a,b noktasına yaklaşma şeklinden bağımsızdır. Yani x,y noktası a,b noktasına hangi eğri boyunca yaklaşırsa yaklaşsın l limit değeri değişmez. Eğer x,y noktasının a,b noktasına yaklaşma yoluna göre limit değeri değişiyorsa fonksiyonun a,b noktasında limiti yoktur.
Tanım 3. : 2 IR
A a,b A kümesinin bir yığılma noktası ve f a,b de tanımlı
ve lim ( , ) ( , ) ) , ( ) ,
Eğer f fonksiyonu A tanım kümesinin her noktasında sürekli ise A da süreklidir denir.
Şu halde bir fonksiyonun bir a,b noktasında sürekli olması için 1. f , a,b noktasında tanımlı
2. f ‟nin, a,b noktasında limiti var 3. lim ( , ) ( , ) ) , ( ) , (xy ab f x y f a b olmalıdır (Balcı, 1996).
2.8. Limit ve Süreklilik Kavramlarının Öğretimi ile ilgili Yayın ve