Isıl Çekirdek ˙Imzası (Heat Kernel Signatures (HKS))

Son zamanlarda, yayılım geometrisi 3B ¸sekil geri getirme yöntemlerinde sıklıkla kulla- nılmaktadır [34, 167, 169, 201, 219, 232]. Yayınım geometrisi X yüzeyindeki u ısısının iletim yönetimi ile ısıl yayınım e¸sitli˘gine ba˘glıdır:

(∆X + ∂ ∂ t) = u,

(3.4.4)

öyle ki, ∆X yarı belirli Laplace Beltrami operatörünü göstermekte olup, a ise Lapla- cian Riemannian denkli˘gidir. u(x, 0) = u0(x) ba¸slangıç de˘gerleri için ısıl e¸sitli˘gi u(x,t)

X yüzeyindeki x noktası için (aynı ¸sekilde X sınıra sahip bir yüzey ise sınır de˘gerle- rini) t zamanda ortaya çıkan ısı miktarını tanımlamaktadır. Temel çözüm olarak formül 3.4.4’de ısıl da˘gılım u0x = δ x − z ¸seklinde tanımlanmakta ve ba¸slangıç ko¸sulları için

çekirdek olarak adlandırılmaktadır. ¸Sekil 3.12’de anlatıldı˘gı gibi kX,t = (x, z) formülü

ile tanımlanmaktadır. Isıl çekirdek izometrik dönü¸sümlerde de˘gi¸smezli˘ge sahiptir ve izometrik olarak küçük bozunumlar için kararlıdır. ˙Ilave olarak ısıl çekirdek 3B nesne- ler için tam olarak karakterize edilmi¸s ve 3B nesnelerin bütünsel özelliklerini giderek tanımlamak için kullanılmaktadır [48, 100, 138].

¸Sekil 3.12: ¸Sekillerin birbileri ile olan e¸slemelerini göstermektedir. Sıcak renkler dü¸sük de˘gerleri göstermektedir. ¸Sekil [33]’den alınmı¸stır.

Sun ve ark. [260], ısıl çekirdek kö¸segenlerini ısıl çekirdek imzası (Heat Kernel Signa- tures (HKS)) gibi yerel tanımlayıcı olarak kullanmayı önermi¸slerdir. ¸Sekil üzerindeki her x noktası için n-boyutlu tanımlayıcı vektörü a¸sa˘gıdaki ¸sekilde tanımlanır:

P(x) = c(x)(K_t1(x; x), ..., Ktn(x; x)), (3.4.5)

öyle ki, c(x) de˘geri ||p(x)||2= 1 olacak ¸sekilde seçilir.

SHREC kıyaslaması [32] HKS için teknoloji harikası bir tanımlayıcı oldu˘gunu do˘g- rulamı¸stır. HKS tanımlayıcısı 3B nesne geri getirme uygulamaları için uygun çözüm- ler sunabilen birçok avantaja sahiptir. ˙Ilk olarak HKS bozulmaya kar¸sı dayanıklıdır ( ¸Sekil 3.13 (b), sol taraf). ˙Ikinci olarak ise, t ile tanımlı bir ölçekleme altında ¸sekil üzerindeki bir x noktası için kom¸sulukları hakkında bilgi toplamaktadır. x noktasının küçük bir kom¸sulu˘gunun t ölçeklemesi altında toplanan bilgileri ile bütünsel olarak ¸sekil hakkında büyük t de˘gerleri için bilgilere de sahip olmaktadır. Böylece, n-boyutlu özellik tanımlayıcı vektör p(x), bilgisayarlı görü alanında çoklu ölçekli analog özellik tanımlayıcıları için kullanılabilmektedir. Üçüncü olarak, küçük ölçeklemelerde HKS tanımlayıcısı yerel olarak bilgi toplarken sadece topolojik gürültüden etkilenmektedir. ( ¸Sekil 3.13 (b), sa˘g taraf) Son olarak, HKS tanımlayıcısı için hesaplama karma¸sıklı˘gı Laplace-Beltrami operatörünün özde˘gerler ve öz fonksiyonlarıdır ve farklı ¸sekil tem- silleri için etkili bir ¸sekilde çalı¸smaktadır.

Di˘ger taraftan ise HKS tanımlayıcısının bir dezavantajı, bütünsel olarak ¸sekil ölçekle- mesine ba˘gımlı olmasıdır. Bu sebeple ölçek ba˘gımsız HKS sürümüne Scale-Invariant HKS (SI-HKS) verilmektedir. Fourier dönü¸sümü yerel ölçek normalizasyonu tabanlı özellikler için kullanarak [35] SI-HKS önerilmi¸stir. Buna ek olarak yine ısıl çekirdek imzasının geni¸sletilmi¸s ¸sekli olan Hacimsel Isıl Çekirdek ˙Imzası (Volumetric Heat Ker- nel Signature (VHKS)) [220] tarafından önerilmi¸stir. HKS ve SI-HKS yakla¸sımlarının her ikisi de ayırt edebilirlik ve etkili hesaplama özellikleri ile ön plana çıkmaktadır.

