KIDEM TAZMİNATININ HESAPLANMASI

Análise de Componente Principal – ACP é uma técnica amplamente utilizada em aplicações tais como a redução de dimensão, compressão de dados com perdas, extração de atributos, e visualização de dados.

A ACP tem como objetivo transformar o conjunto original de variáveis em um subespaço de combinações lineares que representem a maior parte da variabilidade dos dados do conjunto original no menor número de componentes possíveis. Tal subespaço é composto por uma base de vetores ortogonais (Componentes Principais – CP) que formam um sistema de coordenadas, obtidas através de transformações lineares do conjunto original de variáveis. As componentes principais são determinadas de forma que a primeira CP, ou CP(1), represente

a maior parte da variabilidade total nos dados. Onde CP(1) é a combinação linear das variáveis

observadas “_Y, 1,2, … , b:

• ¡ “ ¡ “ ¡ “ (4.8)

os pesos ¡ , ¡ , … , ¡ foram determinados de forma a maximizar a relação entre a variação da CP(1) com a variação total, sujeito a restrição ∑_Y— ¡ Y 1.

Assim, Var[CP(1)] é tão grande quanto possível sujeito a esta restrição sobre as

constantes “¡ _Y”. A restrição é introduzida porque se isso não for feito, então Var[CP(1)] pode ser aumentada fazendo simplesmente crescer qualquer um dos valor “¡ _Y”.

A CP(2), é que a combinação linear ponderada das variáveis observadas que não

foram correlacionadas na primeira combinação linear e que representa o montante máximo da variação total restante ainda não contabilizada pela CP(1).

• ¡ “ ¡ “ ¡ “ (4.9)

Assim, Var[CP(2)] é tão grande quanto possível sujeito as mesmas restrições

impostas a CP(1) e que CP(1) e CP(2) possuam correlação igual a zero entre os seus dados. Os

posteriores CP’s são determinados da mesma forma, onde se existem “m” séries de valores a

m-ésima CP apresenta-se da seguinte forma:

• ¡ “ ¡ “ ¡ “ (4.10)

A determinação CP’s é realizada considerando a matriz de variáveis “_{¢ £ ¤}, onde “p” é o tamanho da série temporal e “m” é o número de séries que se deseja representar.

“ ¥¦1 2 ¦1

¦ ¦ § (4.11)

A matriz de covariância de “X” é simétrica e possui os elementos na diagonal principal iguais a Var[x1] e o restante do termos são formados por Cov[xi xj].

Se “X” possui dados centrados em zero a matriz de covariância destes novos dados ƒ_{¢ £ ¤} é formada pela matriz de correlação de “X”.

ƒ ¨ 11 2 Ÿ ¦1¦b

Ÿ ¦ ¦1 1

© (4.12)

Os componentes principais são determinados resolvendo-se a equação característica da matriz “R”: detFƒ λII 0 ou ¯ƒ λI¯ 0. Os resultados são “p” raízes características chamadas de autovalores “λp” e para cada autovalor existe autovetor “wip”:

A ° ¡†1 ¡†2 1 ¡†b ± (4.13)

A inversão da matriz de CP’s para variáveis na escala padronizada “Y” pode realizada através

‘ • $ A (4.14)

4.6Modelos Autorregressivos com Variáveis Exógenas

O Sistema Hidroelétrico Brasileiro possui características específicas, em especial pela interconexão dos diversos aproveitamentos hidroelétricos através da rede hidrográfica, tornando importante a preservação da estrutura espacial observada nos dados históricos quando da realização de previsão de afluências.

A grande extensão territorial do SIN e as teleconexões climáticas que influenciam fortemente o regime hidrológico das bacias hidrográficas nacionais, como anteriormente comentado, sugerem que a informação climática pode ser usada como variáveis de explanatórias em modelos de previsões.

Logo, podem-se aperfeiçoar os modelos estatísticos clássicos de previsão de vazões, em particular os modelos Periódicos Autorregressivos – PAR, a partir da inclusão de

informação climática, tornando-os modelos Periódicos Autorregressivos com variáveis Exógenas – PARX.

Seja então "²" a variável aleatória que representa a afluência aos aproveitamentos hidroelétricos ao Sistema Interligado Nacional – SIN, e que esta seja uma variável padronizada da seguinte forma:

x, ², ,

, (4.15)

onde:

x, – representa o valor do dado de afluência padronizado; – índice temporal da equação, meses;

³ – índice representativo do reservatório;

², – representa o valor do dado de afluência na escala normal; , – valor médio da série mensal;

, – desvio padrão da série mensal.

O modelo PAR pode ser apresentado na sua forma generalizada como segue:

xy, – ´ , x µ, ¶

µ—

·, (4.16)

onde:

xy, – representa o valor esperado de afluência ao reservatório;

x, – representa o valor observado do dado de afluência;

´, – coeficiente Autorregressivo (vazões antecedentes); – índice temporal da equação, meses;

³ – índice representativo dos Postos Base; ¸ – defasagem (lag);

– número de parcelas do modelo;

·, – série de ruídos independentes com média zero e variância _,

Observa-se que os coeficientes Autorregressivos "´ _, " diferentes para cada mês e antecedência de previsão. Assumem-se aqui as suposições comuns utilizadas em regressão linear (independência de resíduos, normalidade, linearidade e variância constante). Os coeficientes Autorregressivos são estimados pelo método dos mínimos quadrados. Os modelos do tipo Autorregressivos (AR), os coeficientes não diferem entre os meses sendo

apenas um coeficiente para todos os meses, calculado para toda a série de dados. Assim, no coeficiente "´ _, " o índice temporal “t” da equação não será levado em consideração ficando

"´ " com o coeficiente variando somente para os diferentes Postos Base.

O modelo PAR define que variabilidade das afluências aos aproveitamentos hidroelétricos é realizada através da persistência das vazões, ou seja, da série temporal de dados, sendo esta uma função das características da bacia de drenagem e do escoamento subterrâneo. A intensidade dessa persistência varia ao longo do ano, sendo maior durante os meses secos, onde a vazão é mantida basicamente pelo escoamento subterrâneo proveniente de aquíferos.

A ideia metodológica utilizada nos modelos PARX é que apenas parte da variabilidade das afluências seja explicada pela persistência das vazões, denominada de variável endógena, e que outra parte da variabilidade seja explicada através de variáveis exógenas, ou informações que não provêm da série temporal de afluências, mas que tenha alguma correlação com a geração de vazão. Os dados mais comumente utilizados, no caso de previsão de vazões são informações hidroclimatológicas ou a variabilidade destas. Logo, o modelo PARX pode ser apresentado na sua forma generalizada como segue:

xy, – ´ , x µ, ¶ µ— – •¹, ¦ ¹ º ¹— · , (4.17) onde:

xy, – representa o valor esperado de afluência ao reservatório;

x, – representa o valor observado do dado de afluência;

´, – coeficiente da variável endógena;

•¹, – coeficiente da variável exógena; – índice temporal da equação, meses;

³ – índice representativo do Posto Base;

¸ – defasagem (lag) parcela endógenas do modelo; » – defasagem (lag) parcela exógenas do modelo;

– número de parcelas endógenas do modelo;

¼ – número de parcelas exógenas do modelo;