Kavram tanımı ve kavram imajı matematik eğitiminde yaklaşık 30 yıllık bir geçmişe sahip terimler olup, günümüzde hala birçok çalışma tarafından kullanılmaktadır. Bu konuda yazılan ilk detaylı makale 1981 yılında Tall ve Vinner tarafından kaleme alınmıştır. Bu çalışmada yazarlar kavram tanımı ve kavram imajı terimlerini açıklamış ve terimleri özellikle limit ve süreklilik konulan ile örneklendirmişlerdir. Daha sonraki yıllarda bu çalışma kayram imajı konusunda en çok referans alan kaynak olagelmiştir (Bingolbali ve Monaghan, 2008). Tall ve Vinner (1981) bu terimleri ele aldıkları çalışmalarında kavram tanımını bir matematiksel kavramı tanımlamak için öğretmen/ders notları/ders kitabı tarafından kullanılan kelime ve sembollerin sunulduğu form olarak ifade etmişlerdir.
Kavram imajı bir matematiksel kavramla ilişkili olarak bireyin zihninde oluşan bilişsel yapıların tümü şeklinde ifade edilmektedir (Tall ve Vinner, 1981). Bu imajlar bireysel olup kişiden kişiye değişmekle birlikte zihinde oluşan kavrama dair çeşitli resimler, kavramın özelliklerine ilişkin algılayışlar, kavramı çağrıştıran çeşitli kelime ve/veya kelime gruplarını içermektedir (Bingolbali ve Monaghan, 2008). Kavram imajı öğrencinin matematiksel kavramla karşılaşmış olduğu çeşitli durumlarda edinmiş olduğu tecrübeler ile şekillenir. Burada belirtmek gerekir ki kavram imajı matematiksel açıdan doğru olmak zorunda değildir. Bir örnekle açıklamak gerekirse, öğrencilerin sürekli fonksiyonların grafiğini düşünürken sahip oldukları kavram imajı, günlük yaşantılarında bu kelimenin kullanımına dayalı olarak gelişen, hiç bir aralık ya da kesintinin olmadığı grafikler şeklinde olabilmektedir.
Vinner‟in (1983) yaptığı gibi, eğer fikrimizi diyagramlar halinde sunmak istiyorsak, bilişsel yapımızdaki iki „hücre‟ye başvururuz. Birinci „hücre‟ kavram tanımı ve ikinci „hücre‟ de kavram imajı hücresidir. İlk hücre ve hatta bazen ikisi de boş
olabilir (Kavram imajı hücresi, herhangi bir anlamlandırma ile kavram ismi birleşmemişse boş olarak düşünülebilir. Kavram tanımı anlamsız bir yolla hatırlandıysa bu durum oluşabilir). Bu iki hücre arasında belli bir ilişki olmasına rağmen bu ilişki bağımsız olarak şekillendirilmiştir. Bir öğrenci çeşitli durumlarda birçok grafik görmek suretiyle koordinat sistemi hakkında kavram imajı oluşturabilir. Bu kavram imajına göre, iki eksen birbirini dik keser. Matematik öğretmenleri koordinat sistemini birbirini dik kesen iki düz çizgi olarak tanımlayabilir. Bunun sonucunda 3 durum ortaya çıkabilir:
1. Kavram imajı, koordinat sisteminin eksenleri arasında dik açı yokmuş gibi değişebilir. (Yeniden yapılandırma – uyum / reconstructivism-accommodation) 2. Kavram imajı olduğu gibi kalabilir. Kavram tanımı hücresi bir süreliğine
öğretmenin tanımlamasını içerir fakat kısa bir süre sonra unutulabilir ve öğrenciden koordinat sistemini tanımlaması istendiğinde, öğrenci eksenlerin arasındaki dik açıdan bahsedebilir. (Formal tanım özümsenmemiş durumdadır.) 3. İki hücre de olduğu gibi kalabilir. Öğrenciye sunulduğunda öğretmenin tanımını
tekrardan söyleyebilir fakat bütün diğer durumlarda öğrenciler, birbirine dik iki ekseni düşünürler (Vinner, 1991).
Benzer bir süreç, kavramla ilk defa tanımı yardımı ile karşılaşıldığında geçer. Burada kavram imajı hücresi boştur. Birçok örnekten ve açıklamadan sonra bu hücre tamamen dolar. Ama bu tamamen kavram tanımını yansıtmaz (Vinner, 1991).
Kavram imajıyla kavramın edinildiği düşünülür, sezgisel olarak kavram tanımı kavramın anlaşılmasını garantilemez. „Anlama‟ nın kavram imajına sahip olmakla gerçekleştiği düşünülür ve „kesin anlam‟ kelimelerle birleşir. Örneğin „bilmek‟, verilen bir kümenin kuvvet kümesinin o kümenin tüm alt kümelerinin kümesi olmasıysa, „anlamak‟, verilen bir kümenin kuvvet kümesini oluşturabilmektir. Kuvvet kümesi imajı bazı kümelerin kuvvet kümelerinin ne olduğunun hatırlanmasını içerir (Vinner, 1991).
Günlük yaşantımızdaki ev, araba, elma gibi birçok kavram tanımlama içermez. Diğer bir yönden, bazı kavramlar tanımlarını içermelidir. „Orman‟ kelimesi bir çocuğa „birçok ağacın birlikte olması‟ şeklinde söylenebilir. Tanımlar bu şekilde kavram imajına yardımcı olurlar. İmaj oluştuğunda (şekillendiğinde) tanım istenilir duruma gelir (Vinner, 1991). Teknik içerikli bir durumda tanımların önemli bir rolü vardır.