HKS ile ilintili olan bir di˘ger yakla¸sım ise Schrödinger e¸sitli˘gi kullanılarak yüzeyi parçacıklara ayıran bir yöntem olan Dalga Çekirdek ˙Imzasıdır [15]. Laplace-Beltrami operatörü kullanılmakta ve nesnenin fiziksel özellikleri temsil edilmektedir. HKS yön- temi ile kıyaslandı˘gında, WKS net olarak frekans farklılıklarının etkilerini, ısıl çekir- dek yönteminin özelliklerin tespitinde e¸sit da˘gılımla olu¸san tüm problemlerine çözüm olmaktadır. Uygun parametreler ile yöntemin kararlılı˘gı teorik olarak ¸seklin izometrik olmayan bozulmaları için daha yüksek bilgiye sahip bölümlerden belirlenir. Deney- sel olarak WKS yönteminin HKS yakla¸sımına göre farklı ölçeklendirmede de daha do˘gru özellik e¸sle¸stirmeleri yaptı˘gı gösterilmi¸stir. Hatta problemli veriler kullanıldı-

˘gında, WKS yine de do˘gru özellik benzerliklerini algılayabilir. 3.4.12 ¸Sekil Da˘gılımları

¸Sekil Da˘gılımları teknikleri 3B modeller üzerinden do˘grudan ölçüm yapılmasına ve bu ölçümlerin da˘gılımına dayanmaktadır. Bu bölümde ¸sekil da˘gılımı tekniklerinin bazıları incelenecektir. Osada ve ark. [200] tarafından, ¸sekil da˘gılımları ayrıntılı bir ¸sekilde in- celenmi¸s ve 3B ¸seklin olasılık da˘gılımı olarak temsili ile ¸sekil histogramı çıkarılarak sonuçları kar¸sıla¸stırılmı¸stır. Bu teknik için ön i¸slem olarak ¸sekil fonksiyonunun seçimi çok önemlidir. 3B nesne yüzeyinden seçilen rastgele üç nokta arasındaki da˘gılımlar, bazı açı kullanan ¸sekil fonksiyonları ile incelenmi¸stir. Nesne yüzey merkezleri ve yü- zey üzerinden seçilen rastgele noktalar arasında alan ve hacim ölçümü gibi özellikler kullanılarak Euclidean mesafe da˘gılımı hesaplamaları yapılmı¸stır. Yapılan bu çalı¸sma- larda iki nesne arasındaki benzerlik ¸sekil da˘gılımları arasındaki mesafe ölçümleri ile yapılmaktadır (Örnek: Minkowski mesafe fonksiyonu ile). Yapılan geri getirme deney- leri iki histogramın normalize edilerek kar¸sıla¸stırılması için en uygun mesafe fonksi- yonunun D2 mesafe fonksiyonu oldu˘gunu (yüzey üzerindeki nokta çiftleri arasındaki mesafe ¸Sekil 3.14) ve en uygun da˘gılım fonksiyonunun da L1 normu oldu˘gunu göster- mi¸stir.

Obhuchi ve ark. [195], 3B modeller için ana eksenleri kullanılarak olu¸sturulan bir ta- kım istatistiki de˘gerler kullanan bir yöntem önermi¸slerdir. Yapılan çalı¸smada önerilen metot çokgen a˘gları ile tanımlı modeller kullanmaktadır. ˙Ilk olarak, modelleri kendi ana eksenlerine uygun ¸sekilde hızlanmakta ve her birinin ekseni için histogramlar a¸sa- ˘gıdaki ¸sekilde hesaplanmaktadır; (1) eksen etrafında atalet momenti, (2) yüzeylerden

¸Sekil 3.14: Siyah renkli çizgiler tankları ve gri renkli çizgiler arabaları göstermektedir. ¸Sekil [200]’den alınmı¸stır.

merkez eksene olan ortalama uzaklık, (3) yüzeyden merkez eksene olan mesafe de˘gi- ¸siklikleri. Bu i¸slem her bir model için birbirine eklemlenmi¸s ¸sekilde dokuz öznitelik vektörü üretmektedir. Benzerlik ölçümleri için esnek-e¸sleme mesafesi ve Euclidean mesafesi kullanılmı¸stır. Çalı¸sma için yapılan deneyler sadece dönel simetrik modeller için yüksek ba¸sarıma sahiptir.

