Konumsal Çizelgeler

Bazı geometrik istatistik yakla¸sımlarının temel handikabı, ¸seklin yerel özelliklerinin ¸sekle nasıl da˘gıldı˘gı ve hangi konumlara sahip oldu˘gu ile ilgili bilgileri barındırmama- sıdır. Bu amaçla konumsal çizelgeler, tanımlayıcıyı ¸seklin uzaysal konumu hakkında bilgi edinmek için yapmı¸stır. Çizelgede yer alan de˘gerler nesnenin fiziksel konumları veya sektörlerine kar¸sılık gelen girdilerdir. Nesne içerisindeki özelliklerin göreceli ko- numlarını dikkate alan bir mantık örgüsü ile sıralanmı¸slardır. Konumsal haritalar, özel olarak düzenlenenler hariç olmak üzere normalde döndürmeden ba˘gımsız de˘gillerdir. Bu nedenle normalde ilk olarak duru¸s normalizasyonu yapılmaktadır. Vranic ve ark. [277] yaptıkları çalı¸smada, kütle merkezinden yüzeye do˘gru gönderilen ı¸sının cismi son kesti˘gi noktalar alınarak çalı¸san ı¸sın tabanlı bir tanımlayıcı üzerinde çalı¸smı¸slar- dır. Küresel bir geni¸sleme hesabı içeren bu çalı¸sma Fourier tabanlı sinüs ve kosinüs fonksiyonlarına benzeyen sonuçlar veren bir küresel hesaplama sistemidir. Döndürme etkisinden kurtulabilmek için önerdikleri sistem çalı¸stırılmadan önce duru¸s normali- zasyonu yapılmalıdır. Assfalg [12] tarafından yapılan çalı¸smada yüzeyi tam olarak ba˘g- lantılı 3B nesneler için bir tanımlayıcı üzerine çalı¸sılmı¸stır. 3B nesne, küreye evrilene kadar deforme edilmektedir. Daha sonra, yüzey üzerinde olu¸san 2B bükülmeler, 2B bir çizelgeye toplanmakta ve nesne tanımlayıcısı olarak bu çizelge kullanılmaktadır. Buna ilave olarak ba¸ska bir ara¸stırmada [7] da yüzey e˘gimlerinin konumsal da˘gılımları

kullanılarak bir tanımlayıcı üzerine çalı¸sılmı¸stır.

Kazhdan ve ark. [126], küresel harmoniklerin kullanıldı˘gı döndürme ba˘gımlı bir ta- nımlayıcıyı, döndürme i¸slemine göre ba˘gımsız bir tanımlayıcıya çeviren bir çalı¸sma yapmı¸slardır. Önerdikleri yöntemleri, küresel fonksiyonlar seti veya voksel ızgarası kullanan ¸sekil tanımlayıcılar için uygulanabilir bir çözüm önermektedir. Bu i¸slemler- den sonra küresel fonksiyonlar seti, e¸s merkezli kürelerden olu¸san voksel gridleri yar- dımı ile çalı¸san bir yapıya dönü¸smektedir. Küresel fonksiyonlar kullanarak döndürme ba˘gımsız bir tanımlayıcı hesaplanmaktadır; (1) fonksiyonu küresel harmoniklerine ay- rı¸stırma (2) her bir frekans için harmonikleri toplama ve her bir frekans bile¸seni için L2-norm de˘gerini hesaplama. Sonuç olarak sekil tanımlayıcı yarıçap ve frekans de- ˘gerleri ile indekslenen 2B bir histograma dönü¸smekte ve ¸sekil kütle merkezine göre döndürmeden ba˘gımsız bir tanımlayıcı olmaktadır. Bu yakla¸sım, döndürme i¸slemine göre ba˘gımsız bir yapı sundu˘gu için duru¸s normalizasyonuna bir alternatif önermekte- dir. Yapılan çalı¸smaların deneysel sonuçları, elde edilen döndürmeden ba˘gımsız ¸sekil tanımlayıcı performanslarının geleneksel olarak PCA yapılan yakla¸sımlardan daha üs- tün oldu˘gunu ortaya koymaktadır. Yaptıkları deneylerde Vranic ve ark. [277] tarafın- dan yapılan çalı¸smalara da yer vermi¸slerdir. Son olarak voksel ızgarasını Funkhouser ve ark. [80] tarafından yapılan voksel tabanlı küresel harmoniklerin kullanıldı˘gı, ikili fonksiyon ile birlikte uygulanan bir çalı¸sma için genelle¸stirmi¸slerdir. Kazhdan ve ark. [126] çalı¸smalarında, Euclidean mesafe fonksiyonu kullanarak 3B modellerin voksel ızgaralarını olu¸sturmu¸slardır.