Sadece kavram imajının şekillenmesine yardım etmediği gibi bilişsel bilgiye sahip olmada da yardımcı olur. Kavram tanımı kavram imajının kişiyi yanıltabilme ihtimaline karşı kişiyi korur (Vinner, 1991).
Bu çalışmada ele alınacak olan limit ve süreklilik ile ilgili öğrencilerin sahip oldukları kavram imajları aslında kavram yanılgıları hakkında da bilgi vermektedir. Bu yönüyle öğrencilerin sahip oldukları imajlarını kavram yanılgıları şeklinde değerlendirmek de mümkündür. Limitin geçilemeyecek bir sınır olarak algılanması, limit hesaplamanın fonksiyonda yerine koyma işlemi ile eşlenmesi, limitin istendiği kadar kesin yapılabilecek bir değer olduğu şeklinde anlaşılması limit kavramına dair kavram imajlarına örnek olarak verilebilir. Bu şekildeki algı ve anlayışlar limit kavramına ait imajlar olarak değerlendirilebilirler.
İngilizce'de yaygın olarak "misconception" şeklinde isimlendirilen "kavram yanılgısı" terimi genellikle literatürde bir konuda uzmanların (expert) üzerinde hemfikir oldukları görüşten uzak kalan algı ya da kavrayış (conception) olarak kullanılmaktadır. Diğer bir deyişle bir alan ya da konudaki uzman algıdan uzaklaşan algılar (Hammer, 1996) olarak ele alınmaktadır. Dolayısıyla kavram yanılgısı denildiğinde uzmanlarla öğrenciler arasındaki temel algı farkları düşünülmektedir (Smith, diSessa ve Roschelle, 1993).
Kavram yanılgıları; önyargılı fikirler, bilimsel olmayan inançlar, kavramsal yanlış anlamalar, konuşma dilinden kaynaklanan yanılgılar, doğal olaylara dayalı yanılgılar olarak çeşitlere ayrılır (National Academy of Sciences/ National Research Council 1997). Kathleen (1994) yaptığı çalışmada kavram yanılgılarını, günlük hayattaki deneyimler ile kazanılan yanlış kavramlar ve öğretim boyunca kazanılan kavram yanılgıları olarak iki temel sınıfa ayırmaktadır. Deneyimlerle kazanılan kavram yanılgıları öğrencilerin önceki bilgilerini kullanarak mantıksal yorumlar yapmalarından kaynaklanmaktadır. Öğretim boyunca kazanılan kavram yanılgılarının temelinde ise öğrencilerin önceki bilgilerinin yetersiz oluşu, yeni öğrendikleri kavramların, formüllerin ve terimlerin benzerliği, öğretim yöntemlerinin konuya uygun olmaması yatmaktadır (Bilgin ve Geban, 2001).
Bu çalışmada “kavram” için nesnelerin ya da olayların ortak özelliklerini kapsayan ve ortak ad altında toplayan soyut ve genel fikir, “kavram yanılgısı” için ise bilimsel olarak doğru kabul edilmeyen ancak öğrencilerin kendilerine has biçimde anlamlaştırdıkları kavram tanımları kullanılacaktır.
Fishbein (1987) üç çeşit matematiksel bilgiden bahsetmektedir.
Biçimsel (bir bilginin öyle olduğunu bilme [knowing that]-'iki tek sayının toplamı çifttir' gibi),
Algoritmik (bir bilginin ya da kuralın nasıl işlediğini bilme, aşamalarını açıklama [knowing how] - iki tek sayının toplamını iki tane 2n+l sayısının toplamı şeklinde ele alıp sonucu değerlendirebilme)
Sezgisel bilgi (matematiksel çokluklarla ilgili ilkel anlamda fikir ve görüşlerimiz, zihinsel modeller - 'çarpma daima çarpılandan büyük sonuç verir' (Graeber, Tirosh ve Glover, 1989) şeklinde bir modele sahip olmak gibi).
Fischbein'e (1993) göre bu üç bilgi arasındaki uyumsuzluk kavram yanılgılarının oluşumuna sebebiyet vermektedir. Bu noktadan hareketle bilgi çeşitleri arasındaki uyumsuzluğun ya da bu uyumsuzluğa eklenmeye çalışılan yeni bilginin kavram yanılgılarına sebebiyet verdiğini göz önünde tuttuğumuzda, bu uyumsuzlukları tetikleyen ya da bunlara sebep olan öğretim stillerinin benimsenmemesi gerektiği sonucuna varılabilir. Matematiğin birikimli bir bilim dalı oluşu, başka bir deyişle daha önceden edinilmiş bilgilerin kullanılması matematik eğitiminin başarıyla yürütülmesi için kavram yanılgılarının saptanması ve giderilmesi gereğini doğurmaktadır. Yanılgılar, bireyin yanlış inançları ve deneyimleri sonucu ortaya çıkan davranışlardır. Doğal olarak yeni bilgiler, yanılgıların üzerine inşa edilirler ve daha önceden sahip olunan ön birikimler yeni kavramların da yanlış öğrenilmesine neden olabilirler (Baki, 1998). Bu nedenle, bu çalışmada adayların iki değişkenli fonksiyonların limiti ve sürekliliği ile ilgili kavram imajlarını (yanılgılarını) tespit etmeden önce bunlarla ilişkili olan tek değişkenli fonksiyonların limiti ve sürekliliği hakkındaki kavram imajları araştırılmıştır.