3B CAD modellerinin kar¸sıla¸stırılması için, Ip ve ark. [107] tarafından yapılan ça- lı¸smada D2 ¸sekil fonksiyonunu [200] ¸sekil da˘gılımları üretmek için kullanan D2 ta- nımlayıcısı geni¸sletilmi¸stir. Bir modeli temsil edebilmek için üç farklı da˘gılım kulla- nılmaktadır. ˙Ilk da˘gılım (IN) nokta çiftlerini birbirine ba˘glayan model içerisindeki bir çizgi için bulunur. ˙Ikinci da˘gılım ise (OUT) nokta çiftlerinin model dı¸sında bir çizgi ile birbirine ba˘glayan da˘gılımdır. Üçüncü da˘gılım ise (MIXED) hem modelin içerisinden hemde model dı¸sından geçen çizgi ile birbirlerine ba˘glanan nokta çiftleri için hesap- lanan da˘gılımdır. 3B iki model arasında tanımlı benzerlik de˘geri bu iki model için IN, OUT ve MIXED D2 da˘gılımları için hesaplanmaktadır. Bu metot sadece hacimli mo- deller ile içerideki ve dı¸sarıdaki noktaları ayırt etmek için uygulanabilir bir modeldir. Bu yakla¸sım, Ip ve ark. [225] tarafından örne˘gi verilmi¸s bir set ile daha geni¸s ölçekli veritabanlarını sınıflandırmak için geni¸sletilmi¸stir.

Rea ve ark. [221], içbükey karaktere sahip 3B modeller için nesne ¸sekil farklılıkları- nın ve içbükeylik özelliklerinin farklı da˘gılımlar ile tanımlandı˘gı bir tanımlayıcı geli¸s- tirmi¸slerdir. Ohbuchi ve ark. [192], D2 ¸sekil da˘gılım fonksiyonunun farklı bir versi- yonunu önermi¸slerdir. Açı Mesafesi (Angle-Distance (AD)) ve Mutlak Açı Mesafesi (Absolute Angle-Distance (AAD))olmak üzere yüzeylerin yönelimleri ayarlanarak 2D

histogramlar üretilir. AD histogramı ¸sekil yüzeyinde rastgele seçilmi¸s nokta çifti ara- sındaki mesafe ve açı hesaplanarak bulunur. Di˘ger taraftan AAD histogramı yüzey normal vektörleri kullanılarak üretilir ve yöntemin sa˘glamlı˘gı artırılır. AD histogram- ları tam olarak yönlendirilmi¸s olabilen modeller için uygun iken, AAD histogramı ise yönelimi düzgün olmayan modeller için uygundur. Çalı¸smayı yapan ara¸stırmacılar ta- rafından yapılan deneylere göre bu yakla¸sım D2 ¸sekil da˘gılımından yakla¸sık iki kat daha az hesaplama karma¸sıklı˘gına sahiptir. Ohbuchi ve ark. [196], bu çalı¸smaya ilave olarak ¸seklin farklı ölçeklerde alfa ¸sekilleri için çoklu çözünürlük yakla¸sımı kullanarak Mutlak Açı Mesafesi tanımlayıcısı hesaplayan yeni bir yakla¸sım ortaya koymu¸slardır. Bu yakla¸sım, açı mesafesi (AD) [192] tanımlayıcısından, yazarları tarafından yapı- lan deneyler neticesinde daha üstün bir ba¸sarıma sahiptir. Bununla birlikte Liu ve ark. [159], D2 da˘gılım fonksiyonu için ¸seklin kalınlıklarını tahmin ederek farklı bir geni¸s- letme çalı¸sması yapmı¸slardır.

Rea ve ark. [222], yüzey pozisyonlama görüngesel (Surface Portioning Spectrum (SPS)) da˘gılımı olarak adlandırdıkları 3B CAD modellerin indekslemesi ve geri getirme i¸s- lemleri için bir yöntem önermi¸slerdir. Bu çalı¸smada 3B modellerin geometrik ve topo- lojik özelliklerin her ikisi de basit 2B bir çizge (SPS) ile kodlanır. Ba˘glı alanların açı de˘gerleri kabul edilebilir ölçüler içerisinde ise, bu yüzeyle güçlü olarak ba˘glı kabul edi- lir. 3B modellerin benzerliklerinin de˘gerlendirilmesi SPS kullanılarak yapay sinir a˘g- ları ile yapılır. Pu ve ark. [115], 3B modelleri birbiri ardına aynı yönde olacak ¸sekilde dilimlere ayırarak bu dilimler üzerinden 2B e¸sle¸stirmeler yaparak benzerlik ölçümü yöntemini önermi¸slerdir. Bu yöntemde 2B, D2 ¸sekil da˘gılımı kullanılarak dilimler ara- sındaki benzerlik ölçülmektedir. 3B ¸sekil geri getirme i¸slemlerinde ¸sekil da˘gılımları kullanılmasının temel avantajı 3B modellerin hangi kategoriye ayrıldı˘gının ba¸sarılı bir ¸sekilde tespit edebilmesi iken, en büyük dezavantajı ise kaba olarak birbirine benzeyen 3B ¸sekillerin farklılıklarının detaylarında oldu˘gu durumlardır.