Novotni ve Klein [190], 3B voksellenmi¸s modeller için önerdikleri metot ile küresel harmonik tabanlı tanımlayıcıların do˘gal bir geni¸sletilmi¸s modeli olan 3B Zernike ta- nımlayıcısı üzerinde çalı¸smı¸slardır. 3B Zernike tanımlayıcısı nesnelerin yapısal duru- munu bir küre boyunca dairesel yönelimle elde etmektedirler. Sonuçta 3B Zernike ve küresel harmonik tabanlı tanımlayıcılar döndürme i¸slemine göre ba˘gımsız bir yapıya kavu¸smaktadır. Ancak, elde edilecek tanımlayıcılar için sadece dairesel olarak örnek- ler almak nesne durum bilgisi için yeterli olmamaktadır ( ¸Sekil 3.15). Novotni ve Klein tarafından yapılan sınırlı sayıda deney, 3D Zernike moment tanımlayıcılarının ve küre- sel harmonik tabanlı tanımlayıcılar ile bazı sınıflar için benzer sonuçlar verirken bazı sınıflar içinde daha ba¸sarılı sonuçlar verdi˘gini göstermektedir.

¸Sekil 3.15: Ayrık parçaların duru¸s normalizasyonu olmadı˘gından nesneler için küresel harmonikler ayırt edici de˘gildir. ¸Sekil [126]’den alınmı¸stır.

Vranic [275], voksellemenin ¸seklin birçok detay bilgisini kaybetti˘gi için iyi bir yöntem olmadı˘gını ileri sürmü¸stür. Bu nedenle, 3B model merkezinden dı¸sarı do˘gru kabuklar halinde geni¸sleyerek sarılan ve küresel harmonik ¸sekil tabanlı tanımlayıcıya benzeyen dairesel tabanlı bir fonksiyon kullanılmı¸stır. Bu tanımlayıcıyı, Funkhouser ve ark. [80] tarafından önerilen voksel tabanlı küresel harmonik ¸sekil tanımlayıcısı ile kıyaslan- mı¸stır. Ayrıca, Vranic ve ark., duru¸s normalizasyonunu ba¸sarılı bir ¸sekilde yapabilen ve sürekli PCA [277] olarak adlandırdıkları bir yöntem kullanmı¸slardır. Bu yöntem için, geleneksel PCA dan ayrı olarak ¸sekil a˘gı üzerindeki bütün üçgenlerin integralini alarak hesaplama yapmı¸slardır. Yapılan çalı¸smada elde edilen deney sonuçları, sürekli PCA modelinin geleneksel PCA modelinden ve a˘gırlıklı PCA modelinden daha yüksek ba¸sarım sa˘gladı˘gını ortaya koymaktadır. Ayrıca kabuk tabanlı küresel harmonik tanım- layıcının, Funkhouser ve ark. [80], Liu ve ark. [158] tarafından önerilen ve Vranic’in yönteminin geni¸sletilmi¸s hali olan voksel tabanlı harmonik tanımlayıcıdan daha üs- tün ba¸sarıma sahip oldu˘gunu göstermektedir. Çünkü ¸sekil üzerine gelen gürültü ¸seklin kütle merkezini de˘gi¸stirebilmektedir. Buna alternatif olarak Delta fonksiyonları kulla- narak farklı bir küresel harmonik tabanlı merkezden mesafe ölçen fonksiyon önermi¸s- lerdir. Kendi veri setlerini kullanarak yaptıkları deneylerde önerdikleri metodun Varnic [275] tarafından önerilen metodtan daha ba¸sarılı oldu˘gunu göstermi¸slerdir.

Ricard ve ark. [226], 3B Açısal Dairesel Dönü¸süm (Angular Radial Transform (ART)) ¸sekil tanımlayıcı önermi¸slerdir. Açısal dairesel dönü¸süm 3B nesneyi küresel koordinat- lar içinde dairesel yörünge fonksiyonlarını temel alarak göstermektedir. Bu yöntemde

içerisinde ART katsayılarının bulundu˘gu bir diziyi temel fonksiyonlar için kullanıl- maktadır. ART katsayıları z-eksenine göre döndürme i¸slemlerinden ba˘gımsızdır. Do- layısıyla önerilen yöntem için sadece z-eksenine göre PCA ile hizalama yapılması ye- terli olmaktadır. Princeton Shape Benchmark kullanarak yaptıkları deneylerin sonuç- ları, küresel harmonikleri taban olarak kullanan yöntemlerin daha ba¸sarılı oldu˘gunu ve Renault tarafından sa˘glanan 5000 ¸sekilden olu¸san veri seti için ise iki yöntemin so- nuçlarının aynı oldu˘gunu göstermektedir. Konumsal çizelge tabanlı yakla¸sımlar geri getirme do˘grulu˘gu yüksek olan yöntemlerdir. Fakat bu yöntemler için önemli bir prob- lem kısmi e¸sle¸stirme için uygun olmamalarıdır. Çünkü bu yöntemler kullanılarak cisim üzerinde bulunan parçalar arası ili¸skiler ve parça özellikleri ile ilgili ayırt edici bilgilere ula¸sılamaz. Buna ilave olarak bu metotlar kullanıcıya bir geri besleme de yapmamak- tadır.